Δίνεται η μαθηματική προσδοκία a=3 και η τυπική απόκλιση =5 μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής Χ.

Γράψτε την πυκνότητα κατανομής πιθανότητας και σχεδιάστε τη σχηματικά.

Βρείτε την πιθανότητα ότι το x θα πάρει μια τιμή από το διάστημα (2;10).

Βρείτε την πιθανότητα ότι το x θα πάρει τιμή μεγαλύτερη από 10.

Βρείτε ένα διάστημα συμμετρικό ως προς τη μαθηματική προσδοκία, στο οποίο οι τιμές της ποσότητας x θα περιέχονται με πιθανότητα =0,95.

1). Ας συνθέσουμε τη συνάρτηση πυκνότητας κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ με παραμέτρους α=3, =5 χρησιμοποιώντας τον τύπο

. Ας κατασκευάσουμε ένα σχηματικό γράφημα της συνάρτησης
. Ας δώσουμε προσοχή στο γεγονός ότι η κανονική καμπύλη είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = 3 και έχει max σε αυτό το σημείο ίσο με
, δηλ.
και δύο σημεία καμπής
με τεταγμένη

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα

2) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο:

Οι τιμές των συναρτήσεων βρίσκονται από τον πίνακα εφαρμογών.

4) Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο
. Σύμφωνα με την συνθήκη, η πιθανότητα να πέσει σε ένα διάστημα συμμετρικό σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία
. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα, βρίσκουμε το t στο οποίο Ф(t)=0,475, t=2. Μέσα
. Ετσι,
. Η απάντηση είναι x(-1;7).

Στα προβλήματα 31-40.

Βρείτε ένα διάστημα εμπιστοσύνης για μια εκτίμηση με αξιοπιστία 0,95 της άγνωστης μαθηματικής προσδοκίας a ενός κανονικά κατανεμημένου χαρακτηριστικού X πληθυσμός, εάν η γενική τυπική απόκλιση =5, ο μέσος όρος του δείγματος
και μέγεθος δείγματος n=25.

Πρέπει να βρούμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης
.

Όλες οι ποσότητες εκτός από το t είναι γνωστές. Ας βρούμε το t από την αναλογία Ф(t)=0,95/2=0,475. Χρησιμοποιώντας τον πίνακα παραρτημάτων βρίσκουμε t=1,96. Αντικαθιστώντας, τελικά έχουμε το επιθυμητό διάστημα εμπιστοσύνης 12.04

Στα προβλήματα 41-50.

Το τμήμα τεχνικού ελέγχου έλεγξε 200 παρτίδες πανομοιότυπων προϊόντων και έλαβε την ακόλουθη εμπειρική κατανομή, συχνότητα n i - ο αριθμός των παρτίδων που περιέχουν x i μη τυποποιημένα προϊόντα Απαιτείται να ελεγχθεί η υπόθεση σε επίπεδο σημαντικότητας 0,05 ότι ο αριθμός των μη τυποποιημένων προϊόντων. τυποποιημένα προϊόντα X διανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Poisson.

Ας βρούμε το δείγμα μέσου όρου:

Ας πάρουμε το δείγμα μέσου όρου =0,6 ως εκτίμηση της παραμέτρου  της κατανομής Poisson. Επομένως, ο υποτιθέμενος νόμος του Poisson
μοιάζει με
.

Ορίζοντας i=0,1,2,3,4, βρίσκουμε τις πιθανότητες P i εμφάνισης μη τυποποιημένων προϊόντων i σε 200 παρτίδες:
,
,
,
,
.

Ας βρούμε τις θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας τον τύπο
. Αντικαθιστώντας τις τιμές πιθανότητας σε αυτόν τον τύπο, παίρνουμε
,
,
,
,
.

Ας συγκρίνουμε τις εμπειρικές και τις θεωρητικές συχνότητες χρησιμοποιώντας το τεστ Pearson. Για να γίνει αυτό, θα δημιουργήσουμε έναν πίνακα υπολογισμού. Ας συνδυάσουμε τις μικρές συχνότητες (4+2=6) και τις αντίστοιχες θεωρητικές συχνότητες (3,96+0,6=4,56).

Στην πράξη, οι περισσότερες τυχαίες μεταβλητές που επηρεάζονται από μεγάλο αριθμό τυχαίων παραγόντων υπακούουν στον κανονικό νόμο κατανομής πιθανοτήτων. Επομένως, σε διάφορες εφαρμογές της θεωρίας πιθανοτήτων, αυτός ο νόμος έχει ιδιαίτερη σημασία.

Η τυχαία μεταβλητή $X$ υπακούει στον νόμο της κανονικής κατανομής πιθανότητας εάν η πυκνότητα κατανομής πιθανοτήτων έχει την ακόλουθη μορφή

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

Το γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)$ φαίνεται σχηματικά στο σχήμα και ονομάζεται «Καμπύλη Gaussian». Στα δεξιά αυτού του γραφήματος βρίσκεται το γερμανικό τραπεζογραμμάτιο των 10 μάρκων, το οποίο χρησιμοποιήθηκε πριν από την εισαγωγή του ευρώ. Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε σε αυτό το τραπεζογραμμάτιο την καμπύλη Gauss και τον ανακάλυπτά της, τον μεγαλύτερο μαθηματικό Carl Friedrich Gauss.

Ας επιστρέψουμε στη συνάρτηση πυκνότητας $f\left(x\right)$ και ας δώσουμε μερικές εξηγήσεις σχετικά με τις παραμέτρους κατανομής $a,\ (\sigma )^2$. Η παράμετρος $a$ χαρακτηρίζει το κέντρο διασποράς των τιμών μιας τυχαίας μεταβλητής, δηλαδή έχει την έννοια μιας μαθηματικής προσδοκίας. Όταν η παράμετρος $a$ αλλάξει και η παράμετρος $(\sigma )^2$ παραμένει αμετάβλητη, μπορούμε να παρατηρήσουμε μια μετατόπιση στο γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)$ κατά μήκος της τετμημένης, ενώ το γράφημα πυκνότητας η ίδια δεν αλλάζει το σχήμα της.

Η παράμετρος $(\sigma )^2$ είναι η διακύμανση και χαρακτηρίζει το σχήμα της καμπύλης του γραφήματος πυκνότητας $f\left(x\right)$. Όταν αλλάζουμε την παράμετρο $(\sigma )^2$ με την παράμετρο $a$ αμετάβλητη, μπορούμε να παρατηρήσουμε πώς το γράφημα πυκνότητας αλλάζει το σχήμα του, συμπιέζοντας ή τεντώνοντας, χωρίς να κινείται κατά μήκος του άξονα της τετμημένης.

Πιθανότητα μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα

Όπως είναι γνωστό, η πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής $X$ να πέσει στο διάστημα $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ μπορεί να υπολογιστεί $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\αριστερά(\άλφα< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Εδώ η συνάρτηση $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ είναι η Συνάρτηση Laplace. Οι τιμές αυτής της συνάρτησης λαμβάνονται από . Μπορούν να σημειωθούν οι ακόλουθες ιδιότητες της συνάρτησης $\Phi \left(x\right)$.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, δηλαδή, η συνάρτηση $\Phi \left(x\right)$ είναι περιττή.

2 . Η $\Phi \left(x\right)$ είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ αριστερά(x\δεξιά)\ )=-0,5$.

Για να υπολογίσετε τις τιμές της συνάρτησης $\Phi \left(x\right)$, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον οδηγό συνάρτησης $f_x$ στο Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\δεξιά )-0,5$. Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης $\Phi \left(x\right)$ για $x=2$.

Η πιθανότητα μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ να πέσει σε ένα συμμετρικό διάστημα σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία $a$ μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Κανόνας τριών σίγμα. Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή $X$ θα πέσει στο διάστημα $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

Παράδειγμα 1 . Η τυχαία μεταβλητή $X$ υπόκειται στον νόμο της κανονικής κατανομής πιθανοτήτων με παραμέτρους $a=2,\ \sigma =3$. Βρείτε την πιθανότητα το $X$ να πέσει στο διάστημα $\left(0.5;1\right)$ και την πιθανότητα να ικανοποιηθεί η ανισότητα $\left|X-a\right|< 0,2$.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο

$$P\αριστερά(\άλφα< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

βρίσκουμε $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ over (3 ))\δεξιά)=\Phi \left(-0,33\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\right)-\Phi \ left(0,33\right)=0,191- 0,129 = 0,062 $.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

Παράδειγμα 2 . Ας υποθέσουμε ότι κατά τη διάρκεια του έτους η τιμή των μετοχών μιας συγκεκριμένης εταιρείας είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με μαθηματική προσδοκία ίση με 50 συμβατικές νομισματικές μονάδες και τυπική απόκλιση ίση με 10. Ποια είναι η πιθανότητα ότι σε μια τυχαία επιλεγμένη ημέρα της υπό συζήτηση περιόδου η τιμή για την προσφορά θα είναι:

α) περισσότερες από 70 συμβατικές νομισματικές μονάδες;

β) κάτω από 50 ανά μετοχή;

γ) μεταξύ 45 και 58 συμβατικών νομισματικών μονάδων ανά μετοχή;

Έστω η τυχαία μεταβλητή $X$ η τιμή των μετοχών μιας συγκεκριμένης εταιρείας. Κατά συνθήκη, το $X$ υπόκειται σε μια κανονική κατανομή με παραμέτρους $a=50$ - μαθηματική προσδοκία, $\sigma =10$ - τυπική απόκλιση. Πιθανότητα $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\αριστερά(\άλφα< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ over (10))\right)=0,5-\Phi \left(2\right)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\P\αριστερά(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$in)\ P\αριστερά(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Κανονικός νόμος κατανομής πιθανοτήτων

Χωρίς υπερβολή, μπορεί να ονομαστεί φιλοσοφικός νόμος. Παρατηρώντας διάφορα αντικείμενα και διαδικασίες στον κόσμο γύρω μας, συχνά συναντάμε το γεγονός ότι κάτι δεν είναι αρκετό και ότι υπάρχει ένας κανόνας:


Εδώ είναι μια βασική άποψη συναρτήσεις πυκνότηταςκανονική κατανομή πιθανοτήτων, και σας καλωσορίζω σε αυτό το ενδιαφέρον μάθημα.

Τι παραδείγματα μπορείτε να δώσετε; Υπάρχουν απλά σκοτάδια από αυτά. Αυτό είναι, για παράδειγμα, το ύψος, το βάρος των ανθρώπων (και όχι μόνο), η σωματική τους δύναμη, οι νοητικές τους ικανότητες κ.λπ. Υπάρχει μια "κύρια μάζα" (για τον έναν ή τον άλλο λόγο)και υπάρχουν αποκλίσεις και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Αυτά είναι διαφορετικά χαρακτηριστικά των άψυχων αντικειμένων (ίδιο μέγεθος, βάρος). Αυτή είναι μια τυχαία διάρκεια διεργασιών, για παράδειγμα, ο χρόνος ενός αγώνα εκατό μέτρων ή η μετατροπή της ρητίνης σε κεχριμπάρι. Από τη φυσική, θυμήθηκα τα μόρια του αέρα: μερικά από αυτά είναι αργά, άλλα είναι γρήγορα, αλλά τα περισσότερα κινούνται με «τυποποιημένες» ταχύτητες.

Στη συνέχεια, αποκλίνουμε από το κέντρο κατά μία ακόμη τυπική απόκλιση και υπολογίζουμε το ύψος:

Σημείωση σημείων στο σχέδιο (πράσινος)και βλέπουμε ότι αυτό είναι αρκετά.

Στο τελικό στάδιο, σχεδιάστε προσεκτικά ένα γράφημα και ιδιαίτερα προσεκτικάαντανακλούν το κυρτός/κοίλος! Λοιπόν, μάλλον έχετε συνειδητοποιήσει εδώ και πολύ καιρό ότι ο άξονας x είναι οριζόντια ασύμπτωτη, και είναι απολύτως απαγορευμένο να «σκαρφαλώνεις» πίσω του!

Όταν υποβάλλετε μια λύση ηλεκτρονικά, είναι εύκολο να δημιουργήσετε ένα γράφημα στο Excel, και απροσδόκητα για τον εαυτό μου, ηχογράφησα ακόμη και ένα σύντομο βίντεο για αυτό το θέμα. Αλλά πρώτα, ας μιλήσουμε για το πώς αλλάζει το σχήμα της κανονικής καμπύλης ανάλογα με τις τιμές του και.

Όταν αυξάνεται ή μειώνεται το "a" (με σταθερό «σίγμα»)το γράφημα διατηρεί το σχήμα του και κινείται δεξιά/αριστεράαντίστοιχα. Έτσι, για παράδειγμα, όταν η συνάρτηση παίρνει τη μορφή και το γράφημά μας "μετακινεί" 3 μονάδες προς τα αριστερά - ακριβώς στην αρχή των συντεταγμένων:


Μια κανονικά κατανεμημένη ποσότητα με μηδενική μαθηματική προσδοκία έλαβε ένα εντελώς φυσικό όνομα - κεντραρισμένος; συνάρτηση πυκνότητάς του – ακόμη και, και το γράφημα είναι συμμετρικό ως προς την τεταγμένη.

Σε περίπτωση αλλαγής «σίγμα» (με σταθερά "a"), το γράφημα "μένει το ίδιο" αλλά αλλάζει σχήμα. Όταν μεγεθύνεται, γίνεται χαμηλότερο και επιμήκη, σαν ένα χταπόδι που τεντώνει τα πλοκάμια του. Και, αντίστροφα, κατά τη μείωση του γραφήματος γίνεται στενότερο και ψηλότερο- αποδεικνύεται ότι είναι ένα "έκπληκτο χταπόδι". Ναι, πότε μείωση"Sigma" δύο φορές: το προηγούμενο γράφημα στενεύει και επεκτείνεται δύο φορές:

Όλα είναι σε πλήρη συμφωνία με γεωμετρικοί μετασχηματισμοί γραφημάτων.

Μια κανονική κατανομή με τιμή μονάδας σίγμα ονομάζεται κανονικοποιημένη, και αν είναι επίσης κεντραρισμένος(η περίπτωσή μας), τότε μια τέτοια κατανομή ονομάζεται πρότυπο. Έχει μια ακόμη πιο απλή συνάρτηση πυκνότητας, η οποία έχει ήδη βρεθεί σε Τοπικό θεώρημα του Laplace: . Η τυπική διανομή έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην πράξη και πολύ σύντομα θα καταλάβουμε επιτέλους τον σκοπό της.

Λοιπόν, ας δούμε τώρα την ταινία:

Ναι, απόλυτο δίκιο - κατά κάποιο τρόπο άδικα έμεινε στη σκιά συνάρτηση κατανομής πιθανότητας. Ας τη θυμόμαστε ορισμός:
– η πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να πάρει μια τιμή ΛΙΓΟΤΕΡΑ από τη μεταβλητή που «διατρέχει» όλες τις πραγματικές τιμές μέχρι το «συν» άπειρο.

Μέσα στο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιείται συνήθως ένα διαφορετικό γράμμα, έτσι ώστε να μην υπάρχουν "επικαλύψεις" με τη σημείωση, επειδή εδώ κάθε τιμή σχετίζεται με ακατάλληλο ολοκλήρωμα , που ισούται με κάποιους αριθμόςαπό το διάστημα .

Σχεδόν όλες οι τιμές δεν μπορούν να υπολογιστούν με ακρίβεια, αλλά όπως είδαμε μόλις, με τη σύγχρονη υπολογιστική ισχύ αυτό δεν είναι δύσκολο. Έτσι, για τη λειτουργία τυπική διανομή, η αντίστοιχη συνάρτηση Excel περιέχει γενικά ένα όρισμα:

=NORMSDIST(z)

Ένα, δύο - και τελειώσατε:

Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα την υλοποίηση όλων ιδιότητες συνάρτησης διανομής, και από τις τεχνικές αποχρώσεις εδώ θα πρέπει να δώσετε προσοχή οριζόντιες ασύμπτωτεςκαι το σημείο καμπής.

Τώρα ας θυμηθούμε μια από τις βασικές εργασίες του θέματος, δηλαδή, να βρούμε την πιθανότητα μια κανονική τυχαία μεταβλητή θα πάρει την τιμή από το διάστημα. Γεωμετρικά, αυτή η πιθανότητα είναι ίση με έκτασημεταξύ της κανονικής καμπύλης και του άξονα x στην αντίστοιχη ενότητα:

αλλά κάθε φορά προσπαθώ να πάρω μια κατά προσέγγιση τιμή είναι παράλογο, και ως εκ τούτου είναι πιο ορθολογικό να χρησιμοποιείται "ελαφριά" φόρμουλα:
.

! Επίσης θυμάται , Τι

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ξανά το Excel, αλλά υπάρχουν μερικά σημαντικά "αλλά": πρώτον, δεν είναι πάντα διαθέσιμο και δεύτερον, οι τιμές "έτοιμες" πιθανότατα θα προκαλέσουν ερωτήσεις από τον δάσκαλο. Γιατί;

Έχω μιλήσει για αυτό πολλές φορές στο παρελθόν: κάποτε (και όχι πολύ καιρό πριν) μια κανονική αριθμομηχανή ήταν πολυτέλεια και η «χειροκίνητη» μέθοδος επίλυσης του εν λόγω προβλήματος διατηρείται ακόμα στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία. Η ουσία του είναι να τυποποιώτιμές "άλφα" και "βήτα", δηλαδή μειώνουν τη λύση στην τυπική κατανομή:

Σημείωμα : η συνάρτηση είναι εύκολο να ληφθεί από τη γενική περίπτωσηχρησιμοποιώντας γραμμικό αντικαταστάσεις. Στη συνέχεια επίσης:

και από την αντικατάσταση που έγινε ο τύπος έχει ως εξής: μετάβαση από τις τιμές μιας αυθαίρετης κατανομής στις αντίστοιχες τιμές μιας τυπικής κατανομής.

Γιατί είναι απαραίτητο αυτό; Το γεγονός είναι ότι οι τιμές υπολογίστηκαν σχολαστικά από τους προγόνους μας και συγκεντρώθηκαν σε έναν ειδικό πίνακα, ο οποίος βρίσκεται σε πολλά βιβλία στο terwer. Αλλά ακόμα πιο συχνά υπάρχει ένας πίνακας τιμών, με τον οποίο έχουμε ήδη ασχοληθεί Το ολοκληρωτικό θεώρημα του Laplace:

Αν έχουμε στη διάθεσή μας έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης Laplace , τότε λύνουμε μέσω αυτού:

Οι κλασματικές τιμές στρογγυλοποιούνται παραδοσιακά σε 4 δεκαδικά ψηφία, όπως γίνεται στον τυπικό πίνακα. Και για έλεγχο υπάρχει Σημείο 5 σχέδιο.

Σας το θυμίζω , και για να αποφευχθεί η σύγχυση πάντα έλεγχος, ένας πίνακας της λειτουργίας WHAT είναι μπροστά στα μάτια σας.

Απάντησηαπαιτείται να δίνεται ως ποσοστό, επομένως η υπολογισμένη πιθανότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί 100 και το αποτέλεσμα να παρέχεται με ένα σημαντικό σχόλιο:

– με πτήση από 5 έως 70 m, θα πέσει περίπου το 15,87% των οβίδων

Προπονούμαστε μόνοι μας:

Παράδειγμα 3

Η διάμετρος των εργοστασιακών ρουλεμάν είναι μια τυχαία μεταβλητή, κανονικά κατανεμημένη με μαθηματική προσδοκία 1,5 cm και τυπική απόκλιση 0,04 cm Βρείτε την πιθανότητα το μέγεθος ενός τυχαία επιλεγμένου ρουλεμάν να κυμαίνεται από 1,4 έως 1,6 cm.

Στη λύση του δείγματος και παρακάτω, θα χρησιμοποιήσω τη συνάρτηση Laplace ως την πιο κοινή επιλογή. Παρεμπιπτόντως, σημειώστε ότι σύμφωνα με τη διατύπωση, τα άκρα του διαστήματος μπορούν να συμπεριληφθούν στην εξέταση εδώ. Ωστόσο, αυτό δεν είναι κρίσιμο.

Και ήδη σε αυτό το παράδειγμα συναντήσαμε μια ειδική περίπτωση - όταν το διάστημα είναι συμμετρικό σε σχέση με τη μαθηματική προσδοκία. Σε μια τέτοια περίπτωση, μπορεί να γραφτεί με τη μορφή και, χρησιμοποιώντας την παραδοξότητα της συνάρτησης Laplace, να απλοποιήσει τον τύπο εργασίας:

Καλείται η παράμετρος δέλτα παρέκκλισηαπό τη μαθηματική προσδοκία, και η διπλή ανισότητα μπορεί να «συσκευαστεί» χρησιμοποιώντας μονάδα μέτρησης:

– την πιθανότητα η τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής να αποκλίνει από τη μαθηματική προσδοκία κατά λιγότερο από .

Είναι καλό που η λύση χωράει σε μια γραμμή :)
– η πιθανότητα η διάμετρος ενός τυχαία ρουλεμάν να διαφέρει από 1,5 cm κατά όχι περισσότερο από 0,1 cm.

Το αποτέλεσμα αυτής της εργασίας αποδείχθηκε ότι ήταν κοντά στην ενότητα, αλλά θα ήθελα ακόμη μεγαλύτερη αξιοπιστία - δηλαδή, να μάθω τα όρια εντός των οποίων βρίσκεται η διάμετρος σχεδόν όλοιρουλεμάν. Υπάρχει κάποιο κριτήριο για αυτό; Υπάρχει! Στο ερώτημα που τίθεται απαντούν οι λεγόμενοι

κανόνας τριών σίγμα

Η ουσία του είναι αυτή πρακτικά αξιόπιστη είναι το γεγονός ότι μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή θα πάρει μια τιμή από το διάστημα .

Πράγματι, η πιθανότητα απόκλισης από την αναμενόμενη τιμή είναι μικρότερη από:
ή 99,73%

Όσον αφορά τα ρουλεμάν, πρόκειται για 9973 κομμάτια με διάμετρο από 1,38 έως 1,62 cm και μόνο 27 «υποτυπώδη» αντίγραφα.

Στην πρακτική έρευνα, ο κανόνας των τριών σίγμα εφαρμόζεται συνήθως προς την αντίθετη κατεύθυνση: αν στατιστικώςΔιαπιστώθηκε ότι σχεδόν όλες οι τιμές τυχαία μεταβλητή υπό μελέτηεμπίπτουν σε ένα διάστημα 6 τυπικών αποκλίσεων, τότε υπάρχουν επιτακτικοί λόγοι να πιστεύουμε ότι αυτή η τιμή κατανέμεται σύμφωνα με έναν κανονικό νόμο. Η επαλήθευση πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τη θεωρία στατιστικές υποθέσεις.

Συνεχίζουμε να λύνουμε τα σκληρά σοβιετικά προβλήματα:

Παράδειγμα 4

Η τυχαία τιμή του σφάλματος ζύγισης κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με μηδενική μαθηματική προσδοκία και τυπική απόκλιση 3 γραμμαρίων. Βρείτε την πιθανότητα η επόμενη ζύγιση να γίνει με σφάλμα που δεν υπερβαίνει τα 5 γραμμάρια σε απόλυτη τιμή.

Διάλυμαπολύ απλό. Κατά συνθήκη, σημειώνουμε αμέσως ότι στην επόμενη ζύγιση (κάτι ή κάποιος)θα πάρουμε σχεδόν 100% το αποτέλεσμα με ακρίβεια 9 γραμμαρίων. Αλλά το πρόβλημα περιλαμβάνει μια στενότερη απόκλιση και σύμφωνα με τον τύπο :

– η πιθανότητα η επόμενη ζύγιση να γίνει με σφάλμα που δεν υπερβαίνει τα 5 γραμμάρια.

Απάντηση:

Το λυμένο πρόβλημα είναι θεμελιωδώς διαφορετικό από ένα φαινομενικά παρόμοιο. Παράδειγμα 3μάθημα για ομοιόμορφη κατανομή. Παρουσιάστηκε σφάλμα στρογγύλεμααποτελέσματα μετρήσεων, εδώ μιλάμε για το τυχαίο σφάλμα των ίδιων των μετρήσεων. Τέτοια σφάλματα προκύπτουν λόγω των τεχνικών χαρακτηριστικών της ίδιας της συσκευής. (το εύρος των αποδεκτών σφαλμάτων συνήθως αναφέρεται στο διαβατήριό του), και επίσης λόγω υπαιτιότητας του πειραματιστή - όταν, για παράδειγμα, "με το μάτι" παίρνουμε μετρήσεις από τη βελόνα της ίδιας ζυγαριάς.

Μεταξύ άλλων, υπάρχουν και τα λεγόμενα συστηματικόςσφάλματα μέτρησης. Είναι ήδη μη τυχαίασφάλματα που προκύπτουν λόγω εσφαλμένης εγκατάστασης ή λειτουργίας της συσκευής. Για παράδειγμα, οι μη ρυθμισμένες ζυγαριές δαπέδου μπορούν να «προσθέτουν» σταθερά κιλά και ο πωλητής βαραίνει συστηματικά τους πελάτες. Ή μπορεί να υπολογιστεί όχι συστηματικά. Ωστόσο, σε κάθε περίπτωση, ένα τέτοιο σφάλμα δεν θα είναι τυχαίο και η προσδοκία του είναι διαφορετική από το μηδέν.

…Αναπτύσσω επειγόντως ένα εκπαιδευτικό σεμινάριο πωλήσεων =)

Ας λύσουμε μόνοι μας το αντίστροφο πρόβλημα:

Παράδειγμα 5

Η διάμετρος του κυλίνδρου είναι μια τυχαία κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή, η τυπική της απόκλιση είναι ίση με mm. Βρείτε το μήκος του διαστήματος, συμμετρικό ως προς τη μαθηματική προσδοκία, στο οποίο είναι πιθανό να πέσει το μήκος της διαμέτρου του κυλίνδρου.

Σημείο 5* διάταξη σχεδίασηςνα βοηθήσει. Σημειώστε ότι η μαθηματική προσδοκία δεν είναι γνωστή εδώ, αλλά αυτό δεν μας εμποδίζει καθόλου να λύσουμε το πρόβλημα.

Και μια εργασία εξέτασης που συνιστώ ανεπιφύλακτα για την ενίσχυση της ύλης:

Παράδειγμα 6

Μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή καθορίζεται από τις παραμέτρους της (μαθηματική προσδοκία) και (τυπική απόκλιση). Υποχρεούμαι:

α) Καταγράψτε την πυκνότητα πιθανότητας και απεικονίστε σχηματικά το γράφημά της.
β) βρείτε την πιθανότητα να πάρει μια τιμή από το διάστημα ;
γ) βρείτε την πιθανότητα ότι η απόλυτη τιμή θα αποκλίνει από όχι περισσότερο από ?
δ) χρησιμοποιώντας τον κανόνα «τρία σίγμα», βρείτε τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής.

Τέτοια προβλήματα προσφέρονται παντού και με τα χρόνια πρακτικής έχω λύσει εκατοντάδες και εκατοντάδες από αυτά. Φροντίστε να εξασκηθείτε στο να σχεδιάζετε ένα σχέδιο με το χέρι και χρησιμοποιώντας χάρτινα τραπέζια.)

Λοιπόν, θα εξετάσω ένα παράδειγμα αυξημένης πολυπλοκότητας:

Παράδειγμα 7

Η πυκνότητα κατανομής πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής έχει τη μορφή . Εύρεση, μαθηματική προσδοκία, διασπορά, συνάρτηση κατανομής, δόμηση γραφημάτων πυκνότητας και συναρτήσεις κατανομής, εύρεση.

Διάλυμα: Πρώτα απ 'όλα, ας σημειώσουμε ότι η συνθήκη δεν λέει τίποτα για τη φύση της τυχαίας μεταβλητής. Η παρουσία ενός εκθέτη από μόνη της δεν σημαίνει τίποτα: μπορεί να αποδειχθεί, για παράδειγμα, ενδεικτικόςή ακόμα και αυθαίρετα συνεχής διανομή. Και επομένως η «κανονικότητα» της διανομής πρέπει ακόμα να δικαιολογηθεί:

Από τη λειτουργία καθορίζεται σε κάθεπραγματική αξία και μπορεί να μειωθεί στη μορφή , τότε η τυχαία μεταβλητή κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο.

Πάμε λοιπόν. Για αυτό επιλέξτε ένα πλήρες τετράγωνοκαι οργανώστε τριώροφο κλάσμα:


Φροντίστε να εκτελέσετε έναν έλεγχο, επιστρέφοντας την ένδειξη στην αρχική της μορφή:

, αυτό που θέλαμε να δούμε.

Ετσι:
- Από κανόνας λειτουργιών με εξουσίες"τσιμπήστε" Και εδώ μπορείτε να γράψετε αμέσως τα προφανή αριθμητικά χαρακτηριστικά:

Τώρα ας βρούμε την τιμή της παραμέτρου. Εφόσον ο πολλαπλασιαστής κανονικής κατανομής έχει τη μορφή και , τότε:
, από όπου εκφράζουμε και αντικαθιστούμε στη συνάρτησή μας:
, μετά από την οποία θα ξαναπεράσουμε την εγγραφή με τα μάτια μας και θα βεβαιωθούμε ότι η συνάρτηση που προκύπτει έχει τη μορφή .

Ας φτιάξουμε ένα γράφημα πυκνότητας:

και γράφημα συνάρτησης διανομής :

Εάν δεν έχετε το Excel ή ακόμα και μια κανονική αριθμομηχανή στο χέρι, τότε το τελευταίο γράφημα μπορεί εύκολα να κατασκευαστεί χειροκίνητα! Στο σημείο η συνάρτηση κατανομής παίρνει την τιμή και εδώ είναι

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, παραδείγματα κατανομών πιθανοτήτων συνεχής τυχαία μεταβλητή Τα Χ είναι:

• ομοιόμορφη κατανομή
• εκθετική κατανομή πιθανότητες συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.
• κανονική κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής.

Ας δώσουμε την έννοια ενός νόμου κανονικής κατανομής, τη συνάρτηση κατανομής ενός τέτοιου νόμου και τη διαδικασία για τον υπολογισμό της πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ να πέσει σε ένα ορισμένο διάστημα.

№	Δείκτης	Κανονικός νόμος διανομής	Σημείωμα
	Ορισμός	Λέγεται κανονικό κατανομή πιθανότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ, της οποίας η πυκνότητα έχει τη μορφή
			όπου m x είναι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας μεταβλητής X, σ x είναι η τυπική απόκλιση
2	Λειτουργία διανομής
	Πιθανότητα εμπίπτει στο διάστημα (a;b)		- Ολοκληρωτική συνάρτηση Laplace
	Πιθανότητα το γεγονός ότι η απόλυτη τιμή της απόκλισης είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό δ		σε m x = 0

Ένα παράδειγμα επίλυσης ενός προβλήματος με θέμα "Νόμος κανονικής κατανομής μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής"

Εργο.

Το μήκος Χ ενός συγκεκριμένου τμήματος είναι μια τυχαία μεταβλητή που κατανέμεται σύμφωνα με τον νόμο της κανονικής κατανομής και έχει μέση τιμή 20 mm και τυπική απόκλιση 0,2 mm.
Απαραίτητος:
α) γράψτε την έκφραση για την πυκνότητα κατανομής.
β) βρείτε την πιθανότητα ότι το μήκος του εξαρτήματος θα είναι μεταξύ 19,7 και 20,3 mm.
γ) βρείτε την πιθανότητα η απόκλιση να μην υπερβαίνει το 0,1 mm.
δ) προσδιορίστε ποιο ποσοστό είναι τα μέρη των οποίων η απόκλιση από τη μέση τιμή δεν υπερβαίνει το 0,1 mm.
ε) Βρείτε ποια πρέπει να οριστεί η απόκλιση έτσι ώστε το ποσοστό των τμημάτων των οποίων η απόκλιση από τον μέσο όρο δεν υπερβαίνει την καθορισμένη τιμή να αυξηθεί στο 54%.
στ) βρείτε ένα διάστημα συμμετρικό ως προς τη μέση τιμή στην οποία θα βρίσκεται το X με πιθανότητα 0,95.

Διάλυμα. ΕΝΑ)Βρίσκουμε την πυκνότητα πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής Χ που κατανέμεται σύμφωνα με έναν κανονικό νόμο:

με την προϋπόθεση ότι m x =20, σ =0,2.

σι)Για μια κανονική κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής, η πιθανότητα πτώσης στο διάστημα (19,7; 20,3) προσδιορίζεται από:
Ф((20,3-20)/0,2) – Ф((19,7-20)/0,2) = Ф(0,3/0,2) – Ф(-0,3/0, 2) = 2Ф(0,3/0,2) = 2Ф(1,5) = 2*0,4332 = 0,8664.
Βρήκαμε την τιμή Ф(1,5) = 0,4332 στα παραρτήματα, στον πίνακα τιμών της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace Φ(x) ( πίνακας 2 )

V)Βρίσκουμε την πιθανότητα η απόλυτη τιμή της απόκλισης να είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό 0,1:
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
Βρήκαμε την τιμή Ф(0,5) = 0,1915 στα παραρτήματα, στον πίνακα τιμών της ολοκληρωτικής συνάρτησης Laplace Φ(x) ( πίνακας 2 )

ΣΟΛ)Εφόσον η πιθανότητα απόκλισης μικρότερης από 0,1 mm είναι 0,383, προκύπτει ότι κατά μέσο όρο 38,3 μέρη από τα 100 θα έχουν τέτοια απόκλιση, δηλ. 38,3%.

ρε)Δεδομένου ότι το ποσοστό των εξαρτημάτων των οποίων η απόκλιση από τον μέσο όρο δεν υπερβαίνει την καθορισμένη τιμή έχει αυξηθεί στο 54%, τότε P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27.

Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή ( πίνακας 2 ), βρίσκουμε δ/σ = 0,74. Ως εκ τούτου δ = 0,74*σ = 0,74*0,2 = 0,148 mm.

μι)Δεδομένου ότι το απαιτούμενο διάστημα είναι συμμετρικό ως προς τη μέση τιμή m x = 20, μπορεί να οριστεί ως το σύνολο τιμών του X που ικανοποιεί την ανισότητα 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ .

Σύμφωνα με την συνθήκη, η πιθανότητα εύρεσης του X στο επιθυμητό διάστημα είναι 0,95, που σημαίνει P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475.

Χρησιμοποιώντας την εφαρμογή ( πίνακας 2 ), βρίσκουμε δ/σ = 1,96. Ως εκ τούτου δ = 1,96*σ = 1,96*0,2 = 0,392.
Διάστημα αναζήτησης : (20 – 0,392; 20 + 0,392) ή (19,608; 20,392).