614 قطرًا لشبه منحرف مستطيل. أقطار شبه منحرف. صيغ لإيجاد أقطار شبه منحرف

مرة أخرى مثلث فيثاغورس :))) إذا تم تحديد قطعة من القطر الكبير من القاعدة الكبيرة إلى نقطة التقاطع بـ x، فمن التشابه الواضح للمثلثات القائمة ذات الزوايا المتساوية يتبع ذلك.x/64 = 36/x، وبالتالي x = 48;48/64 = 3/ 4، وبالتالي فإن جميع المثلثات القائمة المكونة من قواعد وأقطار وضلع متعامد مع القاعدة تشبه المثلث الذي أضلاعه 3،4،5. الاستثناء الوحيد هو المثلث الذي يتكون من قطع من الأقطار وضلع مائل، لكننا لسنا مهتمين به :). (للتوضيح، تم تسمية أوجه التشابه المعنية بشكل مختلف الدوال المثلثيةالزوايا :) نحن نعرف بالفعل ظل الزاوية بين القطر الكبير والقاعدة الكبيرة، وهو يساوي 3/4، مما يعني أن جيب التمام هو 3/5، وجيب التمام هو 4/5 :)) يمكنك ذلك على الفور يكتب

الإجابات. القاعدة السفلية 80، وارتفاع شبه المنحرف 60، والعلوي 45. (36*5/4 = 45، 64*5/4 = 80، 100*3/5 = 60)

مهام مماثلة:

1. قاعدة المنشور مثلث طول ضلعه 2 سم والضلعان الآخران 3 سم وضلعه 4 سم ويصنع زاوية قياسها 45 مع مستوى القاعدة من مكعب متساوي.

2. قاعدة المنشور المائل عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع ضلعه أ؛ أحد الوجوه الجانبية متعامد مع مستوى القاعدة وهو عبارة عن معين، قطره الأصغر يساوي c. أوجد حجم المنشور.

3. في المنشور المائل، تكون القاعدة مثلثًا قائمًا، الوتر يساوي c، وزاوية حادة واحدة تساوي 30، والحافة الجانبية تساوي k وتصنع زاوية مقدارها 60 مع مستوى القاعدة حجم المنشور.

1. أوجد ضلع المربع إذا كان قطره 10 سم

2. في شبه منحرف متساوي الساقين، الزاوية المنفرجة 135 درجة، والقاعدة 4 سم، والارتفاع 2 سم، أوجد مساحة شبه المنحرف؟

3. ارتفاع شبه المنحرف أكبر بثلاث مرات من إحدى القاعدتين ولكن نصف ارتفاع الأخرى. أوجد قاعدتي شبه المنحرف والارتفاع إذا كانت مساحة شبه المنحرف 168 سم مربع؟

4. في المثلث ABC الزاوية A = عند الزاوية = 75 درجة. أوجد BC إذا كانت مساحة المثلث 36 سم مربع.

1. في شبه المنحرف ABCD مع الجانبين AB و CD، تتقاطع الأقطار عند النقطة O

أ) قارن بين مساحة المثلثين ABD و ACD

ب) قارن بين مساحة المثلثين ABO وCDO

ج) إثبات أن OA*OB=OC*OD

2. قاعدة المثلث المتساوي الساقين مرتبطة بالضلع بنسبة 4:3، والارتفاع المرسوم على القاعدة 30 سم. أوجد القطع التي يقسم إليها منصف الزاوية عند القاعدة هذا الارتفاع.

3. الخط AM مماس لدائرة، وAB هو وتر لهذه الدائرة. أثبت أن الزاوية MAB تقاس بنصف القوس AB الموجود داخل الزاوية MAB.

القطعة الواصلة بين منتصف أقطار شبه المنحرف تساوي نصف الفرق بين القاعدتين
المثلثات المكونة من قاعدتي شبه منحرف وأجزاء أقطارها حتى نقطة تقاطعها متشابهة
مثلثات مكونة من قطع أقطار شبه منحرف تقع جوانبها على الجوانب الجانبية لشبه المنحرف - متساوية في الحجم (لها نفس المساحة)
إذا قمت بمد جوانب شبه المنحرف نحو القاعدة الأصغر، فسوف تتقاطع عند نقطة واحدة مع الخط المستقيم الذي يصل بين منتصف القاعدتين
القطعة التي تصل بين قاعدتي شبه المنحرف وتمر بنقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف تقسم على هذه النقطة بنسبة تساوي نسبة أطوال قاعدتي شبه المنحرف
القطعة الموازية لقاعدتي شبه المنحرف والمرسومة من نقطة تقاطع الأقطار تقسم إلى نصفين بهذه النقطة، وطولها يساوي 2ab/(a + b)، حيث a وb هما قاعدتا المثلث شبه منحرف

خصائص القطعة التي تربط منتصف أقطار شبه المنحرف

دعونا نربط نقاط المنتصف لأقطار شبه المنحرف ABCD، ونتيجة لذلك سيكون لدينا قطعة LM.
قطعة تصل بين منتصف قطري شبه المنحرف تقع على خط الوسط شبه المنحرف.

هذا الجزء موازية لقواعد شبه منحرف.

طول القطعة التي تصل بين منتصف قطري شبه المنحرف يساوي نصف الفرق بين قاعدتيه.

LM = (م - قبل الميلاد)/2
أو
LM = (أ-ب)/2

خواص المثلثات التي تتكون من أقطار شبه المنحرف

المثلثات التي تتكون من قواعد شبه منحرف ونقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف - متشابهة.
المثلثان BOC وAOD متشابهان. بما أن الزاويتين BOC وAOD عموديتان، فإنهما متساويتان.
الزاويتان OCB وOAD هما زاويتان داخليتان تقعان بالعرض مع خطين متوازيين AD وBC (قاعدتا شبه المنحرف متوازيتان مع بعضهما البعض) وخط قاطع AC، وبالتالي فهما متساويان.
الزاويتان OBC وODA متساويتان لنفس السبب (العرض الداخلي).

بما أن الزوايا الثلاث لمثلث واحد تساوي الزوايا المقابلة لمثلث آخر، فإن هذه المثلثات متشابهة.

ماذا يتبع من هذا؟

لحل المسائل في الهندسة، يتم استخدام تشابه المثلثات على النحو التالي. إذا عرفنا طولي عنصرين متناظرين في مثلثات متشابهة، فإننا نجد معامل التشابه (نقسم الواحد على الآخر). من حيث ترتبط أطوال جميع العناصر الأخرى ببعضها البعض بنفس القيمة بالضبط.

خصائص المثلثات الواقعة على الجانب الجانبي وأقطار شبه المنحرف

خذ بعين الاعتبار مثلثين يقعان على الجوانب الجانبية لشبه المنحرف AB وCD. هذه هي المثلثات AOB و COD. على الرغم من أن أحجام الجوانب الفردية لهذه المثلثات قد تكون مختلفة تماما، ولكن مساحات المثلثات المتكونة من الأضلاع الجانبية ونقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف متساويةأي أن المثلثين متساويان في الحجم.

إذا قمنا بمد جوانب شبه المنحرف نحو القاعدة الأصغر، فستكون نقطة تقاطع الجوانب يتزامن مع خط مستقيم يمر بمنتصف القواعد.

وبالتالي، يمكن توسيع أي شبه منحرف إلى مثلث. في هذه الحالة:

المثلثات المكونة من قاعدتي شبه منحرف ذو قمة مشتركة عند نقطة تقاطع أضلاعه الممتدة متشابهة
الخط المستقيم الذي يصل بين منتصف قاعدتي شبه المنحرف هو في نفس الوقت متوسط المثلث المبني

خصائص القطعة التي تصل بين قاعدتي شبه المنحرف

إذا رسمنا قطعة تقع نهاياتها على قاعدتي شبه منحرف، والتي تقع عند نقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف (KN)، فإن نسبة الأجزاء المكونة لها من جانب القاعدة إلى نقطة التقاطع من الأقطار (KO/ON) ستكون مساوية لنسبة قواعد شبه المنحرف(قبل الميلاد/م).

كو/ON = قبل الميلاد/م

تأتي هذه الخاصية من تشابه المثلثات المقابلة (انظر أعلاه).

خواص القطعة الموازية لقاعدة شبه المنحرف

إذا رسمنا قطعة مستقيمة موازية لقاعدتي شبه المنحرف، وتمر بنقطة تقاطع قطري شبه المنحرف، فإنها ستتمتع بالخصائص التالية:

المسافة المحددة (كم) مقسمة إلى نقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف
طول القسمالمرور بنقطة تقاطع أقطار شبه المنحرف ومتوازية مع القواعد يساوي كم = 2أب/(أ + ب)

صيغ لإيجاد أقطار شبه منحرف

أ، ب- قواعد شبه منحرف

ج، د- جوانب شبه منحرف

د1 د2- أقطار شبه منحرف

α β - زوايا ذات قاعدة شبه منحرف أكبر

صيغ لإيجاد أقطار شبه المنحرف من خلال القواعد والجوانب والزوايا عند القاعدة

تعكس المجموعة الأولى من الصيغ (1-3) إحدى الخصائص الرئيسية للأقطار شبه المنحرفة:

1. مجموع مربعات أقطار شبه المنحرف يساوي مجموع مربعات الجوانب بالإضافة إلى ضعف ناتج قاعدتيه. يمكن إثبات خاصية الأقطار شبه المنحرفة هذه كنظرية منفصلة

2 . يتم الحصول على هذه الصيغة عن طريق تحويل الصيغة السابقة. يتم طرح مربع القطر الثاني من خلال علامة المساواة، وبعد ذلك يتم استخراج الجذر التربيعي من الجانبين الأيسر والأيمن للتعبير.

3 . هذه الصيغة لإيجاد طول قطر شبه المنحرف تشبه الصيغة السابقة، مع اختلاف ترك قطر آخر على الجانب الأيسر من التعبير

المجموعة التالية من الصيغ (4-5) متشابهة في المعنى وتعبر عن علاقة مماثلة.

تتيح لك مجموعة الصيغ (6-7) العثور على قطر شبه المنحرف إذا كانت القاعدة الأكبر لشبه المنحرف وجانب واحد والزاوية عند القاعدة معروفة.

صيغ لإيجاد أقطار شبه المنحرف من خلال الارتفاع

ملحوظة. يقدم هذا الدرس حلولًا للمسائل الهندسية المتعلقة بأشباه المنحرف. إذا لم تجد حلاً لمشكلة هندسية من النوع الذي تهتم به، فاطرح سؤالاً في المنتدى.

مهمة.
يتقاطع قطرا شبه المنحرف ABCD (AD | | BC) عند النقطة O. أوجد طول قاعدة شبه المنحرف BC إذا كانت القاعدة AD = 24 سم، والطول AO = 9 سم، والطول OS = 6 سم.

حل.
إن حل هذه المشكلة مطابق تمامًا من الناحية الأيديولوجية للمشاكل السابقة.

المثلثان AOD وBOC متشابهان في ثلاث زوايا - AOD وBOC رأسيان، والزوايا المتبقية متساوية في الاتجاه الزوجي، حيث أنها تتشكل من تقاطع خط واحد وخطين متوازيين.

وبما أن المثلثات متشابهة، فإن جميع أبعادها الهندسية مرتبطة ببعضها البعض، تماماً مثل الأبعاد الهندسية للقطعة AO وOC المعروفة لدينا حسب ظروف المشكلة. إنه

AO/OC = AD/BC
9 / 6 = 24 / ق
ق = 24 * 6 / 9 = 16

إجابة: 16 سم

مهمة .
في شبه المنحرف ABCD من المعروف أن AD=24، BC=8، AC=13، BD=5√17. أوجد مساحة شبه المنحرف.

حل .
لإيجاد ارتفاع شبه المنحرف من رؤوس القاعدة الأصغر B وC، نخفض ارتفاعين إلى القاعدة الأكبر. بما أن شبه المنحرف غير متساوي، فإننا نشير إلى الطول AM = a، الطول KD = b ( لا ينبغي الخلط بينه وبين التدوين الموجود في الصيغةإيجاد مساحة شبه منحرف). بما أن قاعدتي شبه المنحرف متوازيتان، وقمنا بإسقاط ارتفاعين متعامدين على القاعدة الأكبر، فإن MBCK مستطيل.

وسائل
م = ص + قبل الميلاد + دينار كويتي
أ + 8 + ب = 24
أ = 16 - ب

المثلثان DBM وACK مستطيلان، لذا تتشكل زواياهما القائمة من ارتفاعات شبه المنحرف. دعونا نشير إلى ارتفاع شبه المنحرف بـ h. ثم بنظرية فيثاغورس

ح 2 + (24 - أ) 2 = (5√17) 2
و
ح 2 + (24 - ب) 2 = 13 2

ولنأخذ في الاعتبار أن أ = 16 - ب، ثم في المعادلة الأولى
ح 2 + (24 - 16 + ب) 2 = 425
ح 2 = 425 - (8 + ب) 2

لنعوض بقيمة مربع الارتفاع في المعادلة الثانية التي تم الحصول عليها باستخدام نظرية فيثاغورس. نحصل على:
425 - (8 + ب) 2 + (24 - ب) 2 = 169
-(64 + 16ب + ب) 2 + (24 - ب) 2 = -256
-64 - 16 ب - ب 2 + 576 - 48 ب + ب 2 = -256
-64ب = -768
ب = 12

إذن دينار كويتي = 12
أين
ح 2 = 425 - (8 + ب) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
ح = 5

أوجد مساحة شبه المنحرف من خلال ارتفاعه ونصف مجموع قواعده
، حيث أ ب - قاعدة شبه المنحرف، ح - ارتفاع شبه المنحرف
ق = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 سم2

إجابة: مساحة شبه المنحرف 80سم2.

إذا كانت الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدة، فإن المادة النظرية التالية ستكون مفيدة في حل المشكلة.

1. إذا كانت الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدة، فإن ارتفاع شبه المنحرف يساوي نصف مجموع القاعدتين.

دعونا نرسم خط CF موازيًا لـ BD عبر النقطة C ونمد الخط AD حتى يتقاطع مع CF.

الرباعي BCFD هو متوازي أضلاع (BC∥ DF كقاعدة شبه منحرف، BD∥ CF من خلال البناء). إذن CF=BD، DF=BC وAF=AD+BC.

المثلث ACF قائم الزاوية (إذا كان الخط عموديًا على أحد الخطين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الخط الآخر). نظرًا لأن الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متساوية، وCF = BD، فإن CF = AC، أي أن المثلث ACF متساوي الساقين وقاعدته AF. وهذا يعني أن ارتفاعه CN هو أيضًا المتوسط. وبما أن متوسط المثلث القائم الزاوية المرسوم على الوتر يساوي نصفه، إذن

ما هو في منظر عاميمكن كتابتها كما

حيث h هو ارتفاع شبه المنحرف، وa وb هما قاعدتاه.

2. إذا كانت الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدة، فإن ارتفاعه يساوي خط المنتصف.

وبما أن خط المنتصف لشبه المنحرف m يساوي نصف مجموع القواعد، إذن

3. إذا كانت الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين متعامدة، فإن مساحة شبه المنحرف تساوي مربع ارتفاع شبه المنحرف (أو مربع نصف مجموع القواعد، أو مربع خط الوسط) .

حيث تم العثور على مساحة شبه منحرف بواسطة الصيغة