Θεωρία μαθηματικών πιθανοτήτων. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματική στατιστική

Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο

Στο τέλος του μακρού καλοκαιρινές διακοπέςήρθε η ώρα να επιστρέψετε σιγά σιγά στα ανώτερα μαθηματικά και να ανοίξετε επίσημα το άδειο αρχείο Verdov για να ξεκινήσετε τη δημιουργία μιας νέας ενότητας - . Παραδέχομαι, οι πρώτες γραμμές δεν είναι εύκολες, αλλά το πρώτο βήμα είναι το μισό του δρόμου, γι 'αυτό προτείνω σε όλους να μελετήσουν προσεκτικά το εισαγωγικό άρθρο, μετά από το οποίο η γνώση του θέματος θα είναι 2 φορές πιο εύκολη! Δεν υπερβάλλω καθόλου. …Την παραμονή της επόμενης 1ης Σεπτεμβρίου θυμάμαι την πρώτη δημοτικού και το αστάρι…. Τα γράμματα σχηματίζουν συλλαβές, οι συλλαβές σχηματίζουν λέξεις, οι λέξεις σχηματίζουν σύντομες προτάσεις - Η μαμά έπλυνε το πλαίσιο. Η γνώση των στατιστικών στροφών και μαθηματικών είναι τόσο εύκολη όσο η εκμάθηση της ανάγνωσης! Ωστόσο, για αυτό πρέπει να γνωρίζετε βασικούς όρους, έννοιες και ονομασίες, καθώς και ορισμένους συγκεκριμένους κανόνες, που αποτελούν το αντικείμενο αυτού του μαθήματος.

Πρώτα όμως δεχτείτε τα συγχαρητήριά μου για την έναρξη (συνέχιση, ολοκλήρωση, επισήμανση κατά περίπτωση) της σχολικής χρονιάς και δεχτείτε το δώρο. Το καλύτερο δώρο- αυτό είναι ένα βιβλίο, και για ανεξάρτητη εργασίαΠροτείνω την ακόλουθη βιβλιογραφία:

1) Gmurman V.E. Θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματική στατιστική

Ένα θρυλικό εγχειρίδιο που έχει περάσει από περισσότερες από δέκα ανατυπώσεις. Διακρίνεται για την καταληπτότητα και την εξαιρετικά απλή παρουσίαση της ύλης και τα πρώτα κεφάλαια είναι απολύτως προσιτά, νομίζω, ήδη για τους μαθητές της 6ης-7ης τάξης.

2) Gmurman V.E. Ένας οδηγός για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρία πιθανοτήτων και μαθηματικές στατιστικές

Ένα βιβλίο λύσεων του ίδιου Vladimir Efimovich με λεπτομερή παραδείγματα και προβλήματα.

ΑΝΑΓΚΑΙΩΣκατεβάστε και τα δύο βιβλία από το Διαδίκτυο ή αποκτήστε τα έντυπά τους! Θα λειτουργήσει και η έκδοση των 60s και 70s, η οποία είναι ακόμα καλύτερη για ομοιώματα. Αν και η φράση «θεωρία πιθανοτήτων για ανδρείκελα» ακούγεται μάλλον γελοία, αφού σχεδόν τα πάντα περιορίζονται σε στοιχειώδεις αριθμητικές πράξεις. Παρακάμπτουν, όμως, κατά τόπους παράγωγαΚαι ολοκληρώματα, αλλά αυτό είναι μόνο κατά τόπους.

Θα προσπαθήσω να επιτύχω την ίδια σαφήνεια παρουσίασης, αλλά πρέπει να προειδοποιήσω ότι η πορεία μου στοχεύει επίλυση προβλημάτωνκαι οι θεωρητικοί υπολογισμοί περιορίζονται στο ελάχιστο. Έτσι, αν χρειάζεστε μια λεπτομερή θεωρία, αποδείξεις θεωρημάτων (θεωρήματα-θεωρήματα!), ανατρέξτε στο σχολικό βιβλίο. Λοιπόν, ποιος θέλει μάθουν να λύνουν προβλήματαστη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική το πολύ βραχυπρόθεσμους όρους , ακολουθήστε με!

Αυτό είναι αρκετό για αρχή =)

Καθώς διαβάζετε τα άρθρα, είναι σκόπιμο να εξοικειωθείτε (τουλάχιστον εν συντομία) με πρόσθετες εργασίες των υπό εξέταση τύπων. Στη σελίδα Έτοιμες λύσεις για ανώτερα μαθηματικάΘα αναρτηθούν τα αντίστοιχα pdf με παραδείγματα λύσεων. Θα παρασχεθεί επίσης σημαντική βοήθεια IDZ 18.1 Ryabushko(πιο απλό) και έλυσε το IDZ σύμφωνα με τη συλλογή του Chudesenko(πιο δύσκολο).

1) Ποσόδύο γεγονότα και το γεγονός ονομάζεται που είναι ότι θα συμβεί ήσυμβάν ήσυμβάν ήκαι τα δύο γεγονότα ταυτόχρονα. Σε περίπτωση που τα γεγονότα ασυμβίβαστος, η τελευταία επιλογή εξαφανίζεται, δηλαδή μπορεί να εμφανιστεί ήσυμβάν ήεκδήλωση .

Ο κανόνας ισχύει επίσης για μεγαλύτερο αριθμό όρων, για παράδειγμα, το συμβάν είναι αυτό που θα συμβεί τουλάχιστον ένααπό εκδηλώσεις , Α εάν τα γεγονότα είναι ασύμβατα – τότε ένα πράγμα και μόνο ένα πράγμαγεγονός από αυτό το ποσό: ήεκδήλωση, ήεκδήλωση, ήεκδήλωση, ήεκδήλωση, ήεκδήλωση .

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα:

Γεγονότα (κατά τη ρίψη ζαριών, δεν θα εμφανίζονται 5 πόντοι) είναι αυτό που θα εμφανιστεί ή 1, ή 2, ή 3, ή 4, ή 6 βαθμοί.

Συμβάν (θα πέσει όχι άλλοδύο σημεία) είναι ότι θα εμφανιστεί το 1 ή 2σημεία.

Συμβάν (θα υπάρχει ζυγός αριθμός πόντων) είναι αυτό που φαίνεται ή 2 ή 4 ή 6 βαθμοί.

Το γεγονός είναι ότι θα τραβηχτεί κόκκινη κάρτα (καρδιά) από την τράπουλα ήντέφι), και η εκδήλωση – ότι η «εικόνα» θα εξαχθεί (βύσμα ήκυρία ήβασιλιάς ήάσσος).

Λίγο πιο ενδιαφέρουσα είναι η περίπτωση των κοινών εκδηλώσεων:

Το γεγονός είναι ότι ένα κλαμπ θα κληρωθεί από το κατάστρωμα ήεπτά ήεπτά συλλόγων Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, τουλάχιστον κάτι- ή οποιαδήποτε λέσχη ή οποιαδήποτε επτά ή η «τομή» τους - επτά συλλόγων. Είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι αυτό το γεγονός αντιστοιχεί σε 12 στοιχειώδη αποτελέσματα (9 κάρτες συλλόγου + 3 υπόλοιπες επτά).

Η εκδήλωση είναι ότι αύριο στις 12.00 θα έρθει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΜΙΑ από τις αθροιστικές κοινές εκδηλώσεις, συγκεκριμένα:

– ή θα υπάρχει μόνο βροχή / μόνο καταιγίδα / μόνο ήλιος.
– ή θα συμβεί μόνο ένα ζευγάρι συμβάντων (βροχή + καταιγίδα / βροχή + ήλιος / καταιγίδα + ήλιος).
– ή θα εμφανιστούν και τα τρία συμβάντα ταυτόχρονα.

Δηλαδή, η εκδήλωση περιλαμβάνει 7 πιθανές εκβάσεις.

Ο δεύτερος πυλώνας της άλγεβρας των γεγονότων:

2) Το έργοδύο γεγονότα και καλούμε ένα γεγονός που συνίσταται στην από κοινού εμφάνιση αυτών των γεγονότων, με άλλα λόγια, ο πολλαπλασιασμός σημαίνει ότι υπό ορισμένες συνθήκες θα υπάρξει Καιεκδήλωση, Καιεκδήλωση . Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για μεγαλύτερο αριθμό γεγονότων, για παράδειγμα, ένα έργο υπονοεί ότι υπό ορισμένες συνθήκες θα συμβεί Καιεκδήλωση, Καιεκδήλωση, Καιεκδήλωση,…, Καιεκδήλωση .

Σκεφτείτε ένα τεστ στο οποίο ρίχνονται δύο νομίσματα και τα ακόλουθα γεγονότα:

– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 1ο νόμισμα.
– το 1ο νόμισμα θα προσγειώσει κεφάλια.
– οι κεφαλές θα εμφανίζονται στο 2ο νόμισμα.
– το 2ο νόμισμα θα προσγειωθεί.

Τότε:
Καιστη 2η) θα εμφανιστούν κεφαλές.
– το γεγονός είναι ότι και στα δύο νομίσματα (την 1η Καιτο 2ο) θα ειναι κεφαλια?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιτο 2ο νόμισμα είναι ουρές?
– το γεγονός είναι ότι το 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός.

Είναι εύκολο να δεις αυτά τα γεγονότα ασυμβίβαστος (γιατί, για παράδειγμα, δεν μπορεί να πέσει 2 κεφάλια και 2 ουρές ταυτόχρονα)και μορφή πλήρης ομάδα (αφού ελήφθη υπόψη Ολοιπιθανά αποτελέσματα από την ρίψη δύο νομισμάτων). Ας συνοψίσουμε αυτά τα γεγονότα: . Πώς ερμηνεύεται αυτό το λήμμα; Πολύ απλό - ο πολλαπλασιασμός σημαίνει μια λογική σύνδεση ΚΑΙκαι προσθήκη - Ή. Έτσι, το ποσό διαβάζεται εύκολα σε κατανοητή ανθρώπινη γλώσσα: «θα εμφανιστούν δύο κεφάλια ήδύο κεφάλια ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστις 2 ουρές ήτο 1ο νόμισμα θα προσγειωθεί κεφάλια Καιστο 2ο νόμισμα υπάρχει ένας αετός"

Αυτό ήταν ένα παράδειγμα όταν σε ένα τεστεμπλέκονται πολλά αντικείμενα, στην περίπτωση αυτή δύο νομίσματα. Ένα άλλο κοινό σχήμα σε πρακτικά προβλήματα είναι επανέλεγχο , όταν, για παράδειγμα, το ίδιο ζάρι τυλίγεται 3 φορές στη σειρά. Ως επίδειξη, εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

– στην 1η ρίψη θα πάρετε 4 πόντους.
– στη 2η ρίψη θα πάρετε 5 πόντους.
– στην 3η βολή θα πάρετε 6 πόντους.

Στη συνέχεια η εκδήλωση είναι ότι στην 1η ρίψη θα πάρεις 4 πόντους Καιστη 2η ρίψη θα πάρετε 5 πόντους Καιστην 3η ζαριά θα πάρετε 6 πόντους. Προφανώς, στην περίπτωση ενός κύβου θα υπάρχουν σημαντικά περισσότεροι συνδυασμοί (αποτελέσματα) από ό,τι αν πετούσαμε ένα νόμισμα.

...Καταλαβαίνω ότι ίσως τα παραδείγματα που αναλύονται δεν είναι πολύ ενδιαφέροντα, αλλά αυτά είναι πράγματα που συναντώνται συχνά σε προβλήματα και δεν υπάρχει διαφυγή από αυτά. Εκτός από ένα νόμισμα, έναν κύβο και μια τράπουλα, σας περιμένουν δοχεία με πολύχρωμες μπάλες, αρκετοί ανώνυμοι που πυροβολούν έναν στόχο και ένας ακούραστος εργάτης που αλέκει συνεχώς κάποιες λεπτομέρειες =)

Πιθανότητα συμβάντος

Πιθανότητα συμβάντος είναι η κεντρική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. ...Ένα φονικό λογικό πράγμα, αλλά έπρεπε να ξεκινήσουμε από κάπου =) Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις στον ορισμό του:

;
Γεωμετρικός ορισμός της πιθανότητας ;
Στατιστικός ορισμός της πιθανότητας .

Σε αυτό το άρθρο θα επικεντρωθώ στον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, ο οποίος χρησιμοποιείται ευρύτερα σε εκπαιδευτικές εργασίες.

Ονομασίες. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος υποδηλώνεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα και το ίδιο το γεγονός λαμβάνεται σε αγκύλες, λειτουργώντας ως ένα είδος επιχειρήματος. Για παράδειγμα:

Επίσης, το μικρό γράμμα χρησιμοποιείται ευρέως για να δηλώσει πιθανότητα. Συγκεκριμένα, μπορείτε να εγκαταλείψετε τους δυσκίνητους χαρακτηρισμούς των γεγονότων και τις πιθανότητές τους υπέρ του παρακάτω στυλ:

– την πιθανότητα ότι μια ρίψη νομίσματος θα έχει ως αποτέλεσμα κεφαλές.
– η πιθανότητα μια ζαριά να έχει ως αποτέλεσμα 5 πόντους.
– η πιθανότητα να τραβηχτεί από την τράπουλα ένα φύλλο του συλλόγου.

Αυτή η επιλογή είναι δημοφιλής κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, καθώς σας επιτρέπει να μειώσετε σημαντικά την εγγραφή της λύσης. Όπως και στην πρώτη περίπτωση, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε «ομιλούντες» δείκτες/υπέργραφους εδώ.

Όλοι έχουν μαντέψει από καιρό τους αριθμούς που μόλις έγραψα παραπάνω και τώρα θα μάθουμε πώς έγιναν:

Κλασικός ορισμός της πιθανότητας:

Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε ένα συγκεκριμένο τεστ ονομάζεται λόγος, όπου:

– συνολικός αριθμός όλων εξίσου δυνατό, στοιχειώδηςαποτελέσματα αυτής της δοκιμασίας, τα οποία σχηματίζονται πλήρη ομάδα εκδηλώσεων;

- ποσότητα στοιχειώδηςαποτελέσματα, ευνοϊκός συμβάν.

Όταν πετάτε ένα νόμισμα, μπορεί να πέσουν είτε τα κεφάλια είτε οι ουρές - αυτά τα γεγονότα σχηματίζονται πλήρης ομάδα, επομένως, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων. ταυτόχρονα, το καθένα από αυτά στοιχειώδηςΚαι εξίσου δυνατό. Η διοργάνωση ευνοείται από το αποτέλεσμα (κεφάλια). Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας: .

Ομοίως, ως αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού, μπορεί να εμφανιστούν στοιχειώδη εξίσου πιθανά αποτελέσματα, σχηματίζοντας μια πλήρη ομάδα, και το γεγονός ευνοείται από ένα μόνο αποτέλεσμα (rolling a five). Γι' αυτό: ΑΥΤΟ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟΔΕΚΤΟ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ (αν και δεν απαγορεύεται να υπολογίζεις ποσοστά στο κεφάλι σου).

Είναι σύνηθες να χρησιμοποιούνται κλάσματα μιας μονάδας, και, προφανώς, η πιθανότητα μπορεί να ποικίλλει εντός . Επιπλέον, αν , τότε το συμβάν είναι αδύνατος, Αν - αξιόπιστος, και αν , τότε μιλάμε για τυχαίοςσυμβάν.

! Εάν, ενώ λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα, λαμβάνετε κάποια άλλη τιμή πιθανότητας, αναζητήστε το σφάλμα!

Στην κλασική προσέγγιση για τον προσδιορισμό της πιθανότητας, οι ακραίες τιμές (μηδέν και ένα) λαμβάνονται με τον ίδιο ακριβώς συλλογισμό. Αφήστε 1 μπάλα να τραβηχτεί τυχαία από ένα συγκεκριμένο δοχείο που περιέχει 10 κόκκινες μπάλες. Εξετάστε τα ακόλουθα γεγονότα:

σε μία μόνο δοκιμή δεν θα συμβεί ένα συμβάν χαμηλής πιθανότητας.

Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δεν θα πετύχετε το τζάκποτ στην κλήρωση εάν η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι, ας πούμε, 0,00000001. Ναι, ναι, είσαι εσύ – με το μοναδικό εισιτήριο σε μια συγκεκριμένη κυκλοφορία. Ωστόσο, ο μεγαλύτερος αριθμός εισιτηρίων και ο μεγαλύτερος αριθμός κληρώσεων δεν θα σας βοηθήσουν ιδιαίτερα. ...Όταν λέω σε άλλους για αυτό, σχεδόν πάντα ακούω ως απάντηση: «αλλά κάποιος κερδίζει». Εντάξει, τότε ας κάνουμε το εξής πείραμα: αγοράστε ένα εισιτήριο για οποιαδήποτε λοταρία σήμερα ή αύριο (μην καθυστερείτε!). Και αν κερδίσετε... καλά, τουλάχιστον περισσότερα από 10 κιλόρουβλια, φροντίστε να εγγραφείτε - θα σας εξηγήσω γιατί συνέβη αυτό. Για ένα ποσοστό, φυσικά =) =)

Αλλά δεν χρειάζεται να είμαστε λυπημένοι, γιατί υπάρχει μια αντίθετη αρχή: αν η πιθανότητα κάποιου γεγονότος είναι πολύ κοντά στη μία, τότε σε μια δοκιμή θα σχεδόν βέβαιοθα συμβεί. Επομένως, πριν πηδήσετε με αλεξίπτωτο, δεν χρειάζεται να φοβάστε, αντίθετα, χαμογελάστε! Άλλωστε, πρέπει να προκύψουν εντελώς αδιανόητες και φανταστικές συνθήκες για να αστοχήσουν και τα δύο αλεξίπτωτα.

Αν και όλα αυτά είναι λυρισμός, αφού ανάλογα με το περιεχόμενο του γεγονότος, η πρώτη αρχή μπορεί να αποδειχθεί χαρούμενη και η δεύτερη - θλιβερή. ή έστω και τα δύο είναι παράλληλα.

Ίσως είναι αρκετό για τώρα, στην τάξη Κλασικά προβλήματα πιθανοτήτωνθα αξιοποιήσουμε στο έπακρο τη φόρμουλα. Στο τελευταίο μέρος αυτού του άρθρου, θα εξετάσουμε ένα σημαντικό θεώρημα:

Το άθροισμα των πιθανοτήτων των γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ίσο με ένα. Σε γενικές γραμμές, εάν τα γεγονότα αποτελούν μια πλήρη ομάδα, τότε με 100% πιθανότητα θα συμβεί ένα από αυτά. Στην απλούστερη περίπτωση, μια πλήρης ομάδα σχηματίζεται από αντίθετα γεγονότα, για παράδειγμα:

– ως αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος, θα εμφανιστούν κεφάλια.
– το αποτέλεσμα μιας ρίψης νομίσματος θα είναι ουρές.

Σύμφωνα με το θεώρημα:

Είναι απολύτως σαφές ότι αυτά τα γεγονότα είναι εξίσου πιθανά και οι πιθανότητές τους είναι ίδιες .

Λόγω της ισότητας των πιθανοτήτων, συχνά καλούνται εξίσου πιθανά γεγονότα εξίσου πιθανό . Και εδώ είναι ένα στριφτάρι γλώσσας για τον προσδιορισμό του βαθμού μέθης =)

Παράδειγμα με κύβο: τα γεγονότα είναι αντίθετα, επομένως .

Το υπό εξέταση θεώρημα είναι βολικό καθώς σας επιτρέπει να βρείτε γρήγορα την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι, εάν είναι γνωστή η πιθανότητα να κυλιθεί ένα πεντάρι, είναι εύκολο να υπολογίσουμε την πιθανότητα να μην έχει κυληθεί:

Αυτό είναι πολύ πιο απλό από το να συνοψίσουμε τις πιθανότητες πέντε βασικών αποτελεσμάτων. Για στοιχειώδη αποτελέσματα, παρεμπιπτόντως, ισχύει και αυτό το θεώρημα:
. Για παράδειγμα, αν είναι η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο, τότε είναι η πιθανότητα να αστοχήσει.

! Στη θεωρία πιθανοτήτων, δεν είναι επιθυμητό να χρησιμοποιούνται γράμματα για άλλους σκοπούς.

Προς τιμήν της Ημέρας της Γνώσης, δεν θα ρωτήσω σχολική εργασία στο σπίτι=), αλλά είναι πολύ σημαντικό να μπορείτε να απαντήσετε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

– Τι είδους εκδηλώσεις υπάρχουν;
– Τι είναι η πιθανότητα και η ίση πιθανότητα ενός γεγονότος;
– Πώς αντιλαμβάνεστε τους όρους συμβατότητα/ασυμβατότητα συμβάντων;
– Τι είναι μια πλήρης ομάδα γεγονότων, αντίθετα γεγονότα;
– Τι σημαίνει πρόσθεση και πολλαπλασιασμός γεγονότων;
– Ποια είναι η ουσία του κλασικού ορισμού της πιθανότητας;
– Γιατί είναι χρήσιμο το θεώρημα για την πρόσθεση των πιθανοτήτων γεγονότων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα;

Όχι, δεν χρειάζεται να στριμώξετε τίποτα, αυτά είναι μόνο τα βασικά της θεωρίας πιθανοτήτων - ένα είδος αστάρι που θα χωρέσει γρήγορα στο κεφάλι σας. Και για να συμβεί αυτό το συντομότερο δυνατό, σας προτείνω να εξοικειωθείτε με τα μαθήματα

Πολλοί, όταν έρχονται αντιμέτωποι με την έννοια της «θεωρίας πιθανοτήτων», φοβούνται, νομίζοντας ότι είναι κάτι συντριπτικό, πολύ περίπλοκο. Αλλά στην πραγματικότητα όλα δεν είναι τόσο τραγικά. Σήμερα θα εξετάσουμε τη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων και θα μάθουμε πώς να λύνουμε προβλήματα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.

Επιστήμη

Τι μελετά ένας τέτοιος κλάδος των μαθηματικών όπως η «θεωρία πιθανοτήτων»; Σημειώνει σχέδια και ποσότητες. Οι επιστήμονες άρχισαν να ενδιαφέρονται για αυτό το θέμα τον δέκατο όγδοο αιώνα, όταν μελέτησαν τον τζόγο. Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός. Είναι κάθε γεγονός που αποδεικνύεται από την εμπειρία ή την παρατήρηση. Τι είναι όμως εμπειρία; Μια άλλη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. Σημαίνει ότι αυτό το σύνολο περιστάσεων δεν δημιουργήθηκε τυχαία, αλλά για έναν συγκεκριμένο σκοπό. Όσο για την παρατήρηση, εδώ ο ίδιος ο ερευνητής δεν συμμετέχει στο πείραμα, αλλά είναι απλώς μάρτυρας αυτών των γεγονότων, δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο αυτό που συμβαίνει.

Εκδηλώσεις

Μάθαμε ότι η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός, αλλά δεν λάβαμε υπόψη την ταξινόμηση. Όλα χωρίζονται στις εξής κατηγορίες:

• Αξιόπιστος.
• Αδύνατος.
• Τυχαίος.

Ανεξάρτητα από το είδος των γεγονότων που παρατηρήθηκαν ή δημιουργήθηκαν κατά τη διάρκεια της εμπειρίας, όλα υπόκεινται σε αυτήν την ταξινόμηση. Σας προσκαλούμε να εξοικειωθείτε με κάθε είδος ξεχωριστά.

Αξιόπιστο συμβάν

Πρόκειται για μια περίσταση για την οποία έχει ληφθεί το απαραίτητο σύνολο μέτρων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την ουσία, είναι προτιμότερο να δώσουμε μερικά παραδείγματα. Η φυσική, η χημεία, τα οικονομικά και τα ανώτερα μαθηματικά υπόκεινται σε αυτόν τον νόμο. Η θεωρία των πιθανοτήτων περιλαμβάνει μια τόσο σημαντική έννοια όπως ένα αξιόπιστο γεγονός. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:

• Εργαζόμαστε και λαμβάνουμε αποζημίωση με τη μορφή μισθών.
• Περάσαμε καλά τις εξετάσεις, περάσαμε τον διαγωνισμό και για αυτό λαμβάνουμε ανταμοιβή με τη μορφή εισαγωγής σε ένα εκπαιδευτικό ίδρυμα.
• Επενδύσαμε χρήματα στην τράπεζα και αν χρειαστεί θα τα πάρουμε πίσω.

Τέτοια γεγονότα είναι αξιόπιστα. Εάν έχουμε εκπληρώσει όλες τις απαραίτητες προϋποθέσεις, σίγουρα θα έχουμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

Αδύνατα γεγονότα

Τώρα εξετάζουμε στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Προτείνουμε να προχωρήσουμε σε μια εξήγηση του επόμενου τύπου γεγονότος, δηλαδή του αδύνατου. Αρχικά, ας ορίσουμε τον πιο σημαντικό κανόνα - η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Δεν μπορεί κανείς να παρεκκλίνει από αυτή τη διατύπωση όταν λύνει προβλήματα. Για διευκρίνιση, παραθέτουμε παραδείγματα τέτοιων γεγονότων:

• Το νερό πάγωσε σε θερμοκρασία συν δέκα (αυτό είναι αδύνατο).
• Η έλλειψη ηλεκτρικής ενέργειας δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο την παραγωγή (εξίσου αδύνατη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα).

Δεν αξίζει να δώσουμε περισσότερα παραδείγματα, καθώς αυτά που περιγράφονται παραπάνω αντικατοπτρίζουν πολύ ξεκάθαρα την ουσία αυτής της κατηγορίας. Ένα αδύνατο γεγονός δεν θα συμβεί ποτέ κατά τη διάρκεια ενός πειράματος σε καμία περίπτωση.

Τυχαία συμβάντα

Μελετώντας τα στοιχεία ιδιαίτερη προσοχήΑξίζει να δώσετε προσοχή σε αυτό το είδος εκδήλωσης. Αυτό μελετά η επιστήμη. Ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, κάτι μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Επιπλέον, η δοκιμή μπορεί να πραγματοποιηθεί απεριόριστες φορές. Ζωντανά παραδείγματα περιλαμβάνουν:

• Η ρίψη ενός νομίσματος είναι μια εμπειρία ή δοκιμή, η προσγείωση των κεφαλιών είναι ένα γεγονός.
• Το να τραβήξεις μια μπάλα στα τυφλά είναι μια δοκιμασία να πάρεις μια κόκκινη μπάλα και ούτω καθεξής.

Μπορεί να υπάρχει απεριόριστος αριθμός τέτοιων παραδειγμάτων, αλλά, γενικά, η ουσία πρέπει να είναι ξεκάθαρη. Για να συνοψίσουμε και να συστηματοποιήσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε για τα γεγονότα, παρέχεται ένας πίνακας. Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά μόνο τον τελευταίο τύπο από όλα που παρουσιάζονται.

Ονομα	ορισμός
Αξιόπιστος	Εκδηλώσεις που συμβαίνουν με 100% εγγύηση εάν πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις.	Εισαγωγή σε εκπαιδευτικό ίδρυμα μετά την επιτυχία της εισαγωγικής εξέτασης.
Αδύνατος	Γεγονότα που δεν θα συμβούν ποτέ σε καμία περίπτωση.	Χιονίζει σε θερμοκρασία αέρα συν τριάντα βαθμούς Κελσίου.
Τυχαίος	Ένα συμβάν που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια ενός πειράματος/δοκιμής.	Χτύπημα ή αστοχία όταν ρίχνετε μια μπάλα μπάσκετ σε ένα τσέρκι.

Νόμοι

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Όπως και τα άλλα, έχει κάποιους κανόνες. Υπάρχουν οι ακόλουθοι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων:

• Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.
• Νόμος των μεγάλων αριθμών.

Κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας για κάτι περίπλοκο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα σύνολο απλών γεγονότων για να επιτύχετε ένα αποτέλεσμα με ευκολότερο και ταχύτερο τρόπο. Σημειώστε ότι οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων αποδεικνύονται εύκολα χρησιμοποιώντας ορισμένα θεωρήματα. Σας προτείνουμε να εξοικειωθείτε πρώτα με τον πρώτο νόμο.

Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών

Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι σύγκλισης:

• Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει ως προς την πιθανότητα.
• Σχεδόν αδύνατο.
• Μέση τετραγωνική σύγκλιση.
• Σύγκλιση κατανομής.

Έτσι, αμέσως μετά, είναι πολύ δύσκολο να κατανοήσουμε την ουσία. Ακολουθούν ορισμοί που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε αυτό το θέμα. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη άποψη. Η ακολουθία ονομάζεται συγκλίνουσα ως προς την πιθανότητα, αν πληρούται η ακόλουθη συνθήκη: το n τείνει στο άπειρο, ο αριθμός προς τον οποίο τείνει η ακολουθία είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και κοντά στο ένα.

Ας προχωρήσουμε στην επόμενη προβολή, σχεδόν σίγουρα. Η ακολουθία λέγεται ότι συγκλίνει σχεδόν σίγουρασε μια τυχαία μεταβλητή με το n να τείνει στο άπειρο και το P να τείνει σε μια τιμή κοντά στη μονάδα.

Ο επόμενος τύπος είναι μέση τετραγωνική σύγκλιση. Όταν χρησιμοποιείται η σύγκλιση SC, η μελέτη των διανυσματικών τυχαίων διαδικασιών περιορίζεται στη μελέτη των συντεταγμένων τυχαίων διαδικασιών τους.

Απομένει ένας τελευταίος τύπος, ας το δούμε συνοπτικά για να προχωρήσουμε κατευθείαν στην επίλυση προβλημάτων. Η σύγκλιση στη διανομή έχει άλλο όνομα - "αδύναμη" θα εξηγήσουμε περαιτέρω γιατί. Ασθενής σύγκλισηείναι η σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής σε όλα τα σημεία συνέχειας της οριακής συνάρτησης κατανομής.

Σίγουρα θα τηρήσουμε την υπόσχεσή μας: η ασθενής σύγκλιση διαφέρει από όλα τα παραπάνω σε αυτό τυχαία μεταβλητήδεν ορίζεται στο χώρο πιθανοτήτων. Αυτό είναι δυνατό επειδή η συνθήκη σχηματίζεται αποκλειστικά χρησιμοποιώντας συναρτήσεις διανομής.

Νόμος των Μεγάλων Αριθμών

Θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως:

• Η ανισότητα του Chebyshev.
• Το θεώρημα του Chebyshev.
• Γενικευμένο θεώρημα Chebyshev.
• Το θεώρημα του Markov.

Αν εξετάσουμε όλα αυτά τα θεωρήματα, τότε αυτή η ερώτηση μπορεί να διαρκέσει για αρκετές δεκάδες φύλλα. Το κύριο καθήκον μας είναι να εφαρμόσουμε τη θεωρία πιθανοτήτων στην πράξη. Σας προτείνουμε να το κάνετε αυτό αμέσως. Αλλά πριν από αυτό, ας δούμε τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων, θα είναι οι κύριοι βοηθοί στην επίλυση προβλημάτων.

Αξιώματα

Τον πρώτο τον γνωρίσαμε ήδη όταν μιλήσαμε για ένα αδύνατο γεγονός. Ας θυμηθούμε: η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Δώσαμε ένα πολύ ζωντανό και αξέχαστο παράδειγμα: χιόνι έπεσε σε θερμοκρασία αέρα τριάντα βαθμών Κελσίου.

Το δεύτερο έχει ως εξής: ένα αξιόπιστο γεγονός συμβαίνει με πιθανότητα ίσο με ένα. Τώρα θα δείξουμε πώς να το γράψουμε χρησιμοποιώντας μαθηματική γλώσσα: P(B)=1.

Τρίτον: Ένα τυχαίο συμβάν μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, αλλά η πιθανότητα κυμαίνεται πάντα από το μηδέν έως το ένα. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή στο ένα, τόσο μεγαλύτερες είναι οι πιθανότητες. αν η τιμή πλησιάζει το μηδέν, η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Ας γράψουμε αυτό στη μαθηματική γλώσσα: 0<Р(С)<1.

Ας εξετάσουμε το τελευταίο, τέταρτο αξίωμα, το οποίο ακούγεται ως εξής: η πιθανότητα του αθροίσματος δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Το γράφουμε σε μαθηματική γλώσσα: P(A+B)=P(A)+P(B).

Τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι οι απλούστεροι κανόνες που δεν είναι δύσκολο να θυμόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε κάποια προβλήματα με βάση τις γνώσεις που έχουμε ήδη αποκτήσει.

Λαχείο

Αρχικά, ας δούμε το απλούστερο παράδειγμα - μια λαχειοφόρο αγορά. Φανταστείτε ότι αγοράσατε ένα λαχείο για καλή τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια; Συνολικά, χίλια εισιτήρια εμπλέκονται στην κυκλοφορία, ένα από τα οποία έχει έπαθλο πεντακόσια ρούβλια, δέκα από αυτά έχουν εκατό ρούβλια, πενήντα έχουν βραβείο είκοσι ρούβλια και εκατό έχουν βραβείο πέντε. Τα προβλήματα πιθανοτήτων βασίζονται στην εύρεση της πιθανότητας τύχης. Τώρα μαζί θα αναλύσουμε τη λύση στην παραπάνω εργασία.

Εάν χρησιμοποιήσουμε το γράμμα Α για να δηλώσουμε μια νίκη πεντακοσίων ρούβλια, τότε η πιθανότητα να πάρουμε το Α θα είναι ίση με 0,001. Πώς το πήραμε αυτό; Απλά πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό των «τυχερών» εισιτηρίων με τον συνολικό τους αριθμό (σε αυτήν την περίπτωση: 1/1000).

Το B είναι μια νίκη εκατό ρούβλια, η πιθανότητα θα είναι 0,01. Τώρα ενεργήσαμε με την ίδια αρχή όπως στην προηγούμενη ενέργεια (10/1000)

Γ - τα κέρδη είναι είκοσι ρούβλια. Βρίσκουμε την πιθανότητα, είναι ίση με 0,05.

Δεν μας ενδιαφέρουν τα υπόλοιπα εισιτήρια, αφού το χρηματικό έπαθλο τους είναι μικρότερο από αυτό που ορίζεται στην προϋπόθεση. Ας εφαρμόσουμε το τέταρτο αξίωμα: Η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια είναι P(A)+P(B)+P(C). Το γράμμα P υποδηλώνει την πιθανότητα εμφάνισης ενός δεδομένου γεγονότος που το έχουμε ήδη βρει σε προηγούμενες ενέργειες. Το μόνο που μένει είναι να αθροίσουμε τα απαραίτητα δεδομένα και η απάντηση που παίρνουμε είναι 0,061. Αυτός ο αριθμός θα είναι η απάντηση στην ερώτηση της εργασίας.

Τράπουλα με κάρτες

Τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων μπορεί να είναι πιο περίπλοκα, για παράδειγμα, ας πάρουμε την ακόλουθη εργασία. Μπροστά σας είναι μια τράπουλα με τριάντα έξι φύλλα. Ο στόχος σας είναι να τραβήξετε δύο φύλλα στη σειρά χωρίς να ανακατεύετε τη στοίβα, το πρώτο και το δεύτερο φύλλο πρέπει να είναι άσοι, το χρώμα δεν έχει σημασία.

Αρχικά, ας βρούμε την πιθανότητα το πρώτο φύλλο να είναι άσος, γι' αυτό διαιρούμε το τέσσερα με το τριάντα έξι. Το έβαλαν στην άκρη. Βγάζουμε το δεύτερο φύλλο, θα είναι άσος με πιθανότητα τρία τριάντα πέμπτα. Η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος εξαρτάται από το ποιο φύλλο τραβήξαμε πρώτο, αναρωτιόμαστε αν ήταν άσος ή όχι. Από αυτό προκύπτει ότι το γεγονός Β εξαρτάται από το γεγονός Α.

Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε την πιθανότητα ταυτόχρονης εμφάνισης, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα Α και Β. Το γινόμενο τους βρίσκεται ως εξής: πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα ενός γεγονότος με την υπό όρους πιθανότητα ενός άλλου, την οποία υπολογίζουμε, υποθέτοντας ότι το πρώτο συνέβη γεγονός, δηλαδή τραβήξαμε άσο με το πρώτο φύλλο.

Για να γίνουν όλα ξεκάθαρα, ας δώσουμε έναν προσδιορισμό σε ένα τέτοιο στοιχείο ως γεγονότα. Υπολογίζεται υποθέτοντας ότι έχει συμβεί το γεγονός Α. Υπολογίζεται ως εξής: P(B/A).

Ας συνεχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημά μας: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ή P(A * B) = P(B) * P(A/B). Η πιθανότητα είναι ίση με (4/36) * ((3/35)/(4/36). Υπολογίζουμε στρογγυλοποιώντας στο πλησιέστερο εκατοστό. Έχουμε: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους στη σειρά είναι εννέα εκατοστά Η τιμή είναι πολύ μικρή, πράγμα που σημαίνει ότι η πιθανότητα να συμβεί το γεγονός είναι εξαιρετικά μικρή.

Ξεχασμένος αριθμός

Προτείνουμε να αναλύσουμε πολλές ακόμη παραλλαγές εργασιών που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων. Έχετε ήδη δει παραδείγματα επίλυσης ορισμένων από αυτά σε αυτό το άρθρο Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: το αγόρι ξέχασε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου του φίλου του, αλλά επειδή η κλήση ήταν πολύ σημαντική, άρχισε να καλεί τα πάντα ένα προς ένα. . Πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα να καλέσει όχι περισσότερες από τρεις φορές. Η λύση στο πρόβλημα είναι απλούστερη εάν είναι γνωστοί οι κανόνες, οι νόμοι και τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων.

Πριν δείτε τη λύση, δοκιμάστε να τη λύσετε μόνοι σας. Γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι από μηδέν έως εννέα, δηλαδή δέκα τιμές συνολικά. Η πιθανότητα να πάρεις το σωστό είναι 1/10.

Στη συνέχεια, πρέπει να εξετάσουμε τις επιλογές για την προέλευση του συμβάντος, ας υποθέσουμε ότι το αγόρι μάντεψε σωστά και πληκτρολόγησε αμέσως το σωστό, η πιθανότητα ενός τέτοιου συμβάντος είναι 1/10. Δεύτερη επιλογή: η πρώτη κλήση χάνεται και η δεύτερη είναι στο στόχο. Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: πολλαπλασιάζουμε το 9/10 με το 1/9, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε επίσης 1/10. Η τρίτη επιλογή: η πρώτη και η δεύτερη κλήση αποδείχθηκαν σε λάθος διεύθυνση, μόνο με την τρίτη το αγόρι έφτασε εκεί που ήθελε. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: 9/10 πολλαπλασιασμένο επί 8/9 και 1/8, με αποτέλεσμα το 1/10. Δεν μας ενδιαφέρουν άλλες επιλογές ανάλογα με τις συνθήκες του προβλήματος, οπότε πρέπει απλώς να αθροίσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε, στο τέλος έχουμε 3/10. Απάντηση: η πιθανότητα να καλέσει το αγόρι όχι περισσότερες από τρεις φορές είναι 0,3.

Κάρτες με αριθμούς

Υπάρχουν εννέα κάρτες μπροστά σας, σε καθεμία από τις οποίες είναι γραμμένος ένας αριθμός από το ένα έως το εννέα, οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται. Τα έβαζαν σε ένα κουτί και τα ανακατεύαμε καλά. Πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα

• θα εμφανιστεί ένας ζυγός αριθμός.
• διψήφιο.

Πριν προχωρήσουμε στη λύση, ας ορίσουμε ότι m είναι ο αριθμός των επιτυχημένων περιπτώσεων και n είναι ο συνολικός αριθμός των επιλογών. Ας βρούμε την πιθανότητα ο αριθμός να είναι άρτιος. Δεν θα είναι δύσκολο να υπολογίσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις ζυγοί αριθμοί, αυτός θα είναι ο δικός μας m, υπάρχουν εννέα πιθανές επιλογές συνολικά, δηλαδή m=9. Τότε η πιθανότητα είναι 0,44 ή 4/9.

Ας εξετάσουμε τη δεύτερη περίπτωση: ο αριθμός των επιλογών είναι εννέα και δεν μπορεί να υπάρχουν καθόλου επιτυχημένα αποτελέσματα, δηλαδή το m ισούται με μηδέν. Η πιθανότητα η κληρωμένη κάρτα να περιέχει διψήφιο αριθμό είναι επίσης μηδέν.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Πολλά πράγματα μας είναι ακατανόητα όχι επειδή οι έννοιές μας είναι αδύναμες.
αλλά επειδή αυτά τα πράγματα δεν περιλαμβάνονται στο εύρος των εννοιών μας.
Κόζμα Προύτκοφ

Ο κύριος στόχος της μελέτης των μαθηματικών σε δευτεροβάθμια εξειδικευμένα εκπαιδευτικά ιδρύματα είναι να δώσει στους μαθητές ένα σύνολο μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων που είναι απαραίτητες για τη μελέτη άλλων κλάδων προγράμματος που χρησιμοποιούν τα μαθηματικά στον ένα ή τον άλλο βαθμό, για την ικανότητα εκτέλεσης πρακτικών υπολογισμών, για το σχηματισμό και την ανάπτυξη της λογικής σκέψης.

Σε αυτή την εργασία, όλες οι βασικές έννοιες της ενότητας των μαθηματικών «Βασικές αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Μαθηματικής Στατιστικής», που προβλέπονται από το πρόγραμμα και τα Κρατικά Εκπαιδευτικά Πρότυπα Δευτεροβάθμιας Επαγγελματικής Εκπαίδευσης (Υπουργείο Παιδείας της Ρωσικής Ομοσπονδίας. M., 2002 ), εισάγονται με συνέπεια, διατυπώνονται τα κύρια θεωρήματα, τα περισσότερα από τα οποία δεν είναι αποδεδειγμένα. Εξετάζονται τα κύρια προβλήματα και μέθοδοι επίλυσής τους και οι τεχνολογίες για την εφαρμογή αυτών των μεθόδων στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Η παρουσίαση συνοδεύεται από αναλυτικά σχόλια και πολυάριθμα παραδείγματα.

Οι μεθοδολογικές οδηγίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αρχική εξοικείωση με το υλικό που μελετάται, κατά τη λήψη σημειώσεων για διαλέξεις, την προετοιμασία για πρακτικά μαθήματα, την εδραίωση των αποκτηθέντων γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων. Επιπλέον, το εγχειρίδιο θα είναι επίσης χρήσιμο για προπτυχιακούς φοιτητές ως εργαλείο αναφοράς, επιτρέποντάς τους να ανακαλέσουν γρήγορα όσα είχαν μελετήσει προηγουμένως.

Στο τέλος της εργασίας υπάρχουν παραδείγματα και εργασίες που μπορούν να εκτελέσουν οι μαθητές σε λειτουργία αυτοελέγχου.

Οι οδηγίες προορίζονται για φοιτητές μερικής και πλήρους φοίτησης.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά τα αντικειμενικά πρότυπα μαζικών τυχαίων γεγονότων. Αποτελεί τη θεωρητική βάση για τη μαθηματική στατιστική, η οποία ασχολείται με την ανάπτυξη μεθόδων συλλογής, περιγραφής και επεξεργασίας αποτελεσμάτων παρατήρησης. Μέσα από παρατηρήσεις (δοκιμές, πειράματα), δηλ. εμπειρία με την ευρεία έννοια της λέξης, εμφανίζεται γνώση των φαινομένων του πραγματικού κόσμου.

Στις πρακτικές μας δραστηριότητες, συναντάμε συχνά φαινόμενα των οποίων η έκβαση δεν μπορεί να προβλεφθεί, η έκβαση των οποίων εξαρτάται από την τύχη.

Ένα τυχαίο φαινόμενο μπορεί να χαρακτηριστεί από την αναλογία του αριθμού των εμφανίσεών του προς τον αριθμό των δοκιμών, σε καθεμία από τις οποίες, υπό τις ίδιες συνθήκες όλων των δοκιμών, θα μπορούσε να συμβεί ή να μην συμβεί.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών στον οποίο μελετώνται τυχαία φαινόμενα (γεγονότα) και εντοπίζονται μοτίβα όταν επαναλαμβάνονται μαζικά.

Η μαθηματική στατιστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη μεθόδων συλλογής, συστηματοποίησης, επεξεργασίας και χρήσης στατιστικών δεδομένων για τη λήψη επιστημονικά τεκμηριωμένων συμπερασμάτων και τη λήψη αποφάσεων.

Στην περίπτωση αυτή, τα στατιστικά δεδομένα νοούνται ως ένα σύνολο αριθμών που αντιπροσωπεύουν τα ποσοτικά χαρακτηριστικά των χαρακτηριστικών των υπό μελέτη αντικειμένων που μας ενδιαφέρουν. Τα στατιστικά δεδομένα προέρχονται από ειδικά σχεδιασμένα πειράματα και παρατηρήσεις.

Τα στατιστικά δεδομένα από την ουσία τους εξαρτώνται από πολλούς τυχαίους παράγοντες, επομένως οι μαθηματικές στατιστικές συνδέονται στενά με τη θεωρία πιθανοτήτων, που αποτελεί τη θεωρητική βάση της.

I. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ. ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1.1. Βασικές έννοιες της συνδυαστικής

Στον κλάδο των μαθηματικών, που ονομάζεται συνδυαστική, επιλύονται ορισμένα προβλήματα που σχετίζονται με την εξέταση συνόλων και τη σύνθεση διαφόρων συνδυασμών στοιχείων αυτών των συνόλων. Για παράδειγμα, αν πάρουμε 10 διαφορετικούς αριθμούς 0, 1, 2, 3,: , 9 και κάνουμε συνδυασμούς τους, θα πάρουμε διαφορετικούς αριθμούς, για παράδειγμα 143, 431, 5671, 1207, 43 κ.λπ.

Βλέπουμε ότι ορισμένοι από αυτούς τους συνδυασμούς διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά των ψηφίων (για παράδειγμα, 143 και 431), άλλοι - στα ψηφία που περιλαμβάνονται σε αυτούς (για παράδειγμα, 5671 και 1207) και άλλοι διαφέρουν επίσης στον αριθμό των ψηφίων (για παράδειγμα, 143 και 43).

Έτσι, οι συνδυασμοί που προκύπτουν ικανοποιούν διάφορες συνθήκες.

Ανάλογα με τους κανόνες σύνθεσης, διακρίνονται τρεις τύποι συνδυασμών: μεταθέσεις, τοποθετήσεις, συνδυασμοί.

Ας εξοικειωθούμε πρώτα με την έννοια παραγοντικός.

Το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 έως το n λέγεται n-παραγοντικός και γράψε.

Υπολογίστε: α) ; β) ; V) .

Διάλυμα. Α) .

β) Αφού , τότε μπορούμε να το βάλουμε εκτός παρένθεσης

Μετά παίρνουμε

V) .

Ανακατατάξεις.

Ένας συνδυασμός n στοιχείων που διαφέρουν μεταξύ τους μόνο ως προς τη σειρά των στοιχείων ονομάζεται μετάθεση.

Οι μεταθέσεις υποδεικνύονται με το σύμβολο P n , όπου n είναι ο αριθμός των στοιχείων που περιλαμβάνονται σε κάθε μετάθεση. ( R- πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης μετάθεση- αναδιάταξη).

Ο αριθμός των μεταθέσεων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή χρησιμοποιώντας παραγοντικό:

Ας το θυμόμαστε αυτό 0!=1 και 1!=1.

Παράδειγμα 2. Με πόσους τρόπους μπορούν να τακτοποιηθούν έξι διαφορετικά βιβλία σε ένα ράφι;

Διάλυμα. Ο απαιτούμενος αριθμός τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των μεταθέσεων 6 στοιχείων, δηλ.

Τοποθετήσεις.

Αναρτήσεις από mστοιχεία σε nσε καθεμία, ονομάζονται τέτοιες ενώσεις που διαφέρουν μεταξύ τους είτε από τα ίδια τα στοιχεία (τουλάχιστον ένα), είτε από τη σειρά της διάταξής τους.

Οι τοποθετήσεις υποδεικνύονται με το σύμβολο, όπου m- τον αριθμό όλων των διαθέσιμων στοιχείων, n- τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε συνδυασμό. ( ΕΝΑ-πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης συμφωνία, που σημαίνει «τοποθέτηση, βάζοντας σε τάξη»).

Παράλληλα, πιστεύεται ότι nm.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

,

εκείνοι. αριθμός όλων των πιθανών τοποθετήσεων από mστοιχεία από nισούται με το προϊόν nδιαδοχικοί ακέραιοι, από τους οποίους ο μεγαλύτερος είναι m.

Ας γράψουμε αυτόν τον τύπο σε παραγοντική μορφή:

Παράδειγμα 3. Πόσες επιλογές για τη διανομή τριών κουπονιών σε σανατόρια διαφόρων προφίλ μπορούν να συγκεντρωθούν για πέντε αιτούντες;

Διάλυμα. Ο απαιτούμενος αριθμός επιλογών είναι ίσος με τον αριθμό των τοποθετήσεων 5 στοιχείων των 3 στοιχείων, δηλ.

.

Κομπινεζόν.

Οι συνδυασμοί είναι όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί των mστοιχεία από n, τα οποία διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο (εδώ mΚαι n-φυσικοί αριθμοί, και n m).

Αριθμός συνδυασμών των mστοιχεία από nσυμβολίζονται με ( ΜΕ-το πρώτο γράμμα μιας γαλλικής λέξης συνδυασμός- συνδυασμός).

Σε γενικές γραμμές, ο αριθμός των mστοιχεία από nίσο με τον αριθμό των τοποθετήσεων από mστοιχεία από n, διαιρούμενο με τον αριθμό των μεταθέσεων από nστοιχεία:

Χρησιμοποιώντας παραγοντικούς τύπους για τους αριθμούς των τοποθετήσεων και των μεταθέσεων, λαμβάνουμε:

Παράδειγμα 4. Σε μια ομάδα 25 ατόμων, πρέπει να διαθέσετε τέσσερα για να εργαστείτε σε μια συγκεκριμένη περιοχή. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Διάλυμα. Δεδομένου ότι η σειρά των τεσσάρων ατόμων που επιλέχθηκαν δεν έχει σημασία, υπάρχουν τρόποι να το κάνετε αυτό.

Βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο

.

Επιπλέον, κατά την επίλυση προβλημάτων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι τύποι που εκφράζουν τις βασικές ιδιότητες των συνδυασμών:

(εξ ορισμού υποθέτουν και)?

.

1.2. Επίλυση συνδυαστικών προβλημάτων

Εργασία 1. Υπάρχουν 16 μαθήματα που μελετώνται στη σχολή. Πρέπει να βάλετε 3 θέματα στο πρόγραμμά σας για τη Δευτέρα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Διάλυμα. Υπάρχουν τόσοι τρόποι για να προγραμματίσετε τρία αντικείμενα από τα 16 όσο μπορείτε να κανονίσετε τοποθετήσεις 16 αντικειμένων ανά 3.

Εργασία 2. Από τα 15 αντικείμενα, πρέπει να επιλέξετε 10 αντικείμενα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Εργασία 3. Στο διαγωνισμό συμμετείχαν τέσσερις ομάδες. Πόσες επιλογές για την κατανομή των θέσεων μεταξύ τους είναι δυνατές;

.

Πρόβλημα 4. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματιστεί μια περίπολος τριών στρατιωτών και ενός αξιωματικού αν υπάρχουν 80 στρατιώτες και 3 αξιωματικοί;

Διάλυμα. Μπορείτε να επιλέξετε έναν στρατιώτη σε περιπολία

τρόπους, και αξιωματικούς με τρόπους. Εφόσον οποιοσδήποτε αξιωματικός μπορεί να πάει με κάθε ομάδα στρατιωτών, υπάρχουν μόνο τόσοι πολλοί τρόποι.

Εργασία 5. Βρείτε , αν είναι γνωστό ότι .

Από , παίρνουμε

,

,

Από τον ορισμό ενός συνδυασμού προκύπτει ότι , . Οτι. .

1.3. Η έννοια ενός τυχαίου γεγονότος. Είδη εκδηλώσεων. Πιθανότητα συμβάντος

Οποιαδήποτε ενέργεια, φαινόμενο, παρατήρηση με πολλά διαφορετικά αποτελέσματα, που πραγματοποιείται υπό ένα δεδομένο σύνολο συνθηκών, θα ονομάζεται δοκιμή.

Το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας ή παρατήρησης ονομάζεται συμβάν .

Εάν ένα γεγονός υπό δεδομένες συνθήκες μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, τότε καλείται τυχαίος . Όταν ένα γεγονός είναι βέβαιο ότι θα συμβεί, καλείται αξιόπιστος , και στην περίπτωση που προφανώς δεν μπορεί να συμβεί, - αδύνατος.

Τα γεγονότα λέγονται ασυμβίβαστος , εάν μόνο ένα από αυτά είναι δυνατό να εμφανίζεται κάθε φορά.

Τα γεγονότα λέγονται άρθρωση , εάν, υπό δεδομένες συνθήκες, η εμφάνιση ενός από αυτά τα συμβάντα δεν αποκλείει την εμφάνιση ενός άλλου κατά την ίδια δοκιμή.

Τα γεγονότα λέγονται απέναντι , εάν υπό τις συνθήκες δοκιμής είναι ασυμβίβαστα, ως τα μοναδικά του αποτελέσματα.

Τα γεγονότα συνήθως υποδηλώνονται με κεφαλαία γράμματα του λατινικού αλφαβήτου: Α, Β, Γ, Δ, : .

Ένα πλήρες σύστημα γεγονότων A 1 , A 2 , A 3 , : , A n είναι ένα σύνολο ασυμβίβαστων γεγονότων, η εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα οποία είναι υποχρεωτική κατά τη διάρκεια μιας δεδομένης δοκιμής.

Εάν ένα πλήρες σύστημα αποτελείται από δύο ασύμβατα συμβάντα, τότε τέτοια γεγονότα ονομάζονται αντίθετα και ονομάζονται Α και .

Παράδειγμα. Το κουτί περιέχει 30 αριθμημένες μπάλες. Προσδιορίστε ποια από τα ακόλουθα γεγονότα είναι αδύνατα, αξιόπιστα ή αντίθετα:

έβγαλε μια αριθμημένη μπάλα (ΕΝΑ);

πήρε μια μπάλα με ζυγό αριθμό (ΣΕ);

πήρε μια μπάλα με περιττό αριθμό (ΜΕ);

πήρε μια μπάλα χωρίς αριθμό (ΡΕ).

Ποιοι από αυτούς αποτελούν μια πλήρη ομάδα;

Διάλυμα . ΕΝΑ- αξιόπιστη εκδήλωση. ρε- αδύνατο γεγονός

Σε και ΜΕ- αντίθετα γεγονότα.

Η πλήρης ομάδα εκδηλώσεων αποτελείται από ΕΝΑΚαι D, VΚαι ΜΕ.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος θεωρείται ως μέτρο της αντικειμενικής πιθανότητας να συμβεί ένα τυχαίο γεγονός.

1.4. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Ένας αριθμός που εκφράζει το μέτρο της αντικειμενικής πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός ονομάζεται πιθανότητα αυτό το γεγονός και υποδεικνύεται από το σύμβολο R(A).

Ορισμός. Πιθανότητα του συμβάντος ΕΝΑείναι ο λόγος του αριθμού των αποτελεσμάτων m ευνοϊκών προς την εμφάνιση ενός δεδομένου γεγονότος ΕΝΑ, στον αριθμό nόλα τα αποτελέσματα (ασυνεπή, μόνο πιθανά και εξίσου πιθανά), π.χ. .

Επομένως, για να βρεθεί η πιθανότητα ενός γεγονότος, είναι απαραίτητο, έχοντας εξετάσει διάφορα αποτελέσματα του τεστ, να υπολογίσουμε όλα τα πιθανά ασυνεπή αποτελέσματα n,επιλέξτε τον αριθμό των αποτελεσμάτων m που μας ενδιαφέρει και υπολογίστε την αναλογία mΝα n.

Από αυτόν τον ορισμό προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

Η πιθανότητα οποιασδήποτε δοκιμής είναι ένας μη αρνητικός αριθμός που δεν υπερβαίνει το ένα.

Πράγματι, ο αριθμός m των απαιτούμενων συμβάντων είναι εντός . Χωρίζοντας και τα δύο μέρη σε n, παίρνουμε

2. Η πιθανότητα ενός αξιόπιστου γεγονότος είναι ίση με μία, γιατί .

3. Η πιθανότητα αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν, αφού .

Πρόβλημα 1. Σε μια κλήρωση 1000 δελτίων, υπάρχουν 200 κερδισμένα. Ένα εισιτήριο βγαίνει τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το δελτίο να είναι κερδισμένο;

Διάλυμα. Ο συνολικός αριθμός των διαφορετικών αποτελεσμάτων είναι n=1000. Ο αριθμός των αποτελεσμάτων που ευνοούν τη νίκη είναι m=200. Σύμφωνα με τον τύπο, παίρνουμε

.

Πρόβλημα 2. Σε μια παρτίδα 18 εξαρτημάτων υπάρχουν 4 ελαττωματικά. Επιλέγονται τυχαία 5 μέρη. Βρείτε την πιθανότητα δύο από αυτά τα 5 μέρη να είναι ελαττωματικά.

Διάλυμα. Αριθμός όλων των εξίσου δυνατών ανεξάρτητων αποτελεσμάτων nίσο με τον αριθμό των συνδυασμών 18 επί 5 δηλ.

Ας μετρήσουμε τον αριθμό m που ευνοεί το γεγονός Α. Ανάμεσα σε 5 μέρη που λαμβάνονται τυχαία, θα πρέπει να υπάρχουν 3 καλά και 2 ελαττωματικά. Ο αριθμός των τρόπων επιλογής δύο ελαττωματικών εξαρτημάτων από 4 υπάρχοντα ελαττωματικά είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών 4 επί 2:

Ο αριθμός των τρόπων επιλογής τριών ποιοτικών ανταλλακτικών από 14 διαθέσιμα ποιοτικά ανταλλακτικά είναι ίσος με

.

Οποιαδήποτε ομάδα καλών εξαρτημάτων μπορεί να συνδυαστεί με οποιαδήποτε ομάδα ελαττωματικών εξαρτημάτων, άρα ο συνολικός αριθμός συνδυασμών mανέρχεται σε

Η απαιτούμενη πιθανότητα του συμβάντος Α είναι ίση με τον λόγο του αριθμού των αποτελεσμάτων m ευνοϊκά για αυτό το γεγονός προς τον αριθμό n όλων των εξίσου δυνατών ανεξάρτητων αποτελεσμάτων:

.

Το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού γεγονότων είναι ένα γεγονός που αποτελείται από την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά.

Το άθροισμα δύο γεγονότων συμβολίζεται με το σύμβολο A+B και το άθροισμα nσυμβάντα με το σύμβολο A 1 +A 2 + : +A n.

Θεώρημα πρόσθεσης πιθανότητας.

Η πιθανότητα του αθροίσματος δύο ασυμβίβαστων γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Συμπέρασμα 1. Εάν το γεγονός A 1, A 2, :,A n σχηματίζει ένα πλήρες σύστημα, τότε το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων είναι ίσο με ένα.

Συμπέρασμα 2. Το άθροισμα των πιθανοτήτων αντίθετων γεγονότων και ισούται με ένα.

.

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν 100 λαχεία. Είναι γνωστό ότι 5 εισιτήρια κερδίζουν 20.000 ρούβλια, 10 εισιτήρια κερδίζουν 15.000 ρούβλια, 15 εισιτήρια κερδίζουν 10.000 ρούβλια, 25 εισιτήρια κερδίζουν 2.000 ρούβλια. και τίποτα για τα υπόλοιπα. Βρείτε την πιθανότητα το αγορασμένο εισιτήριο να κερδίσει τουλάχιστον 10.000 ρούβλια.

Διάλυμα. Έστω Α, Β και Γ γεγονότα που συνίστανται στο γεγονός ότι το αγορασμένο εισιτήριο λαμβάνει κέρδος ίσο με 20.000, 15.000 και 10.000 ρούβλια, αντίστοιχα. αφού τα γεγονότα Α, Β και Γ είναι ασύμβατα, τότε

Εργασία 2. Το τμήμα αλληλογραφίας μιας τεχνικής σχολής δέχεται τεστ στα μαθηματικά από πόλεις Α, ΒΚαι ΜΕ. Πιθανότητα λήψης τεστ από την πόλη ΕΝΑίσο με 0,6, από την πόλη ΣΕ- 0,1. Βρείτε την πιθανότητα ότι το επόμενο τεστ θα έρθει από την πόλη ΜΕ.

Τα μαθηματικά περιλαμβάνουν μια ολόκληρη ποικιλία τομέων, ένας από τους οποίους, μαζί με την άλγεβρα και τη γεωμετρία, είναι η θεωρία πιθανοτήτων. Υπάρχουν όροι που είναι κοινοί σε όλους αυτούς τους τομείς, αλλά, εκτός από αυτούς, υπάρχουν επίσης συγκεκριμένες λέξεις, τύποι και θεωρήματα που είναι χαρακτηριστικά μόνο μιας συγκεκριμένης «θέσης».

Η φράση «θεωρία πιθανοτήτων» προκαλεί πανικό σε έναν απροετοίμαστο μαθητή. Πράγματι, η φαντασία σχεδιάζει εικόνες όπου εμφανίζονται τρομακτικοί ογκώδεις τύποι και η λύση σε ένα πρόβλημα καταλαμβάνει ένα ολόκληρο σημειωματάριο. Ωστόσο, στην πράξη, όλα δεν είναι τόσο τρομερά: αρκεί να κατανοήσουμε μια φορά την έννοια ορισμένων όρων και να εμβαθύνουμε στην ουσία μιας κάπως περίεργης λογικής συλλογισμού για να σταματήσουμε να φοβόμαστε τα καθήκοντα μια για πάντα. Από αυτή την άποψη, θα εξετάσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής - ένα νέο αλλά εξαιρετικά ενδιαφέρον πεδίο γνώσης.

Γιατί να μάθουμε έννοιες;

Η λειτουργία της γλώσσας είναι να μεταδίδει πληροφορίες από το ένα άτομο στο άλλο ώστε να τις κατανοεί, να τις κατανοεί και να τις χρησιμοποιεί. Κάθε μαθηματική έννοια μπορεί να εξηγηθεί με απλά λόγια, αλλά σε αυτή την περίπτωση η πράξη της ανταλλαγής δεδομένων θα διαρκούσε πολύ περισσότερο. Φανταστείτε ότι αντί για τη λέξη "υποτείνουσα" θα έπρεπε πάντα να πείτε "η μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου" - αυτό είναι εξαιρετικά άβολο και χρονοβόρο.

Γι' αυτό οι άνθρωποι βρίσκουν νέους όρους για ορισμένα φαινόμενα και διαδικασίες. Με τον ίδιο τρόπο εμφανίστηκαν και οι βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων - γεγονός, πιθανότητα γεγονότος κ.λπ. Αυτό σημαίνει ότι για να χρησιμοποιήσετε τύπους, να λύσετε προβλήματα και να εφαρμόσετε δεξιότητες στη ζωή, πρέπει όχι μόνο να θυμάστε νέες λέξεις, αλλά και να κατανοήσετε τι σημαίνει καθεμία από αυτές. Όσο πιο βαθιά τα κατανοείτε, εμβαθύνετε στο νόημά τους, τόσο ευρύτερο γίνεται το εύρος των δυνατοτήτων σας και τόσο πληρέστερα αντιλαμβάνεστε τον κόσμο γύρω σας.

Ποιο είναι το νόημα του αντικειμένου

Ας εξοικειωθούμε με τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας είναι ο εξής: αυτός είναι ο λόγος των αποτελεσμάτων που ταιριάζουν στον ερευνητή προς τον συνολικό αριθμό των πιθανών. Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα: όταν ένα άτομο ρίχνει ένα ζάρι, μπορεί να προσγειωθεί σε οποιαδήποτε από τις έξι πλευρές στραμμένη προς τα επάνω. Έτσι, ο συνολικός αριθμός των αποτελεσμάτων είναι έξι. Η πιθανότητα να εμφανιστεί μια τυχαία επιλεγμένη πλευρά είναι 1/6.

Η ικανότητα πρόβλεψης της εμφάνισης ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος είναι εξαιρετικά σημαντική για μια ποικιλία ειδικών. Πόσα ελαττωματικά εξαρτήματα αναμένονται στην παρτίδα; Αυτό καθορίζει πόσα πρέπει να παράγετε. Ποια είναι η πιθανότητα ότι το φάρμακο θα βοηθήσει να ξεπεραστεί η ασθένεια; Τέτοιες πληροφορίες είναι απολύτως ζωτικής σημασίας. Αλλά ας μην χάνουμε χρόνο σε πρόσθετα παραδείγματα και ας αρχίσουμε να μελετάμε έναν νέο τομέα για εμάς.

Πρώτη γνωριμία

Ας εξετάσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και τη χρήση τους. Στο δίκαιο, τις φυσικές επιστήμες και τα οικονομικά, οι τύποι και οι όροι που παρουσιάζονται παρακάτω χρησιμοποιούνται παντού, καθώς σχετίζονται άμεσα με στατιστικά στοιχεία και σφάλματα μέτρησης. Μια πιο λεπτομερής μελέτη αυτού του ζητήματος θα σας αποκαλύψει νέους τύπους που είναι χρήσιμοι για πιο ακριβείς και σύνθετους υπολογισμούς, αλλά ας ξεκινήσουμε με έναν απλό.

Μία από τις πιο βασικές και βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής είναι ένα τυχαίο γεγονός. Ας εξηγήσουμε με ξεκάθαρα λόγια: από όλα τα πιθανά αποτελέσματα του πειράματος, μόνο ένα παρατηρείται ως αποτέλεσμα. Ακόμα κι αν η πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός είναι σημαντικά υψηλότερη από κάποιο άλλο, θα είναι τυχαία, αφού θεωρητικά το αποτέλεσμα θα μπορούσε να ήταν διαφορετικό.

Εάν πραγματοποιήσαμε μια σειρά πειραμάτων και λάβαμε έναν ορισμένο αριθμό αποτελεσμάτων, τότε η πιθανότητα καθενός από αυτά υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: P(A) = m/n. Εδώ m είναι πόσες φορές σε μια σειρά δοκιμών παρατηρήσαμε την εμφάνιση του αποτελέσματος που μας ενδιαφέρει. Με τη σειρά του, n είναι ο συνολικός αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν. Αν ρίξαμε ένα νόμισμα 10 φορές και είχαμε κεφάλια 5 φορές, τότε m=5 και n=10.

Είδη εκδηλώσεων

Συμβαίνει ότι κάποιο αποτέλεσμα είναι εγγυημένο ότι θα παρατηρηθεί σε κάθε δοκιμή - ένα τέτοιο γεγονός θα ονομάζεται αξιόπιστο. Αν δεν γίνει ποτέ, θα λέγεται αδύνατο. Ωστόσο, τέτοια γεγονότα δεν χρησιμοποιούνται σε προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων. Οι βασικές έννοιες που είναι πολύ πιο σημαντικό να γνωρίζουμε είναι κοινές και μη κοινές εκδηλώσεις.

Συμβαίνει ότι κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος, δύο γεγονότα συμβαίνουν ταυτόχρονα. Για παράδειγμα, ρίχνουμε δύο ζάρια - σε αυτήν την περίπτωση, το γεγονός ότι ο ένας ρίχνει ένα «έξι» δεν εγγυάται ότι ο δεύτερος δεν θα ρίξει διαφορετικό αριθμό. Τέτοιες εκδηλώσεις θα ονομάζονται κοινές.

Αν ρίξουμε ένα ζάρι, τότε δεν μπορούν ποτέ να εμφανιστούν δύο αριθμοί ταυτόχρονα. Σε αυτήν την περίπτωση, τα αποτελέσματα με τη μορφή "ένα", "δύο" κ.λπ. θα θεωρούνται ασύμβατα γεγονότα. Είναι πολύ σημαντικό να διακρίνουμε ποια αποτελέσματα λαμβάνουν χώρα σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση - αυτό καθορίζει ποιοι τύποι θα χρησιμοποιηθούν στο πρόβλημα της εύρεσης πιθανοτήτων. Θα συνεχίσουμε να μελετάμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων μερικές παραγράφους αργότερα, όταν εξετάσουμε τα χαρακτηριστικά της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Άλλωστε χωρίς αυτούς δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα πρόβλημα.

Άθροισμα και προϊόν

Ας πούμε ότι εσείς και ένας φίλος σας ρίχνετε τα ζάρια και παίρνουν τέσσερα. Για να κερδίσετε, πρέπει να πάρετε "πέντε" ή "έξι". Σε αυτήν την περίπτωση, οι πιθανότητες θα αθροιστούν: δεδομένου ότι οι πιθανότητες να ληφθούν και οι δύο αριθμοί είναι 1/6, η απάντηση θα μοιάζει με 1/6 + 1/6 = 1/3.

Τώρα φανταστείτε ότι ρίχνετε τα ζάρια δύο φορές και ο φίλος σας παίρνει 11 πόντους. Τώρα πρέπει να πάρετε ένα "έξι" δύο φορές στη σειρά. Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, επομένως οι πιθανότητες θα χρειαστεί να πολλαπλασιαστούν: 1/6 * 1/6 = 1/36.

Μεταξύ των βασικών εννοιών και θεωρημάτων της θεωρίας πιθανοτήτων, θα πρέπει να δοθεί προσοχή στο άθροισμα των πιθανοτήτων κοινών γεγονότων, δηλαδή εκείνων που μπορούν να συμβούν ταυτόχρονα. Ο τύπος πρόσθεσης σε αυτή την περίπτωση θα μοιάζει με αυτό: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Συνδυαστική

Πολύ συχνά χρειάζεται να βρούμε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς ορισμένων παραμέτρων αντικειμένου ή να υπολογίσουμε τον αριθμό οποιωνδήποτε συνδυασμών (για παράδειγμα, όταν επιλέγουμε έναν κρυπτογράφηση). Σε αυτό θα μας βοηθήσει η συνδυαστική, η οποία σχετίζεται στενά με τη θεωρία των πιθανοτήτων. Οι βασικές έννοιες εδώ περιλαμβάνουν μερικές νέες λέξεις και ένας αριθμός τύπων από αυτό το θέμα πιθανότατα θα σας φανούν χρήσιμοι.

Ας υποθέσουμε ότι έχετε τρεις αριθμούς: 1, 2, 3. Πρέπει να τους χρησιμοποιήσετε για να γράψετε όλους τους πιθανούς τριψήφιους αριθμούς. Πόσοι θα είναι; Απάντηση: ν! (το θαυμαστικό σημαίνει παραγοντικός). Οι συνδυασμοί ορισμένου αριθμού διαφορετικών στοιχείων (αριθμοί, γράμματα κ.λπ.), που διαφέρουν μόνο ως προς τη σειρά της διάταξής τους, ονομάζονται μεταθέσεις.

Ωστόσο, πολύ πιο συχνά συναντάμε αυτήν την κατάσταση: υπάρχουν 10 ψηφία (από μηδέν έως εννέα) από τα οποία δημιουργείται ένας κωδικός πρόσβασης ή ένας κωδικός. Ας υποθέσουμε ότι το μήκος του είναι 4 χαρακτήρες. Πώς να υπολογίσετε τον συνολικό αριθμό των πιθανών κωδικών; Υπάρχει ένας ειδικός τύπος για αυτό: (n!)/(n - m)!

Λαμβάνοντας υπόψη την προβληματική συνθήκη που προτείνεται παραπάνω, n=10, m=4. Επιπλέον, απαιτούνται μόνο απλοί μαθηματικοί υπολογισμοί. Παρεμπιπτόντως, τέτοιοι συνδυασμοί θα ονομάζονται τοποθέτηση.

Τέλος, υπάρχει η έννοια των συνδυασμών - πρόκειται για ακολουθίες που διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο. Ο αριθμός τους υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο: (n!) / (m!(n-m)!).

Προσδοκία

Μια σημαντική έννοια που συναντά ένας μαθητής ήδη στα πρώτα μαθήματα του μαθήματος είναι η μαθηματική προσδοκία. Είναι το άθροισμα όλων των πιθανών τιμών που προκύπτουν πολλαπλασιασμένο με τις πιθανότητές τους. Ουσιαστικά, είναι ο μέσος αριθμός που μπορούμε να προβλέψουμε ως αποτέλεσμα δοκιμής. Για παράδειγμα, υπάρχουν τρεις τιμές για τις οποίες οι πιθανότητες υποδεικνύονται σε παρένθεση: 0 (0,2). 1 (0,5); 2 (0,3). Ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία: Μ(Χ) = 0*0,2 + 1*0,5 + 2*0,3 = 1,1. Έτσι, από την προτεινόμενη έκφραση μπορεί να φανεί ότι αυτή η τιμή είναι σταθερή και δεν εξαρτάται από το αποτέλεσμα της δοκιμής.

Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται σε πολλούς τύπους και θα τη συναντήσετε αρκετές φορές στο μέλλον. Δεν είναι δύσκολο να δουλέψεις μαζί του: η μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα του ματ. προσδοκίες - M(X+Y) = M(X) + M(Y). Το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο: M(XY) = M(X) * M(Y).

Διασπορά

Πιθανότατα θυμάστε από το μάθημα της φυσικής του σχολείου σας ότι η διασπορά είναι διασκορπισμένη. Ποια είναι η θέση του ανάμεσα στις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων;

Δείτε δύο παραδείγματα. Σε μια περίπτωση μας δίνονται: 10(0.2); 20 (0,6); 30 (0,2). Σε άλλο - 0(0,2); 20 (0,6); 40 (0,2). Η μαθηματική προσδοκία και στις δύο περιπτώσεις θα είναι η ίδια, οπότε πώς μπορούν τότε να συγκριθούν αυτές οι καταστάσεις; Εξάλλου, βλέπουμε με γυμνό μάτι ότι η διάδοση των αξιών στη δεύτερη περίπτωση είναι πολύ μεγαλύτερη.

Αυτός είναι ο λόγος που εισήχθη η έννοια της διασποράς. Για να το αποκτήσουμε, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία από το άθροισμα των διαφορών κάθε τυχαίας μεταβλητής και τη μαθηματική προσδοκία. Ας πάρουμε τους αριθμούς από το πρώτο παράδειγμα που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο.

Αρχικά, ας υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία: M(X) = 10*0,2 + 20*0,6 + 30*0,2 = 20. Στη συνέχεια, η τιμή διακύμανσης: D(X) = 40.

Μια άλλη βασική έννοια της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων είναι η τυπική απόκλιση. Είναι πολύ απλό να υπολογιστεί: απλά πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Εδώ μπορούμε επίσης να σημειώσουμε έναν τόσο απλό όρο όπως το πεδίο εφαρμογής. Αυτή είναι μια τιμή που αντιπροσωπεύει τη διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής στο δείγμα.

Στατιστική

Ορισμένες βασικές σχολικές έννοιες χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην επιστήμη. Δύο από αυτά είναι ο αριθμητικός μέσος όρος και ο διάμεσος. Σίγουρα θυμάστε πώς να βρείτε το νόημά τους. Αλλά για κάθε περίπτωση, ας σας υπενθυμίσουμε: ο αριθμητικός μέσος όρος είναι το άθροισμα όλων των τιμών διαιρούμενο με τον αριθμό τους. Αν υπάρχουν 10 τιμές, τότε τις προσθέτουμε και τις διαιρούμε με το 10.

Η διάμεσος είναι η κεντρική τιμή μεταξύ όλων των πιθανών τιμών. Αν έχουμε μονό αριθμό ποσοτήτων, τότε τις γράφουμε με αύξουσα σειρά και επιλέγουμε αυτή που βρίσκεται στη μέση. Αν έχουμε ζυγό αριθμό τιμών, παίρνουμε το κεντρικό δύο και διαιρούμε με δύο.

Δύο ακόμη τιμές που βρίσκονται μεταξύ της διάμεσης και των δύο ακραίων - μέγιστων και ελάχιστων - τιμών του συνόλου ονομάζονται τεταρτημόρια. Υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο - εάν ο αριθμός των στοιχείων είναι περιττός, λαμβάνεται ο αριθμός που βρίσκεται στη μέση της σειράς και εάν ο αριθμός των στοιχείων είναι ζυγός, λαμβάνεται το μισό άθροισμα των δύο κεντρικών στοιχείων.

Υπάρχει επίσης ένα ειδικό γράφημα στο οποίο μπορείτε να δείτε όλες τις τιμές του δείγματος, το εύρος του, το διάμεσο, το διατεταρτημόριο διάστημα, καθώς και τις ακραίες τιμές - τιμές που δεν ταιριάζουν στο στατιστικό σφάλμα. Η εικόνα που προκύπτει έχει ένα πολύ συγκεκριμένο (και ακόμη και μη μαθηματικό) όνομα - "κουτί με μουστάκι".

Διανομή

Η κατανομή σχετίζεται επίσης με τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής. Εν ολίγοις, αντιπροσωπεύει γενικευμένες πληροφορίες για όλες τις τυχαίες μεταβλητές που μπορούμε να δούμε ως αποτέλεσμα μιας δοκιμής. Η κύρια παράμετρος εδώ θα είναι η πιθανότητα εμφάνισης κάθε συγκεκριμένης τιμής.

Κανονική κατανομή είναι αυτή που έχει μια κεντρική κορυφή που περιέχει την τιμή που εμφανίζεται πιο συχνά. Ολοένα και λιγότερο πιθανά αποτελέσματα αποκλίνουν από αυτό σε τόξα. Σε γενικές γραμμές, το γράφημα μοιάζει με μια "διαφάνεια" από έξω. Αργότερα θα μάθετε ότι αυτός ο τύπος κατανομής σχετίζεται στενά με το κεντρικό οριακό θεώρημα, θεμελιώδες για τη θεωρία πιθανοτήτων. Περιγράφει σημαντικά μοτίβα για τον κλάδο των μαθηματικών που εξετάζουμε, τα οποία είναι πολύ χρήσιμα σε διάφορους υπολογισμούς.

Ας επιστρέψουμε όμως στο θέμα. Υπάρχουν δύο ακόμη τύποι κατανομών: η ασύμμετρη και η πολυτροπική. Το πρώτο μοιάζει με το μισό ενός «κανονικού» γραφήματος, δηλαδή το τόξο κατεβαίνει μόνο στη μία πλευρά από την τιμή κορυφής. Τέλος, πολυτροπική κατανομή είναι αυτή στην οποία υπάρχουν πολλές «ανώτερες» τιμές. Έτσι, το γράφημα είτε κατεβαίνει είτε ανεβαίνει. Η πιο συχνή τιμή σε οποιαδήποτε διανομή ονομάζεται mode. Είναι επίσης μια από τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων και της μαθηματικής στατιστικής.

Gaussian κατανομή

Μια Gaussian, ή κανονική, κατανομή είναι αυτή στην οποία η απόκλιση των παρατηρήσεων από τον μέσο όρο υπακούει σε έναν ορισμένο νόμο.

Εν συντομία, η κύρια εξάπλωση των τιμών του δείγματος τείνει εκθετικά προς τη λειτουργία - η πιο συχνή από αυτές. Πιο συγκεκριμένα, το 99,6% όλων των τιμών βρίσκονται εντός τριών τυπικών αποκλίσεων (θυμηθείτε, συζητήσαμε αυτήν την έννοια παραπάνω;).

Η κατανομή Gauss είναι μια από τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Χρησιμοποιώντας το, μπορείτε να καταλάβετε εάν ένα στοιχείο, σύμφωνα με ορισμένες παραμέτρους, περιλαμβάνεται στην κατηγορία των "τυπικών" - έτσι αξιολογείται το ύψος και το βάρος ενός ατόμου σύμφωνα με την ηλικία, το επίπεδο πνευματικής ανάπτυξης, την ψυχολογική κατάσταση και πολλά άλλα .

Πώς να κάνετε αίτηση

Είναι ενδιαφέρον ότι τα «βαρετά» μαθηματικά δεδομένα μπορούν να χρησιμοποιηθούν προς όφελός σας. Για παράδειγμα, ένας νεαρός άνδρας χρησιμοποίησε τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική για να κερδίσει πολλά εκατομμύρια δολάρια στη ρουλέτα. Είναι αλήθεια ότι πριν από αυτό έπρεπε να προετοιμαστώ - να καταγράψω τα αποτελέσματα των παιχνιδιών σε διάφορα καζίνο για αρκετούς μήνες.

Αφού πραγματοποίησε την ανάλυση, διαπίστωσε ότι ένας από τους πίνακες έχει ελαφρώς κλίση, πράγμα που σημαίνει ότι ένας αριθμός τιμών εμφανίζεται στατιστικά σημαντικά πιο συχνά από άλλους. Λίγος υπολογισμός και υπομονή - και οι ιδιοκτήτες του καταστήματος ξύνουν τα κεφάλια τους, αναρωτιούνται πώς μπορεί ένας άνθρωπος να είναι τόσο τυχερός.

Υπάρχει ένα σωρό καθημερινά προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν χωρίς να καταφύγουμε σε στατιστικές. Για παράδειγμα, πώς να προσδιορίσετε πόσα ρούχα πρέπει να παραγγείλει ένα κατάστημα σε διαφορετικά μεγέθη: S, M, L, XL; Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αναλυθεί ποιος αγοράζει πιο συχνά ρούχα στην πόλη, στην περιοχή, σε κοντινά καταστήματα. Εάν δεν ληφθούν τέτοιες πληροφορίες, ο ιδιοκτήτης κινδυνεύει να χάσει πολλά χρήματα.

Σύναψη

Εξετάσαμε μια σειρά από βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων: δοκιμή, συμβάν, μεταθέσεις και τοποθετήσεις, αναμενόμενη τιμή και διασπορά, τρόπος και κανονική κατανομή... Επιπλέον, εξετάσαμε μια σειρά από τύπους που χρειάζονται περισσότερο από ένα μήνα μαθήματα για σπουδές σε ίδρυμα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης.

Μην ξεχνάτε: τα μαθηματικά είναι απαραίτητα όταν σπουδάζετε οικονομικά, φυσικές επιστήμες, τεχνολογία πληροφοριών και μηχανική. Η στατιστική ως ένας από τους τομείς της δεν μπορεί να αγνοηθεί και εδώ.

Τώρα είναι θέμα μικρών πραγμάτων: εξάσκηση, επίλυση προβλημάτων και παραδείγματα. Ακόμη και οι βασικές έννοιες και οι ορισμοί της θεωρίας πιθανοτήτων θα ξεχαστούν αν δεν αφιερώσετε χρόνο για αναθεώρηση. Επιπλέον, οι επόμενοι τύποι θα βασίζονται σε μεγάλο βαθμό σε αυτούς που έχουμε εξετάσει. Επομένως, προσπαθήστε να τα θυμάστε, ειδικά επειδή δεν είναι πολλά από αυτά.