formas cuadráticas

forma cuadrática f(x 1, x 2,...,x n) de n variables es una suma, cada término de la cual es el cuadrado de una de las variables o el producto de dos variables diferentes, tomado con un cierto coeficiente: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

La matriz A compuesta por estos coeficientes se llama matriz de forma cuadrática. siempre es simétrico matriz (es decir, una matriz simétrica con respecto a la diagonal principal, a ij = a ji).

En notación matricial, la forma cuadrática es f(X) = X T AX, donde

En efecto

Por ejemplo, escribamos la forma cuadrática en forma matricial.

Para ello, encontramos una matriz de forma cuadrática. Sus elementos diagonales son iguales a los coeficientes de las variables al cuadrado, y los elementos restantes son iguales a las mitades de los coeficientes correspondientes de la forma cuadrática. Es por eso

Deje que la columna-matriz de variables X se obtenga mediante una transformación lineal no degenerada de la columna-matriz Y, es decir X = CY, donde C es una matriz no singular de enésimo orden. Entonces la forma cuadrática
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Así, con una transformación lineal no degenerada C, la matriz de forma cuadrática toma la forma: A * = C T AC.

Por ejemplo, encontremos la forma cuadrática f(y 1, y 2), obtenida de la forma cuadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 mediante transformación lineal.

La forma cuadrática se llama canónico(tiene vista canónica), si todos sus coeficientes a ij = 0 para i ≠ j, es decir
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Su matriz es diagonal.

Teorema(prueba no proporcionada aquí). Cualquier forma cuadrática se puede reducir a una forma canónica mediante una transformación lineal no degenerada.

Por ejemplo, reduzcamos la forma cuadrática a la forma canónica.
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Para ello, primero selecciona un cuadrado completo con la variable x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Ahora seleccionamos un cuadrado completo con la variable x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Entonces la transformación lineal no degenerada y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 e y 3 = x 3 lleva esta forma cuadrática a la forma canónica f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Tenga en cuenta que la forma canónica de una forma cuadrática se determina de manera ambigua (la misma forma cuadrática se puede reducir a la forma canónica de diferentes maneras). Sin embargo, la recibida de varias maneras Las formas canónicas tienen una serie de propiedades generales. En particular, el número de términos con coeficientes positivos (negativos) de forma cuadrática no depende del método para reducir la forma a esta forma (por ejemplo, en el ejemplo considerado siempre habrá dos coeficientes negativos y uno positivo). Esta propiedad se llama ley de inercia de formas cuadráticas.

Verifiquemos esto llevando la misma forma cuadrática a la forma canónica de una manera diferente. Comencemos la transformación con la variable x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1, y 2, y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, donde y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 y y 3 = x 1 . Aquí hay un coeficiente positivo de 2 en y 3 y dos coeficientes negativos (-3) en y 1 e y 2 (y usando otro método obtuvimos un coeficiente positivo de 2 en y 1 y dos coeficientes negativos - (-5) en y 2 y (-1/20) en y 3).

También cabe señalar que el rango de una matriz de forma cuadrática, llamada rango de forma cuadrática, es igual al número de coeficientes distintos de cero de la forma canónica y no cambia bajo transformaciones lineales.

La forma cuadrática f(X) se llama afirmativamente (negativo) cierto, si para todos los valores de las variables que no son simultáneamente iguales a cero, es positivo, es decir f(X) > 0 (negativo, es decir
f(X)< 0).

Por ejemplo, la forma cuadrática f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 es definida positiva, porque es una suma de cuadrados, y la forma cuadrática f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 es definida negativa, porque representa se puede representar como f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

En la mayoría de situaciones prácticas, es algo más difícil establecer el signo definido de una forma cuadrática, por lo que para ello utilizamos uno de los siguientes teoremas (los formularemos sin demostración).

Teorema. Una forma cuadrática es positiva (negativa) definida si y solo si todos los valores propios de su matriz son positivos (negativos).

Teorema (criterio de Sylvester). Una forma cuadrática es positiva definida si y sólo si todos los menores principales de la matriz de esta forma son positivos.

Principal (esquina) menor La matriz A de k-ésimo orden de enésimo orden se denomina determinante de la matriz, compuesta por las primeras k filas y columnas de la matriz A ().

Tenga en cuenta que para formas cuadráticas definidas negativas los signos de los menores principales se alternan y el menor de primer orden debe ser negativo.

Por ejemplo, examinemos la forma cuadrática f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 para determinar la precisión del signo.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Por tanto, la forma cuadrática es definida positiva.

Método 2. Menor principal de primer orden de la matriz A D 1 = a 11 = 2 > 0. Menor principal de segundo orden D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Por tanto, según el criterio de Sylvester, la forma cuadrática es definido positivo.

Examinemos otra forma cuadrática para determinar la precisión de los signos, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Método 1. Construyamos una matriz de forma cuadrática A = . La ecuación característica tendrá la forma = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Por tanto, la forma cuadrática es definida negativa.

Formas cuadradas.
Firmar la definición de las formas. Criterio de Sylvester

El adjetivo “cuadrático” sugiere inmediatamente que algo aquí está relacionado con un cuadrado (segundo grado), y muy pronto descubriremos este “algo” y cuál es su forma. Resultó ser un trabalenguas :)

Bienvenidos a mi nueva lección y, como calentamiento inmediato, veremos la forma rayada. lineal. forma lineal variables llamado homogéneo Polinomio de 1er grado:

- algunos números específicos * (asumimos que al menos uno de ellos es distinto de cero), a son variables que pueden tomar valores arbitrarios.

* En el marco de este tema solo consideraremos números reales .

Ya nos hemos encontrado con el término "homogéneo" en la lección sobre sistemas homogéneos de ecuaciones lineales, y en este caso implica que el polinomio no tiene una constante positiva.

Por ejemplo: – forma lineal de dos variables

Ahora la forma es cuadrática. forma cuadrática variables llamado homogéneo polinomio de 2do grado, cada término del cual contiene el cuadrado de la variable o dobles producto de variables. Entonces, por ejemplo, la forma cuadrática de dos variables tiene la siguiente forma:

¡Atención!¡Esta es una entrada estándar y no hay necesidad de cambiar nada al respecto! A pesar de la apariencia "aterradora", aquí todo es simple: los subíndices dobles de las constantes indican qué variables están incluidas en qué término:
– este término contiene el producto y (cuadrado);
- aquí está el trabajo;
- y aquí está el trabajo.

– Preveo inmediatamente un grave error cuando pierden el “menos” de un coeficiente, sin entender que se refiere a un término:

A veces existe una opción de diseño "escolar" en el espíritu, pero sólo a veces. Por cierto, tenga en cuenta que las constantes aquí no nos dicen nada en absoluto y, por lo tanto, es más difícil recordar la “notación fácil”. Especialmente cuando hay más variables.

Y la forma cuadrática de tres variables ya contiene seis términos:

...¿por qué “dos” factores se colocan en términos “mixtos”? Esto es conveniente y pronto quedará claro por qué.

Sin embargo, anotemos la fórmula general; conviene anotarla en una “hoja”:

– estudiamos cuidadosamente cada línea – ¡no hay nada malo en eso!

La forma cuadrática contiene términos con los cuadrados de las variables y términos con sus productos pareados. (centímetro. fórmula de combinación combinatoria) . Nada más: nada de "X solitaria" ni constante agregada (entonces no obtendrás una forma cuadrática, sino heterogéneo polinomio de 2º grado).

Notación matricial de forma cuadrática

Dependiendo de los valores, la forma en cuestión puede tomar valores tanto positivos como negativos, y lo mismo se aplica a cualquier forma lineal: si al menos uno de sus coeficientes es diferente de cero, entonces puede ser positivo o negativo (dependiendo de valores).

Esta forma se llama signo alterno. Y si con la forma lineal todo es transparente, entonces con la forma cuadrática la cosa es mucho más interesante:

Es absolutamente claro que esta forma puede tomar el significado de cualquier signo, por lo tanto la forma cuadrática también puede ser alterna.

O tal vez no:

– siempre, a menos que simultáneamente sea igual a cero.

– para cualquiera vector excepto cero.

Y en general, si para alguien distinto de cero vector , , entonces la forma cuadrática se llama positivo definido; si es así entonces definido negativo.

Y todo estaría bien, pero la precisión de la forma cuadrática es visible solo en ejemplos simples, y esta visibilidad se pierde incluso con una ligera complicación:
– ?

Se podría suponer que la forma es definida positiva, pero ¿es realmente así? ¿Qué pasa si hay valores en los que es menor que cero?

hay un teorema: si TODOS valores propios las matrices de forma cuadrática son positivas * , entonces es definida positiva. Si todos son negativos, entonces negativos.

* Se ha demostrado en teoría que todos los valores propios de una matriz simétrica real válido

Escribamos la matriz de la forma anterior:
y de la ecuación. vamos a encontrarla valores propios:

Resolvamos lo bueno de siempre. ecuación cuadrática:

, que significa la forma se define positivamente, es decir para cualquier valor distinto de cero es mayor que cero.

El método considerado parece funcionar, pero hay un gran PERO. Ya para una matriz de tres por tres, buscar los números adecuados es una tarea larga y desagradable; con alta probabilidad obtendrás un polinomio de tercer grado con raíces irracionales.

¿Qué tengo que hacer? ¡Hay una manera más fácil!

Criterio de Sylvester

No, Sylvester Stallone no :) Primero, déjame recordarte qué es. menores de esquina matrices. Este clasificados que “crecen” desde su esquina superior izquierda:

y el último es exactamente igual al determinante de la matriz.

Ahora, en realidad, criterio:

1) Se define la forma cuadrática afirmativamente si y sólo si TODOS sus menores angulares son mayores que cero: .

2) Se define la forma cuadrática negativo si y sólo si sus menores angulares se alternan en signo, siendo el 1er menor menor que cero: , , si – par o , si – impar.

Si al menos un ángulo menor es de signo opuesto, entonces la forma signo alterno. Si los menores angulares son del signo "correcto", pero hay ceros entre ellos, entonces este es un caso especial, que examinaré un poco más adelante, después de ver ejemplos más comunes.

Analicemos los menores angulares de la matriz. :

Y esto nos dice inmediatamente que la forma no está definida negativamente.

Conclusión: todos los menores de las esquinas son mayores que cero, lo que significa que la forma se define positivamente.

Hay una diferencia con el método. valores propios? ;)

Escribamos la forma matriz de Ejemplo 1:

el primero es su angular menor, y el segundo , de lo que se deduce que la forma alterna en signo, es decir Dependiendo de los valores, puede tomar valores tanto positivos como negativos. Sin embargo, esto ya es obvio.

Tomemos la forma y su matriz de Ejemplo 2:

No hay manera de resolver esto sin conocimiento. Pero con el criterio de Sylvester no nos importa:
, por lo tanto, la forma definitivamente no es negativa.

, y definitivamente no es positivo (ya que todos los menores angulares deben ser positivos).

Conclusión: la forma es alterna.

Ejemplos de calentamiento para decisión independiente:

Ejemplo 4

Investigar formas cuadráticas para determinar la precisión de los signos.

A)

En estos ejemplos todo va bien (ver el final de la lección), pero de hecho, para completar tal tarea El criterio de Sylvester puede no ser suficiente.

El punto es que hay casos “límites”, a saber: si por cualquier distinto de cero vector, entonces se determina la forma no negativo, si – entonces negativo. Estas formas tienen distinto de cero vectores para los cuales .

Aquí puedes citar el siguiente “acordeón”:

Destacando cuadrado perfecto, lo vemos de inmediato no negatividad forma: , y es igual a cero para cualquier vector con coordenadas iguales, por ejemplo: .

Ejemplo de "espejo" negativo una determinada forma:

y un ejemplo aún más trivial:
– aquí la forma es igual a cero para cualquier vector, donde es un número arbitrario.

¿Cómo identificar formas no negativas o no positivas?

Para esto necesitamos el concepto menores mayores matrices. Un menor mayor es un menor compuesto por elementos que se encuentran en la intersección de filas y columnas con los mismos números. Así, la matriz tiene dos menores principales de 1er orden:
(el elemento está ubicado en la intersección de la 1.ª fila y la 1.ª columna);
(el elemento está en la intersección de la segunda fila y la segunda columna),

y un menor mayor de segundo orden:
– compuesto por elementos de la 1.ª y 2.ª fila y de la 1.ª y 2.ª columna.

La matriz es “tres por tres” Hay siete menores principales, y aquí tendrás que flexionar tus bíceps:
– tres menores de 1er orden,
tres menores de segundo orden:
– compuesto por elementos de la 1.ª y 2.ª fila y de la 1.ª y 2.ª columna;
– compuesto por elementos de la 1.ª y 3.ª fila y de la 1.ª y 3.ª columna;
– compuesto por elementos de la 2.ª y 3.ª fila y de la 2.ª y 3.ª columna,
y un menor de tercer orden:
– compuesto por elementos de la 1ª, 2ª, 3ª fila y de la 1ª, 2ª y 3ª columna.
Ejercicio para entender: escriba todos los menores mayores de la matriz .
Lo comprobamos al final de la lección y continuamos.

criterio de schwarzenegger:

1) Definición de forma cuadrática distinta de cero* no negativo si y sólo si TODOS sus menores mayores no negativo(mayor o igual a cero).

* La forma cuadrática cero (degenerada) tiene todos los coeficientes iguales a cero.

2) Se define la forma cuadrática distinta de cero con matriz negativo si y sólo si:
– menores mayores de 1er orden no positivo(menor o igual a cero);
– menores mayores de segundo orden no negativo;
– menores mayores de 3er orden no positivo(comenzó la alternancia);
…
– mayor menor de décimo orden no positivo, si – impar o no negativo, si – incluso.

Si al menos un menor es del signo opuesto, entonces la forma es de signos alternos.

Veamos cómo funciona el criterio en los ejemplos anteriores:

Creemos una matriz de formas y en primer lugar Calculemos los menores angulares: ¿y si se definen positiva o negativamente?

Los valores obtenidos no satisfacen el criterio de Sylvester, pero sí el segundo menor. no negativo, y esto hace necesario verificar el segundo criterio (en el caso del segundo criterio no se cumple automáticamente, es decir, se llega inmediatamente a la conclusión de que la forma tiene signos alternos).

Principales menores de 1er orden:
- positivo,
mayor menor de 2do orden:
– no negativo.

Por lo tanto, TODOS los menores mayores no son negativos, lo que significa que la forma no negativo.

Escribamos la matriz de formas. , para lo cual obviamente no se cumple el criterio de Sylvester. Pero tampoco obtuvimos signos opuestos (ya que ambos ángulos menores son iguales a cero). Por tanto, comprobamos el cumplimiento del criterio de no negatividad/no positividad. Principales menores de 1er orden:
– no positivo,
mayor menor de 2do orden:
– no negativo.

Así, según el criterio de Schwarzenegger (punto 2), la forma no está definida positivamente.

Ahora echemos un vistazo más de cerca a un problema más interesante:

Ejemplo 5

Examinar la forma cuadrática para determinar la precisión de los signos.

Esta forma está decorada con el orden "alfa", que puede ser igual a cualquier número real. Pero solo será más divertido. nosotros decidimos.

Primero, escribamos la matriz de forma; probablemente muchas personas ya se han acostumbrado a hacer esto de forma oral: diagonal principal Ponemos los coeficientes para los cuadrados, y en los lugares simétricos ponemos la mitad de los coeficientes de los correspondientes productos “mixtos”:

Calculemos los menores angulares:

Ampliaré el tercer determinante en la tercera línea:

El concepto de forma cuadrática. Matriz de forma cuadrática. Forma canónica de forma cuadrática. Método de Lagrange. Vista normal de una forma cuadrática. Rango, índice y firma de forma cuadrática. Forma cuadrática definida positiva. Cuádricas.

Concepto de forma cuadrática: una función en un espacio vectorial definido por un polinomio homogéneo de segundo grado en las coordenadas del vector.

forma cuadrática de norte desconocido se llama suma, cada término del cual es el cuadrado de una de estas incógnitas o el producto de dos incógnitas diferentes.

Matriz cuadrática: La matriz se llama matriz de forma cuadrática en una base dada. Si la característica del campo no es igual a 2, podemos suponer que la matriz de forma cuadrática es simétrica, es decir.

Escribe una matriz de forma cuadrática:

Por eso,

En forma de matriz vectorial, la forma cuadrática es:

a, donde

Forma canónica de forma cuadrática: Una forma cuadrática se llama canónica si todos es decir.

Cualquier forma cuadrática se puede reducir a una forma canónica mediante transformaciones lineales. En la práctica, se suelen utilizar los siguientes métodos.

método de Lagrange : selección secuencial de cuadrados completos. Por ejemplo, si

Luego se realiza un procedimiento similar con la forma cuadrática etc. Si en forma cuadrática todo es menos luego, después de una transformación preliminar, la cuestión se reduce al procedimiento considerado. Entonces, si, por ejemplo, asumimos

Forma normal de forma cuadrática: Una forma cuadrática normal es una forma cuadrática canónica en la que todos los coeficientes son iguales a +1 o -1.

Rango, índice y firma de forma cuadrática: Rango de forma cuadrática A se llama rango de la matriz A. El rango de una forma cuadrática no cambia bajo transformaciones no degeneradas de incógnitas.

El número de coeficientes negativos se llama índice de forma negativa.

El número de términos positivos en forma canónica se llama índice de inercia positivo de la forma cuadrática, el número de términos negativos se llama índice negativo. La diferencia entre los índices positivo y negativo se llama firma de la forma cuadrática.

Forma cuadrática definida positiva: Forma cuadrática real se llama definida positiva (definida negativa) si, para cualquier valor real de las variables que no sean simultáneamente cero,

. (36)

En este caso, la matriz también se llama definida positiva (definida negativa).

La clase de formas definidas positivas (definidas negativas) es parte de la clase de formas no negativas (respectivamente, no positivas).

Cuádricas: Cuádrico - norte hipersuperficie dimensional en norte Espacio +1 dimensión, definido como el conjunto de ceros de un polinomio de segundo grado. Si ingresa las coordenadas ( incógnita 1 , incógnita 2 , xn+1 ) (en espacio euclidiano o afín), la ecuación general de una cuádrica es

Esta ecuación se puede reescribir de manera más compacta en notación matricial:

donde x = ( incógnita 1 , incógnita 2 , xn+1 ) — vector de fila, incógnita T es un vector transpuesto, q— matriz de tamaño ( norte+1)×( norte+1) (se supone que al menos uno de sus elementos es distinto de cero), PAG es un vector fila, y R- constante. Se consideran con mayor frecuencia las cuádricas sobre números reales o complejos. La definición se puede ampliar a cuádricas en el espacio proyectivo, ver más abajo.

De manera más general, el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones polinómicas se conoce como variedad algebraica. Por tanto, una cuádrica es una variedad algebraica (afín o proyectiva) de segundo grado y codimensión 1.

Transformaciones del plano y del espacio.

Definición de transformación plana. Detección de movimiento. propiedades del movimiento. Dos tipos de movimientos: movimiento del primer tipo y movimiento del segundo tipo. Ejemplos de movimientos. Expresión analítica del movimiento. Clasificación de movimientos planos (en función de la presencia de puntos fijos y rectas invariantes). Grupo de movimientos de avión.

Definición de transformación plana: Definición. Una transformación plana que preserva la distancia entre puntos se llama movimiento(o movimiento) del avión. La transformación del plano se llama afín, si transforma tres puntos cualesquiera que se encuentran sobre la misma recta en tres puntos que también se encuentran sobre la misma recta y conservando al mismo tiempo la relación simple de los tres puntos.

Definición de movimiento: Se trata de transformaciones de formas que preservan las distancias entre puntos. Si dos figuras se alinean exactamente entre sí mediante el movimiento, entonces estas figuras son iguales, iguales.

Propiedades del movimiento: Cada movimiento que preserva la orientación de un plano es una traslación paralela o una rotación; cada movimiento que cambia la orientación de un plano es una simetría axial o una simetría deslizante. Al moverse, los puntos que se encuentran en una línea recta se transforman en puntos que se encuentran en una línea recta y su orden se conserva. posición relativa. Al moverse, se conservan los ángulos entre medias líneas.

Dos tipos de movimientos: movimiento del primer tipo y movimiento del segundo tipo: Los movimientos del primer tipo son aquellos movimientos que preservan la orientación de las bases de una determinada figura. Se pueden realizar mediante movimientos continuos.

Los movimientos del segundo tipo son aquellos movimientos que cambian la orientación de las bases al contrario. No pueden realizarse mediante movimientos continuos.

Ejemplos de movimientos del primer tipo son la traslación y la rotación alrededor de una línea recta, y los movimientos del segundo tipo son las simetrías centrales y especulares.

La composición de cualquier número de movimientos del primer tipo es un movimiento del primer tipo.

La composición de un número par de movimientos del segundo tipo es un movimiento del primer tipo, y la composición de un número impar de movimientos del segundo tipo es un movimiento del segundo tipo.

Ejemplos de movimientos:Transferencia paralela. Sea a el vector dado. La transferencia paralela al vector a es una aplicación del plano sobre sí mismo, en la que cada punto M se asigna al punto M 1, de modo que el vector MM 1 es igual al vector a.

La traslación paralela es un movimiento porque es un mapeo del plano sobre sí mismo, preservando las distancias. Este movimiento se puede representar visualmente como un desplazamiento de todo el plano en la dirección de un vector dado a por su longitud.

Girar. Denotamos el punto O en el plano ( centro de torneado) y establezca el ángulo α ( ángulo de rotación). La rotación del plano alrededor del punto O en un ángulo α es la aplicación del plano sobre sí mismo, en la que cada punto M se asigna al punto M 1, de modo que OM = OM 1 y el ángulo MOM 1 es igual a α. En este caso, el punto O permanece en su lugar, es decir, se asigna a sí mismo y todos los demás puntos giran alrededor del punto O en la misma dirección: en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj (la figura muestra una rotación en el sentido contrario a las agujas del reloj).

La rotación es un movimiento porque representa una cartografía del plano sobre sí mismo, en la que se conservan las distancias.

Expresión analítica del movimiento: la conexión analítica entre las coordenadas de la preimagen y la imagen del punto tiene la forma (1).

Clasificación de los movimientos planos (según la presencia de puntos fijos y rectas invariantes): Definición:

Un punto en un plano es invariante (fijo) si, bajo una transformación dada, se transforma en sí mismo.

Ejemplo: con simetría central, el punto del centro de simetría es invariante. Al girar, el punto del centro de rotación es invariante. Con simetría axial, la línea invariante es una línea recta; el eje de simetría es una línea recta de puntos invariantes.

Teorema: Si un movimiento no tiene un solo punto invariante, entonces tiene al menos una dirección invariante.

Ejemplo: transferencia paralela. En efecto, las rectas paralelas a esta dirección son invariantes como figura en su conjunto, aunque no estén formadas por puntos invariantes.

Teorema: si un rayo se mueve, el rayo se traslada a sí mismo, entonces este movimiento es una transformación idéntica o una simetría con respecto a la línea recta que contiene el rayo dado.

Por tanto, a partir de la presencia de puntos o figuras invariantes es posible clasificar los movimientos.

Nombre del movimiento	Puntos invariantes	Líneas invariantes
Movimiento del primer tipo.
1.- girar	(centro) - 0	No
2. Transformación de la identidad	todos los puntos del avión	todo recto
3. Simetría central	punto 0 - centro	todas las rectas que pasan por el punto 0
4. Transferencia paralela	No	todo recto
Movimiento del segundo tipo.
5. Simetría axial.	cambio de agujas	eje de simetría (línea recta) todas las líneas rectas

Grupo de movimiento plano: En geometría papel importante Juegan grupos de figuras que se combinan entre sí. Si una determinada figura se encuentra en un plano (o en el espacio), entonces podemos considerar el conjunto de todos aquellos movimientos del plano (o del espacio) durante los cuales la figura se transforma en sí misma.

Este conjunto es un grupo. Por ejemplo, para un triángulo equilátero, el grupo de movimientos planos que transforman el triángulo en sí mismo consta de 6 elementos: rotaciones a través de ángulos alrededor de un punto y simetrías alrededor de tres rectas.

Se muestran en la Fig. 1 con líneas rojas. Los elementos del grupo de autoalineaciones de un triángulo regular se pueden especificar de diferentes maneras. Para explicar esto, numeremos los vértices de un triángulo regular con los números 1, 2, 3. Cualquier autoalineación del triángulo lleva los puntos 1, 2, 3 a los mismos puntos, pero en un orden diferente, es decir, se puede escribir condicionalmente en forma de uno de estos corchetes:

etc.

donde los números 1, 2, 3 indican los números de aquellos vértices a los que van los vértices 1, 2, 3 como resultado del movimiento considerado.

Espacios proyectivos y sus modelos..

El concepto de espacio proyectivo y el modelo de espacio proyectivo. Datos básicos de la geometría proyectiva. Un conjunto de líneas centradas en el punto O es un modelo del plano proyectivo. Puntos proyectivos. El plano extendido es un modelo del plano proyectivo. El espacio euclidiano o afín tridimensional extendido es un modelo de espacio proyectivo. Imágenes de figuras planas y espaciales en diseño paralelo.

El concepto de espacio proyectivo y el modelo de espacio proyectivo:

El espacio proyectivo sobre un campo es un espacio que consta de líneas (subespacios unidimensionales) de algún espacio lineal sobre un campo determinado. Los espacios directos se llaman puntos espacio proyectivo. Esta definición se puede generalizar a un cuerpo arbitrario.

Si tiene dimensión , entonces la dimensión del espacio proyectivo se llama número , y el espacio proyectivo en sí se denota y se llama asociado con (para indicar esto, se adopta la notación).

La transición de un espacio vectorial de dimensión al espacio proyectivo correspondiente se llama proyeccionización espacio.

Los puntos se pueden describir utilizando coordenadas homogéneas.

Hechos básicos de la geometría proyectiva: La geometría proyectiva es una rama de la geometría que estudia planos y espacios proyectivos. característica principal La geometría proyectiva se basa en el principio de dualidad, lo que añade una elegante simetría a muchos diseños. La geometría proyectiva puede estudiarse tanto desde un punto de vista puramente geométrico, como analítico (utilizando coordenadas homogéneas) y salgebraico, considerando el plano proyectivo como una estructura sobre un campo. A menudo, e históricamente, se considera que el plano proyectivo real es el plano euclidiano con la adición de "línea en el infinito".

Mientras que las propiedades de las figuras de las que se ocupa la geometría euclidiana son métrico(valores específicos de ángulos, segmentos, áreas), y la equivalencia de figuras es equivalente a sus congruencia(es decir, cuando las figuras se pueden traducir unas en otras mediante el movimiento preservando al mismo tiempo las propiedades métricas), hay más propiedades "profundas" formas geométricas, que se conservan durante transformaciones de más de tipo general que el movimiento. La geometría proyectiva se ocupa del estudio de las propiedades de figuras que son invariantes bajo la clase transformaciones proyectivas, así como estas transformaciones mismas.

La geometría proyectiva complementa la euclidiana, proporcionando belleza y soluciones simples para muchos problemas complicados por la presencia de líneas paralelas. La teoría proyectiva de las secciones cónicas es especialmente sencilla y elegante.

Hay tres enfoques principales de la geometría proyectiva: axiomatización independiente, complementación de la geometría euclidiana y estructura sobre un campo.

Axiomatización

El espacio proyectivo se puede definir utilizando un conjunto diferente de axiomas.

Coxeter proporciona lo siguiente:

1. Hay una línea recta y un punto que no está en ella.

2. Cada línea tiene al menos tres puntos.

3. A través de dos puntos se puede trazar exactamente una línea recta.

4. Si A, B, do, Y D- varios puntos y AB Y CD se cruzan, entonces C.A. Y BD intersecarse.

5. Si abecedario es un plano, entonces hay al menos un punto que no está en el plano abecedario.

6. Dos planos diferentes intersecan al menos dos puntos.

7. Los tres puntos diagonales de un cuadrilátero completo no son colineales.

8. Si tres puntos están en una línea incógnita incógnita

El plano proyectivo (sin la tercera dimensión) está definido por axiomas ligeramente diferentes:

1. A través de dos puntos se puede trazar exactamente una línea recta.

2. Dos líneas cualesquiera se cruzan.

3. Hay cuatro puntos, de los cuales tres no son colineales.

4. Los tres puntos diagonales de cuadriláteros completos no son colineales.

5. Si tres puntos están en una línea incógnita son invariantes con respecto a la proyectividad de φ, entonces todos los puntos en incógnita invariante con respecto a φ.

6. Teorema de Desargues: Si dos triángulos están en perspectiva a través de un punto, entonces están en perspectiva a través de una recta.

En presencia de una tercera dimensión, el teorema de Desargues se puede demostrar sin introducir un punto y una recta ideales.

Plano extendido - modelo de plano proyectivo: En el espacio afín A3 tomamos un conjunto de rectas S(O) con centro en el punto O y un plano Π que no pasa por el centro del conjunto: O 6∈ Π. Un conjunto de líneas en un espacio afín es un modelo del plano proyectivo. Definamos un mapeo del conjunto de puntos del plano Π sobre el conjunto de rectas del conectivo S (Joder, reza si tienes esta pregunta, perdóname)

Espacio afín tridimensional extendido o espacio euclidiano - modelo de espacio proyectivo:

Para hacer el mapeo sobreyectivo, repetimos el proceso de extender formalmente el plano afín Π al plano proyectivo, Π, complementando el plano Π con un conjunto de puntos impropios (M∞) tales que: ((M∞)) = P0(O). Dado que en el mapa la imagen inversa de cada plano del conjunto de planos S(O) es una recta en el plano d, es obvio que el conjunto de todos los puntos impropios del plano extendido: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), representa una recta impropia d∞ del plano extendido, que es la imagen inversa del plano singular Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Convengamos en que aquí y en adelante entenderemos la última igualdad P0(O) = Π0 en el sentido de igualdad de conjuntos de puntos, pero dotada de una estructura diferente. Al complementar el plano afín con una línea impropia, aseguramos que el mapeo (I.21) se vuelva biyectivo en el conjunto de todos los puntos del plano extendido:

Imágenes de figuras planas y espaciales durante el diseño paralelo:

En estereometría se estudian figuras espaciales, pero en el dibujo se representan como figuras planas. ¿Cómo se debe representar una figura espacial en un plano? Normalmente en geometría se utiliza el diseño paralelo para esto. Sea p un avión, yo- una línea recta que lo cruza (Fig. 1). A través de un punto arbitrario A, que no pertenece a la línea yo, traza una recta paralela a la recta yo. El punto de intersección de esta recta con el plano p se llama proyección paralela del punto A al plano p en la dirección de la recta yo. vamos a denotarlo A". Si el punto A pertenece a la linea yo, luego por proyección paralela A Se considera que el punto de intersección de la recta está en el plano p. yo con avión p.

Así, cada punto A espacio se compara su proyección A" sobre el plano p. Esta correspondencia se llama proyección paralela sobre el plano p en la dirección de la línea recta. l.

Grupo de transformaciones proyectivas. Aplicación a la resolución de problemas.

El concepto de transformación proyectiva de un plano. Ejemplos de transformaciones proyectivas del plano. Propiedades de las transformaciones proyectivas. Homología, propiedades de la homología. Grupo de transformaciones proyectivas.

El concepto de transformación proyectiva de un plano: El concepto de transformación proyectiva generaliza el concepto de proyección central. Si realizamos una proyección central del plano α sobre algún plano α 1, luego una proyección de α 1 sobre α 2, α 2 sobre α 3, ... y finalmente, algún plano α norte nuevamente en α 1, entonces la composición de todas estas proyecciones es la transformación proyectiva del plano α; En dicha cadena también se pueden incluir proyecciones paralelas.

Ejemplos de transformaciones de plano proyectivo: Una transformación proyectiva de un plano completado es su mapeo uno a uno sobre sí mismo, en el que se conserva la colinealidad de los puntos o, en otras palabras, la imagen de cualquier línea es una línea recta. Cualquier transformación proyectiva es una composición de una cadena de proyecciones centrales y paralelas. Una transformación afín es un caso especial de transformación proyectiva, en la que la línea en el infinito se convierte en sí misma.

Propiedades de las transformaciones proyectivas:

Durante una transformación proyectiva, tres puntos que no están en una línea se transforman en tres puntos que no están en una línea.

Durante una transformación proyectiva, el marco se convierte en marco.

Durante una transformación proyectiva, una línea se convierte en una línea recta y un lápiz se convierte en un lápiz.

Homología, propiedades de la homología:

Una transformación proyectiva de un plano que tiene una línea de puntos invariantes y, por tanto, un lápiz de líneas invariantes, se llama homología.

1. Una línea que pasa por puntos de homología correspondientes no coincidentes es una línea invariante;

2. Las rectas que pasan por puntos de homología correspondientes no coincidentes pertenecen al mismo lápiz, cuyo centro es un punto invariante.

3. El punto, su imagen y el centro de homología se encuentran en la misma línea recta.

Grupo de transformaciones proyectivas: Consideremos el mapeo proyectivo del plano proyectivo P 2 sobre sí mismo, es decir, la transformación proyectiva de este plano (P 2 ’ = P 2).

Como antes, la composición f de las transformaciones proyectivas f 1 y f 2 del plano proyectivo P 2 es el resultado de la ejecución secuencial de las transformaciones f 1 y f 2: f = f 2 °f 1 .

Teorema 1: el conjunto H de todas las transformaciones proyectivas del plano proyectivo P 2 es un grupo con respecto a la composición de las transformaciones proyectivas.