Πώς να κατανοήσετε έναν φυσικό αριθμό. Μελετώντας το ακριβές θέμα: φυσικοί αριθμοί - τι είναι αριθμοί, παραδείγματα και ιδιότητες. Τα πάντα για τους φυσικούς αριθμούς

Φυσικοί αριθμοί- αριθμοί που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση αντικειμένων . Οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το δέκα αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Αυτός ο τύπος αριθμού ονομάζεται δεκαδικός

Η ακολουθία όλων των φυσικών αριθμών ονομάζεται φυσικό δίπλα .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Τα περισσότερα μικρόο φυσικός αριθμός είναι ένα (1). Στη φυσική σειρά, κάθε επόμενος αριθμός είναι 1 μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Φυσική σειρά ατέλειωτος,δεν υπάρχει μεγαλύτερος αριθμός σε αυτό.

Η σημασία ενός ψηφίου εξαρτάται από τη θέση του στην εγγραφή αριθμών. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 σημαίνει: 4 μονάδες εάν βρίσκεται στην τελευταία θέση της εγγραφής αριθμών (σε μονάδες θέση)? 4 δέκα,αν είναι από την δεύτερη έως την τελευταία θέση (στη θέση των δεκάδων). 4 εκατοντάδες,αν είναι στην τρίτη θέση από το τέλος (V εκατοντάδες μέρη).

Ο αριθμός 0 σημαίνει απουσία μονάδων αυτής της κατηγορίαςστη δεκαδική σημείωση ενός αριθμού Χρησιμεύει επίσης για τον προσδιορισμό του αριθμού «. μηδέν" Αυτός ο αριθμός σημαίνει "κανένας". Το σκορ 0:3 σε ποδοσφαιρικό αγώνα σημαίνει ότι η πρώτη ομάδα δεν σημείωσε ούτε ένα γκολ εναντίον του αντιπάλου.

Μηδέν δεν περιλαμβάνουνστους φυσικούς αριθμούς. Και πράγματι, η καταμέτρηση των αντικειμένων δεν ξεκινά ποτέ από την αρχή.

Αν η παράσταση ενός φυσικού αριθμού αποτελείται από ένα πρόσημο – ένα ψηφίο, τότε ονομάζεται ξεκάθαρος.Εκείνοι. ξεκάθαροςφυσικός αριθμός– φυσικός αριθμός του οποίου η σημείωση αποτελείται από ένα πρόσημο – ένα ψηφίο. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 1, 6, 8 είναι μονοψήφιοι.

Διψήφιοφυσικός αριθμός– ένας φυσικός αριθμός, η σημείωση του οποίου αποτελείται από δύο χαρακτήρες – δύο ψηφία.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 12, 47, 24, 99 είναι διψήφιοι αριθμοί.

Επίσης, με βάση τον αριθμό των χαρακτήρων σε έναν δεδομένο αριθμό, δίνονται ονόματα σε άλλους αριθμούς:

αριθμοί 326, 532, 893 - τριψήφιο?

αριθμοί 1126, 4268, 9999 - τετραψήφιοκαι τα λοιπά.

Διψήφιο, τριψήφιο, τετραψήφιο, πενταψήφιο κ.λπ. καλούνται αριθμοί πολυψήφιους αριθμούς .

Για την ανάγνωση πολυψήφιων αριθμών, χωρίζονται, ξεκινώντας από τα δεξιά, σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία (η πιο αριστερή ομάδα μπορεί να αποτελείται από ένα ή δύο ψηφία). Αυτές οι ομάδες ονομάζονται τάξεις.

Εκατομμύριο– αυτό είναι χίλιες χιλιάδες (1000 χιλιάδες), γράφεται 1 εκατομμύριο ή 1.000.000.

Δισεκατομμύριο- είναι 1000 εκατομμύρια. Γράφεται ως 1 δις ή 1.000.000.000.

Τα τρία πρώτα ψηφία στα δεξιά αποτελούν την κατηγορία των μονάδων, τα επόμενα τρία - την τάξη των χιλιάδων, μετά έρχονται οι κατηγορίες των εκατομμυρίων, των δισεκατομμυρίων κ.λπ. (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Κατηγορία εκατομμυρίων, τάξη χιλιάδων και κατηγορία μονάδων (από αριστερά προς τα δεξιά)

Ο αριθμός 15389000286 είναι γραμμένος στο πλέγμα bit (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Πλέγμα bit: αριθμός 15 δισεκατομμύρια 389 εκατομμύρια 286

Αυτός ο αριθμός έχει 286 μονάδες στην κατηγορία μονάδων, μηδέν μονάδες στην κατηγορία χιλιάδων, 389 μονάδες στην κατηγορία εκατομμυρίων και 15 μονάδες στην κατηγορία δισεκατομμυρίων.

Η ιστορία των φυσικών αριθμών ξεκίνησε στους πρωτόγονους χρόνους.Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι μετρούσαν αντικείμενα. Για παράδειγμα, στο εμπόριο χρειαζόσασταν έναν λογαριασμό αγαθών ή στις κατασκευές έναν λογαριασμό υλικών. Ναι, ακόμη και στην καθημερινή ζωή έπρεπε επίσης να μετράω πράγματα, τρόφιμα, ζώα. Στην αρχή, οι αριθμοί χρησιμοποιήθηκαν μόνο για μέτρηση στη ζωή, στην πράξη, αλλά αργότερα, με την ανάπτυξη των μαθηματικών, έγιναν μέρος της επιστήμης.

Φυσικοί αριθμοί- αυτοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε όταν μετράμε αντικείμενα.

Για παράδειγμα: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Το μηδέν δεν είναι φυσικός αριθμός.

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί, ή ας το ονομάσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, συμβολίζονται με το σύμβολο N.

Πίνακας φυσικών αριθμών.

Φυσική σειρά.

Φυσικοί αριθμοί γραμμένοι σε σειρά με αύξουσα σειρά φυσική σειράή μια σειρά φυσικών αριθμών.

Ιδιότητες της φυσικής σειράς:

• Ο μικρότερος φυσικός αριθμός είναι ένας.
• Σε μια φυσική σειρά, ο επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. (1, 2, 3, ...) Τρεις τελείες ή ελλείψεις τοποθετούνται αν είναι αδύνατο να συμπληρωθεί η ακολουθία των αριθμών.
• Η φυσική σειρά δεν έχει τον μεγαλύτερο αριθμό, είναι άπειρη.

Παράδειγμα #1:
Γράψτε τους 5 πρώτους φυσικούς αριθμούς.
Διάλυμα:
Οι φυσικοί αριθμοί ξεκινούν από το ένα.
1, 2, 3, 4, 5

Παράδειγμα #2:
Το μηδέν είναι φυσικός αριθμός;
Απάντηση: όχι.

Παράδειγμα #3:
Ποιος είναι ο πρώτος αριθμός στη φυσική σειρά;
Απάντηση: Η φυσική σειρά ξεκινά από ένα.

Παράδειγμα #4:
Ποιος είναι ο τελευταίος αριθμός στη φυσική σειρά; Ποιος είναι ο μεγαλύτερος φυσικός αριθμός;
Απάντηση: Η φυσική σειρά ξεκινά με ένα. Κάθε επόμενος αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο, άρα ο τελευταίος αριθμός δεν υπάρχει. ίδιος μεγάλο αριθμόΟχι.

Παράδειγμα #5:
Έχει ένα στη φυσική σειρά προηγούμενο αριθμό;
Απάντηση: όχι, γιατί το ένα είναι ο πρώτος αριθμός στη φυσική σειρά.

Παράδειγμα #6:
Ονομάστε τον επόμενο αριθμό στη φυσική σειρά: α)5, β)67, γ)9998.
Απάντηση: α)6, β)68, γ)9999.

Παράδειγμα #7:
Πόσοι αριθμοί υπάρχουν στη φυσική σειρά μεταξύ των αριθμών: α) 1 και 5, β) 14 και 19.
Διάλυμα:
α) 1, 2, 3, 4, 5 - τρεις αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 1 και 5.
β) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – τέσσερις αριθμοί βρίσκονται μεταξύ των αριθμών 14 και 19.

Παράδειγμα #8:
Πείτε τον προηγούμενο αριθμό μετά το 11.
Απάντηση: 10.

Παράδειγμα #9:
Ποιοι αριθμοί χρησιμοποιούνται όταν μετράμε αντικείμενα;
Απάντηση: φυσικοί αριθμοί.

Στα μαθηματικά, υπάρχουν πολλά διαφορετικά σύνολα αριθμών: πραγματικοί, μιγαδικοί, ακέραιοι, ορθολογικοί, παράλογοι, ... καθημερινή ζωήΤις περισσότερες φορές χρησιμοποιούμε φυσικούς αριθμούς, αφού τους συναντάμε κατά τη μέτρηση και κατά την αναζήτηση, προσδιορίζοντας τον αριθμό των αντικειμένων.

Ποιοι αριθμοί ονομάζονται φυσικοί αριθμοί;

Από δέκα ψηφία μπορείτε να γράψετε απολύτως οποιοδήποτε υπάρχον άθροισμα κλάσεων και βαθμών. Φυσικές αξίες θεωρούνται αυτές που χρησιμοποιούνται:

• Όταν μετράτε οποιαδήποτε αντικείμενα (πρώτο, δεύτερο, τρίτο, ... πέμπτο, ... δέκατο).
• Όταν υποδεικνύεται ο αριθμός των στοιχείων (ένα, δύο, τρία...)

Οι τιμές N είναι πάντα ακέραιοι και θετικοί. Δεν υπάρχει μεγαλύτερο N γιατί το σύνολο των ακέραιων τιμών είναι απεριόριστο.

Προσοχή!Οι φυσικοί αριθμοί λαμβάνονται όταν μετράμε αντικείμενα ή όταν δηλώνουμε την ποσότητα τους.

Απολύτως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αποσυντεθεί και να παρουσιαστεί με τη μορφή ψηφιακών όρων, για παράδειγμα: 8.346.809=8 εκατομμύρια+346 χιλιάδες+809 μονάδες.

Σετ N

Το σύνολο N είναι στο σύνολο πραγματικό, ακέραιο και θετικό. Στο διάγραμμα των συνόλων, θα βρίσκονταν το ένα στο άλλο, αφού το σύνολο των φυσικών αποτελεί μέρος τους.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα Ν. Αυτό το σύνολο έχει αρχή, αλλά όχι τέλος.

Υπάρχει επίσης ένα εκτεταμένο σύνολο N, όπου περιλαμβάνεται το μηδέν.

Ο μικρότερος φυσικός αριθμός

Στις περισσότερες μαθηματικές σχολές, η μικρότερη τιμή του N θεωρείται μονάδα, αφού η απουσία αντικειμένων θεωρείται κενό.

Αλλά στις ξένες μαθηματικές σχολές, για παράδειγμα στα γαλλικά, θεωρείται φυσικό. Η παρουσία του μηδενός στη σειρά κάνει την απόδειξη πιο εύκολη μερικά θεωρήματα.

Μια σειρά τιμών N που περιλαμβάνει το μηδέν ονομάζεται εκτεταμένη και συμβολίζεται με το σύμβολο N0 (μηδενικός δείκτης).

Σειρά φυσικών αριθμών

Η σειρά N είναι μια ακολουθία όλων των N συνόλων ψηφίων. Αυτή η σειρά δεν έχει τέλος.

Η ιδιαιτερότητα της φυσικής σειράς είναι ότι ο επόμενος αριθμός θα διαφέρει κατά ένα από τον προηγούμενο, δηλαδή θα αυξηθεί. Αλλά τα νοήματα δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Προσοχή!Για ευκολία καταμέτρησης, υπάρχουν κατηγορίες και κατηγορίες:

• Μονάδες (1, 2, 3),
• Δεκάδες (10, 20, 30),
• Εκατοντάδες (100, 200, 300),
• Χιλιάδες (1000, 2000, 3000),
• Δεκάδες χιλιάδες (30.000),
• Εκατοντάδες χιλιάδες (800.000),
• Εκατομμύρια (4000000) κ.λπ.

Όλα τα Ν

Όλα τα N βρίσκονται στο σύνολο των πραγματικών, ακέραιων, μη αρνητικών τιμών. Είναι δικοί τους αναπόσπαστο μέρος.

Αυτές οι αξίες πάνε στο άπειρο, μπορούν να ανήκουν στις τάξεις των εκατομμυρίων, δισεκατομμυρίων, εκατομμυρίων κ.λπ.

Για παράδειγμα:

• Πέντε μήλα, τρία γατάκια,
• Δέκα ρούβλια, τριάντα μολύβια,
• Εκατό κιλά, τριακόσια βιβλία,
• Ένα εκατομμύριο αστέρια, τρία εκατομμύρια άνθρωποι κ.λπ.

Ακολουθία στο Ν

Σε διαφορετικές μαθηματικές σχολές μπορείτε να βρείτε δύο διαστήματα στα οποία ανήκει η ακολουθία N:

από το μηδέν στο συν άπειρο, συμπεριλαμβανομένων των άκρων, και από το ένα στο συν άπειρο, συμπεριλαμβανομένων των άκρων, δηλαδή τα πάντα θετικές ακέραιες απαντήσεις.

N σύνολα ψηφίων μπορεί να είναι είτε άρτια είτε περιττά. Ας εξετάσουμε την έννοια της παραδοξότητας.

Odd (οποιοσδήποτε περιττός αριθμός τελειώνει στους αριθμούς 1, 3, 5, 7, 9.) με δύο έχουν υπόλοιπο. Για παράδειγμα, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Τι σημαίνει ακόμη και Ν;

Οποιαδήποτε ζυγά αθροίσματα κλάσεων τελειώνουν σε αριθμούς: 0, 2, 4, 6, 8. Όταν το άρτιο Ν διαιρείται με το 2, δεν θα υπάρχει υπόλοιπο, δηλαδή το αποτέλεσμα είναι ολόκληρη η απάντηση. Για παράδειγμα, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Σπουδαίος!Μια σειρά αριθμών του Ν δεν μπορεί να αποτελείται μόνο από ζυγές ή περιττές τιμές, αφού πρέπει να εναλλάσσονται: το άρτιο ακολουθείται πάντα από περιττό, ακολουθούμενο από άρτιο και πάλι κ.λπ.

Ακίνητα Ν

Όπως όλα τα άλλα σύνολα, το N έχει τις δικές του ειδικές ιδιότητες. Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες της σειράς Ν (όχι εκτεταμένες).

• Η τιμή που είναι η μικρότερη και που δεν ακολουθεί καμία άλλη είναι μία.
• Το N αντιπροσωπεύει μια ακολουθία, δηλαδή μια φυσική τιμή ακολουθεί ένα άλλο(εκτός από ένα - είναι το πρώτο).
• Όταν εκτελούμε υπολογιστικές πράξεις σε N αθροίσματα ψηφίων και κλάσεων (προσθήκη, πολλαπλασιασμός), τότε η απάντηση αποδεικνύεται πάντα φυσικόέννοια.
• Η μετάθεση και ο συνδυασμός μπορούν να χρησιμοποιηθούν στους υπολογισμούς.
• Κάθε επόμενη τιμή δεν μπορεί να είναι μικρότερη από την προηγούμενη. Επίσης στη σειρά Ν θα ισχύει ο ακόλουθος νόμος: αν ο αριθμός Α είναι μικρότερος του Β, τότε στην αριθμητική σειρά θα υπάρχει πάντα ένα C για το οποίο ισχύει η ισότητα: A+C=B.
• Αν πάρουμε δύο φυσικές εκφράσεις, για παράδειγμα Α και Β, τότε μία από τις εκφράσεις θα ισχύει για αυτές: Α = Β, Α είναι μεγαλύτερο από Β, Α είναι μικρότερο από Β.
• Αν το Α είναι μικρότερο από το Β και το Β είναι μικρότερο από το Γ, τότε προκύπτει ότι ότι το Α είναι μικρότερο από το Γ.
• Αν το Α είναι μικρότερο από το Β, τότε προκύπτει ότι: αν προσθέσουμε την ίδια παράσταση (Γ) σε αυτά, τότε το Α + Γ είναι μικρότερο από το Β + Γ. Είναι επίσης αλήθεια ότι αν αυτές οι τιμές πολλαπλασιαστούν με C, τότε το AC είναι μικρότερο από το AB.
• Αν το Β είναι μεγαλύτερο από το Α, αλλά μικρότερο από το C, τότε: Β-Α λιγότερο S-A.

Προσοχή!Όλες οι παραπάνω ανισότητες ισχύουν και προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Πώς ονομάζονται τα συστατικά του πολλαπλασιασμού;

Σε πολλά απλά και άρτια σύνθετες εργασίεςΗ εύρεση της απάντησης εξαρτάται από τις δεξιότητες των μαθητών.

Για να πολλαπλασιάσετε γρήγορα και σωστά και να μπορέσετε να λύσετε αντίστροφα προβλήματα, πρέπει να γνωρίζετε τα συστατικά του πολλαπλασιασμού.

15. 10=150. Σε αυτή την έκφραση υπάρχουν 15 και 10 είναι πολλαπλασιαστές, και το 150 είναι προϊόν.

Ο πολλαπλασιασμός έχει ιδιότητες που είναι απαραίτητες για την επίλυση προβλημάτων, εξισώσεων και ανισώσεων:

• Η αναδιάταξη των παραγόντων δεν θα αλλάξει το τελικό προϊόν.
• Για να βρείτε έναν άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το προϊόν με έναν γνωστό παράγοντα (αληθής για όλους τους παράγοντες).

Για παράδειγμα: 15 . Χ=150. Ας διαιρέσουμε το προϊόν με έναν γνωστό παράγοντα. 150:15=10. Ας κάνουμε έναν έλεγχο. 15 . 10=150. Σύμφωνα με αυτή την αρχή, αποφασίζουν κιόλας σύνθετες γραμμικές εξισώσεις(για να τα απλοποιήσουμε).

Σπουδαίος!Ένα προϊόν μπορεί να αποτελείται από περισσότερους από δύο παράγοντες. Για παράδειγμα: 840=2 . 5. 7. 3. 4

Τι είναι οι φυσικοί αριθμοί στα μαθηματικά;

Τόποι και τάξεις φυσικών αριθμών

Σύναψη

Ας συνοψίσουμε. Το N χρησιμοποιείται κατά την καταμέτρηση ή την ένδειξη του αριθμού των στοιχείων. Η σειρά των φυσικών συνόλων αριθμών είναι άπειρη, αλλά περιλαμβάνει μόνο ακέραια και θετικά αθροίσματα ψηφίων και κλάσεων. Ο πολλαπλασιασμός είναι επίσης απαραίτητος για να να μετράει αντικείμενα, καθώς και για την επίλυση προβλημάτων, εξισώσεων και διαφόρων ανισοτήτων.

Πλοήγηση σελίδας:

Ορισμός. Φυσικοί αριθμοί- αυτοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση: 1, 2, 3, ..., n, ...

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συνήθως συμβολίζεται με το σύμβολο Ν(από λατ. naturalis- φυσικό).

Οι φυσικοί αριθμοί στο δεκαδικό σύστημα αριθμών γράφονται με δέκα ψηφία:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι παραγγελθέν σετ, δηλ. Για οποιουσδήποτε φυσικούς αριθμούς m και n ισχύει μία από τις ακόλουθες σχέσεις:

• ή m = n (m ίσον n),
• ή m > n (m μεγαλύτερο από n ),
• ή m< n (m меньше n ).

• Το λιγότερο φυσικόαριθμός - ένα (1)
• Δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός.
• Το μηδέν (0) δεν είναι φυσικός αριθμός.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι άπειρο, αφού για κάθε αριθμό n υπάρχει πάντα ένας αριθμός m μεγαλύτερος από n

Από τους γειτονικούς φυσικούς αριθμούς καλείται ο αριθμός που βρίσκεται στα αριστερά του n προηγούμενος αριθμός ν, και καλείται ο αριθμός που βρίσκεται στα δεξιά επόμενο μετά ν.

Πράξεις σε φυσικούς αριθμούς

Οι κλειστές πράξεις σε φυσικούς αριθμούς (πράξεις που προκύπτουν από φυσικούς αριθμούς) περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αριθμητικές πράξεις:

• Πρόσθεση
• Πολλαπλασιασμός
• Εκθεσιμότητα a b , όπου a είναι η βάση και b είναι ο εκθέτης. Εάν η βάση και ο εκθέτης είναι φυσικοί αριθμοί, τότε το αποτέλεσμα θα είναι ένας φυσικός αριθμός.

Επιπλέον, εξετάζονται δύο ακόμη πράξεις. Από τυπική άποψη, δεν είναι πράξεις σε φυσικούς αριθμούς, αφού το αποτέλεσμά τους δεν θα είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός.

• Αφαίρεση(Σε αυτήν την περίπτωση, το Minuend πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το Subtrahend)
• Διαίρεση

Τάξεις και τάξεις

Το μέρος είναι η θέση (θέση) ενός ψηφίου σε μια αριθμητική εγγραφή.

Η χαμηλότερη κατάταξη είναι αυτή στα δεξιά. Η πιο σημαντική κατάταξη είναι αυτή στα αριστερά.

Παράδειγμα:

5 - μονάδες, 0 - δεκάδες, 7 - εκατοντάδες,
2 - χιλιάδες, 4 - δεκάδες χιλιάδες, 8 - εκατοντάδες χιλιάδες,
3 - εκατομμύρια, 5 - δεκάδες εκατομμύρια, 1 - εκατό εκατομμύρια

Για ευκολία στην ανάγνωση, οι φυσικοί αριθμοί χωρίζονται σε ομάδες των τριών ψηφίων η καθεμία, ξεκινώντας από τα δεξιά.

Τάξη- μια ομάδα τριών ψηφίων στην οποία χωρίζεται ο αριθμός, ξεκινώντας από τα δεξιά. Η τελευταία τάξη μπορεί να αποτελείται από τρία, δύο ή ένα ψηφία.

• Η πρώτη κατηγορία είναι η κατηγορία των μονάδων.
• Η δεύτερη τάξη είναι η τάξη των χιλιάδων.
• Η τρίτη τάξη είναι η τάξη των εκατομμυρίων.
• Η τέταρτη τάξη είναι η τάξη των δισεκατομμυρίων.
• Πέμπτη τάξη - κατηγορία τρισεκατομμυρίων.
• Έκτη τάξη - κατηγορία τετράδιλιων (τετράστιχα).
• Η έβδομη τάξη είναι η κλάση των κουϊντλιονίων (κουιντλιόνια).
• Όγδοη τάξη - τάξη εξάξιων.
• Ένατη τάξη - τάξη septillion.

Παράδειγμα:

34 - δισεκατομμύρια 456 εκατομμύρια 196 χιλιάδες 45

Σύγκριση φυσικών αριθμών

1. Σύγκριση φυσικών αριθμών με διαφορετικούς αριθμούς ψηφίων

   Μεταξύ των φυσικών αριθμών, αυτός με περισσότερα ψηφία είναι μεγαλύτερος

2. Σύγκριση φυσικών αριθμών με ίσο αριθμό ψηφίων

   Συγκρίνετε τους αριθμούς σπιθαμή προς σπιθαμή, ξεκινώντας από το πιο σημαντικό ψηφίο. Αυτός που έχει περισσότερες μονάδες στην υψηλότερη ομώνυμη κατάταξη είναι μεγαλύτερος

Παράδειγμα:

3466 > 346 - αφού ο αριθμός 3466 αποτελείται από 4 ψηφία και ο αριθμός 346 αποτελείται από 3 ψηφία.

34666 < 245784 - αφού ο αριθμός 34666 αποτελείται από 5 ψηφία και ο αριθμός 245784 αποτελείται από 6 ψηφία.

Παράδειγμα:

346 667 670 52 6 986

346 667 670 56 9 429

Ο δεύτερος φυσικός αριθμός με ίσο αριθμό ψηφίων είναι μεγαλύτερος, αφού 6 > 2.

Ορισμός

Φυσικοί αριθμοίείναι αριθμοί που χρησιμοποιούνται κατά την καταμέτρηση ή για την ένδειξη του σειριακού αριθμού ενός αντικειμένου μεταξύ παρόμοιων αντικειμένων.

Για παράδειγμα.Οι φυσικοί αριθμοί θα είναι: $2,37,145,1059,24411 $

Οι φυσικοί αριθμοί γραμμένοι με αύξουσα σειρά σχηματίζουν μια σειρά αριθμών. Ξεκινά με τον μικρότερο φυσικό αριθμό 1. Το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με $N=\(1,2,3, \dots n, \ldots\)$. Είναι άπειρο γιατί δεν υπάρχει μεγαλύτερος φυσικός αριθμός. Αν προσθέσουμε ένα σε οποιονδήποτε φυσικό αριθμό, παίρνουμε τον φυσικό αριθμό που ακολουθεί τον δεδομένο αριθμό.

Παράδειγμα

Ασκηση.Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι φυσικοί αριθμοί;

$-89 $ ; 7; \frac(4)(3) ; 34; 2 ; 11; 3.2; \sqrt(129) ; \sqrt(5)$$

Απάντηση. $7 ; 34 ; 2 ; 11$

Στο σύνολο των φυσικών αριθμών εισάγονται δύο βασικές αριθμητικές πράξεις - πρόσθεση και πολλαπλασιασμός. Για να δηλώσετε αυτές τις λειτουργίες, χρησιμοποιούνται τα σύμβολα αντίστοιχα " + " Και " " (ή " × " ).

Πρόσθεση φυσικών αριθμών

Κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών $n$ και $m$ σχετίζεται με έναν φυσικό αριθμό $s$, που ονομάζεται άθροισμα. Το άθροισμα $s$ αποτελείται από τόσες μονάδες όσες υπάρχουν στους αριθμούς $n$ και $m$. Ο αριθμός $s$ λέγεται ότι λαμβάνεται προσθέτοντας τους αριθμούς $n$ και $m$ και γράφουν

Οι αριθμοί $n$ και $m$ ονομάζονται όροι. Η πράξη πρόσθεσης φυσικών αριθμών έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Ανταλλαγή: $n+m=m+n$
2. Συσχετισμός: $(n+m)+k=n+(m+k)$

Διαβάστε περισσότερα σχετικά με την προσθήκη αριθμών ακολουθώντας τον σύνδεσμο.

Παράδειγμα

Ασκηση.Βρείτε το άθροισμα των αριθμών:

$13+9 \quad$ και $ \quad 27+(3+72)$

Διάλυμα. $13+9=22$

Για να υπολογίσουμε το δεύτερο άθροισμα, για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, εφαρμόζουμε πρώτα σε αυτό την ιδιότητα συσχέτισης της πρόσθεσης:

$$27+(3+72)=(27+3)+72=30+72=102$$

Απάντηση.$13+9=22 \quad;\quad 27+(3+72)=102$

Πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Κάθε διατεταγμένο ζεύγος φυσικών αριθμών $n$ και $m$ συσχετίζεται με έναν φυσικό αριθμό $r$, που ονομάζεται γινόμενο τους. Το προϊόν $r$ περιέχει τόσες μονάδες όσες υπάρχουν στον αριθμό $n$, λαμβανόμενες τόσες φορές όσες υπάρχουν μονάδες στον αριθμό $m$. Ο αριθμός $r$ λέγεται ότι προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τους αριθμούς $n$ και $m$ και γράφουν

$n \cdot m=r \quad $ ή $ \quad n \times m=r$

Οι αριθμοί $n$ και $m$ ονομάζονται παράγοντες ή παράγοντες.

Η λειτουργία του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

1. Μεταλλαξιμότητα: $n \cdot m=m \cdot n$
2. Συσχετισμός: $(n \cdot m) \cdot k=n \cdot(m \cdot k)$

Διαβάστε περισσότερα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών ακολουθώντας τον σύνδεσμο.

Παράδειγμα

Ασκηση.Βρείτε το γινόμενο των αριθμών:

12$\cdot 3 \quad $ και $ \quad 7 \cdot 25 \cdot 4$

Διάλυμα.Εξ ορισμού της πράξης πολλαπλασιασμού:

$12 \cdot 3=12+12+12=36$$

Εφαρμόζουμε την ιδιότητα συσχέτισης του πολλαπλασιασμού στο δεύτερο γινόμενο:

$7 \cdot 25 \cdot 4=7 \cdot(25 \cdot 4)=7 \cdot 100=700$$

Απάντηση.$12 \cdot 3=36 \quad;\quad 7 \cdot 25 \cdot 4=700$

Η πράξη της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών σχετίζεται με το νόμο της κατανομής του πολλαπλασιασμού σε σχέση με την πρόσθεση:

$$(n+m) \cdot k=n \cdot k+m \cdot k$$

Το άθροισμα και το γινόμενο οποιωνδήποτε δύο φυσικών αριθμών είναι πάντα ένας φυσικός αριθμός, επομένως το σύνολο όλων των φυσικών αριθμών κλείνει με τις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

Επίσης, στο σύνολο των φυσικών αριθμών, μπορείτε να εισαγάγετε τις πράξεις της αφαίρεσης και της διαίρεσης, ως πράξεις αντίστροφες των πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, αντίστοιχα. Αλλά αυτές οι πράξεις δεν θα ορίζονται μοναδικά για οποιοδήποτε ζεύγος φυσικών αριθμών.

Η συσχετιστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού φυσικών αριθμών μας επιτρέπει να εισαγάγουμε την έννοια της φυσικής δύναμης ενός φυσικού αριθμού: η $n$th δύναμη ενός φυσικού αριθμού $m$ είναι ο φυσικός αριθμός $k$ που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμό $m $ από μόνο του $n$ φορές:

Για να δηλώσετε την $n$th δύναμη ενός αριθμού $m$, συνήθως χρησιμοποιείται ο ακόλουθος συμβολισμός: $m^(n)$, στον οποίο καλείται ο αριθμός $m$ βάση πτυχίου, και ο αριθμός $n$ είναι εκθέτης.

Παράδειγμα

Ασκηση.Βρείτε την τιμή της έκφρασης $2^(5)$

Διάλυμα.Εξ ορισμού της φυσικής ισχύος ενός φυσικού αριθμού, αυτή η έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής

$2^(5)=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2=32$$