Σε αυτή την ενότητα θα επικεντρωθούμε σε μια ειδική αλλά σημαντική κατηγορία θετικών τετραγωνικών μορφών.

Ορισμός 3. Μια πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται μη αρνητική (μη θετική) εάν, για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών

. (35)

Στην περίπτωση αυτή, ο συμμετρικός πίνακας των συντελεστών ονομάζεται θετικός ημιορισμένος (αρνητικός ημιορισμένος).

Ορισμός 4. Μια πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετική οριστική (αρνητική οριστική) εάν, για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν,

. (36)

Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας ονομάζεται επίσης θετική οριστική (αρνητική οριστική).

Η κλάση των θετικών οριστικών (αρνητική οριστική) μορφών είναι μέρος της κατηγορίας των μη αρνητικών (αντιστοιχ. μη θετικών).

Ας δοθεί μια μη αρνητική μορφή. Ας το φανταστούμε ως άθροισμα ανεξάρτητων τετραγώνων:

. (37)

Σε αυτήν την αναπαράσταση, όλα τα τετράγωνα πρέπει να είναι θετικά:

. (38)

Πράγματι, αν υπήρχαν, τότε θα ήταν δυνατό να επιλέξετε τιμές τέτοιες

Αλλά τότε, με αυτές τις τιμές των μεταβλητών, η φόρμα θα είχε αρνητική τιμή, κάτι που είναι αδύνατο από συνθήκη. Προφανώς, αντίστροφα, από τις (37) και (38) προκύπτει ότι η μορφή είναι θετική.

Έτσι, μια μη αρνητική τετραγωνική μορφή χαρακτηρίζεται από τις ισότητες.

Ας είναι τώρα μια θετική οριστική μορφή. Τότε είναι μια μη αρνητική μορφή. Επομένως, μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή (37), όπου όλα είναι θετικά. Από τη θετική οριστικότητα της μορφής προκύπτει ότι . Πράγματι, στην περίπτωση που είναι δυνατό να επιλέξετε τιμές που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, στις οποίες όλες θα μετατραπούν στο μηδέν. Αλλά στη συνέχεια, δυνάμει του (37), στο , το οποίο έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση (36).

Είναι εύκολο να δούμε ότι αντίστροφα, αν στο (37) και είναι όλα θετικά, τότε είναι θετική οριστική μορφή.

Με άλλα λόγια, ένας μη αρνητικός τύπος είναι θετική οριστική αν και μόνο αν δεν είναι ενικός.

Το παρακάτω θεώρημα δίνει ένα κριτήριο για τη θετική οριστικότητα μιας μορφής με τη μορφή ανισώσεων που πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές μορφής. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται η σημείωση που συναντάται ήδη σε προηγούμενες παραγράφους για διαδοχικές κύριες δευτερεύουσες ομάδες του πίνακα:

.

Θεώρημα 3. Για να είναι μια τετραγωνική μορφή θετική οριστική, είναι απαραίτητο και αρκετό να ικανοποιούνται οι ανισότητες

Απόδειξη. Η επάρκεια των συνθηκών (39) προκύπτει απευθείας από τον τύπο Jacobi (28). Η αναγκαιότητα των προϋποθέσεων (39) καθορίζεται ως εξής. Από τη θετική οριστικότητα της μορφής προκύπτει η θετική οριστικότητα των «κολοβωμένων» μορφών

.

Αλλά τότε όλες αυτές οι μορφές πρέπει να είναι μη ενικές, δηλ.

Τώρα έχουμε την ευκαιρία να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο Jacobi (28) (στο ). Αφού στη δεξιά πλευρά αυτού του τύπου όλα τα τετράγωνα πρέπει να είναι θετικά, τότε

Αυτό συνεπάγεται ανισότητες (39). Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εφόσον οποιοδήποτε βασικό δευτερεύον ενός πίνακα, με σωστή επαναρίθμηση των μεταβλητών, μπορεί να τοποθετηθεί στην επάνω αριστερή γωνία, τότε έχουμε

Συνέπεια. Σε θετική οριστική τετραγωνική μορφή, όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα συντελεστών είναι θετικά:

Σχόλιο. Από τη μη αρνητικότητα των διαδοχικών κυρίων ανηλίκων

δεν ακολουθεί η μη αρνητικότητα της μορφής. Πράγματι, η μορφή

,

στο οποίο , ικανοποιεί τις προϋποθέσεις, αλλά δεν είναι μη αρνητικό.

Ωστόσο, ισχύει το εξής

Θεώρημα 4. Για να είναι μια τετραγωνική μορφή μη αρνητική, είναι απαραίτητο και αρκετό όλα τα κύρια ελάσσονα του πίνακα συντελεστών της να είναι μη αρνητικά:

Απόδειξη. Ας εισαγάγουμε ότι η βοηθητική μορφή ήταν μη θετική, είναι απαραίτητη και επαρκής για να πραγματοποιηθούν οι ανισότητες

Θετικοί οριστικοί τετραγωνικοί τύποι

Ορισμός. Τετραγωνική μορφή από nονομάζονται άγνωστοι θετική οριστική, εάν η κατάταξή του είναι ίση με τον δείκτη θετικής αδράνειας και ίση με τον αριθμό των αγνώστων.

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη εάν και μόνο εάν παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο τιμών των μεταβλητών.

Απόδειξη.Έστω η τετραγωνική μορφή ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των αγνώστων

επανήλθε στο φυσιολογικό

.

Για οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών, τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς διαφορετικό από το μηδέν, δηλ. . Η αναγκαιότητα του θεωρήματος αποδεικνύεται.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή παίρνει θετικές τιμές σε οποιοδήποτε μη μηδενικό σύνολο μεταβλητών, αλλά ο δείκτης θετικής αδράνειάς της είναι ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των αγνώστων

Ας το φέρουμε σε κανονική μορφή. Χωρίς απώλεια γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι σε αυτήν την κανονική μορφή το τετράγωνο της τελευταίας μεταβλητής είτε απουσιάζει είτε περιλαμβάνεται με ένα πρόσημο μείον, δηλ. , πού ή . Ας υποθέσουμε ότι είναι ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων

Σε αυτό το σύστημα, ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών και η ορίζουσα του συστήματος είναι μη μηδενική. Σύμφωνα με το θεώρημα του Cramer, το σύστημα έχει μια μοναδική λύση και είναι μη μηδενική. Για αυτό το σετ. Αντίφαση με την προϋπόθεση. Ερχόμαστε σε αντίφαση με την υπόθεση, η οποία αποδεικνύει την επάρκεια του θεωρήματος.

Χρησιμοποιώντας αυτό το κριτήριο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί από τους συντελεστές εάν η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Την απάντηση στο ερώτημα αυτό δίνει ένα άλλο θεώρημα, για τη διατύπωση του οποίου εισάγουμε μια άλλη έννοια. Κύρια δευτερεύοντα διαγώνια ενός πίνακα– πρόκειται για ανηλίκους που βρίσκονται στην επάνω αριστερή γωνία του:

, , , … , .

Θεώρημα.Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι κύριες δευτερεύουσες διαγώνιες της είναι θετικές.

Απόδειξηθα πραγματοποιήσουμε τη μέθοδο της πλήρους μαθηματικής επαγωγής στον αριθμό nτετραγωνικές μεταβλητές φά.

Υπόθεση επαγωγής.Ας υποθέσουμε ότι για τετραγωνικές μορφές με λιγότερες μεταβλητές nη δήλωση είναι αληθινή.

Εξετάστε την τετραγωνική μορφή του nμεταβλητές. Ας βάλουμε όλους τους όρους που περιέχουν . Οι υπόλοιποι όροι σχηματίζουν μια τετραγωνική μορφή των μεταβλητών. Σύμφωνα με την επαγωγική υπόθεση, η δήλωση είναι αληθινή για αυτήν.

Ας υποθέσουμε ότι η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Τότε η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Αν υποθέσουμε ότι αυτό δεν συμβαίνει, τότε υπάρχει ένα μη μηδενικό σύνολο τιμών μεταβλητών , για το οποίο και, κατά συνέπεια, , και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική. Με την υπόθεση της επαγωγής, όλα τα κύρια διαγώνια δευτερεύοντα δευτεροβάθμιας μορφής είναι θετικά, δηλ. όλα τα πρώτα κύρια ανήλικα δευτεροβάθμιας μορφής φάείναι θετικές. Τελευταία κύρια ελάσσονα τετραγωνικής μορφής – αυτός είναι ο προσδιοριστής του πίνακα του. Αυτή η ορίζουσα είναι θετική, αφού το πρόσημο της συμπίπτει με το πρόσημο της μήτρας της κανονικής της μορφής, δηλ. με το πρόσημο της ορίζουσας του πίνακα ταυτότητας.

Ας είναι θετικές όλες οι κύριες διαγώνιες δευτερεύουσες της τετραγωνικής μορφής θετικές . Σύμφωνα με την υπόθεση της επαγωγής, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική, επομένως υπάρχει ένας μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός των μεταβλητών που ανάγει τη μορφή στη μορφή του αθροίσματος των τετραγώνων των νέων μεταβλητών. Αυτός ο γραμμικός μετασχηματισμός μπορεί να επεκταθεί σε έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό όλων των μεταβλητών ορίζοντας . Αυτός ο μετασχηματισμός μειώνει την τετραγωνική μορφή στη μορφή

Η έννοια της τετραγωνικής μορφής. Πίνακας τετραγωνικής μορφής. Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής. Μέθοδος Lagrange. Κανονική άποψη τετραγωνικής μορφής. Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικής μορφής. Θετική οριστική τετραγωνική μορφή. Τετράγωνοι.

Έννοια της τετραγωνικής μορφής:μια συνάρτηση σε ένα διανυσματικό χώρο που ορίζεται από ένα ομοιογενές πολυώνυμο δεύτερου βαθμού στις συντεταγμένες του διανύσματος.

Τετραγωνική μορφή από nάγνωστος ονομάζεται άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο ενός από αυτά τα άγνωστα, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών αγνώστων.

Τετραγωνικός πίνακας:Ο πίνακας ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής σε μια δεδομένη βάση. Αν το χαρακτηριστικό πεδίου δεν είναι ίσο με 2, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο πίνακας της τετραγωνικής μορφής είναι συμμετρικός, δηλαδή.

Γράψτε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής:

Οθεν,

Στη μορφή διανυσματικού πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι:

Α, όπου

Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής:Μια τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονική αν όλα δηλ.

Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας γραμμικούς μετασχηματισμούς. Στην πράξη, συνήθως χρησιμοποιούνται οι ακόλουθες μέθοδοι.

Μέθοδος Lagrange : διαδοχική επιλογή πλήρων τετραγώνων. Για παράδειγμα, εάν

Στη συνέχεια γίνεται παρόμοια διαδικασία με την τετραγωνική μορφή κλπ. Αν σε τετραγωνική μορφή όλα είναι αλλά στη συνέχεια, μετά την προκαταρκτική μετατροπή, το θέμα περιέρχεται στην εξεταζόμενη διαδικασία. Έτσι, αν, για παράδειγμα, τότε υποθέσουμε

Κανονική μορφή τετραγωνικής μορφής:Μια κανονική τετραγωνική μορφή είναι μια κανονική τετραγωνική μορφή στην οποία όλοι οι συντελεστές είναι ίσοι με +1 ή -1.

Κατάταξη, ευρετήριο και υπογραφή τετραγωνικής φόρμας:Κατάταξη τετραγωνικής μορφής ΕΝΑονομάζεται κατάταξη του πίνακα ΕΝΑ. Η κατάταξη μιας τετραγωνικής μορφής δεν αλλάζει κάτω από μη εκφυλισμένους μετασχηματισμούς αγνώστων.

Ο αριθμός των αρνητικών συντελεστών ονομάζεται δείκτης αρνητικής μορφής.

Ο αριθμός των θετικών όρων σε κανονική μορφή ονομάζεται θετικός δείκτης αδράνειας της τετραγωνικής μορφής, ο αριθμός των αρνητικών όρων ονομάζεται αρνητικός δείκτης. Η διαφορά μεταξύ των θετικών και αρνητικών δεικτών ονομάζεται υπογραφή της τετραγωνικής μορφής

Θετική οριστική τετραγωνική μορφή:Πραγματική τετραγωνική μορφή ονομάζεται θετική οριστική (αρνητική οριστική) εάν, για οποιεσδήποτε πραγματικές τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν,

. (36)

Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας ονομάζεται επίσης θετική οριστική (αρνητική οριστική).

Η κλάση των θετικών οριστικών (αρνητική οριστική) μορφών είναι μέρος της κατηγορίας των μη αρνητικών (αντιστοιχ. μη θετικών) μορφών.

Τετράδικοι:Τετράγωνο - n-διαστατική υπερεπιφάνεια σε n+1-διάστατος χώρος, που ορίζεται ως το σύνολο των μηδενικών ενός πολυωνύμου δεύτερου βαθμού. Εάν εισάγετε τις συντεταγμένες ( x 1 , x 2 , x n+1 ) (στον ευκλείδειο ή συγγενικό χώρο), η γενική εξίσωση ενός τετραγώνου είναι

Αυτή η εξίσωση μπορεί να ξαναγραφτεί πιο συμπαγή σε συμβολισμό πίνακα:

όπου x = ( x 1 , x 2 , x n+1 ) — διάνυσμα σειράς, xΤο T είναι ένα μεταφερόμενο διάνυσμα, Q— πίνακας μεγέθους ( n+1)×( n+1) (υποτίθεται ότι τουλάχιστον ένα από τα στοιχεία του είναι μη μηδενικό), Πείναι ένα διάνυσμα γραμμής, και R— σταθερό. Οι τετράπλευροι πάνω από πραγματικούς ή μιγαδικούς αριθμούς θεωρούνται συχνότερα. Ο ορισμός μπορεί να επεκταθεί στα τετραγωνικά στον προβολικό χώρο, βλέπε παρακάτω.

Γενικότερα, το σύνολο των μηδενικών ενός συστήματος πολυωνυμικών εξισώσεων είναι γνωστό ως αλγεβρική ποικιλία. Έτσι, ένα τετράγωνο είναι μια (συγγενική ή προβολική) αλγεβρική ποικιλία δεύτερου βαθμού και κωδικοδιάστασης 1.

Μεταμορφώσεις επιπέδου και χώρου.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου. Ανίχνευση κίνησης. ιδιότητες της κίνησης. Δύο είδη κινήσεων: κίνηση πρώτου είδους και κίνηση δεύτερου είδους. Παραδείγματα κινήσεων. Αναλυτική έκφραση κίνησης. Ταξινόμηση των επίπεδων κινήσεων (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών). Ομάδα κινήσεων αεροπλάνων.

Ορισμός μετασχηματισμού επιπέδου: Ορισμός.Ένας επίπεδος μετασχηματισμός που διατηρεί την απόσταση μεταξύ των σημείων ονομάζεται κίνηση(ή κίνηση) του αεροπλάνου. Ο μετασχηματισμός επιπέδου ονομάζεται συγγενείς, αν μετατρέψει οποιαδήποτε τρία σημεία που βρίσκονται στην ίδια ευθεία σε τρία σημεία που βρίσκονται επίσης στην ίδια ευθεία και ταυτόχρονα διατηρώντας την απλή σχέση των τριών σημείων.

Ορισμός κίνησης:Πρόκειται για μετασχηματισμούς σχήματος που διατηρούν τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Εάν δύο φιγούρες είναι ακριβώς ευθυγραμμισμένες μεταξύ τους μέσω της κίνησης, τότε αυτές οι φιγούρες είναι ίδιες, ίσες.

Ιδιότητες κίνησης:Κάθε κίνηση διατήρησης προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε μια παράλληλη μετατόπιση είτε μια περιστροφή κάθε κίνηση αλλαγής προσανατολισμού ενός επιπέδου είναι είτε αξονική συμμετρία είτε ολισθαίνουσα συμμετρία. Όταν κινούνται, τα σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία μετατρέπονται σε σημεία που βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή και η σειρά τους διατηρείται σχετική θέση. Κατά την κίνηση, διατηρούνται οι γωνίες μεταξύ ημιγραμμών.

Δύο είδη κινήσεων: κίνηση του πρώτου είδους και κίνηση του δεύτερου είδους:Οι κινήσεις του πρώτου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που διατηρούν τον προσανατολισμό των βάσεων μιας συγκεκριμένης φιγούρας. Μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Κινήσεις δεύτερου είδους είναι εκείνες οι κινήσεις που αλλάζουν τον προσανατολισμό των βάσεων προς το αντίθετο. Δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν με συνεχείς κινήσεις.

Παραδείγματα κινήσεων του πρώτου είδους είναι η μετατόπιση και η περιστροφή γύρω από μια ευθεία γραμμή, και οι κινήσεις του δεύτερου είδους είναι κεντρικές και κατοπτρικές συμμετρίες.

Η σύνθεση οποιουδήποτε αριθμού κινήσεων του πρώτου είδους είναι κίνηση του πρώτου είδους.

Η σύνθεση ενός ζυγού αριθμού κινήσεων του δεύτερου είδους είναι κίνηση του 1ου είδους και η σύνθεση ενός περιττού αριθμού κινήσεων του 2ου είδους είναι κίνηση του 2ου είδους.

Παραδείγματα κινήσεων:Παράλληλη μεταφορά. Έστω a το δεδομένο διάνυσμα. Η παράλληλη μεταφορά στο διάνυσμα a είναι μια αντιστοίχιση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο M αντιστοιχίζεται στο σημείο M 1, έτσι ώστε το διάνυσμα MM 1 να είναι ίσο με το διάνυσμα a.

Η παράλληλη μετάφραση είναι μια κίνηση γιατί είναι μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, διατηρώντας τις αποστάσεις. Αυτή η κίνηση μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά ως μια μετατόπιση ολόκληρου του επιπέδου προς την κατεύθυνση ενός δεδομένου διανύσματος α κατά το μήκος του.

Γυρίζω.Ας υποδηλώσουμε το σημείο Ο στο επίπεδο ( κέντρο στροφής) και ορίστε τη γωνία α ( γωνία περιστροφής). Η περιστροφή του επιπέδου γύρω από το σημείο Ο κατά μια γωνία α είναι η χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία κάθε σημείο Μ χαρτογραφείται στο σημείο Μ 1, έτσι ώστε OM = OM 1 και η γωνία MOM 1 είναι ίση με α. Σε αυτήν την περίπτωση, το σημείο Ο παραμένει στη θέση του, δηλαδή χαρτογραφείται στον εαυτό του και όλα τα άλλα σημεία περιστρέφονται γύρω από το σημείο Ο προς την ίδια κατεύθυνση - δεξιόστροφα ή αριστερόστροφα (το σχήμα δείχνει μια αριστερόστροφη περιστροφή).

Η περιστροφή είναι μια κίνηση γιατί αντιπροσωπεύει μια χαρτογράφηση του επιπέδου στον εαυτό του, στην οποία διατηρούνται οι αποστάσεις.

Αναλυτική έκφραση κίνησης:η αναλυτική σύνδεση μεταξύ των συντεταγμένων της προεικόνας και της εικόνας του σημείου έχει τη μορφή (1).

Ταξινόμηση των κινήσεων του επιπέδου (ανάλογα με την παρουσία σταθερών σημείων και αμετάβλητων γραμμών): Ορισμός:

Ένα σημείο σε ένα επίπεδο είναι αμετάβλητο (σταθερό) εάν, κάτω από έναν δεδομένο μετασχηματισμό, μετασχηματίζεται στον εαυτό του.

Παράδειγμα: Με την κεντρική συμμετρία, το σημείο του κέντρου συμμετρίας είναι αμετάβλητο. Κατά τη στροφή, το σημείο του κέντρου περιστροφής είναι αμετάβλητο. Με την αξονική συμμετρία, η αμετάβλητη γραμμή είναι η ευθεία - ο άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία των αμετάβλητων σημείων.

Θεώρημα: Αν μια κίνηση δεν έχει ένα μόνο αμετάβλητο σημείο, τότε έχει τουλάχιστον μία αμετάβλητη κατεύθυνση.

Παράδειγμα: Παράλληλη μεταφορά. Πράγματι, οι ευθείες γραμμές παράλληλες προς αυτή την κατεύθυνση είναι αμετάβλητες ως σύνολο, αν και δεν αποτελούνται από αμετάβλητα σημεία.

Θεώρημα: Εάν μια ακτίνα κινείται, η ακτίνα μεταφράζεται στον εαυτό της, τότε αυτή η κίνηση είναι είτε ταυτόσημος μετασχηματισμός είτε συμμετρία ως προς την ευθεία που περιέχει τη δεδομένη ακτίνα.

Επομένως, με βάση την παρουσία αμετάβλητων σημείων ή σχημάτων, είναι δυνατή η ταξινόμηση των κινήσεων.

Όνομα κίνησης	Αμετάβλητα σημεία	Αμετάβλητες γραμμές
Κίνηση πρώτου είδους.
1. - στροφή	(κέντρο) - 0	Οχι
2. Μετασχηματισμός ταυτότητας	όλα τα σημεία του αεροπλάνου	όλα ίσια
3. Κεντρική συμμετρία	σημείο 0 - κέντρο	όλες οι γραμμές που διέρχονται από το σημείο 0
4. Παράλληλη μεταφορά	Οχι	όλα ίσια
Κίνηση δεύτερου είδους.
5. Αξονική συμμετρία.	σύνολο σημείων	άξονας συμμετρίας (ευθεία γραμμή) όλες οι ευθείες

Ομάδα κίνησης αεροπλάνου:Στη γεωμετρία σημαντικό ρόλοομάδες αυτοσυνδυαζόμενων φιγούρων παίζουν. Αν είναι ένα συγκεκριμένο σχήμα σε ένα επίπεδο (ή στο διάστημα), τότε μπορούμε να εξετάσουμε το σύνολο όλων εκείνων των κινήσεων του επιπέδου (ή του χώρου) κατά τις οποίες το σχήμα μετατρέπεται στον εαυτό του.

Αυτό το σετ είναι μια ομάδα. Για παράδειγμα, για ένα ισόπλευρο τρίγωνο, η ομάδα των επίπεδων κινήσεων που μετατρέπουν το τρίγωνο στον εαυτό του αποτελείται από 6 στοιχεία: περιστροφές μέσω γωνιών γύρω από ένα σημείο και συμμετρίες περίπου τριών ευθειών.

Φαίνονται στο Σχ. 1 κόκκινες γραμμές. Τα στοιχεία της ομάδας αυτοευθυγραμμίσεων ενός κανονικού τριγώνου μπορούν να καθοριστούν διαφορετικά. Για να το εξηγήσουμε αυτό, ας αριθμήσουμε τις κορυφές ενός κανονικού τριγώνου με τους αριθμούς 1, 2, 3. Οποιαδήποτε αυτοευθυγράμμιση του τριγώνου παίρνει τα σημεία 1, 2, 3 στα ίδια σημεία, αλλά λαμβάνονται με διαφορετική σειρά, δηλ. μπορεί να γραφτεί υπό όρους με τη μορφή μιας από αυτές τις αγκύλες:

και τα λοιπά.

όπου οι αριθμοί 1, 2, 3 υποδεικνύουν τους αριθμούς εκείνων των κορυφών στις οποίες οι κορυφές 1, 2, 3 πηγαίνουν ως αποτέλεσμα της κίνησης που εξετάζουμε.

Οι προβολικοί χώροι και τα μοντέλα τους.

Η έννοια του προβολικού χώρου και το μοντέλο του προβολικού χώρου. Βασικά στοιχεία προβολικής γεωμετρίας. Μια δέσμη γραμμών με κέντρο το σημείο Ο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Προβολικά σημεία. Το εκτεταμένο επίπεδο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ο εκτεταμένος τρισδιάστατος συγγενικός ή Ευκλείδειος χώρος είναι ένα μοντέλο προβολικού χώρου. Εικόνες επίπεδων και χωρικών μορφών σε παράλληλο σχέδιο.

Η έννοια του προβολικού χώρου και το μοντέλο του προβολικού χώρου:

Ο προβολικός χώρος πάνω από ένα πεδίο είναι ένας χώρος που αποτελείται από γραμμές (μονοδιάστατους υποχώρους) κάποιου γραμμικού χώρου σε ένα δεδομένο πεδίο. Οι άμεσοι χώροι ονομάζονται αποσιωπητικάπροβολικός χώρος. Αυτός ο ορισμός μπορεί να γενικευτεί σε ένα αυθαίρετο σώμα

Εάν έχει διάσταση , τότε η διάσταση του προβολικού χώρου ονομάζεται αριθμός , και ο ίδιος ο προβολικός χώρος συμβολίζεται και ονομάζεται συσχετισμένος με (για να δηλωθεί αυτό, υιοθετείται ο συμβολισμός).

Η μετάβαση από ένα διανυσματικό χώρο διάστασης στον αντίστοιχο προβολικό χώρο ονομάζεται προβολικοποίησηχώρος.

Τα σημεία μπορούν να περιγραφούν χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες.

Βασικά στοιχεία της προβολικής γεωμετρίας:Η προβολική γεωμετρία είναι ένας κλάδος της γεωμετρίας που μελετά προβολικά επίπεδα και χώρους. Κύριο χαρακτηριστικόΗ προβολική γεωμετρία βασίζεται στην αρχή της δυαδικότητας, η οποία προσθέτει χαριτωμένη συμμετρία σε πολλά σχέδια. Η προβολική γεωμετρία μπορεί να μελετηθεί τόσο από καθαρά γεωμετρική άποψη, όσο και από αναλυτική (χρησιμοποιώντας ομοιογενείς συντεταγμένες) και σαλγεβρική άποψη, θεωρώντας το προβολικό επίπεδο ως δομή πάνω από ένα πεδίο. Συχνά, και ιστορικά, το πραγματικό προβολικό επίπεδο θεωρείται το Ευκλείδειο επίπεδο με την προσθήκη της «γραμμής στο άπειρο».

Ενώ οι ιδιότητες των σχημάτων με τις οποίες ασχολείται η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι μετρικός(συγκεκριμένες τιμές γωνιών, τμημάτων, εμβαδών) και η ισοδυναμία των σχημάτων είναι ισοδύναμη με τους μαθηματική αναλογία(δηλαδή, όταν τα σχήματα μπορούν να μεταφραστούν το ένα στο άλλο μέσω κίνησης διατηρώντας τις μετρικές ιδιότητες), υπάρχουν περισσότερες ιδιότητες "βαθιάς" γεωμετρικά σχήματα, τα οποία διατηρούνται κατά τη διάρκεια μετασχηματισμών άνω των γενικού τύπουπαρά κίνηση. Η προβολική γεωμετρία ασχολείται με τη μελέτη ιδιοτήτων σχημάτων που είναι αμετάβλητα κάτω από την κλάση προβολικοί μετασχηματισμοί, καθώς και αυτές οι ίδιες οι μεταμορφώσεις.

Η προβολική γεωμετρία συμπληρώνει την Ευκλείδεια, παρέχοντας όμορφα και απλές λύσειςγια πολλά προβλήματα που περιπλέκονται από την παρουσία παράλληλων ευθειών. Η προβολική θεωρία των κωνικών τομών είναι ιδιαίτερα απλή και κομψή.

Υπάρχουν τρεις κύριες προσεγγίσεις στην προβολική γεωμετρία: ανεξάρτητη αξιωματοποίηση, συμπλήρωση της ευκλείδειας γεωμετρίας και δομή σε ένα πεδίο.

Αξιωματοποίηση

Ο προβολικός χώρος μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ένα διαφορετικό σύνολο αξιωμάτων.

Η Coxeter παρέχει τα ακόλουθα:

1. Υπάρχει μια ευθεία γραμμή και ένα σημείο όχι πάνω της.

2. Κάθε γραμμή έχει τουλάχιστον τρία σημεία.

3. Μέσα από δύο σημεία μπορείτε να τραβήξετε ακριβώς μια ευθεία γραμμή.

4. Αν ΕΝΑ, σι, ντο, Και ρε- διάφορα σημεία και ΑΒΚαι CDδιασταυρώνονται, λοιπόν A.C.Και BDδιατέμνω.

5. Αν αλφάβητοείναι ένα επίπεδο, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο που δεν είναι στο επίπεδο αλφάβητο.

6. Δύο διαφορετικά επίπεδα τέμνουν τουλάχιστον δύο σημεία.

7. Τα τρία διαγώνια σημεία ενός πλήρους τετράπλευρου δεν είναι συγγραμμικά.

8. Αν τρία σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία Χ Χ

Το προβολικό επίπεδο (χωρίς την τρίτη διάσταση) ορίζεται από ελαφρώς διαφορετικά αξιώματα:

1. Μέσα από δύο σημεία μπορείτε να σχεδιάσετε ακριβώς μια ευθεία γραμμή.

2. Οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται.

3. Υπάρχουν τέσσερα σημεία, εκ των οποίων τα τρία δεν είναι συγγραμμικά.

4. Τα τρία διαγώνια σημεία των πλήρων τετραπλευρών δεν είναι συγγραμμικά.

5. Αν τρία σημεία βρίσκονται σε μια ευθεία Χείναι αμετάβλητα ως προς την προβολικότητα του φ, τότε όλα τα σημεία επάνω Χαμετάβλητο ως προς το φ.

6. Θεώρημα Desargues: Αν δύο τρίγωνα είναι προοπτικά μέσω ενός σημείου, τότε είναι προοπτικά μέσω μιας ευθείας.

Με την παρουσία μιας τρίτης διάστασης, το θεώρημα του Desargues μπορεί να αποδειχθεί χωρίς να εισαχθεί ιδανικό σημείο και ευθεία.

Μοντέλο εκτεταμένου επιπέδου - προβολικού επιπέδου:Στον συγγενικό χώρο Α3 παίρνουμε μια δέσμη ευθειών S(O) με κέντρο στο σημείο Ο και ένα επίπεδο Π που δεν διέρχεται από το κέντρο της δέσμης: O 6∈ Π. Μια δέσμη γραμμών σε έναν συγγενικό χώρο είναι ένα μοντέλο του προβολικού επιπέδου. Ας ορίσουμε μια αντιστοίχιση του συνόλου των σημείων του επιπέδου Π στο σύνολο των ευθειών του συνδετικού S (Γάμησε, προσευχήσου αν έχεις αυτή την ερώτηση, συγχωρέστε με)

Εκτεταμένος τρισδιάστατος συγγενικός ή Ευκλείδειος χώρος — ένα μοντέλο προβολικού χώρου:

Για να κάνουμε την αντιστοίχιση επιφανειακή, επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία τυπικής επέκτασης του συγγενικού επιπέδου Π στο προβολικό επίπεδο, Π, συμπληρώνοντας το επίπεδο Π με ένα σύνολο ακατάλληλων σημείων (M∞) έτσι ώστε: ((M∞)) = Ρ0(Ο). Εφόσον στον χάρτη η αντίστροφη εικόνα κάθε επιπέδου της δέσμης επιπέδων S(O) είναι μια ευθεία στο επίπεδο d, είναι προφανές ότι το σύνολο όλων των ακατάλληλων σημείων του εκτεταμένου επιπέδου: Π = Π ∩ (M∞) , (M∞), παριστάνει μια ακατάλληλη γραμμή d∞ του εκτεταμένου επιπέδου, που είναι η αντίστροφη εικόνα του μοναδικού επιπέδου Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) Ας συμφωνήσουμε ότι εδώ και στο εξής θα κατανοούμε την τελευταία ισότητα P0(O) = Π0 με την έννοια της ισότητας των συνόλων σημείων, αλλά προικισμένης με διαφορετική δομή. Συμπληρώνοντας το συγγενικό επίπεδο με μια ακατάλληλη γραμμή, εξασφαλίσαμε ότι η χαρτογράφηση (I.21) έγινε διχαστική στο σύνολο όλων των σημείων του εκτεταμένου επιπέδου:

Εικόνες επίπεδων και χωρικών μορφών κατά την παράλληλη σχεδίαση:

Στη στερεομετρία μελετώνται οι χωρικές μορφές, αλλά στο σχέδιο απεικονίζονται ως επίπεδες μορφές. Πώς πρέπει να απεικονίζεται μια χωρική φιγούρα σε ένα επίπεδο; Τυπικά στη γεωμετρία, χρησιμοποιείται παράλληλος σχεδιασμός για αυτό. Έστω p ένα επίπεδο, μεγάλο- μια ευθεία που το τέμνει (Εικ. 1). Μέσα από ένα αυθαίρετο σημείο ΕΝΑ, που δεν ανήκει στη γραμμή μεγάλο, σχεδιάστε μια γραμμή παράλληλη προς τη γραμμή μεγάλο. Το σημείο τομής αυτής της ευθείας με το επίπεδο p ονομάζεται παράλληλη προβολή του σημείου ΕΝΑστο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας μεγάλο. Ας το χαρακτηρίσουμε ΕΝΑ«.Αν το σημείο ΕΝΑανήκει στη γραμμή μεγάλο, στη συνέχεια με παράλληλη προβολή ΕΝΑτο σημείο τομής της ευθείας θεωρείται ότι βρίσκεται στο επίπεδο p μεγάλομε αεροπλάνο σ.

Έτσι, κάθε σημείο ΕΝΑχώρο συγκρίνεται η προβολή του ΕΝΑ" στο επίπεδο p. Αυτή η αντιστοιχία ονομάζεται παράλληλη προβολή στο επίπεδο p προς την κατεύθυνση της ευθείας γραμμής μεγάλο.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών. Εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων.

Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού ενός επιπέδου. Παραδείγματα προβολικών μετασχηματισμών του επιπέδου. Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών. Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας. Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών.

Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού ενός επιπέδου:Η έννοια του προβολικού μετασχηματισμού γενικεύει την έννοια της κεντρικής προβολής. Αν κάνουμε μια κεντρική προβολή του επιπέδου α σε κάποιο επίπεδο α 1, τότε η προβολή του α 1 σε α 2, α 2 σε α 3, ... και, τέλος, σε κάποιο επίπεδο α nπάλι στο α 1, τότε η σύνθεση όλων αυτών των προβολών είναι ο προβολικός μετασχηματισμός του επιπέδου α. Σε μια τέτοια αλυσίδα μπορούν επίσης να συμπεριληφθούν παράλληλες προβολές.

Παραδείγματα μετασχηματισμών προβολικού επιπέδου:Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός ολοκληρωμένου επιπέδου είναι η αντιστοίχιση ενός προς ένα στον εαυτό του, στην οποία διατηρείται η συγγραμμικότητα των σημείων ή, με άλλα λόγια, η εικόνα οποιασδήποτε γραμμής είναι μια ευθεία γραμμή. Οποιοσδήποτε προβολικός μετασχηματισμός είναι μια σύνθεση μιας αλυσίδας κεντρικών και παράλληλων προβολών. Ένας συγγενικός μετασχηματισμός είναι μια ειδική περίπτωση προβολικού μετασχηματισμού, στον οποίο η γραμμή στο άπειρο μετατρέπεται στον εαυτό της.

Ιδιότητες προβολικών μετασχηματισμών:

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια γραμμή μετατρέπονται σε τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια γραμμή.

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, το πλαίσιο γίνεται πλαίσιο.

Κατά τη διάρκεια ενός προβολικού μετασχηματισμού, μια γραμμή μπαίνει σε ευθεία γραμμή και ένα μολύβι σε μολύβι.

Ομολογία, ιδιότητες ομολογίας:

Ένας προβολικός μετασχηματισμός ενός επιπέδου που έχει μια ευθεία αμετάβλητων σημείων, και επομένως ένα μολύβι αμετάβλητων γραμμών, ονομάζεται ομολογία.

1. Μια ευθεία που διέρχεται από μη συμπίπτοντα αντίστοιχα σημεία ομολογίας είναι μια αμετάβλητη ευθεία.

2. Οι γραμμές που διέρχονται από μη συμπίπτοντα αντίστοιχα σημεία ομολογίας ανήκουν στο ίδιο μολύβι, το κέντρο του οποίου είναι αμετάβλητο σημείο.

3. Το σημείο, η εικόνα του και το κέντρο ομολογίας βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Ομάδα προβολικών μετασχηματισμών:θεωρήστε την προβολική χαρτογράφηση του προβολικού επιπέδου P 2 στον εαυτό του, δηλαδή τον προβολικό μετασχηματισμό αυτού του επιπέδου (P 2 ’ = P 2).

Όπως και πριν, η σύνθεση f των προβολικών μετασχηματισμών f 1 και f 2 του προβολικού επιπέδου P 2 είναι το αποτέλεσμα της διαδοχικής εκτέλεσης των μετασχηματισμών f 1 και f 2: f = f 2 °f 1 .

Θεώρημα 1: το σύνολο H όλων των προβολικών μετασχηματισμών του προβολικού επιπέδου P 2 είναι μια ομάδα ως προς τη σύνθεση των προβολικών μετασχηματισμών.

Τετραγωνικό σχήμα f(x 1, x 2,...,x n) των n μεταβλητών είναι ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών, που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

Ο πίνακας Α που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής. Είναι πάντα συμμετρικόςμήτρας (δηλ. ένας πίνακας συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, a ij =a ji).

Στον συμβολισμό πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι f(X) = X T AX, όπου

Πράγματι

Για παράδειγμα, ας γράψουμε την τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με τα μισά των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Γι' αυτό

Έστω ότι η μήτρα-στήλη των μεταβλητών X λαμβάνεται από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό της μήτρας-στήλης Υ, δηλ. X = CY, όπου C είναι ένας μη ενικός πίνακας νης τάξης. Τότε η τετραγωνική μορφή f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Έτσι, με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό C, ο πίνακας τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * =C T AC.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τετραγωνική μορφή f(y 1, y 2), που προκύπτει από την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 με γραμμικό μετασχηματισμό.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονικός(έχει κανονική άποψη), αν όλοι οι συντελεστές του ij = 0 για i≠j, δηλ. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Η μήτρα του είναι διαγώνιος.

Θεώρημα(η απόδειξη δεν δίνεται εδώ). Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό.

Για παράδειγμα, ας φέρουμε σε κανονική μορφή την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πρώτα ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Τώρα επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Τότε ο μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 και y 3 = x 3 φέρνει αυτήν την τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφήf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Σημειώστε ότι η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής καθορίζεται διφορούμενα (η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί στην κανονική μορφή με διαφορετικούς τρόπους 1). Ωστόσο, το έλαβε με διάφορους τρόπουςοι κανονικές μορφές έχουν μια σειρά από γενικές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές μιας τετραγωνικής μορφής δεν εξαρτάται από τη μέθοδο αναγωγής της φόρμας σε αυτήν τη μορφή (για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα θα υπάρχουν πάντα δύο αρνητικοί και ένας θετικός συντελεστής). Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται νόμος της αδράνειας των τετραγωνικών μορφών.

Ας το επαληθεύσουμε αυτό φέρνοντας την ίδια τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή με διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε τον μετασχηματισμό με τη μεταβλητή x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 , όπου y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 και y 3 = x 1 . Εδώ υπάρχει θετικός συντελεστής 2 για y 3 και δύο αρνητικοί συντελεστές (-3) για y 1 και y 2 (και χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο, πήραμε θετικό συντελεστή 2 για y 1 και δύο αρνητικούς - (-5) για y 2 και (-1/20) για y 3 ).

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής, που ονομάζεται βαθμός τετραγωνικής μορφής, ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν αλλάζει υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Η τετραγωνική μορφή f(X) ονομάζεται θετικώς(αρνητικός)βέβαιος, εάν για όλες τις τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα μηδέν, είναι θετικό, δηλ. f(X) > 0 (αρνητικό, δηλ. f(X)< 0).

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 είναι θετική οριστική, επειδή είναι ένα άθροισμα τετραγώνων και η τετραγωνική μορφή f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 είναι αρνητική οριστική, επειδή αντιπροσωπεύει μπορεί να αναπαρασταθεί ως f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις, είναι κάπως πιο δύσκολο να καθοριστεί το οριστικό πρόσημο μιας τετραγωνικής μορφής, επομένως για αυτό χρησιμοποιούμε ένα από τα παρακάτω θεωρήματα (θα τα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική (αρνητική) οριστική αν και μόνο αν όλα ιδιοτιμέςοι πίνακές του είναι θετικές (αρνητικές).

Θεώρημα (κριτήριο Sylvester). Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα αυτής της μορφής είναι θετικά.

Κύρια (γωνιακά) ελάσσοναΟι πίνακες k-ης τάξης της An-th τάξης ονομάζονται ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τις πρώτες k σειρές και στήλες του πίνακα A ().

Σημειώστε ότι για αρνητικούς οριστικούς τετραγωνικούς τύπους τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται και το δευτερεύον πρώτης τάξης πρέπει να είναι αρνητικό.

Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 για την οριστικότητα του πρόσημου.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Μέθοδος 2. Κύρια ελάσσονα πρώτης τάξης του πίνακα A  1 =a 11 = 2 > 0. Κύρια ελάσσονα δεύτερης τάξης  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο του Sylvester, το τετραγωνικό η μορφή είναι θετική οριστική.

Ας εξετάσουμε μια άλλη τετραγωνική μορφή για την οριστικότητα του πρόσημου, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής A = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική.

Μέθοδος 2. Κύριο δευτερεύον της πρώτης τάξης του πίνακα A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Κατά συνέπεια, σύμφωνα με το κριτήριο του Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική (τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται, ξεκινώντας από το μείον).

Και ως άλλο παράδειγμα, εξετάζουμε την καθορισμένη με πρόσημο τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής A = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Ο ένας από αυτούς τους αριθμούς είναι αρνητικός και ο άλλος θετικός. Τα σημάδια των ιδιοτιμών είναι διαφορετικά. Κατά συνέπεια, η τετραγωνική μορφή δεν μπορεί να είναι ούτε αρνητική ούτε θετική οριστική, δηλ. αυτή η τετραγωνική μορφή δεν είναι καθορισμένη (μπορεί να πάρει τιμές οποιουδήποτε σημείου).

Μέθοδος 2. Κύρια ελάσσονα πρώτης τάξης του πίνακα A  1 =a 11 = 2 > 0. Κύρια ελάσσονα δεύτερης τάξης 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1Η εξεταζόμενη μέθοδος αναγωγής μιας τετραγωνικής μορφής σε κανονική μορφή είναι βολική για χρήση όταν συναντώνται μη μηδενικοί συντελεστές με τα τετράγωνα των μεταβλητών. Εάν δεν υπάρχουν, είναι ακόμα δυνατό να πραγματοποιηθεί η μετατροπή, αλλά πρέπει να χρησιμοποιήσετε κάποιες άλλες τεχνικές. Για παράδειγμα, έστω f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, όπου y 1 = x 1 + x 2, αy 2 = x 1 – x 2.

Τετραγωνικά σχήματα

Τετραγωνικό σχήμα f(x 1, x 2,...,x n) των n μεταβλητών είναι ένα άθροισμα, κάθε όρος του οποίου είναι είτε το τετράγωνο μιας από τις μεταβλητές, είτε το γινόμενο δύο διαφορετικών μεταβλητών, που λαμβάνονται με έναν ορισμένο συντελεστή: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Ο πίνακας Α που αποτελείται από αυτούς τους συντελεστές ονομάζεται πίνακας τετραγωνικής μορφής. Είναι πάντα συμμετρικόςμήτρας (δηλ. ένας πίνακας συμμετρικός ως προς την κύρια διαγώνιο, a ij = a ji).

Στον συμβολισμό πίνακα, η τετραγωνική μορφή είναι f(X) = X T AX, όπου

Πράγματι

Για παράδειγμα, ας γράψουμε την τετραγωνική μορφή σε μορφή πίνακα.

Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής. Τα διαγώνια στοιχεία του είναι ίσα με τους συντελεστές των τετραγωνικών μεταβλητών και τα υπόλοιπα στοιχεία είναι ίσα με τα μισά των αντίστοιχων συντελεστών της τετραγωνικής μορφής. Γι' αυτό

Έστω ότι η μήτρα-στήλη των μεταβλητών X λαμβάνεται από έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό της μήτρας-στήλης Υ, δηλ. X = CY, όπου C είναι ένας μη ενικός πίνακας νης τάξης. Στη συνέχεια η τετραγωνική μορφή
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Έτσι, με έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό C, ο πίνακας τετραγωνικής μορφής παίρνει τη μορφή: A * = C T AC.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τετραγωνική μορφή f(y 1, y 2), που προκύπτει από την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 με γραμμικό μετασχηματισμό.

Η τετραγωνική μορφή ονομάζεται κανονικός(έχει κανονική άποψη), αν όλοι οι συντελεστές του a ij = 0 για i ≠ j, δηλ.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Η μήτρα του είναι διαγώνιος.

Θεώρημα(η απόδειξη δεν δίνεται εδώ). Οποιαδήποτε τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή χρησιμοποιώντας έναν μη εκφυλισμένο γραμμικό μετασχηματισμό.

Για παράδειγμα, ας ανάγουμε την τετραγωνική μορφή σε κανονική μορφή
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Για να το κάνετε αυτό, επιλέξτε πρώτα ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Τώρα επιλέγουμε ένα πλήρες τετράγωνο με τη μεταβλητή x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5 (x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20) x 3 2.

Τότε ο μη εκφυλισμένος γραμμικός μετασχηματισμός y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 και y 3 = x 3 φέρνει αυτή την τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Σημειώστε ότι η κανονική μορφή μιας τετραγωνικής μορφής καθορίζεται διφορούμενα (η ίδια τετραγωνική μορφή μπορεί να αναχθεί σε κανονική μορφή με διαφορετικούς τρόπους). Ωστόσο, οι κανονικές μορφές που λαμβάνονται με διάφορες μεθόδους έχουν έναν αριθμό από γενικές ιδιότητες. Ειδικότερα, ο αριθμός των όρων με θετικούς (αρνητικούς) συντελεστές μιας τετραγωνικής μορφής δεν εξαρτάται από τη μέθοδο αναγωγής της φόρμας σε αυτήν τη μορφή (για παράδειγμα, στο εξεταζόμενο παράδειγμα θα υπάρχουν πάντα δύο αρνητικοί και ένας θετικός συντελεστής). Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται νόμος της αδράνειας των τετραγωνικών μορφών.

Ας το επαληθεύσουμε αυτό φέρνοντας την ίδια τετραγωνική μορφή στην κανονική μορφή με διαφορετικό τρόπο. Ας ξεκινήσουμε τον μετασχηματισμό με τη μεταβλητή x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 -
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) +((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, όπου y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 και y 3 = x 1 . Εδώ υπάρχει ένας θετικός συντελεστής 2 στο y 3 και δύο αρνητικοί συντελεστές (-3) στο y 1 και y 2 (και χρησιμοποιώντας μια άλλη μέθοδο πήραμε έναν θετικό συντελεστή 2 στο y 1 και δύο αρνητικούς συντελεστές - (-5) στο y 2 και (-1 /20) στο y 3).

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι η κατάταξη ενός πίνακα τετραγωνικής μορφής, που ονομάζεται βαθμός τετραγωνικής μορφής, ισούται με τον αριθμό των μη μηδενικών συντελεστών της κανονικής μορφής και δεν αλλάζει υπό γραμμικούς μετασχηματισμούς.

Η τετραγωνική μορφή f(X) ονομάζεται θετικώς (αρνητικός) βέβαιος, εάν για όλες τις τιμές των μεταβλητών που δεν είναι ταυτόχρονα ίσες με μηδέν, είναι θετικό, δηλ. f(X) > 0 (αρνητικό, δηλ.
f(X)< 0).

Για παράδειγμα, η τετραγωνική μορφή f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 είναι θετική οριστική, επειδή είναι ένα άθροισμα τετραγώνων και η τετραγωνική μορφή f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 είναι αρνητική οριστική, επειδή αντιπροσωπεύει μπορεί να αναπαρασταθεί ως f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Στις περισσότερες πρακτικές καταστάσεις, είναι κάπως πιο δύσκολο να καθοριστεί το οριστικό πρόσημο μιας τετραγωνικής μορφής, επομένως για αυτό χρησιμοποιούμε ένα από τα παρακάτω θεωρήματα (θα τα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη).

Θεώρημα. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική (αρνητική) ορισμένη αν και μόνο αν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα της είναι θετικές (αρνητικές).

Θεώρημα (κριτήριο Sylvester). Μια τετραγωνική μορφή είναι θετική ορισμένη αν και μόνο αν όλα τα κύρια δευτερεύοντα του πίνακα αυτής της μορφής είναι θετικά.

Κύρια (γωνιακά) ελάσσοναΗ kth τάξης πίνακας A της νης τάξης ονομάζεται ορίζουσα του πίνακα, που αποτελείται από τις πρώτες k σειρές και στήλες του πίνακα A ().

Σημειώστε ότι για αρνητικούς οριστικούς τετραγωνικούς τύπους τα πρόσημα των κυρίων ανηλίκων εναλλάσσονται και το δευτερεύον πρώτης τάξης πρέπει να είναι αρνητικό.

Για παράδειγμα, ας εξετάσουμε την τετραγωνική μορφή f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 για την οριστικότητα του πρόσημου.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Μέθοδος 2. Κύρια ελάσσονα πρώτης τάξης του πίνακα A D 1 = a 11 = 2 > 0. Κύρια ελάσσονα δεύτερης τάξης D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Επομένως, σύμφωνα με το κριτήριο του Sylvester, η τετραγωνική μορφή είναι θετική οριστική.

Ας εξετάσουμε μια άλλη τετραγωνική μορφή για την οριστικότητα του πρόσημου, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Μέθοδος 1. Ας κατασκευάσουμε έναν πίνακα τετραγωνικής μορφής A = . Η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τη μορφή = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Επομένως, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητική οριστική.