كتاب نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

• أجيكيان ت. أساسيات نظرية الخطأ لعلماء الفلك والفيزيائيين (الطبعة الثانية). م: ناوكا، 1972 (دجفو، 2.44 م)
• أجيكيان ت. نظرية الاحتمالية لعلماء الفلك والفيزيائيين. م: ناوكا، 1974 (دجفو، 2.59 م)
• أندرسون ت. التحليل الإحصائي للسلاسل الزمنية. م: مير، 1976 (دجفو، 14 م)
• باكلمان آي.يا. فيرنر أ.ل. كانتور بي. مقدمة في الهندسة التفاضلية "بشكل عام". م: ناوكا، 1973 (دجفو، 5.71 م)
• برنشتاين س.ن. نظرية الاحتمالية. م.-ل: جي آي، 1927 (دجفو، 4.51 م)
• بيلينجسلي P. تقارب مقاييس الاحتمالية. م: ناوكا، 1977 (دجفو، 3.96 م)
• Box J. Jenkins G. تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والإدارة. العدد 1. م: مير، 1974 (دجفو، 3.38 م)
• Box J. Jenkins G. تحليل السلاسل الزمنية: التنبؤ والإدارة. العدد 2. م: مير، 1974 (دجفو، 1.72 م)
• بوريل إي. الاحتمالية والموثوقية. م: ناوكا، 1969 (دجفو، 1.19 م)
• فان دير وايردن بي.إل. الإحصاء الرياضي. م: إيل، 1960 (دجفو، 6.90 م)
• فابنيك ف.ن. استعادة التبعيات على أساس البيانات التجريبية. م: ناوكا، 1979 (دجفو، 6.18 م)
• فنتزل إي إس. مقدمة في بحوث العمليات. م: الإذاعة السوفييتية، 1964 (دجفو، 8.43 م)
• فنتزل إي إس. عناصر نظرية اللعبة (الطبعة الثانية). السلسلة: محاضرات شعبية في الرياضيات. العدد 32. م: نوكا، 1961 (دجفو، 648 ك)
• فينتستيل إي إس. نظرية الاحتمالية (الطبعة الرابعة). م: ناوكا، 1969 (دجفو، 8.05 م)
• فينتستل إي إس، أوفتشاروف إل إيه. نظرية الاحتمالية. المهام والتمارين. م: ناوكا، 1969 (دجفو، 7.71 م)
• فيلينكين ن.يا.، بوتابوف ف.ج. مصنف عملي حول نظرية الاحتمالات مع عناصر التوافقيات والإحصاءات الرياضية. م: التربية، 1979 (دجفو، 1.12 م)
• جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي (الطبعة الثالثة). م: أعلى. المدرسة، 1979 (دجفو، 4.24 م)
• جمورمان ف. نظرية الاحتمالات و الإحصائيات الرياضية(الطبعة الرابعة). م: الثانوية العامة 1972 (دجفو، 3.75 م)
• جينيدينكو بي.في.، كولموجوروف أ.ن. التوزيعات الحدية لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. م.-ل: جي تي تي إل، 1949 (دجفو، 6.26 م)
• Gnedenko B.V.، خينشين أ.يا. مقدمة أولية لنظرية الاحتمالية (الطبعة السابعة). م: ناوكا، 1970 (دجفو، 2.48 م)
• أوك جي إل. العمليات الاحتمالية. م: إيل، 1956 (دجفو، 8.48 م)
• ديفيد جي. الإحصائيات الترتيبية. م: ناوكا، 1979 (دجفو، 2.87 م)
• إبراجيموف آي إيه، لينيك يو.في. الكميات المستقلة والثابتة ذات الصلة. م: ناوكا، 1965 (دجفو، 6.05 م)
• Idier V.، Dryard D.، James F.، Rus M.، Sadoulet B. الأساليب الإحصائية في الفيزياء التجريبية. م: اتوميزدات، 1976 (دجفو، 5.95 م)
• كمالوف م.ك. توزيع الأشكال التربيعيةفي عينات من السكان العاديين. طشقند: أكاديمية العلوم في جمهورية أوزبكستان الاشتراكية السوفياتية، 1958 (دجفو، 6.29 م)
• كاساندرا أ.ن.، ليبيديف ف.ف. معالجة نتائج المراقبة. م: ناوكا، 1970 (دجفو، 867 ك)
• كاتز م. الاحتمالية والقضايا ذات الصلة في الفيزياء. م: مير، 1965 (دجفو، 3.67 م)
• كاتز م. العديد من المشاكل الاحتمالية للفيزياء والرياضيات. م: ناوكا، 1967 (دجفو، 1.50 م)
• كاتز م. الاستقلال الإحصائي في نظرية الاحتمالات والتحليل ونظرية الأعداد. م: إيل، 1963 (دجفو، 964 ك)
• كيندال م.، موران ب. الاحتمالات الهندسية. م: ناوكا، 1972 (دجفو، 1.40 م)
• Kendall M.، Stewart A. المجلد 2. الاستدلال الإحصائي والاتصالات. م: ناوكا، 1973 (دجفو، 10 م)
• Kendall M.، Stewart A. Volume 3. التحليل الإحصائي متعدد المتغيرات والسلاسل الزمنية. م: ناوكا، 1976 (دجفو، 7.96 م)
• كيندال م.، ستيوارت أ. المجلد. 1. نظرية التوزيعات. م: ناوكا، 1965 (دجفو، 6.02 م)
• كولموغوروف أ.ن. المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات (الطبعة الثانية) م: ناوكا، 1974 (دجفو، 2.14 م)
• كولشين ف.ف.، سيفاستيانوف بي.أ.، تشيستياكوف ف.ب. مواضع عشوائية. م: ناوكا، 1976 (دجفو، 2.96 م)
• كرامر جي. الطرق الرياضية للإحصاء (الطبعة الثانية). م: مير، 1976 (دجفو، 9.63 م)
• ليمان إي. اختبار الفرضيات الإحصائية. م: العلم. 1979 (دجفو، 5.18 م)
• لينيك يو.في.، أوستروفسكي آي.في. تحلل المتغيرات والمتجهات العشوائية. م: ناوكا، 1972 (دجفو، 4.86 م)
• ليخوليتوف آي آي، ماتسكيفيتش آي بي. دليل لحل المشكلات في الرياضيات العليا ونظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي (الطبعة الثانية). من .: فيش. المدرسة، 1969 (دجفو، 4.99 م)
• Loev M. نظرية الاحتمالية. م: إيل، 1962 (دجفو، 7.38 م)
• مالاخوف أ.ن. التحليل التراكمي للعمليات العشوائية غير الغوسية وتحولاتها. م: سوف. الراديو، 1978 (دجفو، 6.72 م)
• مشالكين إل.دي. مجموعة من المشاكل على نظرية الاحتمالات. م: جامعة ولاية ميشيغان، 1963 (دجفو، 1004 ك)
• ميتروبولسكي أ.ك. نظرية اللحظات. م.-ل: GIKSL، 1933 (دجفو، 4.49 م)
• ميتروبولسكي أ.ك. تقنيات الحوسبة الإحصائية (الطبعة الثانية). م: ناوكا، 1971 (دجفو، 8.35 م)
• موستيلر إف، رورك آر، توماس جيه. الاحتمالية. م: مير، 1969 (دجفو، 4.82 م)
• ناليموف ف. تطبيق الإحصاء الرياضي في تحليل المادة. م: جيفمل، 1960 (دجفو، 4.11 م)
• Neveu J. الأسس الرياضية لنظرية الاحتمالات. م: مير، 1969 (دجفو، 3.62 م)
• بريستون ك. الرياضيات. الجديد في العلوم الأجنبية رقم 7. ينص جيبس ​​على مجموعات معدودة. م: مير، 1977 (دجفو، 2.15 م)
• سافيليف إل. نظرية الاحتمالية الأولية. الجزء 1. نوفوسيبيرسك: NSU، 2005 (

نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

1. الجزء النظري

1 تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية

في نظرية الاحتمالات علينا أن نتعامل معها أنواع مختلفةتقارب المتغيرات العشوائية. لنفكر في الأنواع الرئيسية التالية من التقارب: بالاحتمال، بالاحتمال واحد، بمتوسط ​​الترتيب p، بالتوزيع.

دع ... تكون متغيرات عشوائية محددة على بعض فضاءات الاحتمال (، Ф، P).

التعريف 1. يُقال إن سلسلة من المتغيرات العشوائية، ... تتقارب في الاحتمالية مع متغير عشوائي (التدوين:)، إذا كان هناك أي > 0

التعريف 2. يقال إن سلسلة من المتغيرات العشوائية ... تتقارب مع الاحتمال الأول (من المؤكد تقريبًا، في كل مكان تقريبًا) لمتغير عشوائي إذا

أولئك. إذا كانت مجموعة النتائج التي () لا تتقارب مع () احتمالها صفر.

ويُشار إلى هذا النوع من التقارب على النحو التالي: أو، أو.

التعريف 3. تسمى سلسلة المتغيرات العشوائية ... بالمتوسط ​​المتقارب من الرتبة p، 0< p < , если

التعريف 4. يُقال إن سلسلة من المتغيرات العشوائية... تتقارب في التوزيع إلى متغير عشوائي (التدوين:) إذا كانت لأي دالة مستمرة محدودة

يتم تعريف التقارب في توزيع المتغيرات العشوائية فقط من حيث تقارب وظائف التوزيع الخاصة بها. ولذلك، فمن المنطقي أن نتحدث عن هذا النوع من التقارب حتى عندما يتم تحديد المتغيرات العشوائية في مساحات احتمالية مختلفة.

النظرية 1.

أ) من أجل (P-a.s.)، من الضروري والكافي لأي > 0

) التسلسل () أساسي مع احتمال واحد إذا وفقط إذا كان لأي > 0.

دليل.

أ) دع A = (: |- | )، A = A. ثم

ولذلك، فإن العبارة أ) هي نتيجة لسلسلة من الآثار التالية:

P(: )= 0 P() = 0 = 0 P(A) = 0, م 1 P(A) = 0, > 0 P() 0, n 0, > 0 P( ) 0,

ن 0، > 0.) دعونا نشير إلى = (:)، = . إذًا (: (()) ليس أساسيًا ) = وبنفس الطريقة كما في a) يظهر أن (: (()) ليس أساسيًا ) = 0 P( ) 0, n.

تم إثبات النظرية

النظرية 2. (معيار كوشي للتقارب شبه المؤكد)

لكي تتقارب سلسلة من المتغيرات العشوائية () مع الاحتمال الأول (لبعض المتغيرات العشوائية)، فمن الضروري والكافي أن تكون أساسية مع الاحتمال الأول.

دليل.

إذا، ثم +

والذي يتبع منه ضرورة شروط النظرية.

الآن دع التسلسل () يكون أساسيًا مع الاحتمال الأول. دعونا نشير إلى L = (: (()) ليس أساسيًا). إذن بالنسبة لجميع التسلسلات الرقمية () يعد أمرًا أساسيًا، ووفقًا لمعيار كوشي للتسلسلات الرقمية، () موجود. دعونا نضع

هذه الوظيفة المحددة هي متغير عشوائي و.

لقد تم إثبات النظرية.

2 طريقة الوظائف المميزة

تعد طريقة الوظائف المميزة إحدى الأدوات الرئيسية للجهاز التحليلي لنظرية الاحتمالات. إلى جانب المتغيرات العشوائية (أخذ القيم الحقيقية)، تتطلب نظرية الوظائف المميزة استخدام متغيرات عشوائية ذات قيمة معقدة.

العديد من التعاريف والخصائص المتعلقة بالمتغيرات العشوائية يمكن نقلها بسهولة إلى الحالة المعقدة. وبالتالي فإن التوقع الرياضي M ?متغير عشوائي ذو قيمة معقدة ?=?+?? يعتبر محددا إذا تم تحديده التوقعات الرياضيةم ?و م ?. في هذه الحالة، بحكم التعريف نفترض M ?= م ? + ?م ?. من تعريف استقلال العناصر العشوائية يتبع تلك الكميات ذات القيمة المعقدة ?1 =?1+??1 , ?2=?2+??2تكون مستقلة إذا وفقط إذا كانت أزواج المتغيرات العشوائية مستقلة ( ?1 , ?1) و ( ?2 , ?2) أو وهو نفس الشيء مستقل ?-الجبر ف ?1, ?1 وF ?2, ?2.

جنبا إلى جنب مع الفضاء L 2المتغيرات العشوائية الحقيقية ذات العزم الثاني المحدد، يمكننا أن ندخل في الاعتبار فضاء هيلبرت للمتغيرات العشوائية ذات القيمة المركبة ?=?+?? مع م | ?|2?|2= ?2+?2، والمنتج العددي ( ?1 , ?2)= م ?1?2¯ ، أين ?2¯ - المتغير العشوائي المترافق المركب.

في العمليات الجبرية، يتم التعامل مع المتجهات Rn كأعمدة جبرية،

كمتجهات صفية، a* - (a1,a2,…,an). إذا كان Rn، فسيتم فهم منتجهم العددي (a,b) على أنه كمية. من الواضح أن

إذا aRn و R=||rij|| هي مصفوفة من الرتبة nxn، إذن

التعريف 1. Let F = F(x1,....,xn) - دالة التوزيع ذات الأبعاد n في (، ()). وظيفتها المميزة تسمى الوظيفة

التعريف 2 . لو؟ = (?1,…,?n) هو متجه عشوائي محدد على فضاء الاحتمال بقيم فيه، ثم تسمى دالته المميزة بالدالة

أين هو F؟ = F?(x1,….,khn) - دالة توزيع المتجهات?=(?1,…, ?n).

إذا كانت دالة التوزيع F(x) لها كثافة f = f(x)، إذن

في هذه الحالة، الدالة المميزة ليست أكثر من تحويل فورييه للدالة f(x).

من (3) يترتب على ذلك أن الوظيفة المميزة ??(t) للمتجه العشوائي يمكن أيضًا تعريفها بالمساواة

الخصائص الأساسية للوظائف المميزة (في حالة n=1).

دعها؟ = ؟(؟) - متغير عشوائي، F؟ =ف؟ (x) هي وظيفة التوزيع وهي الوظيفة المميزة.

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا، ثم.

في الحقيقة،

حيث استفدنا من حقيقة أن التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة (المحدودة) يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

الخاصية (6) هي المفتاح عند إثبات النظريات الحدية لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة بطريقة الدوال المميزة. في هذا الصدد، يتم التعبير عن وظيفة التوزيع من خلال وظائف التوزيع للمصطلحات الفردية بطريقة أكثر تعقيدًا، حيث تعني العلامة * مجموعة من التوزيعات.

يمكن ربط كل دالة توزيع بمتغير عشوائي يحتوي على هذه الوظيفة كدالة توزيع خاصة بها. ولذلك، عند عرض خصائص الوظائف المميزة، يمكننا أن نقتصر على النظر في الوظائف المميزة للمتغيرات العشوائية.

النظرية 1.دعها؟ - متغير عشوائي مع دالة التوزيع F=F(x) و - دالته المميزة.

تحدث الخصائص التالية:

) مستمر بشكل موحد في؛

) هي دالة ذات قيمة حقيقية إذا وفقط إذا كان توزيع F متماثلًا

) إذا كان لبعض ن؟ 1، ثم للجميع هناك مشتقات و

) إذا كان موجودا ومحدودا، ثم

) واسمحوا للجميع ن؟ 1 و

ثم للجميع |t|

توضح النظرية التالية أن الوظيفة المميزة تحدد بشكل فريد وظيفة التوزيع.

النظرية 2 (التفرد). لنفترض أن F وG هما وظيفتا توزيع لهما نفس الوظيفة المميزة، أي للجميع

تقول النظرية أن دالة التوزيع F = F(x) يمكن استعادتها بشكل فريد من وظيفتها المميزة. تعطي النظرية التالية تمثيلاً صريحًا للدالة F من حيث.

النظرية 3 (صيغة التعميم). دع F = F(x) تكون دالة التوزيع وتكون دالتها المميزة.

أ) لأي نقطتين أ، ب (أ< b), где функция F = F(х) непрерывна,

) إذا كانت وظيفة التوزيع F(x) لها كثافة f(x)،

النظرية 4. لكي تكون مكونات المتجه العشوائي مستقلة، من الضروري والكافي أن تكون وظيفته المميزة هي نتاج الوظائف المميزة للمكونات:

نظرية بوشنر-خينشين . لتكن دالة متصلة لكي تكون مميزة، من الضروري والكافي أن تكون محددة غير سالبة، أي لأي t1 حقيقي، ... ، tn وأي أعداد مركبة.

النظرية 5. اسمحوا أن تكون الوظيفة المميزة لمتغير عشوائي.

أ) إذا كان المتغير العشوائي بالنسبة للبعض عبارة عن شبكة ذات خطوة، أي

) إذا كان هناك رقم غير نسبي لنقطتين مختلفتين، فهل هو متغير عشوائي؟ هو منحط:

حيث a هو بعض ثابت.

ج) إذا، فهل هو متغير عشوائي؟ منحط.

1.3 نظرية الحد المركزي للمتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل

دع () تكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متماثل. التوقع M= a، التباين D=، S =، و Ф(x) هي دالة التوزيع للقانون العادي مع المعلمات (0,1). دعونا نقدم سلسلة أخرى من المتغيرات العشوائية

نظرية. إذا 0<<, то при n P(< x) Ф(х) равномерно относительно х ().

في هذه الحالة، يسمى التسلسل () طبيعيًا مقاربًا.

من حقيقة أن M = 1 ومن نظريات الاستمرارية، يترتب على ذلك، إلى جانب التقارب الضعيف، FM f() Mf() لأي f مستمر محدود، هناك أيضًا تقارب M f() Mf() لأي f مستمر ، بحيث |f(x)|< c(1+|x|) при каком-нибудь.

دليل.

التقارب الموحد هنا هو نتيجة التقارب الضعيف واستمرارية Ф(x). علاوة على ذلك، دون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أن = 0، وإلا يمكننا النظر في التسلسل ()، ولن يتغير التسلسل (). لذلك، لإثبات التقارب المطلوب يكفي إثبات أن (t) e عندما تكون a = 0. لدينا

(ر) = حيث =(ر).

وبما أن M موجودة، فإن التحليل موجود وصحيح

لذلك، ل ن

لقد تم إثبات النظرية.

1.4 المهام الرئيسية للإحصاءات الرياضية، وصفها الموجز

إن إنشاء الأنماط التي تحكم الظواهر العشوائية الجماعية يعتمد على دراسة البيانات الإحصائية – نتائج الملاحظات. المهمة الأولى للإحصاء الرياضي هي الإشارة إلى طرق جمع وتجميع المعلومات الإحصائية. أما المهمة الثانية للإحصاء الرياضي فهي تطوير طرق تحليل البيانات الإحصائية حسب أهداف الدراسة.

عند حل أي مشكلة في الإحصاء الرياضي، هناك مصدران للمعلومات. الأول والأكثر تحديدًا (الصريح) هو نتيجة الملاحظات (التجربة) في شكل عينة من بعض السكان العامين لمتغير عشوائي عددي أو متجه. في هذه الحالة، يمكن تثبيت حجم العينة n، أو يمكن زيادته أثناء التجربة (أي يمكن استخدام ما يسمى بإجراءات التحليل الإحصائي المتسلسل).

المصدر الثاني هو جميع المعلومات المسبقة حول خصائص الكائن قيد الدراسة، والتي تراكمت حتى اللحظة الحالية. من الناحية الرسمية، تنعكس كمية المعلومات المسبقة في النموذج الإحصائي الأولي الذي يتم اختياره عند حل المشكلة. ومع ذلك، ليست هناك حاجة للحديث عن تحديد تقريبي بالمعنى المعتاد لاحتمال وقوع حدث ما بناءً على نتائج التجارب. من خلال التحديد التقريبي لأي كمية، يُقصد عادةً أنه من الممكن الإشارة إلى حدود الخطأ التي لن يحدث خطأ ضمنها. إن تكرار الحدث يكون عشوائياً بالنسبة لأي عدد من التجارب وذلك بسبب عشوائية نتائج التجارب الفردية. بسبب عشوائية نتائج التجارب الفردية، قد ينحرف التردد بشكل كبير عن احتمالية الحدث. ولذلك، فمن خلال تحديد الاحتمال المجهول لحدث ما على أنه تكرار هذا الحدث على عدد كبير من التجارب، لا يمكننا الإشارة إلى حدود الخطأ وضمان عدم تجاوز الخطأ هذه الحدود. لذلك، في الإحصاء الرياضي، لا نتحدث عادة عن القيم التقريبية للكميات غير المعروفة، ولكن عن قيمها وتقديراتها المناسبة.

تنشأ مشكلة تقدير المعلمات غير المعروفة في الحالات التي تكون فيها دالة التوزيع السكاني معروفة حتى المعلمة. في هذه الحالة، من الضروري العثور على إحصائية يمكن اعتبار قيمة العينة الخاصة بالتنفيذ المدروس xn لعينة عشوائية قيمة تقريبية للمعلمة. الإحصائية التي يتم أخذ قيمة العينة الخاصة بها لأي تحقيق xn كقيمة تقريبية لمعلمة غير معروفة تسمى تقدير النقطة أو مجرد تقدير، وهي قيمة تقدير النقطة. يجب أن يفي تقدير النقطة بمتطلبات محددة للغاية حتى تتوافق قيمة العينة مع القيمة الحقيقية للمعلمة.

من الممكن أيضًا اتباع نهج آخر لحل المشكلة قيد النظر: العثور على مثل هذه الإحصائيات مع احتمالية ذلك؟ يحمل عدم المساواة التالية:

في هذه الحالة نتحدث عن تقدير الفاصل الزمني ل. فاصلة

يسمى فاصل الثقة مع معامل الثقة ؟.

بعد تقييم خاصية إحصائية أو أخرى بناءً على نتائج التجارب، يطرح السؤال: ما مدى اتساق الافتراض (الفرضية) بأن الخاصية غير المعروفة لها بالضبط القيمة التي تم الحصول عليها نتيجة تقييمها مع البيانات التجريبية؟ هذه هي الطريقة التي تنشأ بها الفئة الثانية المهمة من المشكلات في الإحصاء الرياضي - مشكلات اختبار الفرضيات.

بمعنى ما، فإن مشكلة اختبار الفرضية الإحصائية هي عكس مشكلة تقدير المعلمة. عند تقدير المعلمة، لا نعرف شيئًا عن قيمتها الحقيقية. عند اختبار فرضية إحصائية، لسبب ما يفترض أن قيمتها معروفة ومن الضروري التحقق من هذا الافتراض بناءً على نتائج التجربة.

في العديد من مسائل الإحصاء الرياضي، تؤخذ في الاعتبار تسلسلات من المتغيرات العشوائية، تتقارب بمعنى أو بآخر إلى حد ما (متغير عشوائي أو ثابت)، ومتى.

وبالتالي فإن المهام الرئيسية للإحصاء الرياضي هي تطوير طرق إيجاد التقديرات ودراسة دقة تقريبها للخصائص التي يتم تقييمها وتطوير طرق اختبار الفرضيات.

5. اختبار الفروض الإحصائية: مفاهيم أساسية

تعد مهمة تطوير أساليب عقلانية لاختبار الفرضيات الإحصائية إحدى المهام الرئيسية للإحصاء الرياضي. الفرضية الإحصائية (أو ببساطة الفرضية) هي أي عبارة عن نوع أو خصائص توزيع المتغيرات العشوائية التي لوحظت في التجربة.

لنفترض أن هناك عينة عبارة عن تحقيق لعينة عشوائية من مجتمع عام، تعتمد كثافة توزيعها على معلمة غير معروفة.

تسمى الفرضيات الإحصائية المتعلقة بالقيمة الحقيقية غير المعروفة للمعلمة بالفرضيات البارامترية. علاوة على ذلك، إذا كان عدديًا، فإننا نتحدث عن فرضيات ذات معلمة واحدة، وإذا كان متجهًا، فإننا نتحدث عن فرضيات متعددة المعلمات.

تسمى الفرضية الإحصائية بسيطة إذا كانت تحتوي على النموذج

حيث توجد بعض قيمة المعلمة المحددة.

تسمى الفرضية الإحصائية معقدة إذا كانت تحتوي على النموذج

حيث هي مجموعة قيم المعلمات المكونة من أكثر من عنصر.

في حالة اختبار فرضيتين إحصائيتين بسيطتين من النموذج

حيث يتم إعطاء قيمتين (مختلفتين) للمعلمة، وعادة ما تسمى الفرضية الأولى بالفرضية الرئيسية، والثانية بالفرضية البديلة أو المنافسة.

المعيار أو المعيار الإحصائي لاختبار الفرضيات هو القاعدة التي يتم من خلالها، بناءً على بيانات العينة، اتخاذ قرار بشأن صحة الفرضية الأولى أو الثانية.

يتم تحديد المعيار باستخدام المجموعة الحرجة، وهي مجموعة فرعية من فضاء العينة لعينة عشوائية. ويتم اتخاذ القرار على النحو التالي:

) إذا كانت العينة تنتمي إلى المجموعة الحرجة ترفض الفرضية الرئيسية وتقبل الفرضية البديلة.

) إذا كانت العينة لا تنتمي إلى المجموعة الحرجة (أي أنها تنتمي إلى تكملة المجموعة إلى فضاء العينة)، يتم رفض الفرضية البديلة وقبول الفرضية الرئيسية.

عند استخدام أي معيار، من الممكن حدوث الأنواع التالية من الأخطاء:

1) قبول الفرضية عندما تكون صحيحة - خطأ من النوع الأول؛

) قبول الفرضية عندما تكون صحيحة هو خطأ من النوع الثاني.

ويشار إلى احتمالات ارتكاب الأخطاء من النوعين الأول والثاني بما يلي:

أين هو احتمال وقوع حدث ما، بشرط أن تكون الفرضية صحيحة. يتم حساب الاحتمالات المشار إليها باستخدام دالة كثافة التوزيع لعينة عشوائية:

ويسمى احتمال ارتكاب خطأ من النوع الأول أيضًا بمستوى أهمية المعيار.

وتسمى القيمة المساوية لاحتمال رفض الفرضية الرئيسية عندما تكون صحيحة قوة الاختبار.

1.6 معيار الاستقلال

توجد عينة ((XY)، ...، (XY)) من توزيع ثنائي الأبعاد

L مع دالة توزيع غير معروفة ومن الضروري اختبار الفرضية H: حيث توجد بعض دوال التوزيع أحادية البعد.

يمكن إنشاء اختبار بسيط لملاءمة الفرضية H بناءً على المنهجية. تستخدم هذه التقنية للنماذج المنفصلة ذات عدد محدود من النتائج، لذلك نتفق على أن المتغير العشوائي يأخذ عددا محدودا من بعض القيم، والتي سنرمز لها بالأحرف، والمكون الثاني هو قيم k. إذا كان النموذج الأصلي له بنية مختلفة، فسيتم تجميع القيم المحتملة للمتغيرات العشوائية بشكل مبدئي بشكل منفصل في المكونين الأول والثاني. في هذه الحالة، يتم تقسيم المجموعة إلى فترات s، والقيمة المحددة إلى فترات زمنية k، والقيمة المحددة نفسها إلى مستطيلات N = sk.

دعونا نشير إلى عدد ملاحظات الزوج (عدد عناصر العينة التي تنتمي إلى المستطيل، إذا تم تجميع البيانات)، بحيث. من الملائم ترتيب نتائج المراقبة في شكل جدول طوارئ مكون من علامتين (الجدول 1.1). في التطبيقات وعادة ما يعني معيارين يتم من خلالهما تصنيف نتائج المراقبة.

دع P، i=1،…،s، j=1،…،k. إذن فرضية الاستقلال تعني أن هناك ثوابت s+k مثل و، على سبيل المثال.

الجدول 1.1

مجموع . . .. . .. . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .مجموع . . .ن

وبالتالي، فإن الفرضية H تتلخص في أن الترددات (عددها N = sk) يتم توزيعها وفقًا لقانون متعدد الحدود مع احتمالات النتائج ذات البنية المحددة المحددة (يتم تحديد متجه احتمالات النتائج p بواسطة القيم r = s + k-2 لمعلمات غير معروفة.

ولاختبار هذه الفرضية، سنجد أقصى تقديرات الاحتمالية للمعلمات غير المعروفة التي تحدد المخطط قيد النظر. إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة، فإن دالة الاحتمالية لها الشكل L(p)= حيث لا يعتمد المضاعف c على المعلمات غير المعروفة. ومن هنا وباستخدام طريقة لاغرانج للمضاعفات غير المحددة نحصل على أن التقديرات المطلوبة لها الشكل

لذلك الإحصائيات

L() at، نظرًا لأن عدد درجات الحرية في التوزيع الحدي يساوي N-1-r=sk-1-(s+k-2)=(s-1)(k-1).

لذلك، بالنسبة لـ n كبيرة بما فيه الكفاية، يمكن استخدام قاعدة اختبار الفرضية التالية: يتم رفض الفرضية H إذا وفقط إذا كانت القيمة الإحصائية t المحسوبة من البيانات الفعلية تلبي عدم المساواة

يحتوي هذا المعيار على مستوى معين من الأهمية بشكل مقارب (at) ويسمى معيار الاستقلال.

2. الجزء العملي

1 حلول مسائل على أنواع التقارب

1. إثبات أن التقارب يكاد يكون من المؤكد أنه يعني التقارب في الاحتمال. قم بتقديم مثال اختباري لتوضيح أن العكس غير صحيح.

حل. دع سلسلة من المتغيرات العشوائية تتقارب إلى متغير عشوائي x بشكل شبه مؤكد. لذلك، لأي شخص؟ > 0

منذ ذلك الحين

ومن تقارب xn إلى x، يكاد يكون من المؤكد أن xn يتقارب مع x في الاحتمال، لأنه في هذه الحالة

لكن البيان المعاكس ليس صحيحا. دع تكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة لها نفس دالة التوزيع F(x)، تساوي الصفر عند x؟ 0 ويساوي x > 0. خذ بعين الاعتبار التسلسل

هذا التسلسل يتقارب مع الصفر في الاحتمال، منذ ذلك الحين

يميل إلى الصفر لأي ثابت؟ و. ومع ذلك، فمن شبه المؤكد أن التقارب إلى الصفر لن يحدث. حقًا

يميل إلى الوحدة، أي مع احتمال 1 لأي ​​و n سيكون هناك إدراك في التسلسل يتجاوز؟.

لاحظ أنه في ظل وجود بعض الشروط الإضافية المفروضة على الكميات xn، فإن التقارب في الاحتمال يعني التقارب بشكل شبه مؤكد.

دع xn يكون تسلسل رتيب. أثبت أنه في هذه الحالة، فإن تقارب xn إلى x في الاحتمالية يستلزم تقارب xn إلى x مع الاحتمال 1.

حل. لنفترض أن xn عبارة عن تسلسل متناقص بشكل رتيب، أي. لتبسيط تفكيرنا، سنفترض أن x ° 0، xn ³ 0 لكل n. دع xn يتقارب مع x في الاحتمالية، ولكن من المؤكد تقريبًا أن التقارب لا يحدث. فهل هو موجود إذن؟ > 0، بحيث يكون لجميع n

ولكن ما قيل يعني أيضا أن لجميع ن

مما يتعارض مع تقارب xn إلى x في الاحتمال. وبالتالي، بالنسبة للتسلسل الرتيب xn، الذي يتقارب مع x في الاحتمال، يتقارب أيضًا مع الاحتمال 1 (بشكل شبه مؤكد).

دع التسلسل xn يتقارب مع x في الاحتمال. أثبت أنه من الممكن من هذا التسلسل عزل تسلسل يتقارب مع x مع احتمال 1 عند.

حل. وليكن بعض التسلسل من الأرقام الموجبة، وليكن أرقاما موجبة مثل تلك المتسلسلة. دعونا نبني سلسلة من المؤشرات n1

ثم السلسلة

بما أن المتسلسلة متقاربة، إذن لأي منها؟ > 0 ويميل باقي السلسلة إلى الصفر. ولكن بعد ذلك يميل إلى الصفر و

أثبت أن التقارب في المتوسط ​​لأي ترتيب إيجابي يعني التقارب في الاحتمال. أعط مثالا يوضح أن العكس غير صحيح.

حل. دع التسلسل xn يتقارب إلى قيمة x في المتوسط ​​من الترتيب p > 0، أي

دعونا نستخدم عدم المساواة تشيبيشيف المعممة: هل هي تعسفية؟ > 0 و ع > 0

بتوجيه ومراعاة ذلك نحصل على ذلك

أي أن xn يتقارب مع x في الاحتمال.

ومع ذلك، فإن التقارب في الاحتمالية لا يعني التقارب في متوسط ​​الترتيب p > 0. وهذا ما يوضحه المثال التالي. النظر في الفضاء الاحتمالي áW، F، Rñ، حيث F = B هو جبر بوريل، R هو مقياس Lebesgue.

دعونا نحدد سلسلة من المتغيرات العشوائية على النحو التالي:

يتقارب التسلسل xn مع 0 في الاحتمال، منذ ذلك الحين

ولكن لأي p> 0

أي أنها لن تتقارب في المتوسط.

اسمحوا، ما للجميع ن . أثبت أنه في هذه الحالة xn يتقارب مع x في المربع المتوسط.

حل. لاحظ أن... دعونا نحصل على تقدير ل. دعونا نفكر في متغير عشوائي. دعها؟ - رقم موجب تعسفي. ثم في وفي.

إذا، ثم و. لذلك، . ولماذا؟ صغيرة بشكل تعسفي، ثم في، أي في جذر متوسط ​​المربع.

أثبت أنه إذا تقارب xn مع x في الاحتمالية، يحدث تقارب ضعيف. قم بتقديم مثال اختباري لتوضيح أن العكس غير صحيح.

حل. لنثبت أنه إذا، عند كل نقطة x، وهي نقطة الاستمرارية (وهذا شرط ضروري وكافي للتقارب الضعيف)، تكون دالة التوزيع للقيمة xn، و- قيمة x.

دع x تكون نقطة استمرارية الدالة F. إذا، إذن واحدة على الأقل من المتباينات أو صحيحة. ثم

وبالمثل، بالنسبة لواحدة على الأقل من المتباينات أو و

إذا، ثم لصغيرة حسب الرغبة؟ > 0 يوجد N بحيث يكون لكل n > N

ومن ناحية أخرى، إذا كانت x نقطة استمرارية، فهل من الممكن العثور على شيء كهذا؟ > 0، وهي صغيرة بشكل تعسفي

لذا، لصغيرة كما تريد؟ ويوجد N بحيث يكون n >N

أو ما هو نفسه،

وهذا يعني أن التقارب يحدث عند جميع نقاط الاستمرارية. وبالتالي فإن التقارب الضعيف يتبع التقارب في الاحتمال.

والقول العكسي، بشكل عام، لا يصمد. للتحقق من ذلك، دعونا نأخذ سلسلة من المتغيرات العشوائية التي لا تساوي الثوابت ذات الاحتمال 1 ولها نفس دالة التوزيع F(x). ونحن نفترض أن لجميع الكميات ن ومستقلة. ومن الواضح أن التقارب الضعيف يحدث، لأن جميع أعضاء التسلسل لديهم نفس دالة التوزيع. يعتبر:

|من استقلالية القيم وتوزيعها المتماثل يترتب على ذلك

دعونا نختار من بين جميع وظائف التوزيع للمتغيرات العشوائية غير المتدهورة مثل F(x) التي ستكون غير صفرية لجميع الصغيرة بما فيه الكفاية؟. ثم لا يميل إلى الصفر مع نمو غير محدود لـ n ولن يحدث تقارب في الاحتمال.

7. ليكن هناك تقارب ضعيف، حيث مع الاحتمال 1 يوجد ثابت. إثبات أنه في هذه الحالة سوف تتقارب في الاحتمال.

حل. دع الاحتمال 1 يساوي أ. ثم التقارب الضعيف يعني التقارب لأي. منذ ذلك الحين في وفي. أي عند و عند. ويترتب على ذلك لأي شخص؟ > 0 احتمال

تميل إلى الصفر عند. وهذا يعني ذلك

يميل إلى الصفر، أي أنه يتقارب في الاحتمال.

2.2 حل مشاكل مركز التدفئة المركزية

يتم حساب قيمة دالة جاما Г(x) عند x= بطريقة مونت كارلو. دعونا نجد الحد الأدنى لعدد الاختبارات اللازمة بحيث يمكننا، باحتمال 0.95، أن نتوقع أن الخطأ النسبي في الحسابات سيكون أقل من واحد بالمائة.

لما يصل إلى دقة لدينا

ومن المعروف أن

وبعد إجراء تغيير في (1)، نصل إلى التكامل خلال فترة محدودة:

معنا إذن

كما يتبين، يمكن تمثيله بالشكل حيث يتم توزيعه بشكل موحد. السماح بإجراء الاختبارات الإحصائية. ثم التناظرية الإحصائية هي الكمية

حيث هي متغيرات عشوائية مستقلة ذات توزيع منتظم. في نفس الوقت

ويترتب على CLT أنه طبيعي بشكل مقارب مع المعلمات.

وهذا يعني أن الحد الأدنى لعدد الاختبارات التي تضمن احتمالية أن الخطأ النسبي في الحساب ليس أكثر من متساوٍ.

نحن نعتبر سلسلة من 2000 من المتغيرات العشوائية المستقلة الموزعة بشكل متماثل مع توقع رياضي قدره 4 وتباين قدره 1.8. والمتوسط ​​الحسابي لهذه الكميات هو متغير عشوائي. حدد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة في الفترة (3.94؛ 4.12).

لنفترض أن …,… تكون سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة التي لها نفس التوزيع مع M=a=4 وD==1.8. ثم ينطبق CLT على التسلسل (). متغير عشوائي

احتمال أن يستغرق الأمر قيمة في الفاصل الزمني ():

بالنسبة لـ n=2000، 3.94 و4.12 نحصل على ذلك

3 اختبار الفرضيات باستخدام معيار الاستقلالية

ونتيجة للدراسة، تبين أن 782 من الآباء ذوي العيون الفاتحة لديهم أيضًا أبناء ذوي عيون فاتحة، و89 أبًا ذوي عيون فاتحة لديهم أبناء ذوي عيون داكنة. 50 أبًا ذوي عيون داكنة لديهم أيضًا أبناء ذوي عيون داكنة، و79 أبًا ذوي عيون داكنة لديهم أبناء ذوي عيون فاتحة. هل هناك علاقة بين لون عيون الآباء ولون عيون أبنائهم؟ خذ مستوى الثقة ليكون 0.99.

الجدول 2.1

الأطفالالآباء مجموعضوء العينعين داكنةعين فاتحة78279861عين داكنة8950139مجموع8711291000

ح: لا توجد علاقة بين لون عيون الأبناء والآباء.

ح: هناك علاقة بين لون عيون الأبناء والآباء.

s=k=2 =90.6052 بدرجة حرية واحدة

تم إجراء الحسابات في Mathematica 6.

وبما أن > ، فيجب رفض الفرضية H حول عدم وجود علاقة بين لون أعين الآباء والأبناء عند مستوى الدلالة وقبول الفرضية البديلة H.

يذكر أن تأثير الدواء يعتمد على طريقة التطبيق. تحقق من هذا البيان باستخدام البيانات الواردة في الجدول. 2.2 اجعل مستوى الثقة 0.95.

الجدول 2.2

النتيجة طريقة التطبيق ABC غير مفضل 111716 مفضل 202319

حل.

لحل هذه المشكلة، سوف نستخدم جدول الاحتمالات لخاصيتين.

الجدول 2.3

النتيجة طريقة التطبيق المبلغ ABC غير مناسب 11171644 مناسب 20231962 مبلغ 314035106

ح: تأثير الأدوية لا يعتمد على طريقة تناولها

ح: يعتمد تأثير الأدوية على طريقة التطبيق

يتم حساب الإحصائيات باستخدام الصيغة التالية

s=2، k=3، =0.734626 مع درجتين من الحرية.

الحسابات التي تم إجراؤها في Mathematica 6

ومن جداول التوزيع نجد ذلك.

لأن< , то гипотезу H, про отсутствия зависимости действия лекарств от способа применения, при уровне значимости, следует принять.

خاتمة

يعرض هذا البحث الحسابات النظرية من قسم "معيار الاستقلال"، وكذلك "النظريات الحدية لنظرية الاحتمالية"، ومقرر "نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي". أثناء العمل، تم اختبار معيار الاستقلال عمليا؛ أيضًا، بالنسبة لتسلسلات معينة من المتغيرات العشوائية المستقلة، تم التحقق من تحقيق نظرية الحد المركزي.

ساعد هذا العمل في تحسين معرفتي بهذه الأقسام من نظرية الاحتمالات، والعمل مع المصادر الأدبية، وإتقان تقنية التحقق من معيار الاستقلال.

نظرية الفرضية الإحصائية الاحتمالية

قائمة الروابط

1. جمع المشاكل من نظرية الاحتمالات مع الحلول. اه. بدل / إد. في. سيمينيتس. - خاركوف: ختور، 2000. - 320 ص.

جيخمان الثاني، سكوروخود إيه في، يادرينكو إم آي. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. - ك: مدرسة فيشا، 1979. - 408 ص.

إيفتشينكو جي آي، ميدفيديف يو آي، الإحصاء الرياضي: كتاب مدرسي. بدل الكليات. - م: أعلى. المدرسة، 1984. - 248 ص، .

الإحصاء الرياضي: كتاب مدرسي. للجامعات / ف.ب. جوريانوف ، آي.في. بافلوف، ج.م. تسفيتكوفا وآخرون؛ إد. مقابل. زاروبينا، أ.ب. كريشينكو. - م: دار النشر MSTU im. ن. بومان، 2001. - 424 ص.

التدريس

هل تحتاج إلى مساعدة في دراسة موضوع ما؟

سيقوم المتخصصون لدينا بتقديم المشورة أو تقديم خدمات التدريس حول الموضوعات التي تهمك.
أرسل طلبكمع الإشارة إلى الموضوع الآن للتعرف على إمكانية الحصول على استشارة.

أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات موضوع دراسة نظرية الاحتمالات هو الأنماط الكمية للظواهر العشوائية المتجانسة ذات الطبيعة الجماعية. التعريف 1. الحدث هو أي حقيقة محتملة يمكن القول بحدوثها أو عدم حدوثها في ظل ظروف معينة. مثال. يمكن أن تكون الأمبولات الجاهزة التي تخرج من خط التجميع قياسية أو غير قياسية. إحدى النتائج (أي) من هاتين النتيجتين المحتملتين تسمى حدثًا. هناك ثلاثة أنواع من الأحداث: الموثوقة والمستحيلة والعشوائية. التعريف 2. الموثوق هو الحدث الذي، إذا تم استيفاء شروط معينة، لا يمكن أن يفشل في الحدوث، أي. سيحدث بالتأكيد. مثال. إذا كانت الجرة تحتوي على كرات بيضاء فقط، فإن الكرة المأخوذة عشوائيًا من الجرة ستكون بيضاء دائمًا. في ظل هذه الظروف، فإن حقيقة ظهور كرة بيضاء ستكون حدثا موثوقا به. التعريف 3. المستحيل هو الحدث الذي لا يمكن أن يحدث إذا تم استيفاء شروط معينة. مثال. لا يمكنك إزالة كرة بيضاء من جرة تحتوي على كرات سوداء فقط. في ظل هذه الظروف، سيكون ظهور كرة بيضاء حدثا مستحيلا. التعريف 4. العشوائي هو حدث يمكن أن يحدث، في ظل نفس الظروف، ولكن قد لا يحدث. مثال. قد تسقط العملة المعدنية بحيث يظهر شعار النبالة أو رقم على جانبها العلوي. هنا، يعد ظهور وجه أو آخر من العملة في الأعلى حدثًا عشوائيًا. التعريف 5. الاختبار عبارة عن مجموعة من الشروط أو الإجراءات التي يمكن تكرارها لعدد لا حصر له من المرات. مثال. إن رمي العملة هو اختبار، والنتيجة المحتملة، أي. يعد ظهور شعار النبالة أو الرقم على الجانب العلوي من العملة حدثًا. التعريف 6. إذا كانت الأحداث A i هي التي يمكن أن تحدث خلال اختبار معين فقط واحدة منها ولا توجد أحداث أخرى غير متضمنة في المجموع، فإن هذه الأحداث تسمى الأحداث الوحيدة الممكنة. مثال. تحتوي الجرة على كرات بيضاء وسوداء ولا تحتوي على غيرها. قد يتبين أن إحدى الكرات المأخوذة عشوائيًا بيضاء أو سوداء. هذه الأحداث هي الأحداث الوحيدة الممكنة، لأن يتم استبعاد ظهور كرة ذات لون مختلف أثناء هذا الاختبار. التعريف 7. يعتبر الحدثان A وB غير متوافقين إذا لم يمكن حدوثهما معًا أثناء اختبار معين. مثال. شعار النبالة والرقم هما الحدثان الوحيدان الممكنان وغير المتوافقين خلال رمية واحدة لعملة معدنية. التعريف 8. يسمى الحدثان A و B مشتركين (متوافقين) أثناء اختبار معين إذا كان وقوع أحدهما لا يستبعد إمكانية وقوع حدث آخر أثناء نفس الاختبار. مثال. من الممكن أن يظهر الرأس والرقم معًا في رمية واحدة لعملتين معدنيتين. التعريف 9. تسمى الأحداث A i بأنها ممكنة بشكل متساوٍ في اختبار معين إذا كان هناك سبب للاعتقاد، بسبب التناظر، بأن أياً من هذه الأحداث ليس أكثر احتمالاً من الأحداث الأخرى. مثال. إن ظهور أي وجه أثناء رمية نرد واحدة هو حدث محتمل بنفس القدر (شريطة أن يكون القالب مصنوعًا من مادة متجانسة وله شكل مسدس منتظم). التعريف 10. تسمى الأحداث مواتية (مواتية) لحدث معين إذا كان وقوع أحد هذه الأحداث يستلزم وقوع هذا الحدث. تسمى الحالات التي تستبعد حدوث حدث غير مواتية لهذا الحدث. مثال. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و7 كرات سوداء. عندما تأخذ كرة واحدة بشكل عشوائي، قد ينتهي بك الأمر مع كرة بيضاء أو سوداء في يديك. وفي هذه الحالة يفضل ظهور الكرة البيضاء بـ 5 حالات، وظهور الكرة السوداء بـ 7 حالات من إجمالي 12 حالة محتملة. التعريف 11. يتم استدعاء حدثين محتملين وغير متوافقين فقط مقابل بعضهما البعض. إذا تم تحديد أحد هذه الأحداث بـ A، فسيتم تحديد الحدث المعاكس بالرمز Ā. مثال. اضرب وأخطأ؛ الفوز والخسارة في تذكرة اليانصيب كلها أمثلة على الأحداث المعاكسة. التعريف 12. إذا، نتيجة لأي عملية جماعية تتكون من تجارب أو ملاحظات (اختبارات) فردية مماثلة، يظهر حدث عشوائي ما مرات م، فإن الرقم م يسمى تردد الحدث العشوائي، والنسبة م / ن ويسمى تردده. مثال. من بين أول 20 منتجًا خرجت من خط التجميع، كان هناك 3 منتجات غير قياسية (عيوب). هنا عدد الاختبارات ن = 20، تكرار العيوب م = 3، تكرار العيوب م / ن = 3/20 = 0.15. كل حدث عشوائي في ظل ظروف معينة له إمكانية موضوعية خاصة به للحدوث، وبالنسبة لبعض الأحداث يكون احتمال الحدوث أكبر، وبالنسبة للآخرين يكون أقل. ولمقارنة الأحداث مع بعضها البعض كمياً من حيث درجة احتمال حدوثها، يرتبط عدد حقيقي معين بكل حدث عشوائي، يعبر عن تقييم كمي لدرجة الاحتمال الموضوعي لحدوث هذا الحدث. ويسمى هذا الرقم احتمال الحدث. التعريف 13. إن احتمال وقوع حدث معين هو مقياس عددي للاحتمال الموضوعي لحدوث هذا الحدث. التعريف 14. (التعريف الكلاسيكي للاحتمال). احتمالية الحدث A هي نسبة عدد الحالات المواتية لحدوث هذا الحدث إلى عدد الحالات المحتملة، أي. ف(أ) = م/ن. مثال. تحتوي الجرة على 5 كرات بيضاء و7 كرات سوداء، ممزوجة جيدًا. ما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة عشوائيًا من الجرة بيضاء اللون؟ حل. في هذا الاختبار هناك 12 حالة محتملة فقط، منها 5 حالات تفضل ظهور الكرة البيضاء. وبالتالي فإن احتمال ظهور كرة بيضاء هو P = 5/12. التعريف 15. (التعريف الإحصائي للاحتمال). إذا لوحظ، مع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من المحاولات المتكررة فيما يتعلق ببعض الأحداث A، أن تكرار الحدث يتقلب حول عدد ثابت ما، فإن الحدث A له احتمال P(A)، يساوي تقريبًا التكرار، أي. ف(أ)~ م/ن. يُطلق على تكرار الحدث خلال عدد غير محدود من التجارب اسم الاحتمال الإحصائي. الخصائص الأساسية للاحتمال. 1 0 إذا كان الحدث A يستلزم الحدث B (A  B)، فإن احتمال الحدث A لا يتجاوز احتمال الحدث B. P(A)≥P(B) 2 0 إذا كان الحدثان A وB متكافئين (A  B، B  A، B=A)، فإن احتمالاتها تساوي P(A)=P(B). 3 0 لا يمكن أن يكون احتمال أي حدث A رقمًا سالبًا، أي. Р(А)≥0 4 0 احتمال وقوع حدث موثوق  يساوي 1. Р()=1. 5 0 احتمال وقوع حدث مستحيل  هو 0. Р(  )=0. 6 0 احتمال وقوع أي حدث عشوائي A يقع بين صفر وواحد 0<Р(А)<1 Основные формулы комбинаторики Определение 1 . Различные группы по m предметов, составленные из n однородных предметов ( m , n ), называются соединениями. Предметы, из которых составляют различные соединения, называют элементами. Существует 3 вида соединений: размещения, перестановки, сочетания. Определение 2. Размещениями по m элементов из данных n элементов ( m ≤ n ) называют такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо их порядком. Например, размещениями из трех предметов a , b и c по два будут следующие соединения: ab , ac , bc , ca , cb , ba . Число размещений из данных n элементов по m обозначают символом А n m = n ( n -1)( n -2)·....·( n - m +1). Пример. А 10 4 =10·9·8·7=5040. Определение 3. Перестановками из n элементов называют такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов. Р n =А n n = n ( n -1)( n -2)...·3·2·1= n ! По определению 0!=1. Пример. Р 5 =5!=1·2·3·4·5=120. Определение 4. Сочетаниями из n элементов по m называются также соединения, которые отличаются друг от друга, по меньшей мере, одним элементом и каждое из которых содержит m различных элементов: C n m === Пример. Найти число сочетаний из 10 элементов по четыре. Решение. C 10 4 ==210. Пример. Найти число сочетаний из 20 элементов по 17. Решение. ==1040. Теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема 1 . Вероятность наступления одного какого-либо события из двух несовместимых событий А и В равно сумме вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В ). Пример. В урне 5 красных, 7 синих и 8 белых шаров, перемешанных между собой. Какова вероятность того, что взятый наугад один шар окажется не красным? Решение. Не красный шар - это или белый или синий шары. Вероятность появления белого шара (событие А) равна Р(А)= 8/20 = 2/5. Вероятность появления синего шара (событие В) равна Р(В)= 7/20. Событие, состоящее в появлении не красного шара, означает появление или А или В, т.к. события А и В несовместимы, то применима теорема 1. Искомая вероятность будет равна Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=2/5+ +7/20=3/4. Теорема 2. Вероятность наступления одного из двух событий A или B равно сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )+ P ( AB ). Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события A и B называются независимыми друг от друга, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. Пусть A - событие, состоящее в появлении герба при первом бросании монеты, а B - событие, состоящее в появлении герба при втором бросании монеты, то события A и B не зависят друг от друга, т.е. результат первого бросания монеты не может изменить вероятность появления герба при втором бросании монеты. Определение 2. Два события A и B называются зависящими друг от друга, если вероятность одного из них зависит от наступления или ненаступления другого. Пример. В урне 8 белых и 7 красных шаров, перемешанных между собой. Событие A - появление белого шара, а событие B - появление красного шара. Будем брать из урны наугад два раза по одному шару, не возвращая их обратно. До начала испытания вероятность появления события A равна P ( A )=8/15, и вероятность события B равна P ( B )=7/15. Если предположить, что в первый раз был взят белый шар (событие A ), то вероятность появления события B при втором испытании будет P ( B )=7/14=1/2. Если в первый раз был взят красный шар, то вероятность появления красного шара при втором извлечении равна P ( B )=6/14=3/7. Определение 3. Вероятность события B , вычисленная в предположении, что перед этим наступило связанное с ним событие A , называется условной вероятностью события B и обозначается PA ( B ). Теорема 3 . Вероятность совместного наступления двух зависимых событий ( A и B ) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло, т.е. P ( AB )= P ( A )· P A ( B )= P ( B )· P B ( A ). Теорема 4. Вероятность совместного наступления нескольких зависимых событий равно произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленные в предположении, что все предыдущие события уже наступили: P(A 1 A 2 A 3 ...A k )=P(A 1 )·P A1 (A 2 )·P A1A2 ·P(A 3 )...·P A1A2…A k-1 (A k ) Теорема 5 . Вероятность совместного наступления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий P ( AB )= P ( A )· P ( B ). Теорема 6 . Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий A 1 , A 2 , ... A k равна произведению их вероятностей, т.е. P ( A 1 A 2 ... A k )= P ( A 1 )· P ( A 2 )·...· P ( A k ). Пример. Два стрелка делают одновременно по одному выстрелу в одну цель. Какова вероятность того, что оба попадут, если известно, что первый стрелок в среднем дает 7 попаданий, а второй 8 попаданий на каждые 10 выстрелов? Какова вероятность поражения мишени? Решение. Вероятность попадания первого стрелка (событие A ) равна P ( A )=0,8, вероятность попадания второго стрелка (событие B ) равна P ( B )=0,7. События A и B независимы друг от друга, поэтому вероятность совместного наступления этих событий (совместное попадание в цель) найдем по теореме умножения для независимых событий: P ( AB )= P ( A ) P ( B )=0,8·0,7=0,56. Вероятность поражения мишени означает попадание в мишень хотя бы одного стрелка. Так как попадание в мишень первого и второго стрелков являются событиями совместными, то применение теоремы сложения вероятностей для совместных событий дает следующий результат: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0,8+0,7- 0,8·0,7=0,94. 5.3.3. Формула полной вероятности Определение 4. Если при некотором испытании может произойти одно какое-либо событие из нескольких несовместных A 1 , A 2 ,..., A k , и при этом никаких других событий быть не может, но одно из указанных событий обязательно произойдет, то группу событий A 1 , A 2 ,..., A k называют полной группой событий. Теорема 7. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице: P ( A 1 )+ P ( A 2 )+...+ P ( A k )=1. Следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице: P ( A )+ P ( A )=1. Если вероятность одного события обозначим через p , вероятность противоположного ему события обозначим через q , тогда p + q =1. Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,94. Найти вероятность непопадания. Решение . Попадание в цель и непопадание являются противоположными событиями, поэтому, если p =0,94, то q =1- p =1-0,94=0,06. Теорема 8 . Если случайные события A 1 , A 2 ... A n образуют полную систему, и если событие B может осуществляться только совместно с каким-нибудь одним из этих событий, то вероятность наступления события B можно определить по формуле: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A n )P A n (B) Это равенство называется формулой полной вероятности . Пример. На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов, в том числе: 30% из I -го цеха, 45% из II цеха и 25% из III цеха. Среди изделий I цеха брак составляет 0,6%, по II цеху 0,4% и по III цеху-0,16%. Какова вероятность того, что взятое наугад для контроля одно изделие окажется с браком? Решение. Одно изделие может быть взято или из продукции I цеха (событие A 1 ), или из продукции II цеха (событие A 2 ), или из продукции III цеха (событие A 3 ). Вероятности этих событий будут: P ( A 1 )=0,30; P ( A 2 )=0,45; P ( A 3 )=0,25. Вероятность того, что изделие с браком (событие B ) будет взято из продукции I цеха, есть условная вероятность P A 1 ( B ). Она равна P A 1 ( B )=0,006. Вероятность того, что изделие с браком будет взято из продукции II цеха P A 2 ( B )=0,004 и из продукции III цеха P A 3 ( B )=0,0016. Теперь по формуле полной вероятности найдем вероятность того, что взятое наугад одно изделие будет с браком: P(B)=P(A 1 )P A1 (B)+P(A 2 )P A2 (B)+...+P(A 3 )P A3 (B) = 0,3·0,006+0,45·0,004+0,25·0,0016=0,004. Формула Бернулли Теорема 9. Пусть производится n независимых повторных испытаний по отношению к некоторому событию A . Пусть вероятность появления этого события в каждом отдельном испытании остается неизменно равной p , а вероятность появления противоположного события Ā, есть q . Тогда вероятность появления интересующего нас события A равно m раз при указанных n испытаниях рассчитывается по формуле Бернулли: P m , n = p m q n - m , так как, то P m , n = · p m · q n - m Пример. Коэффициент использования станка в среднем равен 0,8. В цехе имеется 5 станков. Какова вероятность того, что в некоторый момент времени окажутся работоспособными только 3 станка? Решение. Задача подходит под схему повторных испытаний и решается по формуле Бернулли: n =5, m =3, p =0,8 и q =1-0,8=0,2: P 3,5 = (0,8) 3 ·(0,2) 2 =0,2084. Асимптотическая формула Пуассона В статистической практике нередко встречаются такие примеры независимых испытаний, когда при большом числе n независимых испытаний вероятность Р появления события в каждом отдельном испытании оказывается сравнительно малой величиной, стремящейся к нулю с увеличением числа испытаний . При этих условиях для вычисления вероятности Р m , n появление события m раз в n испытаниях пользуются асимптотической формулой Пуассона : Р m,n ≈e -a , где a=np Пример. Доля брака всей продукции завода составляет 0,5%. Какова вероятность того, что в партии, состоящей из 400 изделий, окажется три изделия бракованных? Решение. В условии примера дано p =0,005, n =400, m =3, следовательно, a = np =400·0,005=2. Вероятность данного события найдем по формуле Пуассона Р m , n (3,400) = 0,1804. Случайные величины и их числовые характеристики Определение 1. Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта принимает одно значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Определение 2. Дискретной называется случайная величина, которая может принимать лишь отдельные, изолированные друг от друга значения. Случайная дискретная величина задается законом распределения, связывающим принимаемые ею значения x i и вероятности их принятия p i . Закон распределения чаще всего задается в табличной форме. Графическое представление закона распределения случайной дискретной величины – многоугольник распределения . Числовые характеристики дискретной случайной величины. 1) Математическое ожидание. Определение 3. Математическое ожидание случайной дискретной величины X с конечным числом значений называется сумма произведений возможных ее значений на их вероятности: M ( X ) = μ = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ x n p n = . Вероятности всех значений случайной дискретной величины удовлетворяют условию нормировки: Свойства математического ожидания. 1 0 Математическое ожидание постоянной (неслучайной) величины С равно самой постоянной M ( C )= C . 2 0 Математическое ожидание алгебраической суммы нескольких случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых M ( X 1 ± X 2 ±...± X n ) = M ( X 1 ) ± M ( X 2 ) ±…± M ( X n ). 3 0 Константу можно вынести за знак математического ожидания M ( CX )= CM ( X ). 4 0 Математическое ожидание произведения нескольких независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин: M ( X 1 X 2 ... X n ) = M ( X 1 ) M ( X 2 )... M ( X ) n . 2) Дисперсия дискретной случайной величины. Определение 4. Дисперсией случайной дискретной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания. D ( X ) = M {[ X - M ( X )] 2 } = , где M ( X ) = μ Для вычисления дисперсии более удобна формула: D ( X )= M ( X 2 )-[ M ( X )] 2 , т.е. дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата этой величины и квадратом ее математического ожидания. Свойства дисперсии. 1 0 Дисперсия постоянной величины равна нулю D (С) = 0. 2 0 Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D ( CX ) = C 2 D ( X ). 3 0 Дисперсия суммы нескольких независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D ( X 1 +...+ X n ) = D ( X 1 )+...+ D ( X n ). 4 0 Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин D ( X - Y )= D ( X )+ D ( Y ). 3). Среднее квадратическое отклонение Определение 5 . Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии σ ( X )=. Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения: Решение. Найдем математическое ожидание: M ( x )=1·0,3+2·0,5+5·0,2=2,3. Найдем все возможные значения квадрата отклонения. [ x 1 - M ( x )] 2 =(1-2,3) 2 =1,69 [ x 2 - M ( x )] 2 =(2-2,3) 2 =0,09 [ x 3 - M ( x )] 2 =(5-2,3) 2 =7,29 Напишем закон распределения квадрата отклонения Найдем дисперсию: D ( x )=1,69·0,3+0,09·0,5+7,29·0,2=2,01. Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Определение 6. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Определение 7. Интегральной функцией распределения называют функцию F ( x ), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше x , т.е. F ( x )= P ( X < x ). Свойства интегральной функции распределения 1 0 Значения интегральной функции распределения принадлежат отрезку 0≤ F ( x ) ≤1. 2 0 Функция распределения есть неубывающая функция. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X попадет в интервал ( a , b ), равна приращению ее интегральной функции распределения на этом интервале P ( a < x < b )= F ( b )- F ( a ). Следствие 2. Вероятность того, что случайная непрерывная величина X примет одно определенное значение равна нулю P ( X = x 1 )=0. 3 0 Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу ( a , b ), то F ( x )=0 при x ≤ a и F ( x )=1 при x ≥ a . Определение 8. Дифференциальной функцией распределения f ( x ) (или плотностью вероятности) называется производная от интегральной функции f ( x )= F "( x ). Интегральная функция является первообразной для дифференциальной функции, поэтому вероятность того, что случайная непрерывная величина x примет значение, принадлежащее интервалу ( a , b ), определяется равенством: P ( a < x < b )== F ( b )- F ( a )Зная дифференциальную функцию, можно найти функцию распределения: F ( x )= Свойства дифференциальной функции распределения 1 0 Дифференциальная функция распределения есть функция неотрицательная f ( x ) ≥0 2 0 Несобственный интеграл от дифференциальной функции распределения равен единице (условие нормировки): . 1) Математическое ожидание. Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X , возможные значения которой прина д лежат отрезку ( a , b ), называется опр е деленный интеграл: M ( X ) = , где f ( x )-плотность вероятности случайной величины X . 2) Дисперсия. Дисперсия непрерывной случайной величины X есть математическое ожидание квадрата отклонения зтой величины от ее математического жидания D(X) = M{ 2 }.Следовательно, если возможные значения случайной величины X принадлежат отрезку ( a ; b ), то D ( x )= или D ( x )= 3) Среднее квадратическое отклонение определяется так: σ ( x ) = Пример. Найти дисперсию случайной величины X , заданной интегральной функцией F ( x )= Решение. Найдем дифференциальную функцию: f ( x )= F ’ ( x )= Выислим математическое ожидание M ( x ) = . Найдем искомую дисперсию D ( x ) = = = 2/4=4/3. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X в заданный интервал Определение 9. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины X называется нормальным, если плотность вероятности описывается формулой: , где μ - математическое ожидание, σ - среднее квадратическое отклонение. Определение 10. Нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1 называется нормированным или стандартным. Плотность вероятности нормированного нормального распределения описывается следующей формулой: . Значения данной функции для неотрицательных значений затабулированы. В силу четности функции φ ( x ) значения для отрицательных чисел легко определить φ (- x )= φ ( x ). Пример. Математическое ожидание нормального распределенной случайной величины X равно μ =3 и среднее квадратическое отклонение σ =2. Написать дифференциальную функцию X . Решение. f ( x )= Если случайная величина X распределена по нормальному закону, то вероятность ее попадания в интервал ( a , b ) определяется следующим о б разом: P(aS2=DB= = وهو تقدير غير متحيز للتباين العام DG. ولتقدير الانحراف المعياري للسكان، يتم استخدام الانحراف المعياري "المصحح"، وهو يساوي الجذر التربيعي للتباين "المصحح". S= التعريف 14. يسمى فاصل الثقة (θ*-δ;θ*+δ)، والذي يغطي معلمة غير معروفة بموثوقية معينة γ. يتم التعبير عن فاصل الثقة لتقدير التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع انحراف معياري معروف σ بالصيغة: =2Ф(t)=γ حيث ε=tδ/ هي دقة التقدير. يتم تحديد الرقم t من المعادلة: 2Ф(t)=γ حسب جداول دالة لابلاس. مثال. المتغير العشوائي X له توزيع طبيعي مع انحراف معياري معروف σ=3. ابحث عن فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي غير المعروف μ باستخدام وسيلة العينة X، إذا كان حجم العينة n = 36 وتم إعطاء موثوقية التقدير γ = 0.95. حل. دعونا نجد t من العلاقة 2Ф(t)=0.95; Ф(ر)=0.475. ومن الجداول نجد t = 1.96. دعونا نجد دقة التقدير σ =tδ/=1.96·3/= 0.98. فاصل الثقة (x -0.98؛ x +0.98). يتم تحديد فترات الثقة لتقدير التوقع الرياضي للتوزيع الطبيعي مع مجهول σ باستخدام توزيع الطالب مع k=n-1 درجات الحرية: T=، حيث S هو الانحراف المعياري "المصحح"، n هو حجم العينة. من توزيع الطالب، يغطي فاصل الثقة المعلمة غير المعروفة μ بالموثوقية γ: أو، حيث tγ هو معامل الطالب الموجود من قيم γ (الموثوقية) و k (عدد درجات الحرية) من الجداول. مثال. يتم توزيع الخاصية الكمية X للسكان بشكل طبيعي. استنادًا إلى حجم العينة n = 16، تم العثور على متوسط ​​العينة xB = 20.2 وانحراف مربع "المتوسط ​​المصحح" S = 0.8. قم بتقدير التوقع الرياضي غير المعروف m باستخدام فاصل ثقة ذو موثوقية γ = 0.95. حل. من الجدول نجد: tγ = 2.13. دعونا نوجد حدود الثقة: =20.2-2.13·0.8=19.774 و=20.2+ +2.13·0.8/=20.626. لذا، مع موثوقية 0.95، تكون المعلمة غير المعروفة μ في الفاصل الزمني 19.774<μ <20,626. .Элементы теории корреляции Определение 1. Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. Определение 2. Если при изменении одной из величин изменяетсясреднее значение другой величины, то такая статистическая зависимость называется корреляционной. Пример. ПустьY-урожай зерна,X-количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный урожай, т.е.Y не является функциейX. Это объясняется влиянием случайных факторов (осадки, температура воздуха и т.д.) Вместе с тем средний урожай является функцией от количества удобрений, т.е.Y связан сX корреляционной зависимостью. Определение 3. Среднее арифметическое значение величиныY, вычисленное при условии, чтоX принимает фиксированное значение, называется условным средним и обозначается. Определение 4. Условным средним называют среднее арифметическое наблюдавшихся значенийx, соответствующихY=y. Можно составить таблицу, определяющую соответствие между значениямиxi и условными среднимиyxi, а затем в декартовой системе координат строят точкиM(xi;yxi) и соединяют их отрезками прямых. Полученная линия называется эмпирической линией регрессииY наX. Аналогично строится эмпирическая линия регрессииX наY. Если точкиMi(xi;yxi) иNi(xy;y) располагаются вдоль прямой, то линия регрессии называется линией прямой регрессии и операция "сглаживания" ломаной сводится к нахождению параметровa иb функцииy=ax+b. Из двух нормальных уравнений: находят коэффициентыa иb. ρxy=a== выборочный коэффициент регрессии признакаY наX. b== Уравнение прямой линии регрессии признакаY наX имеет вид: - =ρyx(x-). Проведя аналогичные расчеты, можно получить следующие математические выражения, характеризующие прямую регрессию признакаX наY:x=cy+d. ρyx=c= = - выборочный коэффициент регрессии признакаX наY. d= - свободный член уравнения. = - уравнение прямой линии регрессии признакаX наY. Показателем тесноты связи являетсякоэффициент корреляции, используемый только при линейной корреляции:r = =. Для решения задач удобна следующая формула: r == . В формуле для коэффициента корреляцииr = числитель дроби всегда меньше знаменателя, следовательно, коэффициент корреляции - всегда правильная дробь между нулем и единицей -1≤r≤+1. Положительное значениеr указывает на прямую связь между признаками; отрицательное - на обратную связь между ними. Данные для корреляционного анализа могут быть сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Рассмотрим пример. Пусть проведено наблюдение двух признаков (X иY) у 15 объектов. Составлена следующая таблица первичных данных: Упорядочим первичные данные, поместив их в таблицу: В первом столбце запишем в порядке возрастания значенияxi: 8,9,10,11, а во второй строке - в том же порядке значенияyi: 18,20,24,27,30. На пересечении строк и столбцов запишем число повторений одинаковых пар (xi;yi) в ряду наблюдений. Требуется установить и оценить зависимость случайной величиныY от величиныX, используя данные корреляционной таблицы. n = 15 - объем выборки Используем формулы для корреляционных расчетов. Уравнение регрессииX наY: xy=cy +d =ρxyy+d, где ρxy=. Величина коэффициента корреляцииr=± С учетом частотnx иny формулы регрессионного анализа несколько видоизменяется: ρxy=, где; ; ; ; . .Проверка статистических гипотез. Определение 1. Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Определение 2. Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезуH0. Определение 3. Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезуH1, которая противоречит нулевой. Определение 4. Статистическим критерием называют специально подобранную величину, распределение которой известно (хотя бы приближенно), которая используется для проверки статистической гипотезы. Определение 5. Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Определение 6. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу принимают. Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают. Определение 7. Критическими точками (границами)kkp называют точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы. Определение 8. Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенствомK>ككب، حيث ككب> 0. التعريف 9. اليد اليسرى هي المنطقة الحرجة التي تحددها عدم المساواة K ك2 حيث ك2>ك1. للعثور على المنطقة الحرجة، قم بتعيين مستوى الأهمية α وابحث عن النقاط الحرجة بناءً على العلاقات التالية: أ) للمنطقة الحرجة اليمنى P(K>kkp)=α؛ ب) للمنطقة الحرجة على الجانب الأيسر P (K<-kkp)=α; в) для двусторонней критической областиP(K>kkp)=α/2 و P(K<-kkp)=α/2. Пример. По двум независимым выборкам, объемы которыхn1=11 иn2=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейX иY, найдены исправленные выборочные дисперсииSx2=0,76;Sy2=0,38. При уровне зависимостиα=0,05 проверить нулевую гипотезуH0:Д(x)=Д(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе:H1:Д(x)>د (ص) الحل. لنجد نسبة التباين المصحح الكبير إلى التباين الأصغر: Fobs = =2. بما أن H1: D(x)>D(y)، فإن المنطقة الحرجة تكون أيمن. باستخدام الجدول، باستخدام α = 0.05 وأعداد درجات الحرية k1 = n1-1 = 10؛ k2 = n2-1 = 13، نجد النقطة الحرجة Fcr (0.05؛ 10.13) = 2.67. منذ فوبس. غسلت أمي الإطار

في نهاية العطلة الصيفية الطويلة، حان الوقت للعودة ببطء إلى الرياضيات العليا وفتح ملف Verdov الفارغ رسميًا لبدء إنشاء قسم جديد - . أعترف أن الأسطر الأولى ليست سهلة، لكن الخطوة الأولى هي نصف الطريق، لذلك أقترح على الجميع دراسة المقالة التمهيدية بعناية، وبعد ذلك سيكون إتقان الموضوع أسهل مرتين! أنا لا أبالغ على الإطلاق. …عشية الأول من سبتمبر القادم، أتذكر الصف الأول والتمهيدي…. تشكل الحروف مقاطع لفظية، والمقاطع تشكل كلمات، والكلمات تشكل جملًا قصيرة - غسلت أمي الإطار. يعد إتقان إحصائيات التداول والرياضيات أمرًا سهلاً مثل تعلم القراءة! ومع ذلك، لهذا تحتاج إلى معرفة المصطلحات والمفاهيم والتسميات الأساسية، بالإضافة إلى بعض القواعد المحددة التي هي موضوع هذا الدرس.

لكن أولاً، أرجو أن تتقبلوا تهنئتي ببداية (استمرار، إكمال، وضع علامة مناسبة) للعام الدراسي وقبول الهدية. أفضل هدية هي كتاب، وللعمل المستقل أوصي بالأدب التالي:

1) جمورمان ف. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

كتاب مدرسي أسطوري تمت إعادة طبعه بأكثر من عشر نسخ. إنه يتميز بالوضوح والعرض البسيط للغاية للمادة، والفصول الأولى متاحة بالكامل، على ما أعتقد، بالفعل للطلاب في الصفوف 6-7.

2) جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

كتاب حلول لنفس فلاديمير افيموفيتش مع أمثلة ومسائل مفصلة.

بالضرورةقم بتنزيل كلا الكتابين من الإنترنت أو احصل على نسخهما الورقية الأصلية! الإصدار من الستينيات والسبعينيات سيعمل أيضًا، وهو أفضل بالنسبة للدمى. على الرغم من أن عبارة "نظرية الاحتمالية للدمى" تبدو سخيفة إلى حد ما، لأن كل شيء تقريبًا يقتصر على العمليات الحسابية الأولية. لكنهم يتخطون في بعض الأماكن المشتقاتو التكاملات، ولكن هذا في الأماكن فقط.

سأحاول تحقيق نفس الوضوح في العرض، لكن يجب أن أحذر من أن الدورة التدريبية الخاصة بي تهدف إلى ذلك حل المشكلةويتم الاحتفاظ بالحسابات النظرية إلى الحد الأدنى. وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى نظرية مفصلة، ​​​​وإثباتات النظريات (نظريات-نظريات!)، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي. حسنا، من يريد تعلم كيفية حل المشاكلفي نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في أقصر وقت ممكناتبعني!

هذا يكفي للبدء =)

أثناء قراءتك للمقالات، من المستحسن أن تتعرف (على الأقل لفترة وجيزة) على المهام الإضافية للأنواع التي تم النظر فيها. على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العلياسيتم نشر ملفات PDF المقابلة مع أمثلة للحلول. كما سيتم تقديم مساعدة كبيرة IDZ 18.1 ريابوشكو(أبسط) و تم حل IDZ وفقًا لمجموعة Chudesenko(أكثر صعوبة).

1) كميةحدثين ويسمى الحدث وهو أنه سيحدث أوحدث أوحدث أوكلا الحدثين في نفس الوقت. وفي حال الأحداث غير متوافق، يختفي الخيار الأخير، أي أنه قد يحدث أوحدث أوحدث .

تنطبق القاعدة أيضًا على عدد أكبر من المصطلحات، على سبيل المثال، الحدث هو ما سيحدث واحد على الأقلمن الأحداث ، أ إذا كانت الأحداث غير متوافقة – ثم شيء واحد وشيء واحد فقطحدث من هذا المبلغ: أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث .

هناك الكثير من الأمثلة:

الأحداث (عند رمي النرد لن تظهر 5 نقاط) هي ما ستظهر أو 1, أو 2, أو 3, أو 4, أو 6 نقاط.

الحدث (سوف يسقط لا أكثرنقطتين) هو أن 1 سوف تظهر أو 2نقاط.

حدث (سيكون هناك عدد زوجي من النقاط) هو ما يظهر أو 2 أو 4 أو 6 نقاط.

الحدث هو أنه سيتم سحب بطاقة حمراء (قلب) من على سطح السفينة أوالدف) والحدث - أنه سيتم استخراج "الصورة" (جاك أوسيدة أوملِك أوبارِع).

الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو الحال مع الأحداث المشتركة:

الحدث هو أنه سيتم سحب النادي من على سطح السفينة أوسبعة أوسبعة من الأندية ووفقا للتعريف المذكور أعلاه، على الأقل شيئا- أو أي نادي أو أي سبعة أو "تقاطعهم" - سبعة أندية. من السهل حساب أن هذا الحدث يتوافق مع 12 نتيجة أولية (9 بطاقات نادي + 3 سبعات متبقية).

الحدث هو أن غدا في الساعة 12.00 سيأتي واحد على الأقل من الأحداث المشتركة القابلة للتلخيصوهي:

- أو سيكون هناك مطر فقط / عاصفة رعدية فقط / شمس فقط؛
- أو سيحدث فقط بعض الأحداث (مطر + عاصفة رعدية / مطر + شمس / عاصفة رعدية + شمس)؛
- أو ستظهر الأحداث الثلاثة في وقت واحد.

أي أن الحدث يتضمن 7 نتائج محتملة.

الركن الثاني من جبر الأحداث:

2) العملحدثين ونسمي حدثًا يتكون من حدوث هذه الأحداث معًا، وبعبارة أخرى، الضرب يعني أنه في بعض الظروف سيكون هناك وحدث ، وحدث . ينطبق بيان مماثل على عدد أكبر من الأحداث، على سبيل المثال، يشير العمل إلى أنه سيحدث في ظل ظروف معينة وحدث ، وحدث ، وحدث ، …، وحدث .

فكر في اختبار يتم فيه رمي قطعتين من العملات المعدنية والأحداث التالية:

- سوف تظهر الرؤوس على العملة الأولى؛
- العملة الأولى ستهبط على الرؤوس؛
- سوف تظهر الرؤوس على العملة الثانية؛
- العملة الثانية ستهبط على الرؤوس.

ثم:
وفي اليوم الثاني) سوف تظهر الرؤوس؛
– الحدث هو أنه على كلا العملاتتين (في الأول ووفي الثاني) سيكون رؤوسا؛
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس والعملة الثانية هي ذيول.
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر.

ومن السهل أن نرى تلك الأحداث غير متوافق (لأنه، على سبيل المثال، لا يمكن أن يسقط رأسين وذيلين في نفس الوقت)والشكل مجموعة كاملة ( منذ أخذها بعين الاعتبار الجميعالنتائج المحتملة لرمي قطعتين من النقود). دعونا نلخص هذه الأحداث : . كيفية تفسير هذا الإدخال؟ بسيط جدًا - الضرب يعني رابطًا منطقيًا و، والإضافة - أو. وهكذا يسهل قراءة المبلغ بلغة بشرية مفهومة: "سيظهر رأسان أورأسين أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى ذيول 2 أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر"

وكان هذا مثالا عندما في اختبار واحدهناك عدة أشياء متضمنة، في هذه الحالة عملتان معدنيتان. مخطط شائع آخر في المشاكل العملية هو إعادة الاختبار ، على سبيل المثال، عندما يتم رمي نفس حجر النرد ثلاث مرات متتالية. وللتوضيح، خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

- في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط؛
- في الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط؛
– في الرمية الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط.

ثم الحدث هو أنه في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط وفي الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط وفي اللفة الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط. من الواضح أنه في حالة المكعب سيكون هناك مجموعات (نتائج) أكثر بكثير مما لو كنا نرمي عملة معدنية.

...أفهم أنه ربما لا تكون الأمثلة التي يتم تحليلها مثيرة للاهتمام للغاية، ولكن هذه هي الأشياء التي غالبًا ما تتم مواجهتها في المشكلات ولا يوجد مفر منها. بالإضافة إلى عملة معدنية ومكعب ومجموعة من أوراق اللعب، وجرار بها كرات متعددة الألوان، والعديد من الأشخاص المجهولين الذين يطلقون النار على هدف، وعامل لا يكل يعمل باستمرار على طحن بعض التفاصيل في انتظارك =)

احتمالية وقوع الحدث

احتمالية وقوع الحدث هو المفهوم المركزي لنظرية الاحتمالات. ...شيء منطقي للغاية، ولكن كان علينا أن نبدأ من مكان ما =) هناك عدة طرق لتعريفه:

;
التعريف الهندسي للاحتمال ;
التعريف الإحصائي للاحتمال .

سأركز في هذه المقالة على التعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي يستخدم على نطاق واسع في المهام التعليمية.

التسميات. يُشار إلى احتمالية وقوع حدث معين بحرف لاتيني كبير، ويتم وضع الحدث نفسه بين قوسين، ليكون بمثابة نوع من الحجة. على سبيل المثال:

كما يتم استخدام الحرف الصغير على نطاق واسع للدلالة على الاحتمال. على وجه الخصوص، يمكنك التخلي عن التسميات المرهقة للأحداث واحتمالاتها لصالح النمط التالي::

- احتمال أن تؤدي رمية العملة إلى ظهور الصورة؛
- احتمال أن تؤدي رمية النرد إلى 5 نقاط؛
– احتمال سحب بطاقة بدلة النادي من على سطح السفينة.

يعد هذا الخيار شائعًا عند حل المشكلات العملية، لأنه يسمح لك بتقليل تسجيل الحل بشكل كبير. كما في الحالة الأولى، من الملائم استخدام الحروف المنخفضة/الحروف المرتفعة "الناطقة" هنا.

لقد خمن الجميع منذ فترة طويلة الأرقام التي كتبتها للتو أعلاه، والآن سنكتشف كيف تحولت:

التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

يسمى احتمال وقوع حدث ما في اختبار معين النسبة حيث:

- العدد الإجمالي للجميع ممكن على قدم المساواة, ابتدائينتائج هذا الاختبار، والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث;

- كمية ابتدائيالنتائج, مواتية حدث.

عند رمي عملة معدنية، يمكن أن تسقط الصورة أو الكتابة - وتتشكل هذه الأحداث مجموعة كاملةوبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج؛ وفي نفس الوقت كل واحد منهم ابتدائيو ممكن على قدم المساواة. يتم تفضيل الحدث بالنتيجة (الرؤوس). وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال: .

وبالمثل، نتيجة لرمي حجر النرد، قد تظهر نتائج أولية متساوية الإمكانية، وتشكل مجموعة كاملة، ويتم تفضيل الحدث بنتيجة واحدة (رمي الرقم خمسة). لهذا السبب: هذا غير مقبول (على الرغم من أنه لا يُمنع تقدير النسب المئوية في رأسك).

ومن المعتاد استخدام كسور الوحدة، ومن الواضح أن الاحتمال يمكن أن يختلف داخل . علاوة على ذلك، إذا كان الحدث مستحيل، لو - موثوق، وإذا، فنحن نتحدث عنه عشوائيحدث.

! إذا حصلت، أثناء حل أي مشكلة، على قيمة احتمالية أخرى، فابحث عن الخطأ!

في النهج الكلاسيكي لتحديد الاحتمالية، يتم الحصول على القيم المتطرفة (صفر وواحد) من خلال نفس المنطق تمامًا. اسمح بسحب كرة واحدة عشوائيًا من جرة معينة تحتوي على 10 كرات حمراء. خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

في تجربة واحدة، لن يحدث حدث منخفض الاحتمال.

ولهذا السبب لن تفوز بالجائزة الكبرى في اليانصيب إذا كان احتمال هذا الحدث، على سبيل المثال، 0.00000001. نعم، نعم، إنه أنت – مع التذكرة الوحيدة في تداول معين. ومع ذلك، فإن عددًا أكبر من التذاكر وعددًا أكبر من الرسومات لن يساعدك كثيرًا. ...عندما أخبر الآخرين عن هذا، أسمع دائمًا ردًا: "لكن هناك من يفوز". حسنًا، فلنقم بالتجربة التالية: يرجى شراء تذكرة لأي يانصيب اليوم أو غدًا (لا تتأخر!). وإذا فزت... حسنًا، على الأقل أكثر من 10 كيلوروبل، تأكد من التسجيل - سأشرح لك سبب حدوث ذلك. بالنسبة للنسبة طبعا =)=)

لكن لا داعي للحزن، لأن هناك مبدأ معاكسًا: إذا كان احتمال وقوع حدث ما قريبًا جدًا من الواحد، فإنه في تجربة واحدة سوف يحدث. شبه مؤكدسيحدث. لذلك، قبل القفز بالمظلة، لا داعي للخوف، بل على العكس، ابتسم! بعد كل شيء، يجب أن تنشأ ظروف رائعة لا يمكن تصورها تمامًا حتى تفشل المظلتان.

على الرغم من أن كل هذا شعر، لأنه اعتمادا على محتوى الحدث، فإن المبدأ الأول قد يكون مبهجا، والثاني - حزين؛ أو حتى كلاهما متوازيان.

ربما هذا يكفي الآن، في الصف مسائل الاحتمالية الكلاسيكيةسوف نحصل على أقصى استفادة من الصيغة. وفي الجزء الأخير من هذه المقالة، سنتناول نظرية مهمة:

مجموع احتمالات الأحداث التي تكون المجموعة الكاملة يساوي واحدًا. بشكل تقريبي، إذا كانت الأحداث تشكل مجموعة كاملة، فمع احتمال 100%، سيحدث أحدها. في أبسط الحالات، يتم تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال:

- نتيجة لرمي العملة المعدنية، سوف تظهر الرؤوس؛
– ستكون نتيجة رمي العملة المعدنية هي الرؤوس.

وفقا للنظرية:

ومن الواضح تمامًا أن هذه الأحداث ممكنة بنفس القدر واحتمالاتها واحدة .

نظرًا لتساوي الاحتمالات، غالبًا ما يتم استدعاء الأحداث الممكنة بشكل متساوٍ محتمل بنفس القدر . وهنا اعصار اللسان لتحديد درجة التسمم =)

مثال على المكعب: الأحداث متضادة إذن .

تعتبر النظرية قيد النظر ملائمة لأنها تتيح لك العثور بسرعة على احتمالية الحدث المعاكس. لذلك، إذا كان احتمال ظهور الرقم خمسة معروفًا، فمن السهل حساب احتمال عدم ظهوره:

وهذا أبسط بكثير من تلخيص احتمالات خمس نتائج أولية. بالمناسبة، بالنسبة للنتائج الأولية، هذه النظرية صحيحة أيضًا:
. على سبيل المثال، إذا كان احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف، فهو احتمال أن يخطئ.

! في نظرية الاحتمالات، من غير المرغوب فيه استخدام الحروف لأي أغراض أخرى.

تكريما ليوم المعرفة، لن أقوم بتعيين الواجبات المنزلية =)، ولكن من المهم جدا أن تتمكن من الإجابة على الأسئلة التالية:

- ما هي أنواع الأحداث الموجودة؟
- ما هي الصدفة والاحتمال المتساوي لحدث ما؟
– كيف تفهم مصطلحات توافق/عدم توافق الأحداث؟
– ما هي مجموعة كاملة من الأحداث، والأحداث المعاكسة؟
- ماذا يعني جمع وضرب الأحداث؟
– ما هو جوهر التعريف الكلاسيكي للاحتمال؟
- لماذا تعتبر نظرية جمع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة مفيدة؟

لا، لا تحتاج إلى حشر أي شيء، فهذه مجرد أساسيات نظرية الاحتمالات - وهو نوع من التمهيدي الذي سوف يتناسب بسرعة مع رأسك. ولكي يحدث هذا في أقرب وقت ممكن، أقترح عليك أن تتعرف على الدروس

لطلاب السنة الثانية جميع التخصصات

قسم الرياضيات العليا

الجزء التمهيدي

طلابي الأعزاء!

نلفت انتباهكم إلى محاضرة مراجعة (تمهيدية) للأستاذ N.Sh Kremer حول تخصص "نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي" لطلاب السنة الثانية في VZFEI.

تناقش المحاضرة المهامدراسة نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي في جامعة الاقتصاد و مكانهافي نظام تدريب الاقتصادي الحديث، يعتبر منظمة مستقليتم تقديم عمل الطلاب باستخدام نظام التدريب المعتمد على الكمبيوتر (CTS) والكتب المدرسية التقليدية نظرة عامة على الأحكام الرئيسيةهذا المقرر، بالإضافة إلى التوصيات المنهجية لدراسته.

من بين التخصصات الرياضية التي تدرس في إحدى جامعات الاقتصاد، تحتل نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي مكانة خاصة. أولا، هو الأساس النظري للتخصصات الإحصائية. ثانيا، يتم استخدام أساليب نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي بشكل مباشر في الدراسة المجاميع الجماعيةالظواهر المرصودة ومعالجة نتائج الملاحظة وتحديد أنماط الظواهر العشوائية. وأخيرا، نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي لها أهمية منهجية هامة في العملية المعرفيةعند تحديد النمط العام بحثتالعمليات، بمثابة منطقية أساسالاستدلال الاستقرائي الاستنباطي.

يجب أن يكون لدى كل طالب في السنة الثانية المجموعة (الحالة) التالية في تخصص "نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي":

1. محاضرة توجيهية عامةفي هذا الانضباط.

2. كتاب مدرسين.ش. كريمر "نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي" - م.: الوحدة - دانا، 2007 (سنسميها فيما يلي ببساطة "الكتاب المدرسي").

3. الدليل التربوي والمنهجي"نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي" / أد. ن.ش. كريمر. - م: كتاب الجامعة، 2005 (يشار إليه فيما يلي بـ "الدليل").

4. برنامج التدريب على الكمبيوتر COPR للانضباط (المشار إليه فيما يلي باسم "برنامج الكمبيوتر").

على موقع المعهد، في صفحة "موارد الشركة"، يتم نشر إصدارات إلكترونية من برنامج الكمبيوتر KOPR2 ومحاضرة توجيهية عامة ونسخة إلكترونية من الدليل. بالإضافة إلى ذلك، يتم عرض برنامج الكمبيوتر والدليل في قرص مضغوط - ذاكرة للقراءة فقط اه لطلاب السنة الثانية . لذلك، في "الشكل الورقي" يحتاج الطالب فقط إلى كتاب مدرسي.

دعونا نشرح الغرض من كل مادة من المواد التعليمية المدرجة في المجموعة (الحالة) المحددة.

في الكتاب المدرسييتم عرض الأحكام الرئيسية للمادة التعليمية للانضباط، موضحة بعدد كبير بما فيه الكفاية من المهام التي تم حلها.

في فوائديتم تقديم توصيات منهجية للدراسة المستقلة للمواد التعليمية، ويتم تسليط الضوء على أهم مفاهيم الدورة والمهام النموذجية، ويتم إعطاء أسئلة الاختبار للاختبار الذاتي في هذا التخصص، وخيارات الاختبارات المنزلية التي يجب على الطالب إكمالها، وكذلك المنهجية وتعطى تعليمات لتنفيذها.

برنامج كمبيوترتم تصميمه لتزويدك بأقصى قدر من المساعدة في إتقان الدورة التدريبية في الوضع حواربرنامج مع الطالب من أجل التعويض إلى أقصى حد عن افتقارك إلى التدريب في الفصل الدراسي والتواصل المناسب مع المعلم.

بالنسبة للطالب الذي يدرس من خلال نظام التعلم عن بعد، فإن الأهمية الأساسية والحاسمة هي تنظيم العمل المستقل.

عند البدء بدراسة هذا التخصص، اقرأ هذه المحاضرة العامة (التمهيدية) حتى النهاية. سيسمح لك ذلك بالحصول على فكرة عامة عن المفاهيم والأساليب الأساسية المستخدمة في دورة "نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي"، ومتطلبات مستوى تدريب طلاب VZFEI.

قبل دراسة كل موضوع اقرأ الإرشادات الخاصة بدراسة هذا الموضوع في الدليل.ستجد هنا قائمة بالأسئلة التعليمية حول هذا الموضوع التي ستدرسها؛ تعرف على المفاهيم والتعاريف والنظريات والمشكلات الأكثر أهمية التي يجب دراستها وإتقانها أولاً.

ثم انتقل إلى الدراسة المواد التعليمية الأساسيةوفقا للكتاب المدرسي وفقا للتوصيات المنهجية الواردة. ننصحك بتدوين الملاحظات في دفتر ملاحظات منفصل حول التعريفات الرئيسية وبيانات النظريات والرسوم البيانية لإثباتاتها والصيغ وحلول المشكلات النموذجية. يُنصح بكتابة الصيغ في جداول خاصة لكل جزء من الدورة: نظرية الاحتمالات والإحصائيات الرياضية. يساعد الاستخدام المنتظم للملاحظات، وخاصة جداول الصيغ، على حفظها.

فقط بعد الاطلاع على المواد التعليمية الأساسية لكل موضوع في الكتاب المدرسي، يمكنك الانتقال إلى دراسة هذا الموضوع باستخدام برنامج التدريب على الكمبيوتر (KOPR2).

انتبه إلى بنية برنامج الكمبيوتر لكل موضوع. بعد اسم الموضوع توجد قائمة بالأسئلة التعليمية الرئيسية للموضوع في الكتاب المدرسي، مع توضيح عدد الفقرات والصفحات التي تحتاج إلى دراسة. (تذكر أن قائمة هذه الأسئلة لكل موضوع موجودة أيضًا في الدليل).

بعد ذلك، يتم تقديم المواد المرجعية حول هذا الموضوع (أو في فقرات فردية من هذا الموضوع) في شكل موجز - التعريفات الأساسية والنظريات والخصائص والخصائص والصيغ وما إلى ذلك. أثناء دراسة موضوع ما، يمكنك أيضًا عرض أجزاء المواد المرجعية على الشاشة (حول هذا الموضوع أو المواضيع السابقة) المطلوبة في الوقت الحالي.

ثم يُعرض عليك مواد تدريبية وبالطبع المهام القياسية ( أمثلة)،الحل الذي يعتبر في الوضع حواربرامج مع الطالب. وتقتصر وظائف عدد من الأمثلة على عرض مراحل الحل الصحيح على الشاشة بناء على طلب الطالب. في الوقت نفسه، في عملية النظر في معظم الأمثلة، سيتم طرح أسئلة ذات طبيعة أو أخرى. يجب إدخال الإجابات على بعض الأسئلة باستخدام لوحة المفاتيح. الإجابة عددية،للآخرين - اختر الإجابة الصحيحة (أو الإجابات)من عدة مقترحة.

اعتمادا على الإجابة التي أدخلتها، يؤكد البرنامج صحتها أو يقترح، بعد قراءة التلميح الذي يحتوي على المبادئ النظرية اللازمة، المحاولة مرة أخرى لإعطاء الحل والإجابة الصحيحة. العديد من المهام لها حد لعدد محاولات الحل (إذا تم تجاوز هذا الحد، فسيتم عرض تقدم الحل الصحيح بالضرورة على الشاشة). هناك أيضًا أمثلة تزداد فيها كمية المعلومات الموجودة في التلميح مع تكرار محاولات الإجابة غير الناجحة.

بعد التعرف على المبادئ النظرية للمواد التعليمية والأمثلة، والتي يتم توفيرها مع تحليل مفصل للحل، يجب عليك إكمال تمارين ضبط النفس من أجل تعزيز مهاراتك في حل المشكلات النموذجية في كل موضوع. تحتوي مهام ضبط النفس أيضًا على عناصر الحوار مع الطالب. بعد الانتهاء من الحل يمكنك الاطلاع على الإجابة الصحيحة ومقارنتها مع الإجابة التي قدمتها.

في نهاية العمل على كل موضوع، يجب عليك إكمال مهام التحكم. لا يتم عرض الإجابات الصحيحة عليها، ويتم تسجيل إجاباتك على القرص الصلب لجهاز الكمبيوتر لمراجعتها لاحقًا من قبل المعلم الاستشاري (المدرس).

بعد دراسة المواضيع من 1 إلى 7، يجب عليك إكمال الاختبار المنزلي رقم 3، وبعد دراسة المواضيع من 8 إلى 11، الاختبار المنزلي رقم 4. وترد متغيرات هذه الاختبارات في الدليل (نسخته الإلكترونية). يجب أن يتطابق رقم الخيار الذي يتم تنفيذه مع الرقم الأخير من رقم ملفك الشخصي (دفتر العلامات، هوية الطالب). لكل اختبار، يجب عليك الخضوع لمقابلة، يجب عليك خلالها إثبات قدرتك على حل المشكلات ومعرفة المفاهيم الأساسية (التعاريف، والنظريات (بدون إثبات)، والصيغ، وما إلى ذلك) حول موضوع الاختبار. تنتهي دراسة الانضباط باختبار الدورة.

نظرية الاحتمالية هي علم رياضي يدرس أنماط الظواهر العشوائية.

يتكون التخصص المطروح للدراسة من قسمين "نظرية الاحتمالية" و"الإحصاء الرياضي".