Mamá lavó el marco
Al final de un largo vacaciones de verano es hora de volver lentamente a las matemáticas superiores y abrir solemnemente el archivo Verdov vacío para comenzar a crear una nueva sección: . Lo admito, las primeras líneas no son fáciles, pero el primer paso está a la mitad del camino, por lo que sugiero que todos estudien detenidamente el artículo introductorio, después de lo cual dominar el tema será 2 veces más fácil. No estoy exagerando en absoluto. …En vísperas del próximo 1 de septiembre, recuerdo el primer grado y la primaria…. Las letras forman sílabas, las sílabas forman palabras, las palabras forman oraciones cortas: mamá lavó el marco. ¡Dominar la estadística matemática y de Turver es tan fácil como aprender a leer! Sin embargo, para ello es necesario conocer los términos, conceptos y designaciones clave, así como algunas reglas específicas, que son el tema de esta lección.
Pero primero, acepte mis felicitaciones por el inicio (continuación, finalización, marca según corresponda) del año escolar y acepte el regalo. el mejor regalo- este es un libro, y para trabajo independiente Recomiendo la siguiente literatura:
1) Gmurman V.E. Teoría de la probabilidad y estadística matemática.
Un libro de texto legendario que ha pasado por más de diez reimpresiones. Se distingue por su inteligibilidad y presentación extremadamente simple del material, y creo que los primeros capítulos ya son completamente accesibles para los estudiantes de los grados 6-7.
2) Gmurman V.E. Una guía para resolver problemas en teoría de probabilidad y estadística matemática
Un libro de soluciones del mismo Vladimir Efimovich con ejemplos y problemas detallados.
NECESARIAMENTE¡Descarga ambos libros de Internet o consigue sus originales en papel! También funcionará la versión de los años 60 y 70, lo que es aún mejor para los tontos. Aunque la frase "teoría de la probabilidad para tontos" suena bastante ridícula, ya que casi todo se limita a operaciones aritméticas elementales. Sin embargo, se saltan en algunos lugares. derivados Y integrales, pero esto es sólo en algunos lugares.
Intentaré lograr la misma claridad de presentación, pero debo advertir que mi curso está dirigido a resolución de problemas y los cálculos teóricos se mantienen al mínimo. Por lo tanto, si necesita una teoría detallada, pruebas de teoremas (¡teoremas-teoremas!), consulte el libro de texto. Bueno quien quiere aprender a resolver problemas en teoría de la probabilidad y estadística matemática a lo sumo términos cortos , ¡sígueme!
Eso es suficiente para empezar =)
A medida que lea los artículos, es recomendable familiarizarse (al menos brevemente) con tareas adicionales de los tipos considerados. en la pagina Soluciones listas para usar para matemáticas superiores Se publicarán los correspondientes pdf con ejemplos de soluciones. También se proporcionará una importante ayuda IDZ 18.1 Ryabushko(más simple) y IDZ resuelto según la colección de Chudesenko(más difícil).
1) Cantidad dos eventos y el evento se llama cual es que sucederá o evento o evento o ambos eventos al mismo tiempo. En el caso de que los acontecimientos incompatible, la última opción desaparece, es decir, puede ocurrir o evento o evento .
La regla también se aplica a un mayor número de términos, por ejemplo, el evento 
es lo que pasará al menos uno de eventos 
, A si los eventos son incompatibles – entonces una cosa y solo una cosa evento de esta cantidad: o evento , o evento , o evento , o evento , o evento .
Hay muchos ejemplos:
Eventos (al tirar un dado no aparecerán 5 puntos) es lo que aparecerá o 1, o 2, o 3, o 4, o 6 puntos.
Evento (se eliminará no más dos puntos) es que aparecerá 1 o 2agujas.
Evento 
(habrá un número par de puntos) es lo que aparece o 2 o 4 o 6 puntos.
El evento es que se sacará una carta roja (corazón) de la baraja. o pandereta), y el evento 
– que se extraerá la “imagen” (jack o dama o rey o as).
Un poco más interesante es el caso de los eventos conjuntos:
El evento es que se sacará un trébol de la baraja. o Siete o siete de tréboles Según la definición dada anteriormente, al menos algo- o cualquier trébol o cualquier siete o su "intersección" - siete de tréboles. Es fácil calcular que este evento corresponde a 12 resultados elementales (9 cartas de tréboles + 3 sietes restantes).
El evento es que mañana a las 12.00 vendrá AL MENOS UNO de los eventos conjuntos sumables, a saber:
– o sólo habrá lluvia/sólo tormenta/sólo sol;
– o sólo ocurrirá un par de eventos (lluvia + tormenta / lluvia + sol / tormenta + sol);
– o los tres eventos aparecerán simultáneamente.
Es decir, el evento incluye 7 resultados posibles.
El segundo pilar del álgebra de eventos:
2) La obra dos eventos y llamar a un evento que consiste en la ocurrencia conjunta de estos eventos, en otras palabras, la multiplicación significa que bajo algunas circunstancias habrá Y evento , Y evento . Una afirmación similar es cierta para un mayor número de eventos, por ejemplo, una obra implica que bajo ciertas condiciones sucederá. Y evento , Y evento , Y evento , …, Y evento .
Considere una prueba en la que se lanzan dos monedas y los siguientes eventos:
– aparecerá cara en la primera moneda;
– la primera moneda saldrá cara;
– aparecerá cara en la segunda moneda;
– la segunda moneda saldrá cara.
Entonces:
Y el 2) aparecerán cabezas;
– el evento es que en ambas monedas (el día 1 Y el 2) será cara;
– el evento es que la primera moneda saldrá cara Y la segunda moneda es cruz;
– el evento es que la primera moneda saldrá cara Y en la segunda moneda hay un águila.
Es fácil ver que los acontecimientos incompatible (porque, por ejemplo, no puede caer 2 caras y 2 cruces al mismo tiempo) y forma grupo completo (ya que se tiene en cuenta Todo posibles resultados de lanzar dos monedas). Resumamos estos eventos: . ¿Cómo interpretar esta entrada? Muy simple: la multiplicación significa un conectivo lógico. Y, y además – O. Así, la cantidad es fácil de leer en un lenguaje humano comprensible: “aparecerán dos cabezas o dos cabezas o la primera moneda saldrá cara Y en la segunda cola o la primera moneda saldrá cara Y en la segunda moneda hay un águila"
Este fue un ejemplo cuando en una prueba Se trata de varios objetos, en este caso dos monedas. Otro esquema común en problemas prácticos es volver a probar , cuando, por ejemplo, se lanza el mismo dado 3 veces seguidas. Como demostración, considere los siguientes eventos:
– en el 1er lanzamiento obtendrás 4 puntos;
– en el 2º lanzamiento obtendrás 5 puntos;
– en el 3er lanzamiento obtendrás 6 puntos.
Entonces el evento 
es que en el 1er lanzamiento obtendrás 4 puntos Y en el 2do lanzamiento obtendrás 5 puntos Y en el tercer lanzamiento obtendrás 6 puntos. Evidentemente, en el caso de un cubo habrá significativamente más combinaciones (resultados) que si estuviéramos lanzando una moneda.
...Entiendo que quizás los ejemplos que se analizan no sean muy interesantes, pero son cosas que se encuentran muchas veces en los problemas y no hay forma de escapar de ellas. Además de una moneda, un cubo y una baraja de cartas, te esperan urnas con bolas multicolores, varias personas anónimas disparando a un objetivo y un trabajador incansable que constantemente está puliendo algunos detalles =)
probabilidad de evento
probabilidad de evento es el concepto central de la teoría de la probabilidad. ... Algo muy lógico, pero teníamos que empezar por algún lado =) Hay varios enfoques para su definición:
;
Definición geométrica de probabilidad.
;
Definición estadística de probabilidad
.
En este artículo me centraré en la definición clásica de probabilidad, que es la más utilizada en tareas educativas.
Designaciones. La probabilidad de un determinado evento se indica con una letra latina mayúscula y el evento en sí se coloca entre paréntesis, actuando como una especie de argumento. Por ejemplo:
Además, la letra minúscula se utiliza mucho para indicar probabilidad. En particular, puede abandonar las engorrosas designaciones de eventos y sus probabilidades. 
a favor del siguiente estilo::
– la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara;
– la probabilidad de que una tirada de dados dé como resultado 5 puntos;
– la probabilidad de que se saque de la baraja una carta del palo de trébol.
Esta opción es popular a la hora de resolver problemas prácticos, ya que permite reducir significativamente la grabación de la solución. Como en el primer caso, aquí es conveniente utilizar subíndices/superíndices “parlantes”.
Todos han adivinado durante mucho tiempo los números que acabo de escribir arriba, y ahora descubriremos cómo resultaron:
Definición clásica de probabilidad:
La probabilidad de que ocurra un evento en una determinada prueba se llama razón, donde:
– número total de todos igualmente posible, elemental resultados de esta prueba, que forman grupo completo de eventos;
- cantidad elemental resultados, favorable evento.
Al lanzar una moneda, puede caer cara o cruz; estos eventos se forman grupo completo, por tanto, el número total de resultados; al mismo tiempo, cada uno de ellos elemental Y igualmente posible. El evento se ve favorecido por el resultado (cara). Según la definición clásica de probabilidad: 
.
De manera similar, como resultado del lanzamiento de un dado, pueden aparecer resultados elementales igualmente posibles, formando un grupo completo, y el evento se ve favorecido por un único resultado (tirar un cinco). Es por eso: 
ESTO NO ESTÁ ACEPTO HACER (aunque no está prohibido estimar porcentajes mentalmente).
Es habitual utilizar fracciones de una unidad., y, obviamente, la probabilidad puede variar dentro de . Además, si , entonces el evento es imposible, Si - confiable, y si , entonces estamos hablando de aleatorio evento.
! Si mientras resuelves cualquier problema obtienes algún otro valor de probabilidad, ¡busca el error!
En el enfoque clásico para determinar la probabilidad, los valores extremos (cero y uno) se obtienen exactamente mediante el mismo razonamiento. Saque 1 bola al azar de cierta urna que contiene 10 bolas rojas. Considere los siguientes eventos:
En un solo ensayo no ocurrirá un evento de baja probabilidad..
Esta es la razón por la que no ganarás el premio mayor de la lotería si la probabilidad de que se produzca este evento es, digamos, 0,00000001. Sí, sí, eres tú, el único billete en una determinada circulación. Sin embargo, una mayor cantidad de boletos y una mayor cantidad de sorteos no le ayudarán mucho. ...Cuando les cuento esto a otros, casi siempre escucho como respuesta: “pero alguien gana”. Bien, entonces hagamos el siguiente experimento: compre un boleto para cualquier lotería hoy o mañana (¡no se demore!). Y si ganas... bueno, al menos más de 10 kilorublos, asegúrate de registrarte; te explicaré por qué sucedió esto. Por un porcentaje, por supuesto =) =)
Pero no hay por qué estar triste, porque existe un principio opuesto: si la probabilidad de algún evento es muy cercana a uno, entonces en una sola prueba sucederá. casi seguro sucederá. Por eso, antes de lanzarse en paracaídas, no hay que tener miedo, al contrario, ¡sonríe! Después de todo, deben surgir circunstancias completamente impensables y fantásticas para que ambos paracaídas fallen.
Aunque todo esto es poesía, ya que dependiendo del contenido del evento, el primer principio puede resultar alegre y el segundo, triste; o incluso ambos son paralelos.
Quizás eso sea suficiente por ahora, en clase. Problemas de probabilidad clásicos sacaremos el máximo partido a la fórmula. En la parte final de este artículo, consideraremos un teorema importante:
La suma de las probabilidades de eventos que forman un grupo completo es igual a uno.. En términos generales, si los eventos forman un grupo completo, entonces con un 100% de probabilidad uno de ellos sucederá. En el caso más simple, un grupo completo está formado por eventos opuestos, por ejemplo:
– como resultado del lanzamiento de una moneda, aparecerá cara;
– el resultado del lanzamiento de una moneda será cara.
Según el teorema: 
Está absolutamente claro que estos eventos son igualmente posibles y sus probabilidades son las mismas. 
.
Debido a la igualdad de probabilidades, los eventos igualmente posibles a menudo se denominan igualmente probable . Y aquí hay un trabalenguas para determinar el grado de intoxicación =)
Ejemplo con un cubo: los eventos son opuestos, por lo tanto 
.
El teorema considerado es conveniente porque le permite encontrar rápidamente la probabilidad del evento opuesto. Entonces, si se conoce la probabilidad de que salga un cinco, es fácil calcular la probabilidad de que no salga:
Esto es mucho más sencillo que sumar las probabilidades de cinco resultados elementales. Por cierto, para resultados elementales, este teorema también es cierto:
. Por ejemplo, si es la probabilidad de que el tirador dé en el blanco, entonces es la probabilidad de que falle.
! En la teoría de la probabilidad, no es deseable utilizar letras para otros fines.
En honor al Día del Conocimiento, no preguntaré tarea=), pero es muy importante que puedas responder las siguientes preguntas:
– ¿Qué tipos de eventos existen?
– ¿Qué es el azar y la igual posibilidad de un evento?
– ¿Cómo entiende usted los términos compatibilidad/incompatibilidad de eventos?
– ¿Qué es un grupo completo de eventos, eventos opuestos?
– ¿Qué significa la suma y multiplicación de eventos?
– ¿Cuál es la esencia de la definición clásica de probabilidad?
– ¿Por qué es útil el teorema de la suma de probabilidades de eventos que forman un grupo completo?
No, no es necesario que abarrotes nada, estos son solo los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, una especie de manual que rápidamente encajará en tu cabeza. Y para que esto suceda lo antes posible, te sugiero que te familiarices con las lecciones.
Muchos, ante el concepto de “teoría de la probabilidad”, se asustan pensando que es algo abrumador, muy complejo. Pero en realidad no todo es tan trágico. Hoy veremos el concepto básico de la teoría de la probabilidad y aprenderemos cómo resolver problemas usando ejemplos específicos.
Ciencia
¿Qué estudia una rama de las matemáticas como la “teoría de la probabilidad”? Ella nota patrones y cantidades. Los científicos se interesaron por primera vez en este tema en el siglo XVIII, cuando estudiaban los juegos de azar. El concepto básico de la teoría de la probabilidad es un evento. Es cualquier hecho que se establece por experiencia u observación. Pero ¿qué es la experiencia? Otro concepto básico de la teoría de la probabilidad. Esto significa que este conjunto de circunstancias no fue creado por casualidad, sino con un propósito específico. En cuanto a la observación, aquí el propio investigador no participa en el experimento, sino que es simplemente un testigo de estos acontecimientos, no influye de ninguna manera en lo que sucede;
Eventos
Aprendimos que el concepto básico de la teoría de la probabilidad es un evento, pero no consideramos la clasificación. Todos ellos se dividen en las siguientes categorías:
- Confiable.
- Imposible.
- Aleatorio.
Independientemente de qué tipo de eventos sean, observados o creados durante la experiencia, todos están sujetos a esta clasificación. Lo invitamos a familiarizarse con cada tipo por separado.
evento confiable
Esta es una circunstancia para la cual se han tomado el conjunto de medidas necesarias. Para comprender mejor la esencia, es mejor dar algunos ejemplos. Están sujetas a esta ley la física, la química, la economía y las matemáticas superiores. La teoría de la probabilidad incluye un concepto tan importante como el de evento confiable. A continuación se muestran algunos ejemplos:
- Trabajamos y recibimos una compensación en forma de salario.
- Aprobamos bien los exámenes, aprobamos el concurso y por ello recibimos una recompensa en forma de admisión a una institución educativa.
- Hemos invertido dinero en el banco y, si es necesario, lo recuperaremos.
Estos eventos son confiables. Si hemos cumplido todas las condiciones necesarias, definitivamente obtendremos el resultado esperado.
Eventos imposibles
Ahora estamos considerando elementos de la teoría de la probabilidad. Proponemos pasar a una explicación del siguiente tipo de evento, es decir, lo imposible. Primero, estipulemos la regla más importante: la probabilidad de un evento imposible es cero.
No podemos desviarnos de esta formulación al resolver problemas. Para mayor claridad, aquí hay ejemplos de tales eventos:
- El agua se congeló a una temperatura de más diez (esto es imposible).
- La falta de electricidad no afecta en modo alguno a la producción (tan imposible como en el ejemplo anterior).
No vale la pena dar más ejemplos, ya que los descritos anteriormente reflejan muy claramente la esencia de esta categoría. Un evento imposible nunca ocurrirá durante un experimento bajo ninguna circunstancia.
Eventos aleatorios
Estudiando los elementos atención especial Vale la pena prestar atención a este tipo de eventos. Esto es lo que estudia la ciencia. Como resultado de la experiencia, algo puede suceder o no. Además, la prueba se puede realizar un número ilimitado de veces. Ejemplos vívidos incluyen:
- El lanzamiento de una moneda es una experiencia o prueba, el lanzamiento de cara es un evento.
- Sacar una pelota de una bolsa a ciegas es una prueba; sacar una pelota roja es un evento, y así sucesivamente.
Puede haber un número ilimitado de ejemplos de este tipo, pero, en general, la esencia debe quedar clara. Para resumir y sistematizar los conocimientos adquiridos sobre los hechos se proporciona una tabla. La teoría de la probabilidad estudia solo el último tipo de todos los presentados.
Nombre | definición | |
Confiable | Eventos que ocurren con 100% de garantía si se cumplen ciertas condiciones. | Admisión a una institución educativa al aprobar bien el examen de ingreso. |
Imposible | Eventos que nunca sucederán bajo ninguna circunstancia. | Está nevando a una temperatura del aire de más treinta grados centígrados. |
Aleatorio | Un evento que puede ocurrir o no durante un experimento/prueba. | Un acierto o un error al lanzar una pelota de baloncesto al aro. |
leyes
La teoría de la probabilidad es una ciencia que estudia la posibilidad de que ocurra un evento. Como los demás, tiene algunas reglas. Existen las siguientes leyes de la teoría de la probabilidad:
- Convergencia de secuencias de variables aleatorias.
- Ley de los grandes números.
Al calcular la posibilidad de algo complejo, puedes utilizar un conjunto de eventos simples para lograr un resultado de una manera más fácil y rápida. Tenga en cuenta que las leyes de la teoría de la probabilidad se prueban fácilmente utilizando ciertos teoremas. Le sugerimos que primero se familiarice con la primera ley.
Convergencia de secuencias de variables aleatorias.
Tenga en cuenta que existen varios tipos de convergencia:
- La secuencia de variables aleatorias converge en probabilidad.
- Casi imposible.
- Convergencia cuadrática media.
- Convergencia de distribución.
Entonces, de buenas a primeras, es muy difícil entender la esencia. Aquí hay definiciones que le ayudarán a comprender este tema. Comencemos con la primera vista. La secuencia se llama convergente en probabilidad, si se cumple la siguiente condición: n tiende a infinito, el número al que tiende la secuencia es mayor que cero y cercano a uno.
Pasemos a la siguiente vista, casi con certeza. Se dice que la secuencia converge casi con certeza a una variable aleatoria con n tendiendo al infinito y P tendiendo a un valor cercano a la unidad.
El siguiente tipo es convergencia cuadrática media. Cuando se utiliza la convergencia SC, el estudio de procesos aleatorios vectoriales se reduce al estudio de sus procesos aleatorios coordinados.
El último tipo queda, veámoslo brevemente para que podamos pasar directamente a la resolución de problemas. La convergencia en la distribución tiene otro nombre: "débil", y explicaremos por qué más adelante. Convergencia débil es la convergencia de funciones de distribución en todos los puntos de continuidad de la función de distribución límite.
Definitivamente cumpliremos nuestra promesa: la convergencia débil se diferencia de todo lo anterior en que variable aleatoria no está definido en el espacio de probabilidad. Esto es posible porque la condición se forma exclusivamente utilizando funciones de distribución.
Ley de los grandes números
Teoremas de la teoría de la probabilidad, tales como:
- La desigualdad de Chebyshev.
- El teorema de Chebyshev.
- Teorema de Chebyshev generalizado.
- Teorema de Markov.
Si consideramos todos estos teoremas, esta pregunta puede prolongarse durante varias docenas de hojas. Nuestra tarea principal es aplicar la teoría de la probabilidad en la práctica. Le sugerimos que haga esto ahora mismo. Pero antes de eso, veamos los axiomas de la teoría de la probabilidad; serán los principales asistentes en la resolución de problemas.
Axiomas
Al primero ya lo conocimos cuando hablamos de un evento imposible. Recordemos: la probabilidad de un evento imposible es cero. Dimos un ejemplo muy vívido y memorable: la nieve cayó a una temperatura del aire de treinta grados centígrados.
El segundo es el siguiente: un evento confiable ocurre con una probabilidad igual a uno. Ahora mostraremos cómo escribir esto usando lenguaje matemático: P(B)=1.
Tercero: un evento aleatorio puede ocurrir o no, pero la posibilidad siempre oscila entre cero y uno. Cuanto más se acerque el valor a uno, mayores serán las posibilidades; si el valor se acerca a cero, la probabilidad es muy baja. Escribamos esto en lenguaje matemático: 0<Р(С)<1.
Consideremos el último, cuarto axioma, que suena así: la probabilidad de la suma de dos eventos es igual a la suma de sus probabilidades. Lo escribimos en lenguaje matemático: P(A+B)=P(A)+P(B).
Los axiomas de la teoría de la probabilidad son las reglas más simples que no son difíciles de recordar. Intentemos resolver algunos problemas basándonos en los conocimientos que ya hemos adquirido.
Billete de lotería
Primero, veamos el ejemplo más simple: una lotería. Imagina que compraste un billete de lotería para tener buena suerte. ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos veinte rublos? En total, participan en la circulación mil billetes, uno de los cuales tiene un premio de quinientos rublos, diez de ellos cien rublos cada uno, cincuenta un premio de veinte rublos y cien un premio de cinco. Los problemas de probabilidad se basan en encontrar la posibilidad de la suerte. Ahora juntos analizaremos la solución a la tarea anterior.
Si usamos la letra A para denotar una ganancia de quinientos rublos, entonces la probabilidad de obtener A será igual a 0,001. ¿Cómo conseguimos esto? Sólo necesitas dividir el número de billetes “de la suerte” por su número total (en este caso: 1/1000).
B es una ganancia de cien rublos, la probabilidad será 0,01. Ahora actuamos según el mismo principio que en la acción anterior (10/1000)
C - las ganancias son veinte rublos. Encontramos la probabilidad, es igual a 0,05.
No nos interesan las entradas restantes, ya que su premio acumulado es inferior al especificado en las condiciones. Apliquemos el cuarto axioma: la probabilidad de ganar al menos veinte rublos es P(A)+P(B)+P(C). La letra P denota la probabilidad de que ocurra un evento determinado ya los hemos encontrado en acciones anteriores. Sólo queda sumar los datos necesarios y la respuesta que obtenemos es 0,061. Este número será la respuesta a la pregunta de la tarea.
baraja de cartas
Los problemas de la teoría de la probabilidad pueden ser más complejos, por ejemplo, tomemos la siguiente tarea. Frente a ti hay una baraja de treinta y seis cartas. Tu tarea es sacar dos cartas seguidas sin barajar la pila, la primera y la segunda carta deben ser ases, el palo no importa.
Primero, encontremos la probabilidad de que la primera carta sea un as, para ello dividimos cuatro entre treinta y seis. Lo dejaron a un lado. Sacamos la segunda carta, será un as con una probabilidad de tres treinta y cinco quintos. La probabilidad del segundo evento depende de qué carta sacamos primero, nos preguntamos si fue un as o no. De esto se deduce que el evento B depende del evento A.
El siguiente paso es encontrar la probabilidad de ocurrencia simultánea, es decir, multiplicamos A y B. Su producto se encuentra de la siguiente manera: multiplicamos la probabilidad de un evento por la probabilidad condicional de otro, que calculamos, suponiendo que el primero ocurrió el evento, es decir, sacamos un as con la primera carta.
Para que todo quede claro, designemos un elemento como eventos. Se calcula suponiendo que ha ocurrido el evento A. Se calcula de la siguiente manera: P(B/A).
Sigamos resolviendo nuestro problema: P(A * B) = P(A) * P(B/A) o P(A * B) = P(B) * P(A/B). La probabilidad es igual a (4/36) * ((3/35)/(4/36). Calculamos redondeando a la centésima más cercana. Tenemos: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 La probabilidad de que saquemos dos ases seguidos es nueve centésimas. El valor es muy pequeño, lo que significa que la probabilidad de que ocurra el evento es extremadamente pequeña.
numero olvidado
Proponemos analizar varias variantes más de tareas que son estudiadas por la teoría de la probabilidad. Ya has visto ejemplos de resolución de algunos de ellos en este artículo. Intentemos solucionar el siguiente problema: el niño olvidó el último dígito del número de teléfono de su amigo, pero como la llamada era muy importante, empezó a marcar todo uno por uno. . Necesitamos calcular la probabilidad de que llame no más de tres veces. La solución al problema es más sencilla si se conocen las reglas, leyes y axiomas de la teoría de la probabilidad.
Antes de mirar la solución, intente resolverla usted mismo. Sabemos que el último dígito puede ser del cero al nueve, es decir, diez valores en total. La probabilidad de acertar es 1/10.
A continuación, debemos considerar las opciones para el origen del evento, supongamos que el niño acertó e inmediatamente escribió lo correcto, la probabilidad de tal evento es 1/10. Segunda opción: la primera llamada falla y la segunda da en el blanco. Calculemos la probabilidad de tal evento: multiplique 9/10 por 1/9, como resultado también obtenemos 1/10. La tercera opción: la primera y segunda llamadas resultaron ser en la dirección equivocada, solo con la tercera el niño llegó a donde quería. Calculamos la probabilidad de que tal evento ocurra: 9/10 multiplicado por 8/9 y 1/8, lo que da como resultado 1/10. No nos interesan otras opciones según las condiciones del problema, así que solo tenemos que sumar los resultados obtenidos, al final tenemos 3/10. Respuesta: la probabilidad de que el niño llame no más de tres veces es 0,3.
Tarjetas con números
Hay nueve tarjetas frente a ti, en cada una de las cuales está escrito un número del uno al nueve, los números no se repiten. Se metieron en una caja y se mezclaron bien. Necesitas calcular la probabilidad de que
- aparecerá un número par;
- dos dígitos.
Antes de pasar a la solución, estipulemos que m es el número de casos exitosos y n es el número total de opciones. Encontremos la probabilidad de que el número sea par. No será difícil calcular que hay cuatro números pares, este será nuestro m, hay nueve opciones posibles en total, es decir, m=9. Entonces la probabilidad es 0,44 o 4/9.
Consideremos el segundo caso: el número de opciones es nueve y no puede haber ningún resultado exitoso, es decir, m es igual a cero. La probabilidad de que la carta extraída contenga un número de dos dígitos también es cero.
INTRODUCCIÓN
Muchas cosas nos resultan incomprensibles no porque nuestros conceptos sean débiles;
sino porque estas cosas no están incluidas en el alcance de nuestros conceptos.
Kozma Prutkov
El objetivo principal del estudio de matemáticas en instituciones de educación secundaria especializada es brindar a los estudiantes un conjunto de conocimientos y habilidades matemáticas necesarias para estudiar otras disciplinas del programa que utilizan las matemáticas en un grado u otro, para la capacidad de realizar cálculos prácticos, para la formación y el desarrollo. del pensamiento lógico.
En este trabajo se analizan todos los conceptos básicos de la sección de matemáticas “Fundamentos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática”, previstos por el programa y los Estándares Educativos Estatales de Educación Secundaria Profesional (Ministerio de Educación de la Federación de Rusia. M., 2002 ), se introducen constantemente, se formulan los teoremas principales, la mayoría de los cuales no están demostrados. Se consideran los principales problemas y métodos para resolverlos y las tecnologías para aplicar estos métodos a la resolución de problemas prácticos. La presentación va acompañada de comentarios detallados y numerosos ejemplos.
Las instrucciones metodológicas se pueden utilizar para la familiarización inicial con el material que se está estudiando, al tomar notas sobre conferencias, para prepararse para clases prácticas, para consolidar conocimientos, destrezas y habilidades adquiridas. Además, el manual también será útil para los estudiantes de pregrado como herramienta de referencia, permitiéndoles recordar rápidamente lo estudiado previamente.
Al final del trabajo hay ejemplos y tareas que los estudiantes pueden realizar en modo de autocontrol.
Las pautas están destinadas a estudiantes a tiempo parcial y completo.
CONCEPTOS BÁSICOS
La teoría de la probabilidad estudia los patrones objetivos de eventos aleatorios masivos. Es la base teórica de la estadística matemática, que se ocupa del desarrollo de métodos para recopilar, describir y procesar resultados de observación. A través de observaciones (pruebas, experimentos), es decir. experiencia en el sentido amplio de la palabra, se produce el conocimiento de los fenómenos del mundo real.
En nuestras actividades prácticas, a menudo nos encontramos con fenómenos cuyo resultado no se puede predecir y cuyo resultado depende del azar.
Un fenómeno aleatorio se puede caracterizar por la relación entre el número de sus ocurrencias y el número de ensayos en cada uno de los cuales, en las mismas condiciones de todos los ensayos, podría ocurrir o no ocurrir.
La teoría de la probabilidad es una rama de las matemáticas en la que se estudian fenómenos (eventos) aleatorios y se identifican patrones cuando se repiten en masa.
La estadística matemática es una rama de las matemáticas cuya materia es el estudio de los métodos de recopilación, sistematización, procesamiento y utilización de datos estadísticos para obtener conclusiones con base científica y tomar decisiones.
En este caso, se entiende por datos estadísticos un conjunto de números que representan las características cuantitativas de las características de los objetos en estudio que nos interesan. Los datos estadísticos se obtienen como resultado de experimentos y observaciones especialmente diseñados.
Los datos estadísticos dependen esencialmente de muchos factores aleatorios, por lo que la estadística matemática está estrechamente relacionada con la teoría de la probabilidad, que es su base teórica.
I. PROBABILIDAD. TEOREMAS DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES
1.1. Conceptos básicos de combinatoria.
En la rama de las matemáticas, que se denomina combinatoria, se resuelven algunos problemas relacionados con la consideración de conjuntos y la composición de diversas combinaciones de elementos de estos conjuntos. Por ejemplo, si tomamos 10 números diferentes 0, 1, 2, 3,:, 9 y hacemos combinaciones de ellos, obtendremos números diferentes, por ejemplo 143, 431, 5671, 1207, 43, etc.
Vemos que algunas de estas combinaciones difieren solo en el orden de los dígitos (por ejemplo, 143 y 431), otras, en los dígitos incluidos en ellas (por ejemplo, 5671 y 1207), y otras también difieren en el número de dígitos. (por ejemplo, 143 y 43).
Por tanto, las combinaciones resultantes satisfacen varias condiciones.
Dependiendo de las reglas de composición, se pueden distinguir tres tipos de combinaciones: permutaciones, colocaciones, combinaciones.
Primero familiaricémonos con el concepto. factorial.
El producto de todos los números naturales del 1 al n inclusive se llama n-factorial y escribir.
Calcular: a) ; b) ; V).
Solución. A) .
b) Desde 
, entonces podemos sacarlo de paréntesis
Entonces obtenemos
V) 
.
Reordenamientos.
Una combinación de n elementos que difieren entre sí sólo en el orden de los elementos se llama permutación.
Las permutaciones se indican con el símbolo p norte , donde n es el número de elementos incluidos en cada permutación. ( R- primera letra de una palabra francesa permutación- reordenamiento).
El número de permutaciones se puede calcular mediante la fórmula.
o usando factorial:
recordemos eso 0!=1 y 1!=1.
Ejemplo 2. ¿De cuántas maneras se pueden colocar seis libros diferentes en un estante?
Solución. El número requerido de formas es igual al número de permutaciones de 6 elementos, es decir
Colocaciones.
Publicaciones de metro elementos en norte en cada uno, se denominan compuestos que se diferencian entre sí por los elementos mismos (al menos uno) o por el orden de su disposición.
Las ubicaciones se indican con el símbolo, donde metro- el número de todos los elementos disponibles, norte- el número de elementos en cada combinación. ( A- primera letra de una palabra francesa acuerdo, que significa “colocar, poner en orden”).
Al mismo tiempo, se cree que Nuevo Méjico.
El número de ubicaciones se puede calcular mediante la fórmula
,
aquellos. número de todas las ubicaciones posibles de metro elementos por norte es igual al producto norte enteros consecutivos, de los cuales el mayor es metro.
Escribamos esta fórmula en forma factorial:
Ejemplo 3. ¿Cuántas opciones para distribuir tres vales a sanatorios de varios perfiles se pueden compilar para cinco solicitantes?
Solución. El número requerido de opciones es igual al número de ubicaciones de 5 elementos de 3 elementos, es decir
.
Combinaciones.
Las combinaciones son todas las combinaciones posibles de metro elementos por norte, que se diferencian entre sí en al menos un elemento (aquí metro Y norte- números naturales y m).
Número de combinaciones de metro elementos por norte se denotan por ( CON-la primera letra de una palabra francesa combinación- combinación).
En general, el número de metro elementos por norte igual al número de colocaciones de metro elementos por norte, dividido por el número de permutaciones de norte elementos:
Usando fórmulas factoriales para los números de colocaciones y permutaciones, obtenemos:
Ejemplo 4. En un equipo de 25 personas, es necesario asignar cuatro para trabajar en un área determinada. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Solución. Dado que el orden de las cuatro personas elegidas no importa, hay formas de hacerlo.
Encontramos usando la primera fórmula.
.
Además, a la hora de resolver problemas se utilizan las siguientes fórmulas, que expresan las propiedades básicas de las combinaciones:
(por definición asumen y);
.
1.2. Resolver problemas combinatorios
Tarea 1. Hay 16 materias cursadas en la facultad. Necesitas incluir 3 materias en tu agenda para el lunes. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Solución. Hay tantas formas de programar tres elementos de 16 como puede organizar la ubicación de 16 elementos de 3 en 3.
Tarea 2. De 15 objetos, debes seleccionar 10 objetos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?
Tarea 3. En la competición participaron cuatro equipos. ¿Cuántas opciones de distribución de asientos entre ellos son posibles?
.
Problema 4. ¿De cuántas maneras se puede formar una patrulla de tres soldados y un oficial si hay 80 soldados y 3 oficiales?
Solución. Puedes elegir un soldado de patrulla.
maneras, y oficiales en maneras. Dado que cualquier oficial puede ir con cada equipo de soldados, hay muchas maneras.
Tarea 5. Encuentra , si se sabe que .
Desde entonces obtenemos
,
,
Por definición de combinación se deduce que , . Eso. .
1.3. El concepto de evento aleatorio. Tipos de eventos. probabilidad de evento
Cualquier acción, fenómeno, observación con varios resultados diferentes, realizada bajo un conjunto dado de condiciones, se llamará prueba.
El resultado de esta acción u observación se llama evento .
Si un evento bajo determinadas condiciones puede ocurrir o no, entonces se llama aleatorio . Cuando un evento es seguro que sucederá, se llama confiable , y en el caso en que obviamente no pueda suceder, - imposible.
Los eventos se llaman incompatible , si sólo es posible que aparezca uno de ellos cada vez.
Los eventos se llaman articulación , si, en determinadas condiciones, la ocurrencia de uno de estos eventos no excluye la ocurrencia de otro durante la misma prueba.
Los eventos se llaman opuesto , si bajo las condiciones de la prueba, siendo sus únicos resultados, son incompatibles.
Los eventos generalmente se indican con letras mayúsculas del alfabeto latino: A, B, C, D, : .
Un sistema completo de eventos A 1 , A 2 , A 3 , : , An es un conjunto de eventos incompatibles, cuya ocurrencia de al menos uno de los cuales es obligatoria durante una prueba determinada.
Si un sistema completo consta de dos eventos incompatibles, entonces dichos eventos se denominan opuestos y se designan como A y .
Ejemplo. La caja contiene 30 bolas numeradas. Determine cuáles de los siguientes eventos son imposibles, confiables o contrarios:
sacó una bola numerada (A);
tengo una pelota con un número par (EN);
tengo una bola con un número impar (CON);
tengo una pelota sin número (D).
¿Cuáles de ellos forman un grupo completo?
Solución . A- evento confiable; D- evento imposible;
en y CON- eventos opuestos.
El grupo completo de eventos consta de A Y D, V Y CON.
La probabilidad de un evento se considera como una medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento aleatorio.
1.4. Definición clásica de probabilidad
Un número que expresa la medida de la posibilidad objetiva de que ocurra un evento se llama probabilidad este evento y está indicado por el símbolo REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES).
Definición. probabilidad del evento A es la relación entre el número de resultados m que favorecen la ocurrencia de un evento dado A, al número norte todos los resultados (inconsistentes, sólo posibles e igualmente posibles), es decir .
Por lo tanto, para encontrar la probabilidad de un evento, es necesario, después de considerar varios resultados de la prueba, calcular todos los posibles resultados inconsistentes. norte, Elija el número de resultados m que nos interesan y calcule la relación. metro A norte.
De esta definición se derivan las siguientes propiedades:
La probabilidad de cualquier prueba es un número no negativo que no excede uno.
De hecho, el número m de eventos requeridos está dentro de . Dividiendo ambas partes en norte, obtenemos
2. La probabilidad de un evento confiable es igual a uno, porque .
3. La probabilidad de un evento imposible es cero, ya que .
Problema 1. En una lotería de 1000 billetes, hay 200 ganadores. Se saca un boleto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que este boleto sea ganador?
Solución. El número total de resultados diferentes es norte=1000. El número de resultados favorables para ganar es m=200. Según la fórmula, obtenemos
.
Problema 2. En un lote de 18 piezas hay 4 defectuosas. Se seleccionan 5 piezas al azar. Encuentre la probabilidad de que dos de estas 5 piezas estén defectuosas.
Solución. Número de todos los resultados independientes igualmente posibles norte igual al número de combinaciones de 18 por 5, es decir
Contemos el número m que favorece el evento A. Entre 5 piezas tomadas al azar, debe haber 3 buenas y 2 defectuosas. El número de formas de seleccionar dos piezas defectuosas entre 4 defectuosas existentes es igual al número de combinaciones de 4 por 2:
El número de formas de seleccionar tres piezas de calidad entre 14 piezas de calidad disponibles es igual a
.
Cualquier grupo de piezas buenas se puede combinar con cualquier grupo de piezas defectuosas, por lo que el número total de combinaciones metro equivale a
La probabilidad requerida del evento A es igual a la relación entre el número de resultados m favorables a este evento y el número n de todos los resultados independientes igualmente posibles:
.
La suma de un número finito de eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de ellos.
La suma de dos eventos se denota con el símbolo A+B, y la suma norte eventos con el símbolo A 1 +A 2 + : +A n.
Teorema de la suma de probabilidades.
La probabilidad de la suma de dos eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de estos eventos.
Corolario 1. Si el evento A 1, A 2, :,An forman un sistema completo, entonces la suma de las probabilidades de estos eventos es igual a uno.
Corolario 2. La suma de las probabilidades de eventos opuestos y es igual a uno.
.
Problema 1. Hay 100 billetes de lotería. Se sabe que con 5 billetes se ganan 20.000 rublos cada uno, con 10 billetes se ganan 15.000 rublos, con 15 billetes se ganan 10.000 rublos y con 25 billetes se ganan 2.000 rublos. y nada para el resto. Encuentre la probabilidad de que el boleto comprado reciba una ganancia de al menos 10,000 rublos.
Solución. Sean A, B y C eventos que consisten en que el billete comprado recibe una ganancia igual a 20.000, 15.000 y 10.000 rublos, respectivamente. Dado que los eventos A, B y C son incompatibles, entonces
Tarea 2. El departamento por correspondencia de una escuela técnica recibe pruebas de matemáticas de las ciudades A, B Y CON. Probabilidad de recibir un examen de la ciudad. A igual a 0,6, de la ciudad EN- 0,1. Encuentre la probabilidad de que la próxima prueba provenga de la ciudad. CON.
Las matemáticas incluyen una gran variedad de campos, uno de los cuales, junto con el álgebra y la geometría, es la teoría de la probabilidad. Hay términos que son comunes a todas estas áreas, pero, además de ellos, también hay palabras, fórmulas y teoremas específicos que son característicos únicamente de un "nicho" específico.
La frase "teoría de la probabilidad" causa pánico en un estudiante no preparado. De hecho, la imaginación dibuja imágenes donde aparecen fórmulas voluminosas y aterradoras, y la solución a un problema requiere un cuaderno completo. Sin embargo, en la práctica, no todo es tan terrible: basta con comprender una vez el significado de algunos términos y ahondar en la esencia de una lógica un tanto peculiar del razonamiento para dejar de tener miedo a las tareas de una vez por todas. En este sentido, consideraremos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática, un campo de conocimiento joven pero extremadamente interesante.
¿Por qué aprender conceptos?
La función del lenguaje es transmitir información de una persona a otra para que ésta la comprenda, la comprenda y pueda utilizarla. Cada concepto matemático se puede explicar con palabras sencillas, pero en este caso el acto de intercambiar datos llevaría mucho más tiempo. Imagínese que en lugar de la palabra "hipotenusa" siempre tuviera que decir "el lado más largo de un triángulo rectángulo"; esto es extremadamente inconveniente y requiere mucho tiempo.
Por eso a la gente se le ocurren nuevos términos para ciertos fenómenos y procesos. Los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad (evento, probabilidad de evento, etc.) aparecieron de la misma manera. Esto significa que para utilizar fórmulas, resolver problemas y aplicar habilidades en la vida, no sólo es necesario recordar palabras nuevas, sino también comprender lo que significa cada una de ellas. Cuanto más profundamente los comprendas, más profundices en su significado, más amplio será el alcance de tus capacidades y más plenamente percibirás el mundo que te rodea.
¿Cuál es el significado del objeto?
Conozcamos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. La definición clásica de probabilidad es la siguiente: es la relación entre los resultados que convienen al investigador y el número total de posibles. Pongamos un ejemplo sencillo: cuando una persona lanza un dado, este puede caer en cualquiera de los seis lados que miran hacia arriba. Por tanto, el número total de resultados es seis. La probabilidad de que aparezca un lado elegido al azar es 1/6.
La capacidad de predecir la aparición de un resultado particular es extremadamente importante para muchos especialistas. ¿Cuántas piezas defectuosas se esperan en el lote? Esto determina cuánto necesitas producir. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento ayude a superar la enfermedad? Esta información es absolutamente vital. Pero no perdamos el tiempo con ejemplos adicionales y comencemos a estudiar un área nueva para nosotros.
primer conocido
Consideremos los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y su uso. En derecho, ciencias naturales y economía, las fórmulas y términos que se presentan a continuación se utilizan en todas partes, ya que están directamente relacionados con la estadística y los errores de medición. Un estudio más detallado de este tema le revelará nuevas fórmulas que son útiles para cálculos más precisos y complejos, pero comencemos con una simple.
Uno de los conceptos más básicos y básicos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática es el de un evento aleatorio. Expliquemos con palabras claras: de todos los resultados posibles del experimento, solo se observa uno como resultado. Incluso si la probabilidad de que ocurra este evento sea significativamente mayor que la de otro, será aleatorio, ya que teóricamente el resultado podría haber sido diferente.
Si realizamos una serie de experimentos y obtuvimos una cierta cantidad de resultados, entonces la probabilidad de cada uno de ellos se calcula usando la fórmula: P(A) = m/n. Aquí m es cuántas veces en una serie de pruebas observamos la aparición del resultado que nos interesa. A su vez, n es el número total de experimentos realizados. Si lanzamos una moneda 10 veces y obtuvimos cara 5 veces, entonces m=5 y n=10.
tipos de eventos
Sucede que en cada prueba se garantiza que se observará algún resultado; tal evento se considerará confiable. Si nunca sucede, se considerará imposible. Sin embargo, tales eventos no se utilizan en problemas de teoría de la probabilidad. Los conceptos básicos que es mucho más importante conocer son los de eventos conjuntos y no conjuntos.
Sucede que al realizar un experimento ocurren dos eventos simultáneamente. Por ejemplo, lanzamos dos dados; en este caso, el hecho de que uno saque un “seis” no garantiza que el segundo no saque un número diferente. Estos eventos se denominarán conjuntos.
Si lanzamos un dado, nunca podrán aparecer dos números al mismo tiempo. En este caso, los resultados en forma de “uno”, “dos”, etc. eliminados se considerarán eventos incompatibles. Es muy importante distinguir qué resultados tienen lugar en cada caso específico; esto determina qué fórmulas utilizar en el problema de encontrar probabilidades. Continuaremos estudiando los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad unos párrafos más adelante, cuando consideremos las características de la suma y la multiplicación. Después de todo, sin ellos no se puede resolver ningún problema.
Suma y producto
Digamos que tú y un amigo tiran los dados y obtienen un cuatro. Para ganar, es necesario obtener “cinco” o “seis”. En este caso, las probabilidades se sumarán: dado que las posibilidades de obtener ambos números son 1/6, la respuesta será 1/6 + 1/6 = 1/3.
Ahora imagina que tiras los dados dos veces y tu amigo obtiene 11 puntos. Ahora necesitas obtener un "seis" dos veces seguidas. Los eventos son independientes entre sí, por lo que será necesario multiplicar las probabilidades: 1/6 * 1/6 = 1/36.
Entre los conceptos y teoremas básicos de la teoría de la probabilidad, se debe prestar atención a la suma de las probabilidades de eventos conjuntos, es decir, aquellos que pueden ocurrir simultáneamente. La fórmula de suma en este caso se verá así: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).
combinatoria
Muy a menudo necesitamos encontrar todas las combinaciones posibles de algunos parámetros de un objeto o calcular el número de combinaciones (por ejemplo, al seleccionar un cifrado). La combinatoria, que está estrechamente relacionada con la teoría de la probabilidad, nos ayudará en esto. Los conceptos básicos aquí incluyen algunas palabras nuevas y es probable que varias fórmulas de este tema le resulten útiles.
Digamos que tienes tres números: 1, 2, 3. Debes usarlos para escribir todos los números posibles de tres dígitos. ¿Cuántos habrá? Respuesta: n! (El signo de exclamación significa factorial). Las combinaciones de un cierto número de elementos diferentes (números, letras, etc.), que difieren sólo en el orden de su disposición, se denominan permutaciones.
Sin embargo, con mucha más frecuencia nos encontramos con esta situación: hay 10 dígitos (del cero al nueve) a partir de los cuales se crea una contraseña o código. Supongamos que su longitud es de 4 caracteres. ¿Cómo calcular el número total de códigos posibles? Hay una fórmula especial para esto: (n!)/(n - m)!
Considerando la condición del problema propuesta anteriormente, n=10, m=4. Además, sólo se requieren cálculos matemáticos simples. Por cierto, estas combinaciones se llamarán colocación.
Finalmente, está el concepto de combinaciones: son secuencias que se diferencian entre sí en al menos un elemento. Su número se calcula mediante la fórmula: (n!) / (m!(n-m)!).
Expectativa
Un concepto importante que el estudiante encuentra ya en las primeras lecciones de la asignatura es la expectativa matemática. Es la suma de todos los posibles valores resultantes multiplicada por sus probabilidades. Básicamente, es el número promedio que podemos predecir como resultado de la prueba. Por ejemplo, hay tres valores cuyas probabilidades se indican entre paréntesis: 0 (0,2); 1 (0,5); 2 (0,3). Calculemos la expectativa matemática: M(X) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Así, de la expresión propuesta se desprende que este valor es constante y no depende del resultado de la prueba.
Este concepto se utiliza en muchas fórmulas y lo encontrará varias veces en el futuro. No es difícil trabajar con él: la expectativa matemática de la suma es igual a la suma de mat. expectativas - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Lo mismo se aplica al producto: M(XY) = M(X) * M(Y).
Dispersión
Probablemente recuerdes del curso de física de tu escuela que la dispersión es dispersión. ¿Cuál es su lugar entre los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad?
Mire dos ejemplos. En un caso se nos da: 10(0,2); 20 (0,6); 30(0,2). En otro - 0(0,2); 20 (0,6); 40(0,2). La expectativa matemática en ambos casos será la misma, entonces, ¿cómo se pueden comparar estas situaciones? Al fin y al cabo, vemos a simple vista que la dispersión de valores en el segundo caso es mucho mayor.
Por eso se introdujo el concepto de dispersión. Para obtenerlo es necesario calcular la expectativa matemática a partir de la suma de las diferencias de cada variable aleatoria y la expectativa matemática. Tomemos los números del primer ejemplo escrito en el párrafo anterior.
Primero, calculemos la expectativa matemática: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Luego, el valor de la varianza: D(X) = 40.
Otro concepto básico de la estadística y la teoría de la probabilidad es la desviación estándar. Es muy sencillo de calcular: sólo hay que sacar la raíz cuadrada de la varianza.
Aquí también podemos observar un término tan simple como alcance. Este es un valor que representa la diferencia entre los valores máximo y mínimo en la muestra.
Estadística
Algunos conceptos escolares básicos se utilizan con mucha frecuencia en ciencias. Dos de ellos son la media aritmética y la mediana. Seguro que recuerdas cómo encontrar sus significados. Pero por si acaso, te recordamos: la media aritmética es la suma de todos los valores dividida por su número. Si hay 10 valores, los sumamos y dividimos entre 10.
La mediana es el valor central entre todos los valores posibles. Si tenemos un número impar de cantidades, entonces las escribimos en orden ascendente y elegimos la que está en el medio. Si tenemos un número par de valores, tomamos los dos centrales y los dividimos entre dos.
Dos valores más ubicados entre la mediana y los dos valores extremos (máximo y mínimo) del conjunto se denominan cuartiles. Se calculan de la misma manera: si el número de elementos es impar, se toma el número ubicado en el medio de la fila, y si el número de elementos es par, se toma la mitad de la suma de los dos elementos centrales.
También hay un gráfico especial en el que se pueden ver todos los valores de la muestra, su rango, mediana, intervalo intercuartil, así como valores atípicos, valores que no encajan en el error estadístico. La imagen resultante tiene un nombre muy específico (e incluso no matemático): "caja con bigote".
Distribución
La distribución también se relaciona con los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. En definitiva, representa información generalizada sobre todas las variables aleatorias que podemos ver como resultado de una prueba. El parámetro principal aquí será la probabilidad de que ocurra cada valor específico.
Una distribución normal es aquella que tiene un pico central que contiene el valor que ocurre con mayor frecuencia. Los resultados cada vez menos probables divergen de él en arcos. En general, el gráfico desde fuera parece una “diapositiva”. Más adelante aprenderás que este tipo de distribución está estrechamente relacionada con el teorema del límite central, fundamental en la teoría de la probabilidad. Describe patrones importantes para la rama de las matemáticas que estamos considerando, que son muy útiles en diversos cálculos.
Pero volvamos al tema. Hay dos tipos más de distribuciones: asimétrica y multimodal. El primero parece la mitad de un gráfico "normal", es decir, el arco desciende sólo en una dirección desde el valor máximo. Finalmente, una distribución multimodal es aquella en la que hay varios valores "superiores". Por tanto, la gráfica sube o baja. El valor más frecuente en cualquier distribución se llama moda. Este es también uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática.
distribución gaussiana
Una distribución gaussiana o normal es aquella en la que la desviación de las observaciones del promedio obedece a una determinada ley.
En pocas palabras, la distribución principal de valores de muestra tiende exponencialmente hacia la moda, la más frecuente de ellas. Más precisamente, el 99,6% de todos los valores se encuentran dentro de tres desviaciones estándar (¿recuerdas que discutimos este concepto anteriormente?).
La distribución gaussiana es uno de los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. Al usarlo, puede comprender si un elemento, de acuerdo con ciertos parámetros, está incluido en la categoría de "típico": así es como se evalúan la altura y el peso de una persona de acuerdo con la edad, el nivel de desarrollo intelectual, el estado psicológico y mucho más. .
Cómo aplicar
Curiosamente, los datos matemáticos “aburridos” se pueden utilizar a su favor. Por ejemplo, un joven utilizó la teoría de la probabilidad y la estadística para ganar varios millones de dólares en la ruleta. Es cierto que antes tuve que prepararme: durante varios meses tuve que registrar los resultados de los juegos en varios casinos.
Después de realizar el análisis, descubrió que una de las tablas está ligeramente inclinada, lo que significa que algunos valores aparecen estadísticamente significativamente con más frecuencia que otros. Un poco de cálculo y paciencia, y ahora los propietarios del establecimiento se rascan la cabeza, preguntándose cómo una persona puede tener tanta suerte.
Hay una gran cantidad de problemas cotidianos que no se pueden resolver sin recurrir a las estadísticas. Por ejemplo, ¿cómo determinar cuánta ropa debe pedir una tienda en diferentes tallas: S, M, L, XL? Para ello es necesario analizar quién compra con mayor frecuencia ropa en la ciudad, en la región, en las tiendas cercanas. Si no se obtiene dicha información, el propietario corre el riesgo de perder mucho dinero.
Conclusión
Analizamos toda una serie de conceptos básicos de la teoría de la probabilidad: prueba, evento, permutaciones y ubicaciones, valor esperado y dispersión, moda y distribución normal... Además, analizamos una serie de fórmulas que requieren más de un mes de estudio. clases para estudiar en una institución de educación superior.
No lo olvides: las matemáticas son necesarias cuando se estudia economía, ciencias naturales, tecnología de la información e ingeniería. Tampoco aquí se puede ignorar la estadística como uno de sus ámbitos.
Ahora es cuestión de pequeñas cosas: practicar, resolver problemas y ejemplos. Incluso los conceptos y definiciones básicos de la teoría de la probabilidad se olvidarán si no se toma el tiempo para repasarlos. Además, las fórmulas posteriores dependerán en gran medida de las que hemos considerado. Por eso, intenta recordarlos, sobre todo porque no son muchos.
