نظرية غاوس. نظرية غاوس للحث الكهربائي (الإزاحة الكهربائية) نظرية غاوس لتحريض المجال الكهربائي

دعونا نفكر في كيفية تغير قيمة المتجه E عند السطح البيني بين وسطين، على سبيل المثال، الهواء (ε 1) والماء (ε = 81). تتناقص شدة المجال في الماء فجأة بمعامل قدره 81. هذا السلوك المتجه هيخلق بعض المضايقات عند حساب الحقول في بيئات مختلفة. لتجنب هذا الإزعاج، تم تقديم ناقل جديد د- ناقل الحث أو الإزاحة الكهربائية للمجال. اتصال المتجهات دو هيبدو

د = ε ε 0 ه.

من الواضح أنه بالنسبة لمجال الشحنة النقطية، فإن الإزاحة الكهربائية ستكون مساوية

من السهل أن نرى أن الإزاحة الكهربائية تقاس بـ C/m2، ولا تعتمد على الخصائص ويتم تمثيلها بيانياً بخطوط مشابهة لخطوط التوتر.

يميز اتجاه خطوط المجال اتجاه المجال في الفضاء (خطوط المجال، بالطبع، غير موجودة، يتم تقديمها لسهولة التوضيح) أو اتجاه متجه شدة المجال. باستخدام خطوط التوتر، لا يمكنك وصف الاتجاه فحسب، بل يمكنك أيضًا تحديد حجم شدة المجال. وللقيام بذلك تم الاتفاق على تنفيذها بكثافة معينة، بحيث يتناسب عدد خطوط التوتر المخترقة لسطح الوحدة المتعامد مع خطوط التوتر مع معامل المتجه ه(الشكل 78). ثم عدد الخطوط التي تخترق المنطقة الابتدائية dS، العادية التي نيشكل زاوية α مع المتجه ه، يساوي E dScos α = E n dS،

حيث E n هو المكون المتجه هفي الاتجاه الطبيعي ن. القيمة dФ E = E n dS = هد سمُسَمًّى تدفق ناقلات التوتر من خلال الموقعد س(د س= س ن).

لسطح مغلق تعسفي S تدفق المتجهات همن خلال هذا السطح متساوي

تعبير مماثل له تدفق ناقل الإزاحة الكهربائية Ф D

.

نظرية أوستروغرادسكي غاوس

تسمح لنا هذه النظرية بتحديد تدفق المتجهين E وD من أي عدد من الشحنات. لنأخذ شحنة النقطة Q ونحدد تدفق المتجه همن خلال سطح كروي نصف قطره r، يقع في مركزه.

بالنسبة لسطح كروي α = 0، cos α = 1، E n = E، S = 4 πr 2 و

ه = ه · 4 ط 2 .

استبدال التعبير عن E نحصل عليه

وهكذا، من كل نقطة شحنة ينبثق تدفق لمتجه F E هيساوي Q/ ε 0 . بتعميم هذا الاستنتاج على الحالة العامة لعدد تعسفي من الشحنات النقطية، نعطي صياغة النظرية: التدفق الإجمالي للمتجه همن خلال سطح مغلق ذي شكل عشوائي يساوي عدديًا المجموع الجبري للشحنات الكهربائية الموجودة داخل هذا السطح، مقسومًا على ε 0، أي.

لتدفق ناقلات الإزاحة الكهربائية ديمكنك الحصول على صيغة مماثلة

إن تدفق ناقل الحث عبر سطح مغلق يساوي المجموع الجبري للشحنات الكهربائية التي يغطيها هذا السطح.

فإذا أخذنا سطحًا مغلقًا لا يحتضن شحنة، فكل خط هو دسوف يعبر هذا السطح مرتين - عند المدخل والخروج، بحيث يكون التدفق الإجمالي يساوي الصفر. هنا من الضروري أن تأخذ في الاعتبار المجموع الجبري للخطوط الداخلة والخارجة.

تطبيق نظرية أوستروجرادسكي-غاوس لحساب المجالات الكهربائية الناتجة عن الطائرات والمجالات والأسطوانات

سطح كروي نصف قطره R يحمل شحنة Q، موزعة بشكل موحد على السطح بكثافة سطحية σ

لنأخذ النقطة A خارج الكرة على مسافة r من المركز ونرسم عقليًا كرة نصف قطرها r مشحونة بشكل متماثل (الشكل 79). مساحتها S = 4 ط ص 2 . تدفق المتجه E سيكون مساوياً لـ

وفقا لنظرية أوستروغرادسكي غاوس
، لذلك،
مع الأخذ في الاعتبار أن Q = σ 4 πr 2 نحصل عليه

للنقاط الواقعة على سطح الكرة (R = r)

د بالنسبة للنقاط الموجودة داخل كرة مجوفة (لا توجد شحنة داخل الكرة)، E = 0.

2 . سطح أسطواني مجوف نصف قطره R وطوله لمشحونة بكثافة شحنة سطحية ثابتة
(الشكل 80). دعونا نرسم سطحًا أسطوانيًا متحد المحور نصف قطره r > R.

ناقل التدفق همن خلال هذا السطح

بواسطة نظرية غاوس

معادلة الأطراف اليمنى من المساواة المذكورة أعلاه، نحصل عليها

.

إذا تم إعطاء كثافة الشحنة الخطية للأسطوانة (أو الخيط الرفيع).
الذي - التي

3. مجال الطائرات اللانهائية بكثافة الشحنة السطحية σ (الشكل 81).

دعونا نفكر في الحقل الذي تم إنشاؤه بواسطة مستوى لا نهائي. ويترتب على اعتبارات التناظر أن الشدة عند أي نقطة في المجال لها اتجاه عمودي على المستوى.

عند النقاط المتناظرة E ستكون متساوية في المقدار ومعاكسة في الاتجاه.

دعونا نبني سطح أسطوانة ذهنيًا بقاعدة ΔS. بعد ذلك سوف يخرج التدفق من خلال كل قاعدة من قواعد الاسطوانة

F E = E ΔS، وسيكون التدفق الإجمالي عبر السطح الأسطواني مساوياً لـ F E = 2E ΔS.

يوجد داخل السطح شحنة Q = σ · ΔS. وفقا لنظرية غاوس، يجب أن يكون صحيحا

أين

النتيجة التي تم الحصول عليها لا تعتمد على ارتفاع الاسطوانة المحددة. وبالتالي، فإن شدة المجال E عند أي مسافة تكون متساوية في المقدار.

بالنسبة لطائرتين مشحونتين بشكل مختلف لهما نفس كثافة الشحنة السطحية σ، وفقًا لمبدأ التراكب، خارج الفضاء بين الطائرات تكون شدة المجال صفر E = 0، وفي الفضاء بين الطائرات
(الشكل 82 أ). إذا كانت المستويات مشحونة بشحنات متشابهة بنفس كثافة الشحنة السطحية، فسيتم ملاحظة الصورة المعاكسة (الشكل 82ب). في الفضاء بين الطائرات E = 0، وفي الفضاء خارج الطائرات
.

المهمة التطبيقية الرئيسية للكهرباء الساكنة هي حساب المجالات الكهربائية التي تم إنشاؤها في الأجهزة والأجهزة المختلفة. بشكل عام، يتم حل هذه المشكلة باستخدام قانون كولوم ومبدأ التراكب. ومع ذلك، تصبح هذه المهمة صعبة للغاية عند النظر فيها عدد كبيرنقطة أو رسوم موزعة مكانيا. تنشأ صعوبات أكبر عندما تكون هناك عوازل أو موصلات في الفضاء، عندما يحدث إعادة توزيع للشحنات المجهرية تحت تأثير المجال الخارجي E 0، مما يؤدي إلى إنشاء مجال إضافي خاص بها E. لذلك، لحل هذه المشكلات عمليًا، هناك طرق وتقنيات مساعدة المستخدمة التي تستخدم الأجهزة الرياضية المعقدة. سننظر في أبسط طريقة تعتمد على تطبيق نظرية أوستروجرادسكي-غاوس. لصياغة هذه النظرية، نقدم عدة مفاهيم جديدة:

أ) كثافة الشحنة

إذا كان الجسم المشحون كبيرا، فأنت بحاجة إلى معرفة توزيع الشحنات داخل الجسم.

كثافة الشحنة الحجمية- تقاس بالشحنة لكل وحدة حجم:

كثافة الشحنة السطحية- تقاس بالشحنة لكل وحدة سطح الجسم (عندما تكون الشحنة موزعة على السطح):

كثافة الشحنة الخطية(توزيع الشحنة على طول الموصل):

ب) ناقلات الحث الكهروستاتيكي

ناقلات الحث الكهروستاتيكي (متجه الإزاحة الكهربائية) هو كمية متجهة تميز المجال الكهربائي.

ناقل يساوي منتج المتجه على ثابت العزل الكهربائي المطلق للوسط عند نقطة معينة:

دعونا نتحقق من البعد دفي وحدات SI:

، لأن
,

إذن الأبعاد D و E لا تتطابق، وقيمهما العددية مختلفة أيضًا.

من التعريف ويترتب على ذلك بالنسبة لحقل المتجهات ينطبق مبدأ التراكب نفسه على المجال :

مجال يتم تمثيلها بيانيا بخطوط الحث، تماما مثل المجال . يتم رسم خطوط الحث بحيث يتطابق الظل عند كل نقطة مع الاتجاه ، وعدد الأسطر يساوي القيمة العددية لـ D في موقع معين.

لفهم معنى المقدمة دعونا نلقي نظرة على مثال.

الخامس) تدفق ناقلات الحث الكهروستاتيكي

اعتبر السطح S في مجال كهربائي واختر الاتجاه العمودي

1. إذا كان المجال منتظماً فإن عدد خطوط المجال عبر السطح S:

2. إذا كان المجال غير منتظم فإن السطح ينقسم إلى عناصر متناهية الصغر dS والتي تعتبر مسطحة والمجال المحيط بها منتظم. لذلك، فإن التدفق عبر عنصر السطح هو: dN = D n dS،

ويكون التدفق الإجمالي عبر أي سطح هو:

(6)

التدفق التعريفي N هو كمية عددية؛ اعتمادًا على  يمكن أن يكون > 0 أو< 0, или = 0.

أصعب شيء هو دراسة الظواهر الكهربائية في بيئة كهربائية غير متجانسة. في مثل هذا الوسط، يكون لـ ε قيم مختلفة، وتتغير فجأة عند حدود العزل الكهربائي. لنفترض أننا نحدد شدة المجال عند السطح البيني بين وسطين: ε 1 =1 (الفراغ أو الهواء) و ε 2 =3 (سائل - زيت). عند الواجهة، أثناء الانتقال من الفراغ إلى العزل الكهربائي، تقل شدة المجال ثلاث مرات، وينخفض ​​تدفق ناقل القوة بنفس المقدار (الشكل 12.25، أ). يؤدي التغيير المفاجئ في متجه شدة المجال الكهروستاتيكي عند السطح البيني بين وسطين إلى خلق صعوبات معينة عند حساب الحقول. أما بالنسبة لنظرية غاوس، ففي ظل هذه الظروف تفقد معناها بشكل عام.

نظرًا لاختلاف قابلية الاستقطاب والجهد للعوازل الكهربائية المتباينة، فإن عدد خطوط المجال في كل عازل كهربائي سيكون مختلفًا أيضًا. يمكن التخلص من هذه الصعوبة عن طريق إدخال خاصية فيزيائية جديدة للمجال، وهي الحث الكهربائي D (أو المتجه الإزاحة الكهربائية ).

وفقا للصيغة

ε 1 E 1 = ε 2 E 2 =E 0 =const

بضرب جميع أجزاء هذه المساواة في الثابت الكهربائي ε 0 نحصل عليه

ε 0 ε 1 E 1 = ε 0 ε 2 E 2 =ε 0 E 0 =const

دعونا ندخل الرمز ε 0 εE=D ثم تأخذ العلاقة قبل الأخيرة الشكل

د 1 = د 2 = د 0 = ثابت

يُطلق على المتجه D، الذي يساوي حاصل ضرب شدة المجال الكهربائي في العازل وثابت العزل الكهربائي المطلقناقلات الإزاحة الكهربائية

(12.45)

وحدة الإزاحة الكهربائية – قلادة لكل متر مربع(ج/م2).

الإزاحة الكهربائية هي كمية متجهة ويمكن التعبير عنها أيضًا

د = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

على النقيض من الجهد E، فإن الإزاحة الكهربائية D تكون ثابتة في جميع المواد العازلة (الشكل 12.25، ب). لذلك، من الملائم وصف المجال الكهربائي في وسط عازل غير متجانس ليس بالكثافة E، ولكن بواسطة ناقل الإزاحة D. يصف المتجه D المجال الكهروستاتيكي الناتج عن الشحنات الحرة (أي في الفراغ)، ولكن مع توزيعها في الفضاء كما هو الحال في وجود عازل، حيث أن الشحنات المقيدة الناشئة في العوازل الكهربائية يمكن أن تسبب إعادة توزيع الشحنات الحرة التي تخلق المجال.

مجال المتجهات يتم تمثيله بيانياً بخطوط الإزاحة الكهربائية بنفس طريقة المجال تم تصويره بخطوط القوة.

خط الإزاحة الكهربائية - هي الخطوط التي تتطابق ظلالها عند كل نقطة مع اتجاه متجه الإزاحة الكهربائية.

يمكن أن تبدأ خطوط المتجه E وتنتهي بأي رسوم - حرة ومقيدة، بينما خطوط المتجهد- فقط برسوم مجانية. خطوط المتجهاتدعلى عكس خطوط التوتر، فهي مستمرة.

وبما أن ناقل الإزاحة الكهربائية لا يعاني من انقطاع عند السطح البيني بين وسطين، فإن جميع خطوط التحريض المنبعثة من الشحنات المحاطة ببعض الأسطح المغلقة سوف تخترقه. لذلك، بالنسبة لمتجه الإزاحة الكهربائية، تحتفظ نظرية غاوس تمامًا بمعناها بالنسبة للوسط العازل غير المتجانس.

نظرية غاوس للمجال الكهروستاتيكي في العزل الكهربائي : إن تدفق ناقل الإزاحة الكهربائية عبر سطح مغلق اعتباطي يساوي المجموع الجبري للشحنات الموجودة داخل هذا السطح.

(12.47)

نظرية غاوس للحث الكهربائي (الإزاحة الكهربائية)[

بالنسبة للمجال الموجود في وسط عازل، يمكن كتابة نظرية غاوس الكهروستاتيكية بطريقة أخرى (بطريقة بديلة) - من خلال تدفق ناقل الإزاحة الكهربائية (الحث الكهربائي). في هذه الحالة تكون صياغة النظرية كما يلي: إن تدفق ناقل الإزاحة الكهربائية عبر سطح مغلق يتناسب مع الشحنة الكهربائية الحرة الموجودة داخل هذا السطح:

في شكل تفاضلي:

نظرية غاوس للحث المغناطيسي

إن تدفق ناقل الحث المغناطيسي عبر أي سطح مغلق هو صفر:

أو في شكل تفاضلي

وهذا يعادل حقيقة أنه لا توجد في الطبيعة "شحنات مغناطيسية" (أحادية القطب) من شأنها أن تخلق مجالًا مغناطيسيًا، مثلما تخلق الشحنات الكهربائية مجالًا كهربائيًا. بمعنى آخر، توضح نظرية غاوس للحث المغناطيسي أن المجال المغناطيسي (بالكامل) دوامة.

نظرية غاوس للجاذبية النيوتونية

بالنسبة لشدة مجال الجاذبية النيوتونية (تسارع الجاذبية)، تتطابق نظرية غاوس عمليا مع تلك الموجودة في الكهرباء الساكنة، باستثناء الثوابت فقط (ومع ذلك، لا تزال تعتمد على الاختيار التعسفي لنظام الوحدات)، والأهم من ذلك، الإشارة:

أين ز- قوة مجال الجاذبية، م- شحنة الجاذبية (أي الكتلة) داخل السطح س, ρ - كثافة الكتلة، ز- ثابت نيوتن .

الموصلات في المجال الكهربائي. المجال داخل الموصل وعلى سطحه.

الموصلات هي أجسام يمكن من خلالها نقل الشحنات الكهربائية من الجسم المشحون إلى الجسم غير المشحون.يتم تفسير قدرة الموصلات على تمرير الشحنات الكهربائية من خلال وجود ناقلات شحن مجانية فيها. الموصلات - الأجسام المعدنية في الحالات الصلبة والسائلة والمحاليل السائلة للإلكتروليتات. تبدأ الشحنات الحرة للموصل التي يتم إدخالها في مجال كهربائي في التحرك تحت تأثيرها. تؤدي إعادة توزيع الشحنات إلى تغير في المجال الكهربائي. عندما تصبح شدة المجال الكهربائي في الموصل صفراً، تتوقف الإلكترونات عن الحركة. تسمى ظاهرة انفصال الشحنات المتباينة في موصل موضوع في مجال كهربائي بالحث الكهروستاتيكي. داخل الموصل المجال الكهربائيلا. يُستخدم هذا للحماية الكهروستاتيكية - الحماية باستخدام الموصلات المعدنية من المجال الكهربائي. إن سطح أي جسم موصل مهما كان شكله في مجال كهربائي هو سطح متساوي الجهد.

المكثفات

للحصول على أجهزة يمكنها، عند إمكانات منخفضة بالنسبة إلى الوسط، تجميع (تكثيف) شحنات ملحوظة على نفسها، يستخدمون حقيقة أن السعة الكهربائية للموصل تزداد مع اقتراب الأجسام الأخرى منه. في الواقع، تحت تأثير المجال الناتج عن الموصلات المشحونة، تظهر الشحنات المستحثة (على الموصل) أو المرتبطة بها (على العازل الكهربائي) على الجسم الذي تم إحضاره إليه (الشكل 15.5). الشحنات المعاكسة لشحنة الموصل q تقع بالقرب من الموصل من تلك التي تحمل نفس الاسم مع q، وبالتالي، لها تأثير كبير على إمكاناته.

ولذلك، عندما يقترب أي جسم من موصل مشحون، تقل شدة المجال، وبالتالي تنخفض جهد الموصل. ووفقا للمعادلة، فهذا يعني زيادة في سعة الموصل.

يتكون المكثف من موصلين (لوحتين) (الشكل 15.6)، مفصولتين بطبقة عازلة. عند تطبيق فرق جهد معين على موصل، يتم شحن ألواحه بشحنات متساوية ذات إشارة متعاكسة. تُفهم السعة الكهربائية للمكثف على أنها كمية فيزيائية تتناسب مع الشحنة q وتتناسب عكسيًا مع فرق الجهد بين الألواح

دعونا نحدد سعة المكثف المسطح.

إذا كانت مساحة اللوحة S والشحنة عليها q، فإن شدة المجال بين اللوحين

ومن ناحية أخرى، يأتي فرق الجهد بين اللوحين من

طاقة نظام الشحنات النقطية، موصل مشحون ومكثف.

يحتوي أي نظام من الشحنات على بعض طاقة التفاعل المحتملة، والتي تساوي العمل المبذول في إنشاء هذا النظام. طاقة نظام رسوم النقطة س 1 , س 2 , س 3 ,… س نيتم تعريفه على النحو التالي:

أين φ 1 – جهد المجال الكهربائي الناتج عن جميع الشحنات ما عدا س 1 عند النقطة التي توجد فيها الشحنة س 1، الخ. إذا تغير تكوين نظام الشحنات، فإن طاقة النظام تتغير أيضًا. لتغيير تكوين النظام، يجب القيام بالعمل.

يمكن حساب الطاقة الكامنة لنظام الشحنات النقطية بطريقة أخرى. الطاقة الكامنة لشحنات نقطتين س 1 , س 2 على مسافة من بعضها البعض متساوية. إذا كان هناك عدة شحنات، فيمكن تعريف الطاقة الكامنة لنظام الشحن هذا على أنها مجموع الطاقات المحتملة لجميع أزواج الشحنات التي يمكن تكوينها لهذا النظام. إذن، بالنسبة لنظام مكون من ثلاث شحنات موجبة، فإن طاقة النظام تساوي

كثافة الشحنة السطحية على ألواح المكثف تساوي نسبة كمية الشحنة الموجودة عليها إلى مساحة اللوحة:.

طاقة الموصل الانفرادي والمكثف المشحون إذا كان موصل معزول له شحنة q، فهناك مجال كهربائي حوله، جهده على سطح الموصل يساوي , والسعة هي C. دعونا نزيد الشحنة بمقدار dq. عند نقل الشحنة dq من اللانهاية، يجب أن يتم العمل على قدم المساواة

. لكن جهد المجال الكهروستاتيكي لموصل معين عند اللانهاية هو صفر. ثم

عند نقل الشحنة dq من موصل إلى ما لا نهاية، يتم تنفيذ نفس العمل بواسطة قوى المجال الكهروستاتيكي. وبالتالي، عندما تزيد شحنة الموصل بمقدار dq، تزداد الطاقة الكامنة للمجال، أي.

وبتكامل هذا التعبير نجد طاقة الوضع للمجال الكهروستاتيكي للموصل المشحون مع زيادة شحنته من صفر إلى q:

وبتطبيق العلاقة يمكننا الحصول على التعبيرات التالية للطاقة الكامنة W: