Τύποι συναρτήσεων ισχύος, ιδιότητες και γραφήματα. Βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις: οι ιδιότητες και οι γραφικές παραστάσεις τους. Παράγωγος εκθετικής συνάρτησης

Στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ισχύος y = x p ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Ιδιότητες συναρτήσεων ισχύος και γραφικές παραστάσεις τους

Συνάρτηση ισχύος με εκθέτη ίσο με μηδέν, p = 0

Εάν ο εκθέτης της συνάρτησης ισχύος y = x p είναι ίσος με μηδέν, p = 0, τότε η συνάρτηση ισχύος ορίζεται για όλα τα x ≠ 0 και είναι σταθερά ίση με ένα:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό περιττό εκθέτη, p = n = 1, 3, 5, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό περιττό εκθέτη n = 1, 3, 5, ... .

Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: n = 2k + 1, όπου k = 0, 1, 2, 3, ... είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος αριθμός. Παρακάτω είναι οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Εκταση: -∞ < y < ∞
Πολλαπλές έννοιες:Ισοτιμία:
περιττό, y(-x) = - y(x)Μονότονη ομιλία:
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχι
Κυρτός:< x < 0 выпукла вверх
στο -∞< x < ∞ выпукла вниз
στο 0Σημεία καμπής:
Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
;
Όρια:
Ιδιωτικές αξίες:
σε x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
Αντίστροφη λειτουργία:
για n = 1, η συνάρτηση είναι το αντίστροφό της: x = y για n ≠ 1,αντίστροφη συνάρτηση

είναι η ρίζα του βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με φυσικό άρτιο εκθέτη, p = n = 2, 4, 6, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη n = 2, 4, 6, ... .

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Εκταση:Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: n = 2k, όπου k = 1, 2, 3, ... - φυσικό. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.< ∞
Πολλαπλές έννοιες:Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
ζυγός, y(-x) = y(x)
αυξάνεται μονοτονικάγια x ≤ 0 μειώνεται μονοτονικά
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
;
Όρια:
κυρτό προς τα κάτω Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
για n = 2, τετραγωνική ρίζα:
για n ≠ 2, ρίζα βαθμού n:

Συνάρτηση ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, p = n = -1, -2, -3, ...

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη n = -1, -2, -3, ... .

Αν βάλουμε n = -k, όπου k = 1, 2, 3, ... είναι φυσικός αριθμός, τότε μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με αρνητικό ακέραιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = -1, -2, -3, ....

Περιττός εκθέτης, n = -1, -3, -5, ...

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ....
Εκταση: x ≠ 0
Πολλαπλές έννοιες:Ισοτιμία:
περιττό, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχι
μειώνεται μονοτονικά< 0 : выпукла вверх
στο x
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Ακρα:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτω
μειώνεται μονοτονικά< 0, y < 0
Σημείο:
x = 0, y = 0
; ; ;
Όρια:
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
για x > 0, y > 0
όταν n = -1,< -2 ,

στο ν

Ζυγός εκθέτης, n = -2, -4, -6, ...

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ....
Εκταση:Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ....
Πολλαπλές έννοιες:Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x)
μειώνεται μονοτονικά< 0 : монотонно возрастает
y > 0
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Ακρα:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτωΑκολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Όρια:
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1
για x > 0: μειώνεται μονοτονικά
όταν n = -1,< -2 ,

σε n = -2,

Συνάρτηση ισχύος με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με ορθολογικό (κλασματικό) εκθέτη, όπου n είναι ακέραιος, m > 1 είναι φυσικός αριθμός. Επιπλέον, τα n, m δεν έχουν κοινούς διαιρέτες.

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι περιττός

Έστω περιττός ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 3, 5, 7, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p ορίζεται τόσο για τις θετικές όσο και για τις αρνητικές τιμές του ορίσματος x.< 0

Ας εξετάσουμε τις ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων ισχύος όταν ο εκθέτης p είναι εντός ορισμένων ορίων.

Η τιμή p είναι αρνητική, p

Έστω ο ορθολογικός εκθέτης (με περιττό παρονομαστή m = 3, 5, 7, ...) μικρότερος από το μηδέν: .

Γραφήματα συναρτήσεων ισχύος με ορθολογικό αρνητικό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη, όπου m = 3, 5, 7, ... - περιττό.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ....
Εκταση: x ≠ 0
Πολλαπλές έννοιες:Ισοτιμία:
περιττό, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχι
μειώνεται μονοτονικά< 0 : выпукла вверх
στο x
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Ακρα:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτω
μειώνεται μονοτονικά< 0, y < 0
Σημείο:
x = 0, y = 0
; ; ;
Όρια:
Περιττός αριθμητής, n = -1, -3, -5, ...
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Παρουσιάζουμε τις ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με λογικό αρνητικό εκθέτη, όπου n = -1, -3, -5, ... είναι περιττός αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι ένας περιττός φυσικός ακέραιος αριθμός.

σε x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με περιττό αρνητικό εκθέτη n = -1, -3, -5, ....
Εκταση:Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ....
Πολλαπλές έννοιες:Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x)
μειώνεται μονοτονικά< 0 : монотонно возрастает
y > 0
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Ακρα:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτωΑκολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Όρια:
Ζυγός αριθμητής, n = -2, -4, -6, ...
σε x = 0, y(0) = 0 n = 0
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με λογικό αρνητικό εκθέτη, όπου n = -2, -4, -6, ... είναι άρτιος αρνητικός ακέραιος, m = 3, 5, 7 ... είναι περιττός φυσικός ακέραιος αριθμός .< p < 1

σε x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Η τιμή p είναι θετική, μικρότερη από ένα, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Εκταση: -∞ < y < +∞
Πολλαπλές έννοιες:Ισοτιμία:
περιττό, y(-x) = - y(x)Μονότονη ομιλία:
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχι
μειώνεται μονοτονικά< 0 : выпукла вниз
Γράφημα συνάρτησης ισχύος με λογικό εκθέτη (0
στο 0Σημεία καμπής:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτω
μειώνεται μονοτονικά< 0, y < 0
Σημείο:
x = 0, y = 0
;
Όρια:
Περιττός αριθμητής, n = 1, 3, 5, ...
για x > 0: κυρτό προς τα πάνω
σε x = -1, y(-1) = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ζυγός αριθμητής, n = 2, 4, 6, ...

Παρουσιάζονται οι ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με λογικό εκθέτη εντός 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
Εκταση:Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: n = 2k, όπου k = 1, 2, 3, ... - φυσικό. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.< +∞
Πολλαπλές έννοιες:Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x)
μειώνεται μονοτονικά< 0 : монотонно убывает
για x > 0: αυξάνεται μονότονα
αυξάνεται μονοτονικάελάχιστο σε x = 0, y = 0
Οχικυρτό προς τα πάνω για x ≠ 0
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
για x > 0: κυρτό προς τα κάτωγια x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Όρια:
σε x = -1, y(-1) = 1
για x > 0: κυρτό προς τα πάνω
σε x = -1, y(-1) = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Ο δείκτης p είναι μεγαλύτερος από ένα, p > 1

Γράφημα συνάρτησης ισχύος με λογικό εκθέτη (p > 1) για διάφορες τιμές του εκθέτη, όπου m = 3, 5, 7, ... είναι περιττό.

Περιττός αριθμητής, n = 5, 7, 9, ...

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: .

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Εκταση: -∞ < y < ∞
Πολλαπλές έννοιες:Ισοτιμία:
περιττό, y(-x) = - y(x)Μονότονη ομιλία:
αυξάνεται μονοτονικάΑκρα:
Οχι
Κυρτός:< x < 0 выпукла вверх
στο -∞< x < ∞ выпукла вниз
στο 0Σημεία καμπής:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
;
Όρια:
Περιττός αριθμητής, n = 1, 3, 5, ...
για x > 0: κυρτό προς τα πάνω
σε x = -1, y(-1) = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Όπου n = 5, 7, 9, ... - περιττό φυσικό, m = 3, 5, 7 ... - περιττό φυσικό.

Ζυγός αριθμητής, n = 4, 6, 8, ...

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
Εκταση:Αυτός ο δείκτης μπορεί επίσης να γραφτεί με τη μορφή: n = 2k, όπου k = 1, 2, 3, ... - φυσικό. Οι ιδιότητες και τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων δίνονται παρακάτω.< ∞
Πολλαπλές έννοιες:Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό άρτιο εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 2, 4, 6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x)
μειώνεται μονοτονικά< 0 монотонно убывает
Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος y = x p με ρητό εκθέτη μεγαλύτερο του ενός: .
αυξάνεται μονοτονικάελάχιστο σε x = 0, y = 0
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
;
Όρια:
σε x = -1, y(-1) = 1
για x > 0: κυρτό προς τα πάνω
σε x = -1, y(-1) = -1
για x = 1, y(1) = 1 n = 1

Όπου n = 4, 6, 8, ... - άρτιο φυσικό, m = 3, 5, 7 ... - περιττό φυσικό.

για x > 0 αυξάνεται μονοτονικά

Ο παρονομαστής του κλασματικού δείκτη είναι άρτιος

Έστω άρτιος ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη: m = 2, 4, 6, ... . Σε αυτήν την περίπτωση, η συνάρτηση ισχύος x p δεν ορίζεται για αρνητικές τιμές του ορίσματος. Οι ιδιότητές του συμπίπτουν με τις ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος με παράλογο εκθέτη (δείτε την επόμενη ενότητα).

Συνάρτηση ισχύος με παράλογο εκθέτη

Θεωρήστε μια συνάρτηση ισχύος y = x p με παράλογο εκθέτη p.< 0

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Οι ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων διαφέρουν από αυτές που συζητήθηκαν παραπάνω στο ότι δεν ορίζονται για αρνητικές τιμές του ορίσματος x.
Εκταση:Ακολουθούν οι ιδιότητες της συνάρτησης y = x n με άρτιο αρνητικό εκθέτη n = -2, -4, -6, ....
περιττό, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Ακρα:
x = 0, y = 0 ;
Για θετικές τιμές του ορίσματος, οι ιδιότητες εξαρτώνται μόνο από την τιμή του εκθέτη p και δεν εξαρτώνται από το αν το p είναι ακέραιος, ορθολογικός ή παράλογος. y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

Συνάρτηση ισχύος με αρνητικό εκθέτη p

x > 0< p < 1

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ιδιωτική σημασία:
Εκταση:Για x = 1, y(1) = 1 p = 1
περιττό, y(-x) = - y(x)Μονότονη ομιλία:
ΟχιΣυνάρτηση ισχύος με θετικό εκθέτη p > 0
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
Όρια:Δείκτης μικρότερος από ένα 0
y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

x ≥ 0

Γράφημα μιας συνάρτησης ισχύος y = x n με φυσικό περιττό εκθέτη για διάφορες τιμές του εκθέτη n = 1, 3, 5, ....Ιδιωτική σημασία:
Εκταση:Για x = 1, y(1) = 1 p = 1
περιττό, y(-x) = - y(x)Μονότονη ομιλία:
Οχιγια x ≥ 0 αυξάνεται μονοτονικά
στο 0Ακρα:
ελάχιστο, x = 0, y = 0Σημεία καμπής:
x = 0, y = 0
Όρια:Δείκτης μικρότερος από ένα 0
y = x p για διαφορετικές τιμές του εκθέτη p.

y ≥ 0
κυρτό προς τα πάνω

Για x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

Ο δείκτης είναι μεγαλύτερος από ένα p > 1 Χρησιμοποιημένη βιβλιογραφία:ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.

Το παρακάτω άρθρο παρέχει βασικό υλικό για το θέμα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Θα εισαγάγουμε όρους, θα τους δώσουμε ορισμούς. Ας μελετήσουμε λεπτομερώς κάθε τύπο στοιχειωδών συναρτήσεων και ας αναλύσουμε τις ιδιότητές τους.

Διακρίνονται οι ακόλουθοι τύποι βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων:

Ορισμός 1

σταθερή συνάρτηση (σταθερή);
νύοστη ρίζα;
λειτουργία ισχύος?
εκθετική συνάρτηση;
λογαριθμική συνάρτηση;
τριγωνομετρικές συναρτήσεις;
αδελφικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Μια σταθερή συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο: y = C (C είναι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός) και έχει επίσης ένα όνομα: σταθερά. Αυτή η συνάρτηση καθορίζει την αντιστοιχία οποιασδήποτε πραγματικής τιμής της ανεξάρτητης μεταβλητής x στην ίδια τιμή της μεταβλητής y - την τιμή του C.

Η γραφική παράσταση μιας σταθεράς είναι μια ευθεία γραμμή που είναι παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης και διέρχεται από ένα σημείο που έχει συντεταγμένες (0, C). Για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε γραφήματα σταθερών συναρτήσεων y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (που υποδεικνύονται με μαύρο, κόκκινο και μπλε χρώμα στο σχέδιο, αντίστοιχα).

Ορισμός 2

Αυτή η στοιχειώδης συνάρτηση ορίζεται από τον τύπο y = x n (το n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος από ένα).

Ας εξετάσουμε δύο παραλλαγές της συνάρτησης.

η ρίζα, ν – ζυγός αριθμός

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε ένα σχέδιο που δείχνει γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων: y = x, y = x 4 και y = x8. Αυτά τα χαρακτηριστικά έχουν χρωματική κωδικοποίηση: μαύρο, κόκκινο και μπλε αντίστοιχα.

Τα γραφήματα μιας συνάρτησης άρτιου βαθμού έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές του εκθέτη.

Ορισμός 3

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι ένας ζυγός αριθμός

πεδίο ορισμού – το σύνολο όλων των μη αρνητικών πραγματικών αριθμών [ 0 , + ∞) ;
όταν x = 0, η συνάρτηση y = x n έχει τιμή ίση με μηδέν.
δεδομένος λειτουργία-λειτουργία γενική άποψη(δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός)
εύρος: [ 0 , + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση y = x n με άρτιους εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
η συνάρτηση έχει κυρτότητα με κατεύθυνση προς τα πάνω σε όλο το πεδίο ορισμού.
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
η γραφική παράσταση της συνάρτησης για άρτιο n διέρχεται από τα σημεία (0; 0) και (1; 1).

nη ρίζα, n – περιττός αριθμός

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Για λόγους σαφήνειας, εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y = x 3, y = x 5 και x 9 . Στο σχέδιο υποδεικνύονται με χρώματα: μαύρο, κόκκινο και μπλεκαι καμπύλες αντίστοιχα.

Άλλες περιττές τιμές του εκθέτη ρίζας της συνάρτησης y = x n θα δώσουν ένα γράφημα παρόμοιου τύπου.

Ορισμός 4

Ιδιότητες της νης συνάρτησης ρίζας, το n είναι περιττός αριθμός

τομέας ορισμού – το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
Αυτή η συνάρτηση είναι περίεργη.
εύρος τιμών - το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.
η συνάρτηση y = x n για περιττούς εκθέτες ρίζας αυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο διάστημα (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα στο διάστημα [ 0 , + ∞);
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0).
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης για περιττό n διέρχεται από τα σημεία (- 1 ; - 1), (0 ; 0) και (1 ; 1).

Λειτουργία ισχύος

Ορισμός 5

Η συνάρτηση ισχύος ορίζεται από τον τύπο y = x a.

Η εμφάνιση των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης εξαρτώνται από την τιμή του εκθέτη.

όταν μια συνάρτηση ισχύος έχει ακέραιο εκθέτη α, τότε ο τύπος της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ισχύος και οι ιδιότητές της εξαρτώνται από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός, καθώς και από το πρόσημο που έχει ο εκθέτης. Ας εξετάσουμε όλες αυτές τις ειδικές περιπτώσεις με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.
ο εκθέτης μπορεί να είναι κλασματικός ή παράλογος - ανάλογα με αυτό, ο τύπος των γραφημάτων και οι ιδιότητες της συνάρτησης ποικίλλουν επίσης. Θα αναλύσουμε ειδικές περιπτώσεις θέτοντας αρκετές προϋποθέσεις: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
Μια συνάρτηση ισχύος μπορεί να έχει μηδενικό εκθέτη, θα αναλύσουμε επίσης αυτή την περίπτωση λεπτομερέστερα παρακάτω.

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας περιττός θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 1, 3, 5...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 5 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος), y = x 7 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = 1, παίρνουμε τη γραμμική συνάρτηση y = x.

Ορισμός 6

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός θετικός

η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0 ; 0) (εξαιρουμένης της γραμμικής συνάρτησης).
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν το a είναι ένας άρτιος θετικός αριθμός, για παράδειγμα, a = 2, 4, 6...

Για λόγους σαφήνειας, υποδεικνύουμε τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων ισχύος: y = x 2 (γραφικό χρώμα μαύρο), y = x 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος), y = x 8 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). Όταν a = 2, παίρνουμε μια τετραγωνική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια τετραγωνική παραβολή.

Ορισμός 7

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος θετικός:

τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
φθίνουσα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι περιττός αρνητικός αριθμός: y = x - 9 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 5 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 3 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). y = x - 1 (γραφικό χρώμα πράσινο). Όταν a = - 1, λαμβάνουμε αντίστροφη αναλογικότητα, η γραφική παράσταση της οποίας είναι υπερβολή.

Ορισμός 8

Ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι περιττός αρνητικός:

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 1, - 3, - 5, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

εύρος: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση είναι περιττή επειδή y (- x) = - y (x);
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0) και κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, όταν a = - 1, - 3, - 5, . . . .

σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Το παρακάτω σχήμα δείχνει παραδείγματα γραφημάτων της συνάρτησης ισχύος y = x a όταν το a είναι άρτιος αρνητικός αριθμός: y = x - 8 (γραφικό χρώμα μαύρο). y = x - 4 (μπλε χρώμα του γραφήματος). y = x - 2 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Ορισμός 9

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:

τομέας ορισμού: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Όταν x = 0, λαμβάνουμε μια ασυνέχεια του δεύτερου είδους, αφού lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ για a = - 2, - 4, - 6, …. Έτσι, η ευθεία x = 0 είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.

η συνάρτηση είναι άρτια επειδή y(-x) = y(x);
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ (- ∞ ; 0) και μειώνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0, γιατί:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 όταν a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Από την αρχή, δώστε προσοχή στην ακόλουθη πτυχή: στην περίπτωση που το a είναι ένα θετικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, ορισμένοι συγγραφείς λαμβάνουν το διάστημα - ∞ ως πεδίο ορισμού αυτής της συνάρτησης ισχύος. + ∞ , ορίζοντας ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Προς το παρόν, οι συγγραφείς πολλών εκπαιδευτικών δημοσιεύσεων για την άλγεβρα και τις αρχές ανάλυσης ΔΕΝ ΟΡΙΣΟΥΝ τις συναρτήσεις ισχύος, όπου ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Περαιτέρω θα τηρήσουμε ακριβώς αυτή τη θέση: θα πάρουμε το σύνολο [ 0 ; + ∞) . Σύσταση για τους μαθητές: μάθετε την άποψη του δασκάλου σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Λοιπόν, ας δούμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a , όταν ο εκθέτης είναι ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι το 0< a < 1 .

Ας απεικονίσουμε τις συναρτήσεις ισχύος με γραφήματα y = x a όταν a = 11 12 (γραφικό χρώμα μαύρο); a = 5 7 (κόκκινο χρώμα του γραφήματος). a = 1 3 (μπλε χρώμα του γραφήματος). a = 2 5 (πράσινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές του εκθέτη a (παρέχονται 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Ορισμός 10

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο 0< a < 1:

εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ (0 ; + ∞);
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a, όταν ο εκθέτης είναι ένας μη ακέραιος ρητός ή άρρητος αριθμός, με την προϋπόθεση ότι a > 1.

Ας δείξουμε με γραφήματα τη συνάρτηση ισχύος y = x a υπό δεδομένες συνθήκες χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες συναρτήσεις ως παράδειγμα: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (μαύρα, κόκκινα, μπλε, πράσινα γραφήματα, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές του εκθέτη a, με την προϋπόθεση a > 1, θα δώσουν ένα παρόμοιο γράφημα.

Ορισμός 11

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για > 1:

τομέας ορισμού: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
εύρος: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ (0 ; + ∞) (όταν 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημεία διέλευσης της συνάρτησης: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Παρακαλώ σημειώστε όταν το a είναι ένα αρνητικό κλάσμα με περιττό παρονομαστή, στα έργα ορισμένων συγγραφέων υπάρχει η άποψη ότι το πεδίο ορισμού σε αυτήν την περίπτωση είναι το διάστημα - ∞. 0 ∪ (0 ; + ∞) με την προειδοποίηση ότι ο εκθέτης a είναι μη αναγώγιμο κλάσμα. Επί του παρόντος οι συγγραφείς εκπαιδευτικό υλικόστην άλγεβρα και στις αρχές της ανάλυσης, ΔΕΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΖΟΝΤΑΙ οι συναρτήσεις ισχύος με εκθέτη σε μορφή κλάσματος με περιττό παρονομαστή για τις αρνητικές τιμές του επιχειρήματος. Επιπλέον, τηρούμε ακριβώς αυτή την άποψη: παίρνουμε το σύνολο (0 ; + ∞) ως το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ισχύος με κλασματικούς αρνητικούς εκθέτες. Σύσταση για μαθητές: Ξεκαθαρίστε το όραμα του δασκάλου σας σε αυτό το σημείο για να αποφύγετε διαφωνίες.

Ας συνεχίσουμε το θέμα και ας αναλύσουμε τη συνάρτηση ισχύος y = x a παρέχεται: - 1< a < 0 .

Ας παρουσιάσουμε ένα σχέδιο γραφημάτων των παρακάτω συναρτήσεων: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινο χρώμα του τις γραμμές, αντίστοιχα).

Ορισμός 12

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος στο - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

εύρος: y ∈ 0 ; + ∞ ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.

Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα συναρτήσεων ισχύος y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (μαύρο, κόκκινο, μπλε, πράσινα χρώματακαμπύλες αντίστοιχα).

Ορισμός 13

Ιδιότητες της συνάρτησης ισχύος για α< - 1:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ όταν α< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία γραμμή y = 0;
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 1) .

Όταν a = 0 και x ≠ 0, λαμβάνουμε τη συνάρτηση y = x 0 = 1, η οποία ορίζει την ευθεία από την οποία εξαιρείται το σημείο (0; 1) (συμφωνήθηκε ότι η έκφραση 0 0 δεν θα έχει νόημα ).

Η εκθετική συνάρτηση έχει τη μορφή y = a x, όπου a > 0 και a ≠ 1, και η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης φαίνεται διαφορετική με βάση την τιμή της βάσης a. Ας εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις.

Αρχικά, ας δούμε την κατάσταση όταν η βάση της εκθετικής συνάρτησης έχει τιμή από μηδέν έως ένα (0< a < 1) . Ένα καλό παράδειγμα είναι τα γραφήματα των συναρτήσεων για a = 1 2 (μπλε χρώμα της καμπύλης) και a = 5 6 (κόκκινο χρώμα της καμπύλης).

Τα γραφήματα της εκθετικής συνάρτησης θα έχουν παρόμοια εμφάνιση για άλλες τιμές της βάσης υπό την συνθήκη 0< a < 1 .

Ορισμός 14

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μικρότερη από ένα μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει στο + ∞;

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση που η βάση της εκθετικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία (a > 1).

Ας απεικονίσουμε αυτήν την ειδική περίπτωση με ένα γράφημα εκθετικών συναρτήσεων y = 3 2 x (μπλε χρώμα της καμπύλης) και y = e x (κόκκινο χρώμα του γραφήματος).

Άλλες τιμές της βάσης, μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοια εμφάνιση στο γράφημα της εκθετικής συνάρτησης.

Ορισμός 15

Ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

τομέας ορισμού – ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
εύρος: y ∈ (0 ; + ∞) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
Μια εκθετική συνάρτηση της οποίας η βάση είναι μεγαλύτερη από μία αυξάνεται ως x ∈ - ∞; + ∞ ;
η συνάρτηση έχει κοιλότητα στο x ∈ - ∞; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
οριζόντια ασύμπτωτη – ευθεία y = 0 με μεταβλητή x τείνει προς - ∞;
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (0; 1) .

Η λογαριθμική συνάρτηση έχει τη μορφή y = log a (x), όπου a > 0, a ≠ 1.

Μια τέτοια συνάρτηση ορίζεται μόνο για θετικές τιμές του ορίσματος: για x ∈ 0; + ∞ .

Η γραφική παράσταση μιας λογαριθμικής συνάρτησης έχει διαφορετικού είδους, με βάση την τιμή της βάσης α.

Ας εξετάσουμε πρώτα την κατάσταση όταν το 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Άλλες τιμές της βάσης, όχι μεγαλύτερες μονάδες, θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 16

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μικρότερη από μία:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν στο +∞.
εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
λογαριθμική
η συνάρτηση έχει κοιλότητα για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?

Ας δούμε τώρα την ειδική περίπτωση όταν η βάση της λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από μία: a > 1 . Το παρακάτω σχέδιο δείχνει γραφήματα λογαριθμικών συναρτήσεων y = log 3 2 x και y = ln x (μπλε και κόκκινα χρώματα των γραφημάτων, αντίστοιχα).

Άλλες τιμές της βάσης μεγαλύτερες από μία θα δώσουν παρόμοιο τύπο γραφήματος.

Ορισμός 17

Ιδιότητες μιας λογαριθμικής συνάρτησης όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από μία:

τομέας ορισμού: x ∈ 0 ; + ∞ . Καθώς το x τείνει στο μηδέν από τα δεξιά, οι τιμές της συνάρτησης τείνουν σε - ∞ ;
εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ (ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών).
Αυτή η συνάρτηση είναι συνάρτηση γενικής μορφής (δεν είναι ούτε περιττή ούτε άρτια).
η λογαριθμική συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ 0; + ∞ ;
η συνάρτηση είναι κυρτή για x ∈ 0; + ∞ ;
δεν υπάρχουν σημεία καμπής.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα?
σημείο διέλευσης της συνάρτησης: (1; 0) .

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Ας δούμε τις ιδιότητες καθενός από αυτά και τα αντίστοιχα γραφικά.

Γενικά, όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της περιοδικότητας, δηλ. όταν οι τιμές των συναρτήσεων επαναλαμβάνονται για διαφορετικές τιμές του ορίσματος, που διαφέρουν μεταξύ τους κατά την περίοδο f (x + T) = f (x) (T είναι η περίοδος). Έτσι, το στοιχείο "μικρότερη θετική περίοδος" προστίθεται στη λίστα των ιδιοτήτων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Επιπλέον, θα υποδείξουμε τις τιμές του ορίσματος στο οποίο η αντίστοιχη συνάρτηση γίνεται μηδέν.

Ημιτονική συνάρτηση: y = sin(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Ορισμός 18

Ιδιότητες της ημιτονοειδούς συνάρτησης:

πεδίο ορισμού: ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
η ημιτονοειδής συνάρτηση έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία π 2 + 2 π · k; 1 και τοπικά ελάχιστα στα σημεία - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι κοίλη όταν x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση συνημίτονου: y = cos(x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνημιτονικό κύμα.

Ορισμός 19

Ιδιότητες της συνημίτονος:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
μικρότερη θετική περίοδος: T = 2 π;
εύρος τιμών: y ∈ - 1 ; 1 ;
αυτή η συνάρτηση είναι άρτια, αφού y (- x) = y (x);
η συνάρτηση αυξάνεται για x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z και φθίνουσα για x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
η συνημίτονο έχει τοπικά μέγιστα στα σημεία 2 π · k ; 1, k ∈ Z και τοπικά ελάχιστα στα σημεία π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
η συνημίτονο είναι κοίλη όταν x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z και κυρτό όταν x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση εφαπτομένης: y = t g (x)

Το γράφημα αυτής της συνάρτησης καλείται εφαπτομένη γραμμή.

Ορισμός 20

Ιδιότητες της εφαπτομένης συνάρτησης:

τομέας ορισμού: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
Συμπεριφορά της εφαπτομένης συνάρτησης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π 2 + π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση αυξάνεται ως - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
η συνάρτηση εφαπτομένης είναι κοίλη για x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z και κυρτό για x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Λειτουργία συμεφαπτομένης: y = c t g (x)

Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης ονομάζεται συνεφαπτοειδές. .

Ορισμός 21

Ιδιότητες της συνεπαπτομένης συνάρτησης:

τομέας ορισμού: x ∈ (π · k ; π + π · k) , όπου k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων);

Συμπεριφορά της συνεπαπτομένης στο όριο του πεδίου ορισμού lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Έτσι, οι ευθείες x = π · k k ∈ Z είναι κάθετες ασύμπτωτες.

μικρότερη θετική περίοδος: T = π;
η συνάρτηση εξαφανίζεται όταν x = π 2 + π · k για k ∈ Z (Z είναι το σύνολο των ακεραίων).
εύρος: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση είναι φθίνουσα για x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
η συνεπαπτομένη είναι κοίλη για x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z και κυρτή για x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες π 2 + π · k. 0 , k ∈ Z ;
Δεν υπάρχουν λοξές ή οριζόντιες ασύμπτωτες.

Οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το τόξο, η αρκοσίνη, η τοξοεφαπτομένη και η τοξοεφαπτομένη. Συχνά, λόγω της παρουσίας του προθέματος "τόξο" στο όνομα, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις ονομάζονται συναρτήσεις τόξου .

Συνάρτηση ημιτονοειδούς τόξου: y = a r c sin (x)

Ορισμός 22

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ 0; 1 και κυρτότητα για x ∈ - 1 ; 0 ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση συνημιτόνου τόξου: y = a r c cos (x)

Ορισμός 23

Ιδιότητες της συνάρτησης συνημιτόνου τόξου:

τομέας ορισμού: x ∈ - 1 ; 1 ;
εύρος: y ∈ 0 ; π;
αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής (ούτε ζυγή ούτε περιττή).
η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση τόξου συνημιτόνου έχει κοιλότητα στο x ∈ - 1; 0 και κυρτότητα για x ∈ 0; 1 ;
Τα σημεία καμπής έχουν συντεταγμένες 0. π 2;
δεν υπάρχουν ασύμπτωτα.

Συνάρτηση Arctagent: y = a r c t g (x)

Ορισμός 24

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
εύρος τιμών: y ∈ - π 2 ; π 2;
αυτή η συνάρτηση είναι περιττή, αφού y (- x) = - y (x) ;
η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση του τόξου έχει κοιλότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] και κυρτότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞);
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες (0; 0), που είναι επίσης το μηδέν της συνάρτησης.
Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = - π 2 ως x → - ∞ και y = π 2 ως x → + ∞ (στο σχήμα, οι ασύμπτωτες είναι πράσινες γραμμές).

Συνάρτηση εφαπτομένης τόξου: y = a r c c t g (x)

Ορισμός 25

Ιδιότητες της συνάρτησης τόξου εφαπτομένης:

τομέας ορισμού: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
εύρος: y ∈ (0; π) ;
Αυτή η συνάρτηση είναι γενικής μορφής.
η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.
η συνάρτηση συνεφαπτομένης τόξου έχει μια κοιλότητα για x ∈ [ 0 ; + ∞) και κυρτότητα για x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
το σημείο καμπής έχει συντεταγμένες 0. π 2;
Οι οριζόντιες ασύμπτωτες είναι ευθείες γραμμές y = π στο x → - ∞ (πράσινη γραμμή στο σχέδιο) και y = 0 στο x → + ∞.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

10η τάξη

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΙΣΧΥΟΣ

Εξουσία κάλεσεσυνάρτηση που δίνεται από τον τύποΟπου, σελ – κάποιο πραγματικό νούμερο.

εγώ . Δείκτης- ζυγός φυσικός αριθμός. Στη συνέχεια η λειτουργία ισχύος Οπουn

ρε ( y )= (−; +).

2) Το εύρος τιμών μιας συνάρτησης είναι ένα σύνολο μη αρνητικών αριθμών, εάν:

σύνολο μη θετικών αριθμών εάν:

3) ) . Η συνάρτηση λοιπόνOy .

4) Αν, τότε η συνάρτηση μειώνεται ωςΧ (- ; 0] και αυξάνεται μεΧ και μειώνεται σεΧ \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Γράφημα (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)=x^(2n)$

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με φυσικό περιττό εκθέτη

Το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- η συνάρτηση είναι περιττή.

Το $f(x)$ είναι συνεχές σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

Το εύρος είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

$f\left(x\right)0$, για $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right)"=2 \αριστερά(2n-1\δεξιά)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Η συνάρτηση είναι κοίλη για $x\in (-\infty ,0)$ και κυρτή για $x\in (0,+\infty)$.

Γράφημα (Εικ. 3).

Εικόνα 3. Γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη

Αρχικά, ας εισαγάγουμε την έννοια του βαθμού με ακέραιο εκθέτη.

Ορισμός 3

Η ισχύς ενός πραγματικού αριθμού $a$ με ακέραιο εκθέτη $n$ καθορίζεται από τον τύπο:

Εικόνα 4.

Ας εξετάσουμε τώρα μια συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη, τις ιδιότητες και το γράφημά της.

Ορισμός 4

Η $f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ονομάζεται συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη.

Αν ο βαθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν, τότε ερχόμαστε στην περίπτωση συνάρτησης ισχύος με φυσικό εκθέτη. Το έχουμε ήδη συζητήσει παραπάνω. Για $n=0$ παίρνουμε μια γραμμική συνάρτηση $y=1$. Θα αφήσουμε την εκτίμησή του στον αναγνώστη. Απομένει να εξετάσουμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη

Ο τομέας ορισμού είναι $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, τότε η συνάρτηση είναι άρτια, τότε η συνάρτηση είναι περιττή.

Το $f(x)$ είναι συνεχές σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

Εκταση:

Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, τότε $(0,+\infty)$ αν είναι μονός, τότε $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Για έναν περιττό εκθέτη, η συνάρτηση μειώνεται ως $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Εάν ο εκθέτης είναι άρτιος, η συνάρτηση μειώνεται ως $x\in (0,+\infty)$. και αυξάνεται ως $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού

Είστε εξοικειωμένοι με τις λειτουργίες y=x, y=x 2, y=x 3, y=1/xκλπ. Όλες αυτές οι συναρτήσεις είναι ειδικές περιπτώσεις της συνάρτησης ισχύος, δηλαδή της συνάρτησης y=xp, όπου p είναι ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός.
Οι ιδιότητες και η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης ισχύος εξαρτώνται σημαντικά από τις ιδιότητες μιας ισχύος με πραγματικό εκθέτη και ειδικότερα από τις τιμές για τις οποίες xΚαι σελπτυχίο έχει νόημα x σελ. Ας προχωρήσουμε σε παρόμοια εξέταση διαφόρων περιπτώσεων ανάλογα με
εκθέτης σελ.

Δείκτης p=2n-ζυγός φυσικός αριθμός.

y=x2n, Πού n- ένας φυσικός αριθμός, έχει το εξής

σκηνικά θέατρου:

τομέας ορισμού - όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή το σύνολο R.
σύνολο τιμών - μη αρνητικοί αριθμοί, δηλαδή το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0.
λειτουργία y=x2nακόμη, γιατί x 2n=(- x) 2n
η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα x<0 και αυξάνεται στο μεσοδιάστημα x>0.

Γράφημα μιας συνάρτησης y=x2nέχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y=x 4.

2. Δείκτης p=2n-1- περιττός φυσικός αριθμός
Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία ισχύος y=x2n-1, όπου είναι ένας φυσικός αριθμός, έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

τομέας ορισμού - σύνολο R;
σύνολο τιμών - σύνολο R;
λειτουργία y=x2n-1περίεργο, αφού (- x) 2n-1=x2n-1;
η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον πραγματικό άξονα.

Γράφημα μιας συνάρτησης y=xΤο 2n-1 έχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, το γράφημα της συνάρτησης y=x 3 .

3.Δείκτης p=-2n, Πού n-φυσικός αριθμός.

Σε αυτή την περίπτωση, η λειτουργία ισχύος y=x -2n =1/x 2nέχει τις εξής ιδιότητες:

τομέας ορισμού - σύνολο R, εκτός από x=0;
σύνολο τιμών - θετικοί αριθμοί y>0;
συνάρτηση y =1/x2nακόμη, γιατί 1/(-x)2n=1/x 2n;
η συνάρτηση αυξάνεται στο διάστημα x<0 и убывающей на промежутке x>0.

Γράφημα της συνάρτησης y =1/x2nέχει την ίδια μορφή με, για παράδειγμα, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y =1/x 2.