Εγχειρίδιο θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικών στατιστικών. Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

• Agekyan T.A. Fundamentals of Error Theory for Astronomers and Physicists (2η έκδ.). Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 2,44 M)
• Agekyan T.A. Θεωρία πιθανοτήτων για αστρονόμους και φυσικούς. Μ.: Nauka, 1974 (djvu, 2,59 M)
• Anderson T. Στατιστική ανάλυση χρονοσειρών. Μ.: Μιρ, 1976 (djvu, 14 M)
• Bakelman I.Ya. Werner A.L. Kantor B.E. Εισαγωγή στη διαφορική γεωμετρία «γενικά». Μ.: Nauka, 1973 (djvu, 5,71 M)
• Bernstein S.N. Θεωρία πιθανοτήτων. Μ.-Λ.: Γ.Ι., 1927 (djvu, 4,51 εκατ.)
• Billingsley P. Σύγκλιση μέτρων πιθανότητας. Μ.: Nauka, 1977 (djvu, 3,96 M)
• Πλαίσιο J. Jenkins G. Ανάλυση χρονοσειρών: πρόβλεψη και διαχείριση. Τεύχος 1. Μ.: Mir, 1974 (djvu, 3,38 M)
• Πλαίσιο J. Jenkins G. Ανάλυση χρονοσειρών: πρόβλεψη και διαχείριση. Τεύχος 2. Μ.: Mir, 1974 (djvu, 1,72 M)
• Borel E. Πιθανότητα και αξιοπιστία. Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 1,19 M)
• Van der Waerden B.L. Στατιστικά μαθηματικών. Μ.: IL, 1960 (djvu, 6,90 M)
• Vapnik V.N. Ανάκτηση εξαρτήσεων με βάση εμπειρικά δεδομένα. Μ.: Nauka, 1979 (djvu, 6,18 M)
• Βέντσελ Ε.Σ. Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα. Μ.: Σοβιετικό ραδιόφωνο, 1964 (djvu, 8,43 εκατ.)
• Βέντσελ Ε.Σ. Elements of Game Theory (2η έκδοση). Σειρά: Δημοφιλείς διαλέξεις για τα μαθηματικά. Τεύχος 32. Μ.: Nauka, 1961 (djvu, 648 K)
• Ventstel E.S. Θεωρία πιθανοτήτων (4η έκδ.). Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 8,05 M)
• Ventstel E.S., Ovcharov L.A. Θεωρία πιθανοτήτων. Εργασίες και ασκήσεις. Μ.: Nauka, 1969 (djvu, 7,71 M)
• Vilenkin N.Ya., Potapov V.G. Ένα πρακτικό βιβλίο εργασίας για τη θεωρία πιθανοτήτων με στοιχεία συνδυαστικής και μαθηματικής στατιστικής. Μ.: Εκπαίδευση, 1979 (djvu, 1,12M)
• Gmurman V.E. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική (3η έκδοση). Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1979 (djvu, 4,24 M)
• Gmurman V.E. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικά στατιστικά(4η έκδ.). Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1972 (djvu, 3,75 εκατ.)
• Gnedenko B.V., Kolmogorov A.N. Κατανομές ορίων για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών. M.-L.: GITTL, 1949 (djvu, 6,26 εκατ.)
• Gnedenko B.V., Khinchin A.Ya. An Elementary Introduction to Probability Theory (7η έκδ.). Μ.: Nauka, 1970 (djvu, 2,48 M)
• Oak J.L. Πιθανολογικές διαδικασίες. Μ.: IL, 1956 (djvu, 8,48 εκατ.)
• David G. Ordinal στατιστικά. Μ.: Nauka, 1979 (djvu, 2,87 εκατ.)
• Ibragimov I.A., Linnik Yu.V. Ανεξάρτητες και σταθερές σχετικές ποσότητες. Μ.: Nauka, 1965 (djvu, 6,05 εκατ.)
• Idier V., Dryard D., James F., Rus M., Sadoulet B. Στατιστικές μέθοδοι στην πειραματική φυσική. Μ.: Atomizdat, 1976 (djvu, 5,95 εκατ.)
• Kamalov M.K. Διανομή τετραγωνικές μορφέςσε δείγματα από κανονικό πληθυσμό. Τασκένδη: Ακαδημία Επιστημών της UzSSR, 1958 (djvu, 6,29 εκατ.)
• Kassandra O.N., Lebedev V.V. Επεξεργασία των αποτελεσμάτων παρατήρησης. Μ.: Nauka, 1970 (djvu, 867 K)
• Katz M. Πιθανότητες και συναφή θέματα στη φυσική. Μ.: Μιρ, 1965 (djvu, 3,67 M)
• Katz M. Αρκετά πιθανολογικά προβλήματα της φυσικής και των μαθηματικών. Μ.: Nauka, 1967 (djvu, 1,50 μ.)
• Katz M. Στατιστική ανεξαρτησία στη θεωρία πιθανοτήτων, ανάλυση και θεωρία αριθμών. Μ.: IL, 1963 (djvu, 964 K)
• Kendall M., Moran P. Γεωμετρικές πιθανότητες. Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 1,40 M)
• Kendall M., Stewart A. Τόμος 2. Στατιστικά συμπεράσματα και συνδέσεις. Μ.: Nauka, 1973 (djvu, 10 M)
• Kendall M., Stewart A. Τόμος 3. Πολυμεταβλητή στατιστική ανάλυση και χρονοσειρές. Μ.: Nauka, 1976 (djvu, 7,96 M)
• Kendall M., Stewart A. Vol. 1. Θεωρία κατανομών. Μ.: Nauka, 1965 (djvu, 6,02 M)
• Kolmogorov A.N. Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων (2η έκδ.) Μ.: Nauka, 1974 (djvu, 2,14 εκατ.)
• Kolchin V.F., Sevastyanov B.A., Chistyakov V.P. Τυχαίες τοποθετήσεις. Μ.: Nauka, 1976 (djvu, 2,96 M)
• Kramer G. Μαθηματικές μέθοδοι στατιστικής (2η έκδ.). Μ.: Μιρ, 1976 (djvu, 9,63 M)
• Leman E. Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων. Μ.: Επιστήμη. 1979 (djvu, 5,18 M)
• Linnik Yu.V., Ostrovsky I.V. Αποσυνθέσεις τυχαίων μεταβλητών και διανυσμάτων. Μ.: Nauka, 1972 (djvu, 4,86 ​​M)
• Likholetov I.I., Matskevich I.P. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, τη θεωρία πιθανοτήτων και τη μαθηματική στατιστική (2η έκδοση). Μν.: Vysh. σχολείο, 1969 (djvu, 4,99 M)
• Loev M. Θεωρία Πιθανοτήτων. Μ.: IL, 1962 (djvu, 7,38 M)
• Malakhov A.N. Σωρευτική ανάλυση τυχαίων μη Gaussian διεργασιών και μετασχηματισμών τους. Μ.: Σοβ. ραδιόφωνο, 1978 (djvu, 6,72 M)
• Meshalkin L.D. Συλλογή προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων. Μ.: MSU, 1963 (djvu, 1 004 K)
• Mitropolsky A.K. Θεωρία των στιγμών. Μ.-Λ.: GIKSL, 1933 (djvu, 4,49 M)
• Mitropolsky A.K. Τεχνικές στατιστικών υπολογισμών (2η έκδ.). Μ.: Nauka, 1971 (djvu, 8,35 M)
• Mosteller F., Rurke R., Thomas J. Probability. Μ.: Μιρ, 1969 (djvu, 4,82M)
• Nalimov V.V. Εφαρμογή της μαθηματικής στατιστικής στην ανάλυση της ύλης. Μ.: GIFML, 1960 (djvu, 4,11 εκατ.)
• Neveu J. Μαθηματικά θεμέλια της θεωρίας πιθανοτήτων. Μ.: Μιρ, 1969 (djvu, 3,62M)
• Preston K. Μαθηματικά. Νέο στην ξένη επιστήμη Νο.7. Ο Gibbs δηλώνει σε μετρήσιμα σύνολα. Μ.: Μιρ, 1977 (djvu, 2,15 M)
• Savelyev L.Ya. Στοιχειώδης θεωρία πιθανοτήτων. Μέρος 1. Novosibirsk: NSU, 2005 (

Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

1 Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών και κατανομές πιθανοτήτων

Στη θεωρία πιθανοτήτων έχουμε να αντιμετωπίσουμε ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙσύγκλιση τυχαίων μεταβλητών. Ας εξετάσουμε τους ακόλουθους κύριους τύπους σύγκλισης: κατά πιθανότητα, με πιθανότητα ένα, κατά τάξη p, κατά κατανομή.

Έστω... τυχαίες μεταβλητές που ορίζονται σε κάποιο χώρο πιθανοτήτων (, Ф, P).

Ορισμός 1. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, ... λέγεται ότι συγκλίνει κατά πιθανότητα σε μια τυχαία μεταβλητή (ονομασία:), εάν για οποιαδήποτε > 0

Ορισμός 2. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών, ... λέγεται ότι συγκλίνει με πιθανότητα ένα (σχεδόν σίγουρα, σχεδόν παντού) σε μια τυχαία μεταβλητή αν

εκείνοι. αν το σύνολο των αποτελεσμάτων για τα οποία το () δεν συγκλίνει στο () έχει μηδενική πιθανότητα.

Αυτός ο τύπος σύγκλισης συμβολίζεται ως εξής: , ή, ή.

Ορισμός 3. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ... ονομάζεται μέσος όρος-συγκλίνουσα τάξης p, 0< p < , если

Ορισμός 4. Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών... λέγεται ότι συγκλίνει κατά την κατανομή σε μια τυχαία μεταβλητή (σημείωση:) εάν για οποιαδήποτε περιορισμένη συνεχή συνάρτηση

Η σύγκλιση στην κατανομή των τυχαίων μεταβλητών ορίζεται μόνο ως προς τη σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής τους. Επομένως, είναι λογικό να μιλάμε για αυτόν τον τύπο σύγκλισης ακόμη και όταν τυχαίες μεταβλητές καθορίζονται σε διαφορετικούς χώρους πιθανοτήτων.

Θεώρημα 1.

α) Για (P-a.s.), είναι απαραίτητο και αρκετό για οποιοδήποτε > 0

) Η ακολουθία () είναι θεμελιώδης με πιθανότητα μία εάν και μόνο εάν για οποιαδήποτε > 0.

Απόδειξη.

α) Έστω A = (: |- | ), A = A. Τότε

Επομένως, η δήλωση α) είναι το αποτέλεσμα της ακόλουθης αλυσίδας συνεπειών:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, m 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

n 0, > 0.) Ας συμβολίσουμε = (: ), = . Τότε το (: (()) δεν είναι θεμελιώδες ) = και με τον ίδιο τρόπο όπως στο α) φαίνεται ότι το (: (()) δεν είναι θεμελιώδες ) = 0 P( ) 0, n.

Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο

Θεώρημα 2. (Κριτήριο Cauchy για σχεδόν βέβαιη σύγκλιση)

Προκειμένου μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών () να συγκλίνει με την πιθανότητα ένα (σε κάποια τυχαία μεταβλητή), είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι θεμελιώδης με την πιθανότητα ένα.

Απόδειξη.

Αν, τότε +

από το οποίο προκύπτει η αναγκαιότητα των συνθηκών του θεωρήματος.

Τώρα ας είναι η ακολουθία () θεμελιώδης με πιθανότητα ένα. Ας συμβολίσουμε L = (: (()) όχι θεμελιώδες). Τότε για όλους η ακολουθία αριθμών () είναι θεμελιώδης και, σύμφωνα με το κριτήριο Cauchy για τις ακολουθίες αριθμών, η () υπάρχει. Ας βάλουμε

Αυτή η καθορισμένη συνάρτηση είναι μια τυχαία μεταβλητή και.

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

2 Μέθοδος χαρακτηριστικών συναρτήσεων

Η μέθοδος των χαρακτηριστικών συναρτήσεων είναι ένα από τα κύρια εργαλεία της αναλυτικής συσκευής της θεωρίας πιθανοτήτων. Μαζί με τις τυχαίες μεταβλητές (λαμβάνοντας πραγματικές τιμές), η θεωρία των χαρακτηριστικών συναρτήσεων απαιτεί τη χρήση τυχαίων μεταβλητών μιγαδικής αξίας.

Πολλοί από τους ορισμούς και τις ιδιότητες που σχετίζονται με τυχαίες μεταβλητές μεταφέρονται εύκολα στη σύνθετη περίπτωση. Έτσι, η μαθηματική προσδοκία Μ ?τυχαία μεταβλητή μιγαδικής αξίας ?=?+?? θεωρείται καθορισμένη εάν καθοριστεί μαθηματικές προσδοκίεςΜ ?τους ?. Σε αυτή την περίπτωση, εξ ορισμού υποθέτουμε το Μ ?= Μ ? + ?Μ ?. Από τον ορισμό της ανεξαρτησίας των τυχαίων στοιχείων προκύπτει ότι τα μεγέθη με μιγαδικές τιμές ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν ζεύγη τυχαίων μεταβλητών είναι ανεξάρτητα ( ?1 , ?1) Και ( ?2 , ?2), ή, που είναι το ίδιο πράγμα, ανεξάρτητο ?-άλγεβρα F Δ1, Δ1 και F ?2, ?2.

Μαζί με τον χώρο Λ 2πραγματικές τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένη δεύτερη στιγμή, μπορούμε να εισαγάγουμε τον χώρο Hilbert τυχαίων μεταβλητών μιγαδικής αξίας ?=?+?? με Μ | ?|2?|2= ?2+?2και το βαθμωτό γινόμενο ( ?1 , ?2)= Μ ?1?2¯ , Οπου ?2¯ - σύνθετη συζυγή τυχαία μεταβλητή.

Στις αλγεβρικές πράξεις, τα διανύσματα Rn αντιμετωπίζονται ως αλγεβρικές στήλες,

Ως διανύσματα σειρών, a* - (a1,a2,…,an). Εάν Rn , τότε το κλιμακωτό γινόμενο τους (a,b) θα γίνει κατανοητό ως ποσότητα. Είναι ξεκάθαρο ότι

Αν aRn και R=||rij|| είναι ένας πίνακας τάξης nхn, λοιπόν

Ορισμός 1. Έστω F = F(x1,....,xn) - n-διάστατη συνάρτηση κατανομής στο (, ()). Η χαρακτηριστική του λειτουργία ονομάζεται συνάρτηση

Ορισμός 2 . Αν? = (?1,…,?n) είναι ένα τυχαίο διάνυσμα που ορίζεται σε ένα χώρο πιθανοτήτων με τιμές μέσα, τότε η χαρακτηριστική του συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση

που είναι το F; = F?(х1,….,хn) - συνάρτηση κατανομής διανυσμάτων;=(?1,…, ?n).

Αν η συνάρτηση κατανομής F(x) έχει πυκνότητα f = f(x), τότε

Σε αυτή την περίπτωση, η χαρακτηριστική συνάρτηση δεν είναι τίποτα άλλο από τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης f(x).

Από το (3) προκύπτει ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση ??(t) ενός τυχαίου διανύσματος μπορεί επίσης να οριστεί από την ισότητα

Βασικές ιδιότητες χαρακτηριστικών συναρτήσεων (στην περίπτωση n=1).

Ας είναι? = ?(?) - τυχαία μεταβλητή, F? =F; (x) είναι η συνάρτηση κατανομής της και είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση.

Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν, τότε.

Πράγματι,

όπου εκμεταλλευτήκαμε το γεγονός ότι η μαθηματική προσδοκία του γινομένου ανεξάρτητων (περιορισμένων) τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των μαθηματικών προσδοκιών τους.

Η ιδιότητα (6) είναι βασική όταν αποδεικνύονται οριακά θεωρήματα για αθροίσματα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων. Από αυτή την άποψη, η συνάρτηση διανομής εκφράζεται μέσω των συναρτήσεων διανομής μεμονωμένων όρων με πολύ πιο σύνθετο τρόπο, δηλαδή όπου το σύμβολο * σημαίνει μια συνέλιξη των κατανομών.

Κάθε συνάρτηση διανομής μπορεί να συσχετιστεί με μια τυχαία μεταβλητή που έχει αυτή τη συνάρτηση ως συνάρτηση διανομής. Επομένως, όταν παρουσιάζουμε τις ιδιότητες των χαρακτηριστικών συναρτήσεων, μπορούμε να περιοριστούμε στην εξέταση των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των τυχαίων μεταβλητών.

Θεώρημα 1.Ας είναι? - μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση κατανομής F=F(x) και - τη χαρακτηριστική της συνάρτηση.

Πραγματοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες:

) είναι ομοιόμορφα συνεχής σε?

) είναι συνάρτηση με πραγματική τιμή εάν και μόνο εάν η κατανομή του F είναι συμμετρική

)αν για μερικούς ν; 1, τότε για όλα υπάρχουν παράγωγα και

)Αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε

) Αφήστε για όλα n ; 1 και

τότε για όλα |t|

Το παρακάτω θεώρημα δείχνει ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση καθορίζει μοναδικά τη συνάρτηση κατανομής.

Θεώρημα 2 (μοναδικότητα). Έστω F και G δύο συναρτήσεις κατανομής που έχουν την ίδια χαρακτηριστική συνάρτηση, δηλαδή για όλες

Το θεώρημα λέει ότι η συνάρτηση κατανομής F = F(x) μπορεί να αποκατασταθεί μοναδικά από τη χαρακτηριστική της συνάρτηση. Το παρακάτω θεώρημα δίνει μια ρητή αναπαράσταση της συνάρτησης F ως προς.

Θεώρημα 3 (τύπος γενίκευσης). Έστω F = F(x) η συνάρτηση κατανομής και η χαρακτηριστική της συνάρτηση.

α) Για οποιαδήποτε δύο σημεία α, β (α< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) Αν τότε η συνάρτηση κατανομής F(x) έχει πυκνότητα f(x),

Θεώρημα 4. Για να είναι ανεξάρτητα τα συστατικά ενός τυχαίου διανύσματος, είναι απαραίτητο και αρκετό η χαρακτηριστική του συνάρτηση να είναι το γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των συνιστωσών:

Θεώρημα Bochner-Khinchin . Έστω μια συνεχής συνάρτηση Για να είναι χαρακτηριστική, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη αρνητική οριστική, δηλαδή για κάθε πραγματικό t1, ... , tn και οποιουσδήποτε μιγαδικούς αριθμούς

Θεώρημα 5. Έστω η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής.

α) Αν για κάποιους, τότε η τυχαία μεταβλητή είναι πλέγμα με βήμα, δηλαδή

) Αν για δύο διαφορετικά σημεία, πού είναι ένας άρρητος αριθμός, τότε είναι τυχαία μεταβλητή; είναι εκφυλισμένος:

όπου το α είναι κάποια σταθερά.

γ) Αν, τότε είναι τυχαία μεταβλητή; εκφυλισμένος.

1.3 Κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές

Έστω () μια ακολουθία ανεξάρτητων, πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών. Η προσδοκία M= a, διακύμανση D= , S = , και Ф(х) είναι η συνάρτηση κατανομής του κανονικού νόμου με παραμέτρους (0,1). Ας εισαγάγουμε μια άλλη ακολουθία τυχαίων μεταβλητών

Θεώρημα. Αν 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

Σε αυτή την περίπτωση, η ακολουθία () ονομάζεται ασυμπτωτικά κανονική.

Από το γεγονός ότι M = 1 και από τα θεωρήματα συνέχειας προκύπτει ότι, μαζί με την ασθενή σύγκλιση, FM f() Mf() για κάθε συνεχές όριο f, υπάρχει και η σύγκλιση M f() Mf() για κάθε συνεχές f, τέτοια ώστε |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

Απόδειξη.

Η ομοιόμορφη σύγκλιση εδώ είναι συνέπεια της ασθενούς σύγκλισης και της συνέχειας του Ф(x). Επιπλέον, χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε a = 0, αφού διαφορετικά θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε την ακολουθία (), και η ακολουθία () δεν θα άλλαζε. Επομένως, για να αποδειχθεί η απαιτούμενη σύγκλιση αρκεί να δείξουμε ότι (t) e όταν a = 0. Έχουμε

(t) = , όπου =(t).

Αφού υπάρχει Μ, τότε υπάρχει και ισχύει η αποσύνθεση

Επομένως, για το ν

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

1.4 Οι κύριες εργασίες της μαθηματικής στατιστικής, η σύντομη περιγραφή τους

Η καθιέρωση προτύπων που διέπουν τα μαζικά τυχαία φαινόμενα βασίζεται στη μελέτη στατιστικών δεδομένων - των αποτελεσμάτων των παρατηρήσεων. Το πρώτο καθήκον των μαθηματικών στατιστικών είναι να υποδείξουν τρόπους συλλογής και ομαδοποίησης στατιστικών πληροφοριών. Το δεύτερο καθήκον της μαθηματικής στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων για την ανάλυση στατιστικών δεδομένων, ανάλογα με τους στόχους της μελέτης.

Κατά την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος μαθηματικών στατιστικών, υπάρχουν δύο πηγές πληροφοριών. Το πρώτο και πιο σαφές (ρητό) είναι το αποτέλεσμα παρατηρήσεων (πειράματος) με τη μορφή δείγματος από κάποιο γενικό πληθυσμό μιας βαθμωτής ή διανυσματικής τυχαίας μεταβλητής. Σε αυτήν την περίπτωση, το μέγεθος του δείγματος n μπορεί να καθοριστεί ή μπορεί να αυξηθεί κατά τη διάρκεια του πειράματος (δηλαδή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι λεγόμενες διαδικασίες διαδοχικής στατιστικής ανάλυσης).

Η δεύτερη πηγή είναι όλες a priori πληροφορίες σχετικά με τις ιδιότητες ενδιαφέροντος του υπό μελέτη αντικειμένου, οι οποίες έχουν συσσωρευτεί μέχρι την τρέχουσα στιγμή. Τυπικά, η ποσότητα των a priori πληροφοριών αντικατοπτρίζεται στο αρχικό στατιστικό μοντέλο που επιλέγεται κατά την επίλυση του προβλήματος. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να μιλήσουμε για έναν κατά προσέγγιση προσδιορισμό με τη συνήθη έννοια της πιθανότητας ενός γεγονότος με βάση τα αποτελέσματα των πειραμάτων. Με τον κατά προσέγγιση προσδιορισμό οποιασδήποτε ποσότητας συνήθως εννοείται ότι είναι δυνατό να υποδειχθούν όρια σφάλματος εντός των οποίων δεν θα συμβεί σφάλμα. Η συχνότητα του συμβάντος είναι τυχαία για οποιοδήποτε αριθμό πειραμάτων λόγω της τυχαιότητας των αποτελεσμάτων μεμονωμένων πειραμάτων. Λόγω της τυχαιότητας των αποτελεσμάτων μεμονωμένων πειραμάτων, η συχνότητα μπορεί να αποκλίνει σημαντικά από την πιθανότητα του συμβάντος. Επομένως, ορίζοντας την άγνωστη πιθανότητα ενός συμβάντος ως τη συχνότητα αυτού του συμβάντος σε μεγάλο αριθμό πειραμάτων, δεν μπορούμε να υποδείξουμε τα όρια σφάλματος και να εγγυηθούμε ότι το σφάλμα δεν θα υπερβεί αυτά τα όρια. Επομένως, στις μαθηματικές στατιστικές συνήθως δεν μιλάμε για κατά προσέγγιση τιμές άγνωστων ποσοτήτων, αλλά για τις κατάλληλες τιμές, εκτιμήσεις τους.

Το πρόβλημα της εκτίμησης άγνωστων παραμέτρων προκύπτει σε περιπτώσεις όπου η συνάρτηση κατανομής πληθυσμού είναι γνωστή μέχρι μια παράμετρο. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι απαραίτητο να βρεθεί ένα στατιστικό στοιχείο του οποίου η τιμή δείγματος για την εξεταζόμενη υλοποίηση xn ενός τυχαίου δείγματος θα μπορούσε να θεωρηθεί ως κατά προσέγγιση τιμή της παραμέτρου. Μια στατιστική της οποίας η τιμή δείγματος για οποιαδήποτε πραγματοποίηση xn λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή μιας άγνωστης παραμέτρου ονομάζεται σημειακή εκτίμηση ή απλώς εκτίμηση και είναι η τιμή μιας σημειακής εκτίμησης. Μια σημειακή εκτίμηση πρέπει να ικανοποιεί πολύ συγκεκριμένες απαιτήσεις προκειμένου η τιμή δείγματός της να αντιστοιχεί στην πραγματική τιμή της παραμέτρου.

Μια άλλη προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος που εξετάζεται είναι επίσης δυνατή: βρείτε τέτοια στατιστικά στοιχεία και, με πιθανότητα; ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:

Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για εκτίμηση διαστήματος για. Διάστημα

ονομάζεται διάστημα εμπιστοσύνης για με τον συντελεστή εμπιστοσύνης;.

Έχοντας αξιολογήσει ένα ή άλλο στατιστικό χαρακτηριστικό με βάση τα αποτελέσματα των πειραμάτων, τίθεται το ερώτημα: πόσο συνεπής είναι η υπόθεση (υπόθεση) ότι το άγνωστο χαρακτηριστικό έχει ακριβώς την τιμή που λήφθηκε ως αποτέλεσμα της αξιολόγησής του με τα πειραματικά δεδομένα; Έτσι προκύπτει η δεύτερη σημαντική κατηγορία προβλημάτων στη μαθηματική στατιστική - προβλήματα ελέγχου υποθέσεων.

Κατά μία έννοια, το πρόβλημα του ελέγχου μιας στατιστικής υπόθεσης είναι το αντίστροφο του προβλήματος της εκτίμησης παραμέτρων. Κατά την εκτίμηση μιας παραμέτρου, δεν γνωρίζουμε τίποτα για την πραγματική της τιμή. Κατά τον έλεγχο μιας στατιστικής υπόθεσης, για κάποιο λόγο η αξία της θεωρείται ότι είναι γνωστή και είναι απαραίτητο να επαληθευτεί αυτή η υπόθεση με βάση τα αποτελέσματα του πειράματος.

Σε πολλά προβλήματα της μαθηματικής στατιστικής, εξετάζονται ακολουθίες τυχαίων μεταβλητών, που συγκλίνουν με τη μια ή την άλλη έννοια σε κάποιο όριο (τυχαία μεταβλητή ή σταθερά), όταν.

Έτσι, τα κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων για την εύρεση εκτιμήσεων και τη μελέτη της ακρίβειας της προσέγγισής τους στα χαρακτηριστικά που αξιολογούνται και η ανάπτυξη μεθόδων για τον έλεγχο υποθέσεων.

5 Έλεγχος στατιστικών υποθέσεων: βασικές έννοιες

Το καθήκον της ανάπτυξης ορθολογικών μεθόδων για τον έλεγχο στατιστικών υποθέσεων είναι ένα από τα κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής. Μια στατιστική υπόθεση (ή απλά μια υπόθεση) είναι οποιαδήποτε δήλωση σχετικά με τον τύπο ή τις ιδιότητες της κατανομής των τυχαίων μεταβλητών που παρατηρούνται σε ένα πείραμα.

Έστω ένα δείγμα που είναι υλοποίηση ενός τυχαίου δείγματος από έναν γενικό πληθυσμό, του οποίου η πυκνότητα κατανομής εξαρτάται από μια άγνωστη παράμετρο.

Οι στατιστικές υποθέσεις σχετικά με την άγνωστη πραγματική τιμή μιας παραμέτρου ονομάζονται παραμετρικές υποθέσεις. Επιπλέον, αν είναι βαθμωτός, τότε μιλάμε για υποθέσεις μιας παραμέτρου, και αν είναι διάνυσμα, τότε μιλάμε για υποθέσεις πολλαπλών παραμέτρων.

Μια στατιστική υπόθεση ονομάζεται απλή αν έχει τη μορφή

όπου είναι κάποια καθορισμένη τιμή παραμέτρου.

Μια στατιστική υπόθεση ονομάζεται σύνθετη αν έχει τη μορφή

όπου είναι ένα σύνολο τιμών παραμέτρων που αποτελείται από περισσότερα από ένα στοιχεία.

Στην περίπτωση ελέγχου δύο απλών στατιστικών υποθέσεων του εντύπου

όπου υπάρχουν δύο δεδομένες (διαφορετικές) τιμές της παραμέτρου, η πρώτη υπόθεση συνήθως ονομάζεται κύρια και η δεύτερη ονομάζεται εναλλακτική ή ανταγωνιστική υπόθεση.

Το κριτήριο, ή το στατιστικό κριτήριο, για τον έλεγχο των υποθέσεων είναι ο κανόνας με τον οποίο, βάσει δειγματοληπτικών δεδομένων, λαμβάνεται μια απόφαση σχετικά με την εγκυρότητα είτε της πρώτης είτε της δεύτερης υπόθεσης.

Το κριτήριο καθορίζεται χρησιμοποιώντας ένα κρίσιμο σύνολο, το οποίο είναι ένα υποσύνολο του δειγματοληπτικού χώρου ενός τυχαίου δείγματος. Η απόφαση λαμβάνεται ως εξής:

) εάν το δείγμα ανήκει στο κρίσιμο σύνολο, τότε απορρίψτε την κύρια υπόθεση και αποδεχτείτε την εναλλακτική υπόθεση.

) εάν το δείγμα δεν ανήκει στο κρίσιμο σύνολο (δηλαδή ανήκει στο συμπλήρωμα του συνόλου στο χώρο του δείγματος), τότε η εναλλακτική υπόθεση απορρίπτεται και η κύρια υπόθεση γίνεται αποδεκτή.

Όταν χρησιμοποιείτε οποιοδήποτε κριτήριο, είναι δυνατοί οι ακόλουθοι τύποι σφαλμάτων:

1) αποδεχτείτε μια υπόθεση όταν είναι αληθινή - ένα λάθος πρώτου είδους.

) η αποδοχή μιας υπόθεσης όταν είναι αληθής είναι σφάλμα τύπου II.

Οι πιθανότητες διάπραξης σφαλμάτων του πρώτου και του δεύτερου τύπου υποδηλώνονται με:

όπου είναι η πιθανότητα ενός γεγονότος με την προϋπόθεση ότι η υπόθεση είναι αληθής Οι υποδεικνυόμενες πιθανότητες υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής ενός τυχαίου δείγματος:

Η πιθανότητα διάπραξης σφάλματος τύπου Ι ονομάζεται επίσης επίπεδο σημαντικότητας κριτηρίου.

Η τιμή ίση με την πιθανότητα απόρριψης της κύριας υπόθεσης όταν αυτή είναι αληθής ονομάζεται δύναμη του τεστ.

1.6 Κριτήριο ανεξαρτησίας

Υπάρχει ένα δείγμα ((XY), ..., (XY)) από μια δισδιάστατη κατανομή

L με άγνωστη συνάρτηση κατανομής για την οποία είναι απαραίτητο να ελεγχθεί η υπόθεση H: , όπου υπάρχουν μερικές μονοδιάστατες συναρτήσεις κατανομής.

Ένα απλό τεστ καλής προσαρμογής για την υπόθεση Η μπορεί να κατασκευαστεί με βάση τη μεθοδολογία. Αυτή η τεχνική χρησιμοποιείται για διακριτά μοντέλα με πεπερασμένο αριθμό αποτελεσμάτων, οπότε συμφωνούμε ότι η τυχαία μεταβλητή παίρνει έναν πεπερασμένο αριθμό s ορισμένων τιμών, τις οποίες θα συμβολίσουμε με γράμματα, και το δεύτερο συστατικό - τιμές k. Εάν το αρχικό μοντέλο έχει διαφορετική δομή, τότε οι πιθανές τιμές των τυχαίων μεταβλητών ομαδοποιούνται προκαταρκτικά χωριστά στην πρώτη και τη δεύτερη συνιστώσα. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύνολο διαιρείται σε διαστήματα s, η τιμή ορίζεται σε k διαστήματα και η τιμή ορίζεται σε N=sk ορθογώνια.

Ας υποδηλώσουμε με τον αριθμό των παρατηρήσεων του ζεύγους (τον αριθμό των δειγματοληπτικών στοιχείων που ανήκουν στο ορθογώνιο, εάν τα δεδομένα είναι ομαδοποιημένα), έτσι ώστε. Είναι βολικό να τακτοποιήσετε τα αποτελέσματα της παρατήρησης με τη μορφή ενός πίνακα έκτακτης ανάγκης δύο πινακίδων (Πίνακας 1.1). Σε εφαρμογές και συνήθως σημαίνει δύο κριτήρια με τα οποία ταξινομούνται τα αποτελέσματα της παρατήρησης.

Έστω P, i=1,…,s, j=1,…,k. Τότε η υπόθεση της ανεξαρτησίας σημαίνει ότι υπάρχουν s+k σταθερές τέτοιες που και, δηλ.

Πίνακας 1.1

Αθροισμα . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .Αθροισμα . . .n

Έτσι, η υπόθεση H καταλήγει στη δήλωση ότι οι συχνότητες (ο αριθμός τους είναι N = sk) κατανέμονται σύμφωνα με έναν πολυωνυμικό νόμο με τις πιθανότητες των αποτελεσμάτων να έχουν την καθορισμένη συγκεκριμένη δομή (το διάνυσμα των πιθανοτήτων των αποτελεσμάτων p καθορίζεται από τις τιμές r = s + k-2 άγνωστων παραμέτρων.

Για να ελέγξουμε αυτήν την υπόθεση, θα βρούμε εκτιμήσεις μέγιστης πιθανότητας για τις άγνωστες παραμέτρους που καθορίζουν το υπό εξέταση σχήμα. Εάν η μηδενική υπόθεση είναι αληθής, τότε η συνάρτηση πιθανότητας έχει τη μορφή L(p)= όπου ο πολλαπλασιαστής c δεν εξαρτάται από τις άγνωστες παραμέτρους. Από εδώ, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Lagrange των αόριστων πολλαπλασιαστών, προκύπτει ότι οι απαιτούμενες εκτιμήσεις έχουν τη μορφή

Επομένως, στατιστικά

L() στο, αφού ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας στην οριακή κατανομή είναι ίσος με N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

Έτσι, για αρκετά μεγάλο n, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος κανόνας ελέγχου υποθέσεων: η υπόθεση H απορρίπτεται εάν και μόνο εάν η στατιστική τιμή t που υπολογίζεται από τα πραγματικά δεδομένα ικανοποιεί την ανισότητα

Αυτό το κριτήριο έχει ένα ασυμπτωτικά (σε) δεδομένο επίπεδο σημασίας και ονομάζεται κριτήριο ανεξαρτησίας.

2. ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

1 Λύσεις σε προβλήματα σχετικά με τους τύπους σύγκλισης

1. Αποδείξτε ότι η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα συνεπάγεται σύγκλιση στις πιθανότητες. Δώστε ένα παράδειγμα δοκιμής για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Αφήστε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών να συγκλίνει σε μια τυχαία μεταβλητή x σχεδόν σίγουρα. Λοιπόν, για κανέναν; > 0

Από τότε

και από τη σύγκλιση του xn στο x προκύπτει σχεδόν σίγουρα ότι το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, αφού σε αυτή την περίπτωση

Αλλά η αντίθετη δήλωση δεν είναι αλήθεια. Έστω μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής F(x), ίση με μηδέν στο x; 0 και ίσο για x > 0. Θεωρήστε την ακολουθία

Αυτή η ακολουθία συγκλίνει στο μηδέν κατά πιθανότητα, αφού

τείνει στο μηδέν για οποιοδήποτε σταθερό; Και. Ωστόσο, η σύγκλιση στο μηδέν είναι σχεδόν βέβαιο ότι δεν θα πραγματοποιηθεί. Πραγματικά

τείνει στην ενότητα, δηλαδή με πιθανότητα 1 για οποιαδήποτε και n θα υπάρξουν πραγματοποιήσεις στην ακολουθία που υπερβαίνουν το ?.

Σημειώστε ότι με την παρουσία ορισμένων πρόσθετων συνθηκών που επιβάλλονται στα μεγέθη xn, η σύγκλιση στην πιθανότητα συνεπάγεται σύγκλιση σχεδόν σίγουρα.

Έστω xn μια μονότονη ακολουθία. Να αποδείξετε ότι σε αυτή την περίπτωση η σύγκλιση του xn στο x στην πιθανότητα συνεπάγεται τη σύγκλιση του xn στο x με την πιθανότητα 1.

Λύση. Έστω xn μια μονοτονικά φθίνουσα ακολουθία, δηλαδή. Για να απλοποιήσουμε τη συλλογιστική μας, θα υποθέσουμε ότι x º 0, xn ³ 0 για όλα τα n. Έστω ότι το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, αλλά η σύγκλιση σχεδόν σίγουρα δεν λαμβάνει χώρα. Υπάρχει τότε; > 0, έτσι ώστε για όλα τα n

Αλλά αυτό που ειπώθηκε σημαίνει επίσης ότι για όλα τα ν

που έρχεται σε αντίθεση με τη σύγκλιση του xn στο x κατά πιθανότητα. Έτσι, για μια μονοτονική ακολουθία xn, η οποία συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, συγκλίνει επίσης με την πιθανότητα 1 (σχεδόν σίγουρα).

Αφήστε την ακολουθία xn να συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα. Να αποδείξετε ότι από αυτήν την ακολουθία είναι δυνατό να απομονωθεί μια ακολουθία που συγκλίνει στο x με πιθανότητα 1 στο.

Λύση. Έστω κάποια ακολουθία θετικών αριθμών και έστω και θετικοί αριθμοί έτσι ώστε η σειρά. Ας κατασκευάσουμε μια ακολουθία δεικτών n1

Μετά η σειρά

Αφού η σειρά συγκλίνει, τότε για κανένα; > 0 το υπόλοιπο της σειράς τείνει στο μηδέν. Στη συνέχεια όμως τείνει στο μηδέν και

Αποδείξτε ότι η σύγκλιση κατά μέσο όρο οποιασδήποτε θετικής τάξης συνεπάγεται σύγκλιση στην πιθανότητα. Δώστε ένα παράδειγμα για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Αφήστε την ακολουθία xn να συγκλίνει σε μια τιμή x κατά μέσο όρο τάξης p > 0, δηλαδή

Ας χρησιμοποιήσουμε τη γενικευμένη ανισότητα Chebyshev: για αυθαίρετο; > 0 και p > 0

Κατευθύνοντας και λαμβάνοντας υπόψη αυτό, το καταφέρνουμε

δηλαδή το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα.

Ωστόσο, η σύγκλιση στην πιθανότητα δεν συνεπάγεται σύγκλιση κατά μέσο όρο της τάξης p > 0. Αυτό φαίνεται στο ακόλουθο παράδειγμα. Θεωρήστε τον χώρο πιθανότητας áW, F, Rñ, όπου F = B είναι η άλγεβρα Borel, R είναι το μέτρο Lebesgue.

Ας ορίσουμε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ως εξής:

Η ακολουθία xn συγκλίνει στο 0 κατά πιθανότητα, αφού

αλλά για οποιοδήποτε p > 0

δηλαδή δεν θα συγκλίνει κατά μέσο όρο.

Ας, τι για όλους ν . Να αποδείξετε ότι σε αυτή την περίπτωση το xn συγκλίνει στο x στο μέσο τετράγωνο.

Λύση. Σημειώστε ότι... Ας πάρουμε μια εκτίμηση για. Ας εξετάσουμε μια τυχαία μεταβλητή. Ας είναι? - ένας αυθαίρετος θετικός αριθμός. Στη συνέχεια στις και στις.

Αν, τότε και. Ως εκ τούτου, . Και επειδή? αυθαίρετα μικρό και, στη συνέχεια, στο, δηλαδή, στο μέσο τετράγωνο.

Να αποδείξετε ότι αν το xn συγκλίνει στο x κατά πιθανότητα, τότε εμφανίζεται ασθενής σύγκλιση. Δώστε ένα παράδειγμα δοκιμής για να δείξετε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει.

Λύση. Ας αποδείξουμε ότι αν, τότε σε κάθε σημείο x, που είναι σημείο συνέχειας (αυτή είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για ασθενή σύγκλιση), είναι η συνάρτηση κατανομής της τιμής xn, και - η τιμή του x.

Έστω x σημείο συνέχειας της συνάρτησης F. Αν, τότε τουλάχιστον μία από τις ανισώσεις ή είναι αληθής. Επειτα

Ομοίως, για τουλάχιστον μία από τις ανισότητες ή και

Αν, τότε για όσο μικρό επιθυμείτε; > 0 υπάρχει N έτσι ώστε για όλα τα n > N

Από την άλλη, αν το x είναι σημείο συνέχειας, είναι δυνατόν να βρεθεί κάτι τέτοιο; > 0, το οποίο για αυθαίρετα μικρό

Λοιπόν, για όσο μικρό θέλετε; και υπάρχει N τέτοιο ώστε για n >N

ή, τι είναι το ίδιο,

Αυτό σημαίνει ότι η σύγκλιση και λαμβάνει χώρα σε όλα τα σημεία της συνέχειας. Κατά συνέπεια, η ασθενής σύγκλιση προκύπτει από τη σύγκλιση στις πιθανότητες.

Η αντίστροφη δήλωση, σε γενικές γραμμές, δεν ισχύει. Για να το επαληθεύσουμε αυτό, ας πάρουμε μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών που δεν είναι ίσες με σταθερές με πιθανότητα 1 και έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής F(x). Υποθέτουμε ότι για όλα τα n οι ποσότητες και είναι ανεξάρτητες. Προφανώς, εμφανίζεται ασθενής σύγκλιση, αφού όλα τα μέλη της ακολουθίας έχουν την ίδια συνάρτηση κατανομής. Σκεφτείτε:

|Από την ανεξαρτησία και την πανομοιότυπη κατανομή των αξιών προκύπτει ότι

Ας επιλέξουμε μεταξύ όλων των συναρτήσεων κατανομής μη εκφυλισμένων τυχαίων μεταβλητών όπως η F(x) που θα είναι μη μηδενική για όλες τις αρκετά μικρές ?. Τότε δεν τείνει στο μηδέν με απεριόριστη αύξηση του n και η σύγκλιση στην πιθανότητα δεν θα πραγματοποιηθεί.

7. Έστω ασθενής σύγκλιση, όπου με πιθανότητα 1 υπάρχει σταθερά. Αποδείξτε ότι σε αυτή την περίπτωση θα συγκλίνει στο κατά πιθανότητα.

Λύση. Έστω η πιθανότητα 1 ίση με a. Τότε η ασθενής σύγκλιση σημαίνει σύγκλιση για οποιονδήποτε. Από τότε κατά και σε. Δηλαδή στο και στο. Αυτό προκύπτει για κανέναν; > 0 πιθανότητα

τείνουν στο μηδέν στο. Αυτό σημαίνει ότι

τείνει στο μηδέν στο, δηλαδή συγκλίνει στο στην πιθανότητα.

2.2 Επίλυση προβλημάτων στο κέντρο κεντρικής θέρμανσης

Η τιμή της συνάρτησης γάμμα Г(x) στο x= υπολογίζεται με τη μέθοδο Monte Carlo. Ας βρούμε τον ελάχιστο αριθμό δοκιμών που απαιτούνται ώστε με πιθανότητα 0,95 να μπορούμε να αναμένουμε ότι το σχετικό σφάλμα υπολογισμών θα είναι μικρότερο από ένα τοις εκατό.

Μέχρι μια ακρίβεια έχουμε

Είναι γνωστό ότι

Έχοντας κάνει μια αλλαγή στο (1), φτάνουμε στο ολοκλήρωμα σε ένα πεπερασμένο διάστημα:

Μαζί μας λοιπόν

Όπως φαίνεται, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή όπου και κατανέμεται ομοιόμορφα επάνω. Αφήστε να γίνουν στατιστικές δοκιμές. Τότε το στατιστικό ανάλογο είναι η ποσότητα

όπου, είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με ομοιόμορφη κατανομή. Εν

Από το CLT προκύπτει ότι είναι ασυμπτωτικά φυσιολογικό με τις παραμέτρους.

Αυτό σημαίνει ότι ο ελάχιστος αριθμός δοκιμών που εξασφαλίζουν κατά πάσα πιθανότητα το σχετικό σφάλμα του υπολογισμού δεν είναι μεγαλύτερος από ίσος.

Θεωρούμε μια ακολουθία 2000 ανεξάρτητων πανομοιότυπα κατανεμημένων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματική προσδοκία 4 και διακύμανση 1,8. Ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των μεγεθών είναι μια τυχαία μεταβλητή. Προσδιορίστε την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή στο διάστημα (3,94; 4,12).

Έστω …,… μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που έχουν την ίδια κατανομή με M=a=4 και D==1,8. Τότε το CLT εφαρμόζεται στην ακολουθία (). Τυχαία τιμή

Πιθανότητα ότι θα πάρει μια τιμή στο διάστημα ():

Για n=2000, 3,94 και 4,12 παίρνουμε

3 Έλεγχος υποθέσεων χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ανεξαρτησίας

Ως αποτέλεσμα της μελέτης, διαπιστώθηκε ότι 782 πατέρες με ανοιχτόχρωμα μάτια έχουν επίσης γιους με ανοιχτόχρωμα μάτια και 89 πατέρες με ανοιχτόχρωμα μάτια έχουν γιους με σκούρα μάτια. 50 πατέρες με σκούρα μάτια έχουν επίσης γιους με σκούρα μάτια και 79 πατέρες με σκούρα μάτια έχουν γιους με ανοιχτόχρωμα μάτια. Υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των πατέρων και του χρώματος των ματιών των γιων τους; Πάρτε το επίπεδο εμπιστοσύνης στο 0,99.

Πίνακας 2.1

Παιδιά ΠατέρεςSumLight-eyedDark-eyedLight-eyed78279861Σκούρα μάτια8950139Sum8711291000

Η: Δεν υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των παιδιών και των πατέρων.

Η: Υπάρχει σχέση μεταξύ του χρώματος των ματιών των παιδιών και των πατέρων.

s=k=2 =90,6052 με 1 βαθμό ελευθερίας

Οι υπολογισμοί έγιναν στο Mathematica 6.

Εφόσον > , τότε η υπόθεση Η, σχετικά με την απουσία σχέσης μεταξύ του χρώματος των ματιών των πατέρων και των παιδιών, σε επίπεδο σημασίας, θα πρέπει να απορριφθεί και η εναλλακτική υπόθεση Η να γίνει δεκτή.

Αναφέρεται ότι η επίδραση του φαρμάκου εξαρτάται από τη μέθοδο εφαρμογής. Ελέγξτε αυτήν τη δήλωση χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον πίνακα. 2.2 Πάρτε το επίπεδο εμπιστοσύνης στο 0,95.

Πίνακας 2.2

Αποτέλεσμα Μέθοδος εφαρμογής ABC Unfavorable 111716 Favorable 202319

Λύση.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα έκτακτης ανάγκης δύο χαρακτηριστικών.

Πίνακας 2.3

Αποτέλεσμα Μέθοδος εφαρμογής Ποσό ABC Μη ευνοϊκό 11171644 Ευνοϊκό 20231962 Ποσό 314035106

Η: η επίδραση των φαρμάκων δεν εξαρτάται από τον τρόπο χορήγησης

Η: η επίδραση των φαρμάκων εξαρτάται από τη μέθοδο εφαρμογής

Τα στατιστικά στοιχεία υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο

s=2, k=3, =0,734626 με 2 βαθμούς ελευθερίας.

Υπολογισμοί που έγιναν στο Mathematica 6

Από τους πίνακες κατανομής διαπιστώνουμε ότι.

Επειδή η< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

συμπέρασμα

Η παρούσα εργασία παρουσιάζει θεωρητικούς υπολογισμούς από την ενότητα «Κριτήριο Ανεξαρτησίας», καθώς και «Οριατικά Θεωρήματα Θεωρίας Πιθανοτήτων», το μάθημα «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική». Κατά τη διάρκεια της εργασίας, το κριτήριο της ανεξαρτησίας δοκιμάστηκε στην πράξη. Επίσης, για δεδομένες ακολουθίες ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, ελέγχθηκε η εκπλήρωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Αυτή η εργασία βοήθησε να βελτιώσω τις γνώσεις μου για αυτά τα τμήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, να εργαστώ με λογοτεχνικές πηγές και να κατακτήσω σταθερά την τεχνική του ελέγχου του κριτηρίου της ανεξαρτησίας.

θεώρημα πιθανολογικής στατιστικής υπόθεσης

Λίστα συνδέσμων

1. Συλλογή προβλημάτων από τη θεωρία πιθανοτήτων με λύσεις. Uch. επίδομα / Εκδ. V.V. Semenets. - Kharkov: KhTURE, 2000. - 320 p.

Gikhman I.I., Skorokhod A.V., Yadrenko M.I. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. - K.: Vishcha school, 1979. - 408 p.

Ivchenko G.I., Medvedev Yu.I., Μαθηματική στατιστική: Εγχειρίδιο. επίδομα για τα κολέγια. - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 1984. - 248 σ., .

Μαθηματική στατιστική: Σχολικό βιβλίο. για πανεπιστήμια / V.B. Goryainov, I.V. Pavlov, G.M. Tsvetkova και άλλοι. Εκδ. V.S. Zarubina, A.P. Krischenko. - Μ.: Εκδοτικός οίκος MSTU im. Ν.Ε. Bauman, 2001. - 424 σελ.

Φροντιστήριο

Χρειάζεστε βοήθεια για τη μελέτη ενός θέματος;

Οι ειδικοί μας θα συμβουλεύσουν ή θα παρέχουν υπηρεσίες διδασκαλίας σε θέματα που σας ενδιαφέρουν.
Υποβάλετε την αίτησή σαςυποδεικνύοντας το θέμα αυτή τη στιγμή για να ενημερωθείτε σχετικά με τη δυνατότητα λήψης μιας διαβούλευσης.

Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές

Βασικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής Βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων Αντικείμενο μελέτης της θεωρίας πιθανοτήτων είναι τα ποσοτικά σχήματα ομοιογενών τυχαίων φαινομένων μαζικής φύσης. Ορισμός 1. Ένα γεγονός είναι κάθε πιθανό γεγονός για το οποίο μπορεί να ειπωθεί ότι θα συμβεί ή δεν θα συμβεί υπό δεδομένες συνθήκες. Παράδειγμα. Οι έτοιμες αμπούλες που βγαίνουν από τη γραμμή συναρμολόγησης μπορεί να είναι είτε τυπικές είτε μη τυποποιημένες. Ένα (οποιοδήποτε) αποτέλεσμα από αυτά τα δύο πιθανά ονομάζεται γεγονός. Υπάρχουν τρία είδη γεγονότων: αξιόπιστα, ακατόρθωτα και τυχαία. Ορισμός 2. Αξιόπιστο είναι ένα γεγονός που, εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις, δεν μπορεί να μην συμβεί, δηλ. σίγουρα θα γίνει. Παράδειγμα. Εάν η λάρνακα περιέχει μόνο λευκές μπάλες, τότε μια μπάλα που λαμβάνεται τυχαία από τη λάρνακα θα είναι πάντα λευκή. Υπό αυτές τις συνθήκες, το γεγονός της εμφάνισης μιας λευκής μπάλας θα είναι ένα αξιόπιστο γεγονός. Ορισμός 3. Αδύνατον είναι ένα γεγονός που, εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις, δεν μπορεί να συμβεί. Παράδειγμα. Δεν μπορείτε να αφαιρέσετε μια λευκή μπάλα από μια λάρνακα που περιέχει μόνο μαύρες μπάλες. Υπό αυτές τις συνθήκες, η εμφάνιση μιας λευκής μπάλας θα είναι ένα αδύνατο γεγονός. Ορισμός 4. Τυχαίο είναι ένα γεγονός που, υπό τις ίδιες συνθήκες, μπορεί να συμβεί, αλλά μπορεί να μην συμβεί. Παράδειγμα. Ένα κέρμα που πετάχτηκε μπορεί να πέσει έτσι ώστε είτε ένα οικόσημο είτε ένας αριθμός να εμφανιστεί στην επάνω πλευρά του. Εδώ, η εμφάνιση της μιας ή της άλλης όψης του νομίσματος στην κορυφή είναι ένα τυχαίο γεγονός. Ορισμός 5. Μια δοκιμή είναι ένα σύνολο συνθηκών ή ενεργειών που μπορούν να επαναληφθούν άπειρες φορές. Παράδειγμα. Το να πετάξεις ένα κέρμα είναι μια δοκιμή και το πιθανό αποτέλεσμα, δηλ. η εμφάνιση είτε ενός οικόσημου είτε ενός αριθμού στην επάνω όψη του νομίσματος είναι γεγονός. Ορισμός 6. Εάν τα γεγονότα A i είναι τέτοια ώστε κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής μπορεί να συμβεί μόνο ένα από αυτά και κανένα άλλο που δεν περιλαμβάνεται στο σύνολο, τότε αυτά τα γεγονότα ονομάζονται τα μόνα δυνατά. Παράδειγμα. Η λάρνακα περιέχει άσπρες και μαύρες μπάλες και όχι άλλες. Μία μπάλα που λαμβάνεται τυχαία μπορεί να αποδειχθεί άσπρη ή μαύρη. Αυτά τα γεγονότα είναι τα μόνα πιθανά, γιατί η εμφάνιση μπάλας διαφορετικού χρώματος κατά τη διάρκεια αυτής της δοκιμής αποκλείεται. Ορισμός 7. Δύο γεγονότα Α και Β ονομάζονται ασύμβατα εάν δεν μπορούν να συμβούν μαζί κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής. Παράδειγμα. Το εθνόσημο και ο αριθμός είναι τα μόνα πιθανά και ασύμβατα γεγονότα κατά τη διάρκεια μιας μόνο ρίψης ενός νομίσματος. Ορισμός 8. Δύο συμβάντα Α και Β ονομάζονται κοινά (συμβατά) για μια δεδομένη δοκιμή εάν η εμφάνιση ενός από αυτά δεν αποκλείει την πιθανότητα εμφάνισης άλλου γεγονότος κατά την ίδια δοκιμή. Παράδειγμα. Είναι δυνατό ένα κεφάλι και ένας αριθμός να εμφανίζονται μαζί σε μια ρίψη δύο νομισμάτων. Ορισμός 9. Τα γεγονότα A i ονομάζονται εξίσου πιθανά σε ένα δεδομένο τεστ εάν, λόγω συμμετρίας, υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένα από αυτά τα γεγονότα δεν είναι πιο δυνατό από τα άλλα. Παράδειγμα. Η εμφάνιση οποιουδήποτε προσώπου κατά τη διάρκεια μιας ρίψης μιας μήτρας είναι ένα εξίσου πιθανό γεγονός (με την προϋπόθεση ότι η μήτρα είναι κατασκευασμένη από ομοιογενές υλικό και έχει σχήμα κανονικού εξαγώνου). Ορισμός 10. Τα γεγονότα ονομάζονται ευνοϊκά (ευνοϊκά) για ένα συγκεκριμένο γεγονός εάν η εμφάνιση ενός από αυτά τα γεγονότα συνεπάγεται την εμφάνιση αυτού του γεγονότος. Οι περιπτώσεις που αποκλείουν την εμφάνιση ενός συμβάντος ονομάζονται δυσμενείς για αυτό το γεγονός. Παράδειγμα. Η λάρνακα περιέχει 5 άσπρες και 7 μαύρες μπάλες. Όταν παίρνετε μια μπάλα τυχαία, μπορεί να καταλήξετε είτε με μια άσπρη είτε μια μαύρη μπάλα στα χέρια σας. Σε αυτή την περίπτωση, η εμφάνιση λευκής μπάλας ευνοείται από 5 περιπτώσεις και η εμφάνιση μαύρης μπάλας από 7 περιπτώσεις σε σύνολο 12 πιθανών περιπτώσεων. Ορισμός 11. Δύο μόνο πιθανά και ασύμβατα γεγονότα ονομάζονται αντίθετα μεταξύ τους. Εάν ένα από αυτά τα συμβάντα χαρακτηρίζεται Α, τότε το αντίθετο γεγονός ορίζεται με το σύμβολο Ā. Παράδειγμα. Απέτυχα; Η νίκη και η ήττα σε ένα λαχείο είναι όλα παραδείγματα αντίθετων γεγονότων. Ορισμός 12. Εάν, ως αποτέλεσμα οποιασδήποτε πράξης μάζας που αποτελείται από n παρόμοια μεμονωμένα πειράματα ή παρατηρήσεις (δοκιμές), κάποιο τυχαίο γεγονός εμφανίζεται m φορές, τότε ο αριθμός m ονομάζεται συχνότητα του τυχαίου γεγονότος και ο λόγος m / n ονομάζεται συχνότητα του. Παράδειγμα. Μεταξύ των πρώτων 20 προϊόντων που βγήκαν από τη γραμμή συναρμολόγησης, υπήρχαν 3 μη τυποποιημένα προϊόντα (ελαττώματα). Εδώ ο αριθμός των δοκιμών n = 20, η συχνότητα των ελαττωμάτων m = 3, η συχνότητα των ελαττωμάτων m / n = 3/20 = 0,15. Κάθε τυχαίο γεγονός υπό δεδομένες συνθήκες έχει τη δική του αντικειμενική πιθανότητα εμφάνισης, και για ορισμένα γεγονότα αυτή η πιθανότητα εμφάνισης είναι μεγαλύτερη, για άλλα είναι μικρότερη. Για να συγκρίνουμε ποσοτικά γεγονότα μεταξύ τους ως προς τον βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους, ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός συσχετίζεται με κάθε τυχαίο γεγονός, εκφράζοντας μια ποσοτική εκτίμηση του βαθμού αντικειμενικής πιθανότητας εμφάνισης αυτού του γεγονότος. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται πιθανότητα του γεγονότος. Ορισμός 13. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ένα αριθμητικό μέτρο της αντικειμενικής πιθανότητας να συμβεί αυτό το γεγονός. Ορισμός 14. (Κλασικός ορισμός πιθανότητας). Η πιθανότητα του συμβάντος Α είναι ο λόγος του αριθμού m των περιπτώσεων ευνοϊκών για την εμφάνιση αυτού του γεγονότος προς τον αριθμό n όλων των πιθανών περιπτώσεων, δηλ. Ρ(Α) = m/n. Παράδειγμα. Η λάρνακα περιέχει 5 λευκές και 7 μαύρες μπάλες, καλά αναμεμειγμένες. Ποια είναι η πιθανότητα μια μπάλα που βγαίνει τυχαία από μια λάρνακα να είναι λευκή; Λύση. Σε αυτό το τεστ υπάρχουν μόνο 12 πιθανές περιπτώσεις, εκ των οποίων οι 5 ευνοούν την εμφάνιση λευκής μπάλας. Επομένως, η πιθανότητα να εμφανιστεί μια λευκή μπάλα είναι P = 5/12. Ορισμός 15. (Στατιστικός ορισμός πιθανότητας). Εάν, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλαμβανόμενων δοκιμών σε σχέση με κάποιο γεγονός Α, παρατηρηθεί ότι η συχνότητα του συμβάντος κυμαίνεται γύρω από κάποιο σταθερό αριθμό, τότε το γεγονός Α έχει πιθανότητα P(A), περίπου ίση με τη συχνότητα, δηλ. P(A)~ m/n. Η συχνότητα ενός συμβάντος σε απεριόριστο αριθμό δοκιμών ονομάζεται στατιστική πιθανότητα. Βασικές ιδιότητες πιθανοτήτων. 1 0 Εάν το γεγονός Α συνεπάγεται γεγονός Β (A  B), τότε η πιθανότητα του συμβάντος Α δεν υπερβαίνει την πιθανότητα του γεγονότος Β. P(A)≤P(B) 2 0 Εάν τα γεγονότα A και B είναι ισοδύναμα (A  B, B  A, B=A), τότε οι πιθανότητες τους είναι ίσες με P(A)=P(B). 3 0 Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος Α δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός, δηλ. Р(А)≥0 4 0 Η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος  είναι ίση με 1. Р()=1. 5 0 Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος  είναι 0. Р(  )=0. 6 0 Η πιθανότητα οποιουδήποτε τυχαίου συμβάντος Α βρίσκεται μεταξύ μηδέν και ενός 0<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aS2=DB= = , η οποία είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της γενικής διακύμανσης DГ. Για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης πληθυσμού, χρησιμοποιείται η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση, η οποία είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα της «διορθωμένης» διακύμανσης. S= Ορισμός 14. Ένα διάστημα εμπιστοσύνης ονομάζεται (θ*-δ;θ*+δ), το οποίο καλύπτει μια άγνωστη παράμετρο με δεδομένη αξιοπιστία γ. Το διάστημα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής με γνωστή τυπική απόκλιση σ εκφράζεται με τον τύπο: =2Φ(t)=γ όπου ε=tδ/ είναι η ακρίβεια της εκτίμησης. Ο αριθμός t προσδιορίζεται από την εξίσωση: 2Φ(t)=γ σύμφωνα με τους πίνακες της συνάρτησης Laplace. Παράδειγμα. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει κανονική κατανομή με γνωστή τυπική απόκλιση σ=3. Βρείτε διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της άγνωστης μαθηματικής προσδοκίας μ χρησιμοποιώντας το μέσο δείγματος X, εάν το μέγεθος του δείγματος είναι n = 36 και η αξιοπιστία της εκτίμησης δίνεται γ = 0,95. Λύση. Ας βρούμε το t από τη σχέση 2Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475. Από τους πίνακες βρίσκουμε t = 1,96. Ας βρούμε την ακρίβεια της εκτίμησης σ =tδ/=1,96·3/= 0,98. Διάστημα εμπιστοσύνης (x -0,98; x +0,98). Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής με άγνωστο σ προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας την κατανομή Student με k=n-1 βαθμούς ελευθερίας: T= , όπου S είναι η «διορθωμένη» τυπική απόκλιση, n είναι το μέγεθος του δείγματος. Από την κατανομή Student, το διάστημα εμπιστοσύνης καλύπτει την άγνωστη παράμετρο μ με αξιοπιστία γ: ή, όπου tγ είναι ο συντελεστής Student που βρίσκεται από τις τιμές γ (αξιοπιστία) και k (αριθμός βαθμών ελευθερίας) από τους πίνακες. Παράδειγμα. Το ποσοτικό χαρακτηριστικό Χ του πληθυσμού κατανέμεται κανονικά. Με βάση ένα μέγεθος δείγματος n=16, βρέθηκε η μέση τιμή του δείγματος xB=20,2 και η «διορθωμένη μέση» τετραγωνική απόκλιση S=0,8. Υπολογίστε την άγνωστη μαθηματική προσδοκία m χρησιμοποιώντας ένα διάστημα εμπιστοσύνης με αξιοπιστία γ = 0,95. Λύση. Από τον πίνακα βρίσκουμε: tγ = 2,13. Ας βρούμε τα όρια εμπιστοσύνης: =20,2-2,13·0,8=19,774 και =20,2+ +2,13·0,8/=20,626. Άρα, με αξιοπιστία 0,95, η άγνωστη παράμετρος μ βρίσκεται στο διάστημα 19,774<μ <20,626. .Элементы теории корреляции Определение 1. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Определение 2. Если при изменении одной из величин изменяетсясреднее значение другой величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной. Пример. ПустьY-урожай зерна,X-количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Y не является функциейX. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и т.д.) Вместе с тем средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.Y связан сX корреляционной зависимостью. Определение 3. Среднее арифметическое значение величиныY, вычисленное при условии, чтоX принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается. Определение 4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенийx, соответствующихY=y. Можно составить таблицу, определяющую соответствие между значениямиxi и условными среднимиyxi, а затем в декартовой системе координат строят точкиM(xi;yxi) и соединяют их отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессииY наX. Аналогично строится эмпирическая линия регрессииX наY. Если точкиMi(xi;yxi) иNi(xy;y) располагаются вдоль прямой, то линия регрессии называется линией прямой регрессии и операция "сглаживания" ломаной сводится к нахождению параметровa иb функцииy=ax+b. Из двух нормальных уравнений: находят коэффициентыa иb. ρxy=a== выборочный коэффициент регрессии признакаY наX. b== Уравнение прямой линии регрессии признакаY наX имеет вид: - =ρyx(x-). Проведя аналогичные расчеты, можно получить следующие математические выражения, характеризующие прямую регрессию признакаX наY:x=cy+d. ρyx=c= = - выборочный коэффициент регрессии признакаX наY. d= - свободный член уравнения. = - уравнение прямой линии регрессии признакаX наY. Показателем тесноты связи являетсякоэффициент корреляции, используемый только при линейной корреляции:r = =. Для решения задач удобна следующая формула: r == . В формуле для коэффициента корреляцииr = числитель дроби всегда меньше знаменателя, следовательно, коэффициент корреляции - всегда правильная дробь между нулем и единицей -1≤r≤+1. Положительное значениеr указывает на прямую связь между признаками; отрицательное - на обратную связь между ними. Данные для корреляционного анализа могут быть сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Рассмотрим пример. Пусть проведено наблюдение двух признаков (X иY) у 15 объектов. Составлена следующая таблица первичных данных: Упорядочим первичные данные, поместив их в таблицу: В первом столбце запишем в порядке возрастания значенияxi: 8,9,10,11, а во второй строке - в том же порядке значенияyi: 18,20,24,27,30. На пересечении строк и столбцов запишем число повторений одинаковых пар (xi;yi) в ряду наблюдений. Требуется установить и оценить зависимость случайной величиныY от величиныX, используя данные корреляционной таблицы. n = 15 - объем выборки Используем формулы для корреляционных расчетов. Уравнение регрессииX наY: xy=cy +d =ρxyy+d, где ρxy=. Величина коэффициента корреляцииr=± С учетом частотnx иny формулы регрессионного анализа несколько видоизменяется: ρxy=, где; ; ; ; . .Проверка статистических гипотез. Определение 1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезуH0. Определение 3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезуH1, которая противоречит нулевой. Определение 4. Статистическим критерием называют специально подобранную величину, распределение которой известно (хотя бы приближенно), которая используется для проверки статистической гипотезы. Определение 5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Определение 6. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Определение 7. Критическими точками (границами)kkp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Определение 8. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенствомK>kkp, όπου kkp>0. Ορισμός 9. Αριστερόχειρας είναι η κρίσιμη περιοχή που ορίζεται από την ανισότητα Κ k2 όπου k2>k1. Για να βρείτε την κρίσιμη περιοχή, ορίστε το επίπεδο σημασίας α και αναζητήστε κρίσιμα σημεία με βάση τις ακόλουθες σχέσεις: α) για την κρίσιμη περιοχή δεξιά P(K>kkp)=α. β) για την αριστερή κρίσιμη περιοχή P(K<-kkp)=α; в) для двусторонней критической областиP(K>kkp)=α/2 και P(K<-kkp)=α/2. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которыхn1=11 иn2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейX иY, найдены исправленные выборочные дисперсииSx2=0,76;Sy2=0,38. При уровне зависимостиα=0,05 проверить нулевую гипотезуH0:Д(x)=Д(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе:H1:Д(x)>Δ(υ) Λύση. Ας βρούμε τον λόγο της μεγάλης διορθωμένης διακύμανσης προς τη μικρότερη: Fobs = =2. Αφού H1: D(x)>D(y), τότε η κρίσιμη περιοχή είναι δεξιόστροφη. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, χρησιμοποιώντας α = 0,05 και τους αριθμούς βαθμών ελευθερίας k1 = n1-1 = 10, k2 = n2-1 = 13, βρίσκουμε το κρίσιμο σημείο Fcr (0,05; 10,13) = 2,67. Από Fobs. Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο

Στο τέλος των μεγάλων καλοκαιρινών διακοπών, ήρθε η ώρα να επιστρέψετε σιγά σιγά στα ανώτερα μαθηματικά και να ανοίξετε επίσημα το άδειο αρχείο Verdov για να ξεκινήσετε τη δημιουργία μιας νέας ενότητας - . Παραδέχομαι, οι πρώτες γραμμές δεν είναι εύκολες, αλλά το πρώτο βήμα είναι το μισό του δρόμου, γι 'αυτό προτείνω σε όλους να μελετήσουν προσεκτικά το εισαγωγικό άρθρο, μετά από το οποίο η γνώση του θέματος θα είναι 2 φορές πιο εύκολη! Δεν υπερβάλλω καθόλου. …Την παραμονή της επόμενης 1ης Σεπτεμβρίου θυμάμαι την πρώτη δημοτικού και το αστάρι…. Τα γράμματα σχηματίζουν συλλαβές, οι συλλαβές σχηματίζουν λέξεις, οι λέξεις σχηματίζουν σύντομες προτάσεις - Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο. Η γνώση των στατιστικών στροφών και μαθηματικών είναι τόσο εύκολη όσο η εκμάθηση της ανάγνωσης! Ωστόσο, για αυτό πρέπει να γνωρίζετε βασικούς όρους, έννοιες και ονομασίες, καθώς και ορισμένους συγκεκριμένους κανόνες, που αποτελούν το αντικείμενο αυτού του μαθήματος.

Πρώτα όμως δεχτείτε τα συγχαρητήριά μου για την έναρξη (συνέχιση, ολοκλήρωση, επισήμανση κατά περίπτωση) της σχολικής χρονιάς και δεχτείτε το δώρο. Το καλύτερο δώρο είναι ένα βιβλίο και για ανεξάρτητη εργασία προτείνω την ακόλουθη βιβλιογραφία:

1) Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική

Ένα θρυλικό εγχειρίδιο που έχει περάσει από περισσότερες από δέκα ανατυπώσεις. Διακρίνεται για την καταληπτότητά του και την εξαιρετικά απλή παρουσίαση της ύλης και τα πρώτα κεφάλαια είναι απολύτως προσιτά, νομίζω, ήδη για τους μαθητές της 6ης-7ης τάξης.

2) Gmurman V.E. Οδηγός επίλυσης προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική

Ένα βιβλίο λύσεων του ίδιου Vladimir Efimovich με λεπτομερή παραδείγματα και προβλήματα.

ΑΝΑΓΚΑΙΩΣκατεβάστε και τα δύο βιβλία από το Διαδίκτυο ή αποκτήστε τα έντυπά τους! Θα λειτουργήσει και η έκδοση των 60s και 70s, η οποία είναι ακόμα καλύτερη για ομοιώματα. Αν και η φράση «θεωρία πιθανοτήτων για ανδρείκελα» ακούγεται μάλλον γελοία, αφού σχεδόν τα πάντα περιορίζονται σε στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις. Παρακάμπτουν, όμως, κατά τόπους παράγωγαΚαι ολοκληρώματα, αλλά αυτό είναι μόνο κατά τόπους.

Θα προσπαθήσω να επιτύχω την ίδια σαφήνεια παρουσίασης, αλλά πρέπει να προειδοποιήσω ότι η πορεία μου στοχεύει επίλυση προβλήματοςκαι οι θεωρητικοί υπολογισμοί περιορίζονται στο ελάχιστο. Έτσι, αν χρειάζεστε μια λεπτομερή θεωρία, αποδείξεις θεωρημάτων (θεωρήματα-θεωρήματα!), ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο. Λοιπόν, ποιος θέλει μάθουν να λύνουν προβλήματαστη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική στο συντομότερο δυνατό χρόνο, Ακολούθησέ με!

Αυτό είναι αρκετό για αρχή =)

Καθώς διαβάζετε τα άρθρα, συνιστάται να εξοικειωθείτε (τουλάχιστον εν συντομία) με πρόσθετες εργασίες των υπό εξέταση τύπων. Στη σελίδα Έτοιμες λύσεις για ανώτερα μαθηματικάΘα αναρτηθούν τα αντίστοιχα pdf με παραδείγματα λύσεων. Θα παρασχεθεί επίσης σημαντική βοήθεια IDZ 18.1 Ryabushko(πιο απλό) και έλυσε το IDZ σύμφωνα με τη συλλογή του Chudesenko(πιο δύσκολο).

1) Ποσόδύο γεγονότα και το γεγονός ονομάζεται που είναι ότι θα συμβεί ήΕκδήλωση ήΕκδήλωση ήκαι τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα. Σε περίπτωση που τα γεγονότα ασύμβατες, η τελευταία επιλογή εξαφανίζεται, δηλαδή μπορεί να εμφανιστεί ήΕκδήλωση ήΕκδήλωση .

Ο κανόνας ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό όρων, για παράδειγμα, το συμβάν είναι αυτό που θα συμβεί τουλάχιστον ένααπό εκδηλώσεις , ΕΝΑ εάν τα γεγονότα είναι ασύμβατα – τότε ένα πράγμα και μόνο ένα πράγμαγεγονός από αυτό το ποσό: ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση , ήΕκδήλωση .

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα:

Γεγονότα (κατά τη ρίψη ζαριών, δεν θα εμφανίζονται 5 πόντοι) είναι αυτό που θα εμφανιστεί ή 1, ή 2, ή 3, ή 4, ή 6 βαθμοί.

Συμβάν (θα πέσει ΟΧΙ πιαδύο σημεία) είναι ότι θα εμφανιστεί το 1 ή 2σημεία.

Εκδήλωση (θα υπάρχει ζυγός αριθμός πόντων) είναι αυτό που φαίνεται ή 2 ή 4 ή 6 βαθμοί.

Το γεγονός είναι ότι θα τραβηχτεί κόκκινη κάρτα (καρδιά) από την τράπουλα ήντέφι), και η εκδήλωση – ότι η «εικόνα» θα εξαχθεί (βύσμα ήκυρία ήΒασιλιάς ήάσσος).

Λίγο πιο ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση των κοινών εκδηλώσεων:

Το γεγονός είναι ότι ένα κλαμπ θα κληρωθεί από το κατάστρωμα ήεπτά ήεπτά συλλόγων Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, τουλάχιστον κάτι- ή οποιαδήποτε λέσχη ή οποιαδήποτε επτά ή η «τομή» τους - επτά συλλόγων. Είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι αυτό το γεγονός αντιστοιχεί σε 12 στοιχειώδη αποτελέσματα (9 κάρτες συλλόγου + 3 υπόλοιπες επτά).

Η εκδήλωση είναι ότι αύριο στις 12.00 θα έρθει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ από τις αθροιστικές κοινές εκδηλώσεις, και συγκεκριμένα:

– ή θα υπάρχει μόνο βροχή / μόνο καταιγίδα / μόνο ήλιος.
– ή θα συμβεί μόνο ένα ζευγάρι συμβάντων (βροχή + καταιγίδα / βροχή + ήλιος / καταιγίδα + ήλιος).
– ή θα εμφανιστούν και τα τρία συμβάντα ταυτόχρονα.

Δηλαδή, η εκδήλωση περιλαμβάνει 7 πιθανές εκβάσεις.

Ο δεύτερος πυλώνας της άλγεβρας των γεγονότων:

2) Η δουλειάδύο γεγονότα και καλούμε ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση αυτών των γεγονότων, με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός σημαίνει ότι υπό ορισμένες συνθήκες θα υπάρξει ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση . Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για μεγαλύτερο αριθμό γεγονότων, για παράδειγμα, ένα έργο υπονοεί ότι υπό ορισμένες συνθήκες θα συμβεί ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση , ΚαιΕκδήλωση , …, ΚαιΕκδήλωση .

Σκεφτείτε ένα τεστ στο οποίο ρίχνονται δύο νομίσματα και τα ακόλουθα γεγονότα:

– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 1ο νόμισμα.
– το 1ο νόμισμα θα προσγειώσει κεφάλια.
– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 2ο νόμισμα.
– το 2ο νόμισμα θα προσγειωθεί.

Επειτα:
Καιστο 2ο) θα εμφανιστούν κεφαλές.
– το γεγονός είναι ότι και στα δύο νομίσματα (την 1η Καιτο 2ο) θα ειναι κεφαλια?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιτο 2ο νόμισμα είναι ουρές?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός.

Είναι εύκολο να δεις αυτά τα γεγονότα ασύμβατες (γιατί, για παράδειγμα, δεν μπορεί να είναι 2 κεφάλια και 2 ουρές ταυτόχρονα)και μορφή πλήρης ομάδα (αφού ελήφθη υπόψη Ολαπιθανά αποτελέσματα από την ρίψη δύο νομισμάτων). Ας συνοψίσουμε αυτά τα γεγονότα: . Πώς ερμηνεύεται αυτό το λήμμα; Πολύ απλό - ο πολλαπλασιασμός σημαίνει μια λογική σύνδεση ΚΑΙκαι προσθήκη - Ή. Έτσι, το ποσό διαβάζεται εύκολα σε κατανοητή ανθρώπινη γλώσσα: «θα εμφανιστούν δύο κεφάλια ήδύο κεφάλια ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστις 2 ουρές ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός"

Αυτό ήταν ένα παράδειγμα όταν σε ένα τεστεμπλέκονται πολλά αντικείμενα, στην περίπτωση αυτή δύο νομίσματα. Ένα άλλο κοινό σχήμα σε πρακτικά προβλήματα είναι επανέλεγχο , όταν, για παράδειγμα, το ίδιο ζάρι τυλίγεται 3 φορές στη σειρά. Ως επίδειξη, εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

– στην 1η βολή θα πάρετε 4 πόντους.
– στη 2η βολή θα πάρετε 5 πόντους.
– στην 3η ρίψη θα πάρετε 6 πόντους.

Στη συνέχεια η εκδήλωση είναι ότι στην 1η ρίψη θα πάρεις 4 πόντους Καιστη 2η ρίψη θα πάρετε 5 πόντους Καιστην 3η ζαριά θα πάρετε 6 πόντους. Προφανώς, στην περίπτωση ενός κύβου θα υπάρχουν σημαντικά περισσότεροι συνδυασμοί (αποτελέσματα) από ό,τι αν πετούσαμε ένα νόμισμα.

...Καταλαβαίνω ότι ίσως τα παραδείγματα που αναλύονται δεν είναι πολύ ενδιαφέροντα, αλλά αυτά είναι πράγματα που συναντώνται συχνά σε προβλήματα και δεν υπάρχει διαφυγή από αυτά. Εκτός από ένα νόμισμα, έναν κύβο και μια τράπουλα, σας περιμένουν δοχεία με πολύχρωμες μπάλες, αρκετοί ανώνυμοι που πυροβολούν έναν στόχο και ένας ακούραστος εργάτης που αλέκει συνεχώς κάποιες λεπτομέρειες =)

Πιθανότητα συμβάντος

Πιθανότητα συμβάντος είναι η κεντρική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. ...Ένα φονικό λογικό πράγμα, αλλά έπρεπε να ξεκινήσουμε από κάπου =) Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις στον ορισμό του:

;
Γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας ;
Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας .

Σε αυτό το άρθρο θα επικεντρωθώ στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτερα σε εκπαιδευτικές εργασίες.

Ονομασίες. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος υποδεικνύεται με ένα κεφαλαίο λατινικό γράμμα και το ίδιο το γεγονός λαμβάνεται σε αγκύλες, λειτουργώντας ως ένα είδος επιχειρήματος. Για παράδειγμα:

Επίσης, το μικρό γράμμα χρησιμοποιείται ευρέως για να δηλώσει πιθανότητα. Συγκεκριμένα, μπορείτε να εγκαταλείψετε τους δυσκίνητους χαρακτηρισμούς των γεγονότων και τις πιθανότητές τους υπέρ του παρακάτω στυλ:

– την πιθανότητα ότι μια ρίψη νομίσματος θα έχει ως αποτέλεσμα κεφαλές.
– η πιθανότητα μια ζαριά να έχει ως αποτέλεσμα 5 πόντους.
– η πιθανότητα να τραβηχτεί από την τράπουλα ένα φύλλο του συλλόγου.

Αυτή η επιλογή είναι δημοφιλής κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, καθώς σας επιτρέπει να μειώσετε σημαντικά την εγγραφή της λύσης. Όπως και στην πρώτη περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε «ομιλούντες» δείκτες/υπέργραφους εδώ.

Όλοι έχουν μαντέψει από καιρό τους αριθμούς που μόλις έγραψα παραπάνω και τώρα θα μάθουμε πώς έγιναν:

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας:

Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε ένα συγκεκριμένο τεστ ονομάζεται λόγος, όπου:

– συνολικός αριθμός όλων εξίσου δυνατό, στοιχειώδηςαποτελέσματα αυτής της δοκιμασίας, τα οποία σχηματίζονται πλήρη ομάδα εκδηλώσεων;

- ποσότητα στοιχειώδηςαποτελέσματα, ευνοϊκός Εκδήλωση.

Όταν πετάτε ένα νόμισμα, μπορεί να πέσουν είτε τα κεφάλια είτε οι ουρές - αυτά τα γεγονότα σχηματίζονται πλήρης ομάδα, επομένως, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων. ταυτόχρονα, το καθένα από αυτά στοιχειώδηςΚαι εξίσου δυνατό. Η διοργάνωση ευνοείται από το αποτέλεσμα (κεφάλια). Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: .

Ομοίως, ως αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού, μπορεί να εμφανιστούν στοιχειώδη εξίσου πιθανά αποτελέσματα, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα, και το γεγονός ευνοείται από ένα μόνο αποτέλεσμα (rolling a five). Να γιατί: ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΔΕΚΤΟ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ (αν και δεν απαγορεύεται να υπολογίζεις ποσοστά στο κεφάλι σου).

Συνηθίζεται να χρησιμοποιούνται κλάσματα μιας μονάδας, και, προφανώς, η πιθανότητα μπορεί να ποικίλλει εντός . Επιπλέον, αν , τότε το συμβάν είναι αδύνατο, Αν - αξιόπιστος, και αν , τότε μιλάμε για τυχαίοςΕκδήλωση.

! Εάν, ενώ λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα, λαμβάνετε κάποια άλλη τιμή πιθανότητας, αναζητήστε το σφάλμα!

Στην κλασική προσέγγιση για τον προσδιορισμό της πιθανότητας, οι ακραίες τιμές (μηδέν και ένα) λαμβάνονται με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό. Αφήστε 1 μπάλα να τραβηχτεί τυχαία από ένα συγκεκριμένο δοχείο που περιέχει 10 κόκκινες μπάλες. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

σε μία μόνο δοκιμή δεν θα συμβεί ένα συμβάν χαμηλής πιθανότητας.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δεν θα πετύχετε το τζάκποτ στην κλήρωση εάν η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι, ας πούμε, 0,00000001. Ναι, ναι, είσαι εσύ – με το μοναδικό εισιτήριο σε μια συγκεκριμένη κυκλοφορία. Ωστόσο, ο μεγαλύτερος αριθμός εισιτηρίων και ο μεγαλύτερος αριθμός κληρώσεων δεν θα σας βοηθήσουν ιδιαίτερα. ...Όταν λέω σε άλλους για αυτό, σχεδόν πάντα ακούω ως απάντηση: «αλλά κάποιος κερδίζει». Εντάξει, τότε ας κάνουμε το εξής πείραμα: αγοράστε ένα εισιτήριο για οποιαδήποτε λοταρία σήμερα ή αύριο (μην καθυστερείτε!). Και αν κερδίσετε... καλά, τουλάχιστον περισσότερα από 10 κιλόρουβλια, φροντίστε να εγγραφείτε - θα σας εξηγήσω γιατί συνέβη αυτό. Για ένα ποσοστό, φυσικά =) =)

Αλλά δεν χρειάζεται να είμαστε λυπημένοι, γιατί υπάρχει μια αντίθετη αρχή: αν η πιθανότητα κάποιου γεγονότος είναι πολύ κοντά στη μία, τότε σε μια δοκιμή θα σχεδόν βέβαιοθα συμβεί. Επομένως, πριν πηδήσετε με αλεξίπτωτο, δεν χρειάζεται να φοβάστε, αντίθετα, χαμογελάστε! Άλλωστε, πρέπει να προκύψουν εντελώς αδιανόητες και φανταστικές συνθήκες για να αστοχήσουν και τα δύο αλεξίπτωτα.

Αν και όλα αυτά είναι λυρισμός, αφού ανάλογα με το περιεχόμενο του γεγονότος, η πρώτη αρχή μπορεί να αποδειχθεί χαρούμενη και η δεύτερη - θλιβερή. ή έστω και τα δύο είναι παράλληλα.

Ίσως είναι αρκετό για τώρα, στην τάξη Κλασικά προβλήματα πιθανοτήτωνθα αξιοποιήσουμε στο έπακρο τη φόρμουλα. Στο τελευταίο μέρος αυτού του άρθρου, θα εξετάσουμε ένα σημαντικό θεώρημα:

Το άθροισμα των πιθανοτήτων των γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίσο με ένα. Σε γενικές γραμμές, εάν τα γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε με 100% πιθανότητα θα συμβεί ένα από αυτά. Στην απλούστερη περίπτωση, μια πλήρης ομάδα σχηματίζεται από αντίθετα γεγονότα, για παράδειγμα:

– ως αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος, θα εμφανιστούν κεφάλια.
– το αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος θα είναι κεφαλές.

Σύμφωνα με το θεώρημα:

Είναι απολύτως σαφές ότι αυτά τα γεγονότα είναι εξίσου πιθανά και οι πιθανότητές τους είναι ίδιες .

Λόγω της ισότητας των πιθανοτήτων, συχνά καλούνται εξίσου πιθανά γεγονότα εξίσου πιθανό . Και εδώ είναι ένα στριφτάρι γλώσσας για τον προσδιορισμό του βαθμού μέθης =)

Παράδειγμα με κύβο: τα γεγονότα είναι αντίθετα, επομένως .

Το υπό εξέταση θεώρημα είναι βολικό καθώς σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι, εάν είναι γνωστή η πιθανότητα να κυλιθεί ένα πεντάρι, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα να μην έχει κυληθεί:

Αυτό είναι πολύ πιο απλό από το να συνοψίσουμε τις πιθανότητες πέντε στοιχειωδών αποτελεσμάτων. Για στοιχειώδη αποτελέσματα, παρεμπιπτόντως, ισχύει και αυτό το θεώρημα:
. Για παράδειγμα, αν είναι η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο, τότε είναι η πιθανότητα να αστοχήσει.

! Στη θεωρία πιθανοτήτων, δεν είναι επιθυμητό να χρησιμοποιούνται γράμματα για άλλους σκοπούς.

Προς τιμήν της Ημέρας της Γνώσης, δεν θα αναθέσω εργασίες στο σπίτι =), αλλά είναι πολύ σημαντικό να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

– Τι είδους εκδηλώσεις υπάρχουν;
– Τι είναι η πιθανότητα και η ίση πιθανότητα ενός γεγονότος;
– Πώς αντιλαμβάνεστε τους όρους συμβατότητα/ασυμβατότητα συμβάντων;
– Τι είναι μια πλήρης ομάδα γεγονότων, αντίθετα γεγονότα;
– Τι σημαίνει πρόσθεση και πολλαπλασιασμός γεγονότων;
– Ποια είναι η ουσία του κλασικού ορισμού της πιθανότητας;
– Γιατί είναι χρήσιμο το θεώρημα για την πρόσθεση των πιθανοτήτων γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα;

Όχι, δεν χρειάζεται να στριμώξετε τίποτα, αυτά είναι μόνο τα βασικά της θεωρίας πιθανοτήτων - ένα είδος αστάρι που θα χωρέσει γρήγορα στο κεφάλι σας. Και για να συμβεί αυτό το συντομότερο δυνατό, σας προτείνω να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα

για μαθητές 2ου έτους όλων των ειδικοτήτων

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

Εισαγωγικό μέρος

Αγαπητοί φοιτητές!

Φέρνουμε στην προσοχή σας μια ανασκόπηση (εισαγωγική) διάλεξη του καθηγητή N.Sh. Kremer σχετικά με τον κλάδο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική» για δευτεροετείς φοιτητές του VZFEI.

Η διάλεξη συζητά καθήκοντασπουδάζοντας θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές σε οικονομικό πανεπιστήμιο και τη θέση τηςστο σύστημα εκπαίδευσης ένας σύγχρονος οικονομολόγος, θεωρείται οργάνωση ανεξάρτητοςΔίνεται εργασία των μαθητών με χρήση συστήματος εκπαίδευσης που βασίζεται σε υπολογιστή (CTS) και παραδοσιακών εγχειριδίων επισκόπηση των κύριων διατάξεωναυτό το μάθημα, καθώς και μεθοδολογικές συστάσεις για τη μελέτη του.

Μεταξύ των μαθηματικών κλάδων που σπουδάζονται σε οικονομικό πανεπιστήμιο, ιδιαίτερη θέση κατέχουν η θεωρία πιθανοτήτων και η μαθηματική στατιστική. Πρώτον, είναι η θεωρητική βάση των στατιστικών κλάδων. Δεύτερον, οι μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων και η μαθηματική στατιστική χρησιμοποιούνται άμεσα στη μελέτη μαζικά αδρανήπαρατηρούμενα φαινόμενα, επεξεργασία αποτελεσμάτων παρατήρησης και αναγνώριση προτύπων τυχαίων φαινομένων. Τέλος, η θεωρία πιθανοτήτων και οι μαθηματικές στατιστικές έχουν σημαντική μεθοδολογική σημασία γνωστική διαδικασία, κατά τον προσδιορισμό ενός γενικού μοτίβου ερευνήθηκεδιαδικασίες, χρησιμεύει ως λογικό βάσηεπαγωγικός-απαγωγικός συλλογισμός.

Κάθε δευτεροετής φοιτητής πρέπει να έχει το ακόλουθο σύνολο (περίπτωση) στο γνωστικό αντικείμενο «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική»:

1. Διάλεξη προσανατολισμού επισκόπησηςσε αυτόν τον κλάδο.

2. Σχολικό βιβλίο N.Sh. Kremer «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική» - M.: UNITY - DANA, 2007 (εφεξής θα το ονομάζουμε απλώς «εγχειρίδιο»).

3. Εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό εγχειρίδιο«Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική» / επιμ. N.Sh. Κρέμερ. – Μ.: Πανεπιστημιακό εγχειρίδιο, 2005 (εφεξής «εγχειρίδιο»).

4. Πρόγραμμα εκπαίδευσης υπολογιστών COPR για τον κλάδο (εφεξής «πρόγραμμα υπολογιστή»).

Στον ιστότοπο του ινστιτούτου, στη σελίδα «Εταιρικοί Πόροι», δημοσιεύονται ηλεκτρονικές εκδόσεις του προγράμματος υπολογιστή KOPR2, μια διάλεξη προσανατολισμού επισκόπησης και μια ηλεκτρονική έκδοση του εγχειριδίου. Επιπλέον, παρουσιάζεται το πρόγραμμα υπολογιστή και το εγχειρίδιο CD - ROM αχ για τους δευτεροετείς φοιτητές. Επομένως, σε «χάρτινη μορφή» ο μαθητής χρειάζεται μόνο να έχει ένα εγχειρίδιο.

Ας εξηγήσουμε τον σκοπό καθενός από τα εκπαιδευτικά υλικά που περιλαμβάνονται στο καθορισμένο σύνολο (περίπτωση).

Στο σχολικό βιβλίοπαρουσιάζονται οι κύριες διατάξεις του εκπαιδευτικού υλικού του κλάδου, που απεικονίζονται από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό λυμένων προβλημάτων.

ΣΕ οφέληΔίνονται μεθοδολογικές συστάσεις για ανεξάρτητη μελέτη εκπαιδευτικού υλικού, επισημαίνονται οι πιο σημαντικές έννοιες του μαθήματος και τυπικές εργασίες, δίνονται ερωτήσεις δοκιμής για αυτοέλεγχο σε αυτόν τον κλάδο, επιλογές για τεστ στο σπίτι που πρέπει να ολοκληρώσει ο μαθητής, καθώς και μεθοδολογικές δίνονται οδηγίες για την εφαρμογή τους.

Πρόγραμμα υπολογιστήέχει σχεδιαστεί για να σας παρέχει τη μέγιστη βοήθεια για τον έλεγχο του μαθήματος στη λειτουργία διάλογοςπρόγραμμα με έναν μαθητή προκειμένου να αντισταθμίσει στο μέγιστο βαθμό την έλλειψη εκπαίδευσης στην τάξη και την κατάλληλη επαφή με τον δάσκαλο.

Για έναν μαθητή που σπουδάζει μέσω του συστήματος εξ αποστάσεως εκπαίδευσης, η πρωταρχική και αποφασιστική σημασία είναι οργάνωση ανεξάρτητης εργασίας.

Όταν αρχίσετε να μελετάτε αυτόν τον κλάδο, διαβάστε αυτήν την επισκόπηση (εισαγωγική) διάλεξη μέχρι το τέλος. Αυτό θα σας επιτρέψει να αποκτήσετε μια γενική ιδέα για τις βασικές έννοιες και τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται στο μάθημα «Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική» και τις απαιτήσεις για το επίπεδο εκπαίδευσης των σπουδαστών VZFEI.

Πριν μελετήσετε κάθε θέμα Διαβάστε τις οδηγίες για τη μελέτη αυτού του θέματος στο εγχειρίδιο.Εδώ θα βρείτε μια λίστα με εκπαιδευτικές ερωτήσεις σχετικά με αυτό το θέμα που θα μελετήσετε. μάθετε ποιες έννοιες, ορισμοί, θεωρήματα, προβλήματα είναι τα πιο σημαντικά που πρέπει πρώτα να μελετηθούν και να κατακτηθούν.

Στη συνέχεια προχωρήστε στη μελέτη βασικό εκπαιδευτικό υλικόσύμφωνα με το σχολικό βιβλίο σύμφωνα με τις ληφθείσες μεθοδολογικές συστάσεις. Σας συμβουλεύουμε να κρατάτε σημειώσεις σε ξεχωριστό σημειωματάριο σχετικά με τους κύριους ορισμούς, δηλώσεις θεωρημάτων, διαγράμματα των αποδείξεών τους, τύπους και λύσεις σε τυπικά προβλήματα. Συνιστάται να γράφετε τους τύπους σε ειδικούς πίνακες για κάθε μέρος του μαθήματος: θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές. Η τακτική χρήση σημειώσεων, ιδίως πινάκων τύπων, προάγει την απομνημόνευσή τους.

Μόνο αφού επεξεργαστείτε το βασικό εκπαιδευτικό υλικό κάθε θέματος στο σχολικό βιβλίο, μπορείτε να προχωρήσετε στη μελέτη αυτού του θέματος χρησιμοποιώντας ένα εκπαιδευτικό πρόγραμμα υπολογιστή (KOPR2).

Δώστε προσοχή στη δομή του προγράμματος υπολογιστή για κάθε θέμα. Μετά το όνομα του θέματος, υπάρχει μια λίστα με τις κύριες εκπαιδευτικές ερωτήσεις του θέματος στο σχολικό βιβλίο, αναφέροντας τον αριθμό των παραγράφων και των σελίδων που πρέπει να μελετηθούν. (Θυμηθείτε ότι μια λίστα με αυτές τις ερωτήσεις για κάθε θέμα δίνεται επίσης στο εγχειρίδιο).

Στη συνέχεια, δίνεται υλικό αναφοράς για αυτό το θέμα (ή σε μεμονωμένες παραγράφους αυτού του θέματος) σε σύντομη μορφή - βασικοί ορισμοί, θεωρήματα, ιδιότητες και χαρακτηριστικά, τύποι κ.λπ. Κατά τη μελέτη ενός θέματος, μπορείτε επίσης να εμφανίσετε στην οθόνη εκείνα τα τμήματα υλικού αναφοράς (σε αυτό ή σε προηγούμενα θέματα) που χρειάζονται αυτήν τη στιγμή.

Στη συνέχεια, σας προσφέρεται εκπαιδευτικό υλικό και, φυσικά, τυπικές εργασίες ( παραδείγματα),η λύση του οποίου εξετάζεται στον τρόπο διάλογοςπρογράμματα με μαθητή. Οι λειτουργίες ενός αριθμού παραδειγμάτων περιορίζονται στην εμφάνιση των σταδίων της σωστής λύσης στην οθόνη κατόπιν αιτήματος του μαθητή. Ταυτόχρονα, κατά τη διαδικασία εξέτασης των περισσότερων παραδειγμάτων, θα σας τεθούν ερωτήσεις της μιας ή της άλλης φύσης. Οι απαντήσεις σε ορισμένες ερωτήσεις πρέπει να εισάγονται χρησιμοποιώντας το πληκτρολόγιο. αριθμητική απάντηση,σε άλλους - επιλέξτε τη σωστή απάντηση (ή απαντήσεις)από πολλά προτεινόμενα.

Ανάλογα με την απάντηση που καταχωρίσατε, το πρόγραμμα επιβεβαιώνει την ορθότητά του ή προτείνει, αφού διαβάσετε την υπόδειξη που περιέχει τις απαραίτητες θεωρητικές αρχές, να προσπαθήσετε ξανά να δώσετε τη σωστή λύση και απάντηση. Πολλές εργασίες έχουν όριο στον αριθμό των προσπαθειών λύσης (αν ξεπεραστεί αυτό το όριο, η σωστή πρόοδος επίλυσης εμφανίζεται απαραίτητα στην οθόνη). Υπάρχουν επίσης παραδείγματα στα οποία ο όγκος των πληροφοριών που περιέχονται στην υπόδειξη αυξάνεται καθώς επαναλαμβάνονται οι ανεπιτυχείς προσπάθειες απάντησης.

Αφού εξοικειωθείτε με τις θεωρητικές διατάξεις του εκπαιδευτικού υλικού και των παραδειγμάτων, που παρέχονται με λεπτομερή ανάλυση της λύσης, πρέπει να ολοκληρώσετε ασκήσεις αυτοελέγχου για να εδραιώσετε τις δεξιότητές σας στην επίλυση τυπικών προβλημάτων σε κάθε θέμα. Οι εργασίες αυτοελέγχου περιέχουν επίσης στοιχεία διαλόγου με τον μαθητή. Αφού ολοκληρώσετε τη λύση, μπορείτε να δείτε τη σωστή απάντηση και να τη συγκρίνετε με αυτή που δώσατε.

Στο τέλος της εργασίας για κάθε θέμα, θα πρέπει να ολοκληρώσετε εργασίες ελέγχου. Οι σωστές απαντήσεις σε αυτές δεν εμφανίζονται σε εσάς και οι απαντήσεις σας καταγράφονται στον σκληρό δίσκο του υπολογιστή για μετέπειτα εξέταση από τον δάσκαλο-σύμβουλο (καθηγητή).

Αφού μελετήσετε τα θέματα 1–7, πρέπει να ολοκληρώσετε το κατ’ οίκον τεστ Νο. 3 και αφού μελετήσετε τα θέματα 8–11, το κατ’ οίκον τεστ Νο. 4. Παραλλαγές αυτών των τεστ δίνονται στο εγχειρίδιο (η ηλεκτρονική του έκδοση). Ο αριθμός της επιλογής που εκτελείται πρέπει να αντιστοιχεί στο τελευταίο ψηφίο του αριθμού του προσωπικού σας αρχείου (βιβλίο βαθμολογίας, κάρτα μαθητή). Για κάθε τεστ, πρέπει να υποβληθείτε σε συνέντευξη, κατά την οποία θα πρέπει να επιδείξετε την ικανότητά σας να επιλύετε προβλήματα και τη γνώση βασικών εννοιών (ορισμοί, θεωρήματα (χωρίς απόδειξη), τύπους κ.λπ.) σχετικά με το θέμα του τεστ. Η μελέτη του κλάδου τελειώνει με μια εξέταση μαθήματος.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια μαθηματική επιστήμη που μελετά τα πρότυπα τυχαίων φαινομένων.

Ο κλάδος που προσφέρεται για μελέτη αποτελείται από δύο ενότητες «Θεωρία Πιθανοτήτων» και «Μαθηματική Στατιστική».