كيفية حل 1 حد رائع. الأول والثاني حدود رائعة. استمرارية الدالة استمرارية الدالة عند نقطة ما

عادة ما يتم كتابة الحد الملحوظ الثاني بهذا الشكل:

\begin(المعادلة) \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e\end(المعادلة)

الرقم $e$ المشار إليه على الجانب الأيمن من المساواة (1) غير منطقي. القيمة التقريبية لهذا الرقم هي: $e\approx(2(,)718281828459045)$. إذا قمنا بالاستبدال $t=\frac(1)(x)$، فيمكن إعادة كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:

\begin(المعادلة) \lim_(t\to(0))\biggl(1+t\biggr)^(\frac(1)(t))=e\end(المعادلة)

كما هو الحال مع الحد الملحوظ الأول، لا يهم أي تعبير يقف بدلاً من المتغير $x$ في الصيغة (1) أو بدلاً من المتغير $t$ في الصيغة (2). الشيء الرئيسي هو استيفاء شرطين:

1. قاعدة الدرجة (أي التعبير بين قوسين من الصيغ (1) و (2)) يجب أن تميل إلى الوحدة؛
2. يجب أن يميل الأس (أي $x$ في الصيغة (1) أو $\frac(1)(t)$ في الصيغة (2)) إلى ما لا نهاية.

يقال إن الحد الملحوظ الثاني يكشف عن عدم اليقين البالغ $1^\infty$. يرجى ملاحظة أننا في الصيغة (1) لا نحدد اللانهاية ($+\infty$ أو $-\infty$) التي نتحدث عنها. في أي من هذه الحالات، الصيغة (1) صحيحة. في الصيغة (2)، يمكن أن يميل المتغير $t$ إلى الصفر على اليسار وعلى اليمين.

وألاحظ أن هناك أيضًا العديد من النتائج المفيدة من الحد الثاني الملحوظ. تحظى أمثلة استخدام الحد الملحوظ الثاني، بالإضافة إلى عواقبه، بشعبية كبيرة بين جامعي الحسابات والاختبارات القياسية القياسية.

المثال رقم 1

احسب الحد $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7)$.

دعونا نلاحظ على الفور أن قاعدة الدرجة (أي $\frac(3x+1)(3x-5)$) تميل إلى الوحدة:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(3x+1)(3x-5)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(3+\frac(1)(x))(3-\frac(5)(x)) =\frac(3+0)(3-0) = 1. $$

في هذه الحالة، الأس (التعبير $4x+7$) يميل إلى ما لا نهاية، أي. $\lim_(x\to\infty)(4x+7)=\infty$.

قاعدة الدرجة تميل إلى الوحدة، والأس يميل إلى ما لا نهاية، أي. نحن نتعامل مع عدم اليقين $1^\infty$. دعونا نطبق صيغة للكشف عن عدم اليقين هذا. في قاعدة قوة الصيغة يوجد التعبير $1+\frac(1)(x)$، وفي المثال الذي ندرسه، قاعدة القوة هي: $\frac(3x+1)(3x- 5)$. لذلك، سيكون الإجراء الأول هو التعديل الرسمي للتعبير $\frac(3x+1)(3x-5)$ إلى النموذج $1+\frac(1)(x)$. أولاً، قم بإضافة وطرح واحد:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(3x+1)(3x-5)\right)^(4x+7) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) $$

يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك ببساطة إضافة وحدة. إذا اضطررنا إلى إضافة واحد، فعلينا أيضًا طرحه حتى لا نغير قيمة التعبير بأكمله. لمواصلة الحل نأخذ ذلك بعين الاعتبار

$$ \frac(3x+1)(3x-5)-1 =\frac(3x+1)(3x-5)-\frac(3x-5)(3x-5) =\frac(3x+1-) 3x+5)(3x-5) =\frac(6)(3x-5). $$

بما أن $\frac(3x+1)(3x-5)-1=\frac(6)(3x-5)$، إذن:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(3x+1)(3x-5)-1\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\ اليسار (1+\فارك(6)(3x-5)\يمين)^(4x+7) $$

دعونا نواصل التعديل. في التعبير $1+\frac(1)(x)$ الخاص بالصيغة، بسط الكسر هو 1، وفي التعبير $1+\frac(6)(3x-5)$ البسط هو $6$. للحصول على $1$ في البسط، قم بإسقاط $6$ في المقام باستخدام التحويل التالي:

$$ 1+\frac(6)(3x-5) =1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6)) $$

هكذا،

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(6)(3x-5)\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\infty)\left(1+ \frac(1)(\frac(3x-5)(6))\يمين)^(4x+7) $$

إذن أساس الدرجة أي. $1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))$، تم تعديله إلى النموذج $1+\frac(1)(x)$ المطلوب في الصيغة. الآن لنبدأ العمل مع الأس. لاحظ أن التعبيرات الموجودة في الأسس والمقام هي نفسها في الصيغة:

وهذا يعني أنه في مثالنا، يجب جعل الأس والمقام بنفس الصورة. للحصول على التعبير $\frac(3x-5)(6)$ في الأس، نقوم ببساطة بضرب الأس في هذا الكسر. بطبيعة الحال، للتعويض عن مثل هذا الضرب، سيتعين عليك الضرب على الفور بالكسر المتبادل، أي. بواسطة $\frac(6)(3x-5)$. لذلك لدينا:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(4x+7) =\lim_(x\to\ infty)\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\frac(3x-5)(6)\cdot\frac(6)(3x-5) )\cdot(4x+7)) =\lim_(x\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(3x-5)(6))\right)^(\ فارك (3x-5)(6))\يمين)^(\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)) $$

دعونا نفكر بشكل منفصل في نهاية الكسر $\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5)$ الموجود في القوة:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot(4x+7))(3x-5) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(6\cdot\left(4+\frac(7)(x)\right))(3-\frac(5)(x)) =6\cdot\ فارك(4)(3) =8. $$

إجابة: $\lim_(x\to(0))\biggl(\cos(2x)\biggr)^(\frac(1)(\sin^2(3x)))=e^(-\frac(2) (9))$.

المثال رقم 4

أوجد النهاية $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)$.

بما أن $x>0$ لدينا $\ln(x+1)-\ln(x)=\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)$، إذن:

$$ \lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\ يسار(\frac(x+1)(x)\يمين)\يمين) $$

بتوسيع الكسر $\frac(x+1)(x)$ إلى مجموع الكسور $\frac(x+1)(x)=1+\frac(1)(x)$ نحصل على:

$$ \lim_(x\to+\infty)\left(x\cdot\ln\left(\frac(x+1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left (x\cdot\ln\left(1+\frac(1)(x)\right)\right) =\lim_(x\to+\infty)\left(\ln\left(\frac(x+1) (x)\يمين)^x\يمين) =\ln(e) =1. $$

إجابة: $\lim_(x\to+\infty)x\left(\ln(x+1)-\ln(x)\right)=1$.

المثال رقم 5

أوجد النهاية $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))$.

بما أن $\lim_(x\to(2))(3x-5)=6-5=1$ و $\lim_(x\to(2))\frac(2x)(x^2-4)= \ infty$، فإننا نتعامل مع عدم اليقين من النموذج $1^\infty$. وترد تفسيرات مفصلة في المثال رقم 2، ولكن هنا سنقتصر على حل موجز. بإجراء الاستبدال $t=x-2$، نحصل على:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(محاذاة)&t=x-2 ;\;x=t+2\\&t\to(0)\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to(0))\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(2t+4)(t^2+4t))=\\ =\lim_(t\to(0) )\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t)\cdot 3t\cdot\frac(2t+4)(t^2+4t)) =\lim_(t\to(0) )\left(\biggl(1+3t\biggr)^(\frac(1)(3t))\right)^(\frac(6\cdot(t+2))(t+4)) =e^ 3. $$

يمكنك حل هذا المثال بطريقة مختلفة باستخدام الاستبدال: $t=\frac(1)(x-2)$. وبطبيعة الحال، سيكون الجواب هو نفسه:

$$ \lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4)) =\left|\begin(محاذاة)&t=\frac( 1)(x-2);\;x=\frac(2t+1)(t)\\&t\to\infty\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to\infty)\left(1+\frac(3)(t)\right)^(t\cdot\frac(4t+2)(4t+1))=\\ =\lim_ (t\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(t)(3))\right)^(\frac(t)(3)\cdot\frac(3)(t) \cdot\frac(t\cdot(4t+2))(4t+1)) =\lim_(t\to\infty)\left(\left(1+\frac(1)(\frac(t)( 3))\يمين)^(\frac(t)(3))\يمين)^(\frac(6\cdot(2t+1))(4t+1)) =e^3. $$

إجابة: $\lim_(x\to(2))\biggl(3x-5\biggr)^(\frac(2x)(x^2-4))=e^3$.

المثال رقم 6

أوجد النهاية $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) $.

دعنا نكتشف ما يميل إليه التعبير $\frac(2x^2+3)(2x^2-4)$ في ظل الشرط $x\to\infty$:

$$ \lim_(x\to\infty)\frac(2x^2+3)(2x^2-4) =\left|\frac(\infty)(\infty)\right| =\lim_(x\to\infty)\frac(2+\frac(3)(x^2))(2-\frac(4)(x^2)) =\frac(2+0)(2 -0)=1. $$

وبالتالي، فإننا في نهاية معينة نتعامل مع حالة عدم يقين على الشكل $1^\infty$، والتي سنكشف عنها باستخدام الحد الملحوظ الثاني:

$$ \lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x) =|1^\infty| =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(2x^2+3)(2x^2-4)-1\right)^(3x)=\\ =\lim_(x\to) \infty)\left(1+\frac(7)(2x^2-4)\right)^(3x) =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac (2x^2-4)(7))\يمين)^(3x)=\\ =\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4) )(7))\يمين)^(\frac(2x^2-4)(7)\cdot\frac(7)(2x^2-4)\cdot 3x) =\lim_(x\to\infty) \left(\left(1+\frac(1)(\frac(2x^2-4)(7))\right)^(\frac(2x^2-4)(7))\يمين)^( \frac(21x)(2x^2-4)) =e^0 =1. $$

إجابة: $\lim_(x\to\infty)\left(\frac(2x^2+3)(2x^2-4)\right)^(3x)=1$.

أول حد ملحوظ. إن اشتقاق الحد الملحوظ الأول أمر مثير للاهتمام من وجهة نظر تطبيق نظرية النهايات، ولذلك نقدمه لك في مجمله تقريبًا. دعونا نفكر في سلوك الوظيفة في . للقيام بذلك، فكر في دائرة نصف قطرها 1؛ دعونا نشيرالزاوية المركزية مذكرة التفاهم عبر X .

، بينما< площадь сектора МОА < площадьDСОА (см. рис. 1).

ثم بوضوح منطقة DMOA

S D وزارة الزراعة =
=
S MOA =

S D C الزراعة العضوية =

وبالعودة إلى المتباينة المذكورة ومضاعفتها نحصل على: خطيئة < خطيئة < س خطيئة.

tg خطيئة:
بعد القسمة على مصطلح الخطيئة

أو
لأن ، ثم المتغير

-يتم التوصل إليه بين كميتين لهما نفس الحد، أي. ، بناءً على نظرية نهاية الدالة الوسيطة للفقرة السابقة، لدينا: .

أول حد رائعمثال.

احسب حدود الدوال باستخدام الحد الملحوظ الأول: 1) 1, 2) 0, 3)

إجابة.يمارس:

احسب نهاية الدالة باستخدام الحد الملحوظ الأول:

الجواب: -2.

الحد الثاني الرائع. ولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العدد:

ه تعريف.
في
الحد المتغيرولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العدد :

اتصل برقم

- الحد الثاني الرائع ولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العددرقم

- عدد غير نسبي. عادةً ما يتم تقريب قيمته إلى عشرة منازل عشرية حقيقية إلى منزلة عشرية حقيقية واحدة:ه

= 2.7182818284..."2.7.
نظرية. وظيفةمذكرة التفاهم عبر فيولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العدد :

أول حد رائعتميل إلى اللانهاية، تميل إلى الحد الأقصى

حساب حدود الوظائف:

حل.

ووفقاً لخصائص النهايات فإن نهاية الدرجة تساوي درجة النهاية، أي:

احسب حدود الدوال باستخدام الحد الملحوظ الأول: 1)ولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العدد 3 , 2)علاوة على ذلك، يمكن إثبات ذلك بطريقة مماثلة 2 , 3)ولاشتقاق النهاية الملحوظة الثانية نقدم تعريف العدد 4 .

هيمارس.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

احسب نهاية الدالة باستخدام الحد الملحوظ الثاني: عن

الجواب: ه -5

ه استمرارية الدالة استمرارية الدالة عند نقطة ماوظيفة ( خطيئة ), خطيئة Î ( و ; أ ) خطيئة ب Î ( و ; أ ), ياوظيفة ( خطيئة ) إذا كان الحد من الوظيفةمذكرة التفاهم عبر ب موجودة وتساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة:

.

ووفقا لهذا التعريف فإن استمرارية الوظيفة وظيفة(خطيئة) عند هذه النقطة مذكرة التفاهم عبر بيعني استيفاء الشروط التالية:

وظيفة وظيفة(خطيئة) يجب أن تحدد عند هذه النقطة مذكرة التفاهم عبر ب ;

وظيفة ذ وظيفة(خطيئة) يجب أن يكون هناك حد عند هذه النقطة مذكرة التفاهم عبر ب ;

حد الوظيفة وظيفة(خطيئة) عند هذه النقطة مذكرة التفاهم عبر بيجب أن تتطابق مع قيمة الدالة في هذه المرحلة.

أول حد رائع

وظيفة وظيفة(خطيئة) = خطيئة 2 محددة على خط الأعداد بأكمله ومستمرة عند نقطة ما مذكرة التفاهم عبر= 1 لأن وظيفة( 1) = 1 و

استمرارية الدالة في المجموعة

ه استمرارية الدالة استمرارية الدالة عند نقطة ماو (خ)، يسمى المستمر على الفاصل الزمني(أ، ب)، إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه الفترة.

إذا كانت الدالة متصلة عند نقطة ما، فإن هذه النقطة تسمى نقطة استمرارية هذه الدالة. في الحالات التي تكون فيها نهاية الدالة عند نقطة معينة غير موجودة أو أن قيمتها لا تتطابق مع قيمة الدالة عند نقطة معينة، فإن الدالة تسمى متقطعة عند هذه النقطة، وتسمى النقطة نفسها متقطعة نقطة الوظيفة و (خ).

خصائص الدوال المستمرة.

1) مجموع عدد محدود من الدوال المتصلة عند نقطة ما أ،

2) حاصل ضرب عدد محدود من الدوال المتصلة عند نقطة ما أ،هناك وظيفة مستمرة في هذه المرحلة.

3) نسبة عدد محدود من الدوال المتصلة عند نقطة ما أ،هي دالة متصلة عند هذه النقطة إذا كانت قيمة الدالة في المقام مختلفة عن الصفر عند هذه النقطة أ.

أول حد رائع

وظيفة وظيفة(خطيئة) = خطيئة ن، أين ن Î ن، مستمرة على خط الأعداد بأكمله. يمكن إثبات هذه الحقيقة باستخدام الخاصية 2 واستمرارية الوظيفة وظيفة(خطيئة) = خطيئة.

وظيفة وظيفة(خطيئة) = سخطيئة ن (مع- ثابت) مستمر على خط الأعداد بأكمله، بناءً على الخاصية 2 والمثال 1.

النظرية 1. متعددة الحدود هي دالة متصلة على خط الأعداد بأكمله.

النظرية 2 . أي دالة عقلانية كسرية تكون مستمرة في كل نقطة من مجال تعريفها.

أول حد رائع

تعريف وظيفةوظيفة ( خطيئة ) تسمى مستمرة عند نقطة ماس = أ ، إذا كان في هذه المرحلة زيادتها
يميل إلى الصفر عند زيادة الوسيطة
يميل إلى الصفر، أو بمعنى آخر: الوظيفةوظيفة (X) تسمى مستمرة عند نقطة ماس = أ ، إذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في هذه النقطة تقابل زيادة متناهية الصغر في الدالة، أي إذا

الآن، بروح هادئة، دعونا ننتقل إلى التفكير حدود رائعة.
يبدو .

قد تكون هناك وظائف مختلفة بدلاً من المتغير x، الشيء الرئيسي هو أنها تميل إلى 0.

من الضروري حساب الحد

كما ترون، هذا الحد مشابه جدًا للحد الأول الرائع، لكن هذا ليس صحيحًا تمامًا. بشكل عام، إذا لاحظت وجود خطيئة في الحد، فعليك أن تفكر على الفور فيما إذا كان من الممكن استخدام الحد الأول الملحوظ.

وفقًا لقاعدتنا رقم 1، نستبدل بالصفر بدلاً من x:

نحصل على عدم اليقين.

الآن دعونا نحاول تنظيم الحد الرائع الأول بأنفسنا. للقيام بذلك، دعونا نفعل مجموعة بسيطة:

لذلك ننظم البسط والمقام لتمييز 7x. الآن ظهر بالفعل الحد المألوف المألوف. يُنصح بتسليط الضوء عليه عند اتخاذ القرار:

دعنا نستبدل الحل بالمثال الرائع الأول ونحصل على:

تبسيط الكسر:

الجواب: 7/3.

كما ترون، كل شيء بسيط جدا.

يبدو حيث e = 2.718281828... هو عدد غير نسبي.

قد تكون هناك وظائف مختلفة بدلاً من المتغير x، الشيء الرئيسي هو أنها تميل إلى .

من الضروري حساب الحد

وهنا نرى وجود درجة تحت علامة النهاية مما يعني أنه من الممكن استخدام حد ملحوظ ثاني.

كما هو الحال دائمًا، سنستخدم القاعدة رقم 1 - استبدل x بدلاً من:

يمكن أن نرى أنه عند x قاعدة الدرجة هي ، والأس هو 4x > ، أي. نحصل على عدم اليقين من النموذج:

دعونا نستخدم الحد الرائع الثاني للكشف عن عدم يقيننا، ولكن علينا أولاً تنظيمه. كما ترون، نحن بحاجة إلى تحقيق التواجد في المؤشر، ومن أجل ذلك نرفع القاعدة إلى قوة 3x، وفي نفس الوقت إلى قوة 1/3x، حتى لا يتغير التعبير:

لا تنس تسليط الضوء على حدنا الرائع:

هذا ما هم عليه حقا حدود رائعة!
إذا كان لا يزال لديك أي أسئلة حول الحدود الأولى والثانية رائعة، فلا تتردد في سؤالهم في التعليقات.
وسوف نقوم بالرد على الجميع قدر الإمكان.

يمكنك أيضًا العمل مع مدرس حول هذا الموضوع.
يسعدنا أن نقدم لك خدمات اختيار مدرس مؤهل في مدينتك. سيقوم شركاؤنا باختيار معلم جيد لك بسرعة وبشروط مناسبة.

لا توجد معلومات كافية؟ - أنت تستطيع!

يمكنك كتابة الحسابات الرياضية في دفاتر الملاحظات. من الممتع أكثر أن تكتب بشكل فردي في دفاتر ملاحظات تحمل شعارًا (http://www.blocnot.ru).

يتم جمع الصيغ والخصائص والنظريات المستخدمة في حل المسائل التي يمكن حلها باستخدام الحد الملحوظ الأول. يتم تقديم حلول تفصيلية للأمثلة باستخدام الحد الأول الملحوظ لعواقبه.

محتوى

أنظر أيضا: إثبات الحد الملحوظ الأول وما يترتب عليه

الصيغ التطبيقية والخصائص والنظريات

سنتناول هنا أمثلة لحلول المسائل التي تتضمن حساب النهايات التي تستخدم النهاية الملحوظة الأولى ونتائجها.

فيما يلي قائمة بالصيغ والخصائص والنظريات التي يتم استخدامها غالبًا في هذا النوع من الحسابات.

• الحد الملحوظ الأول ونتائجه:
  .
• الصيغ المثلثية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام:
  ;
  ;
  ;
  في ، ؛
  ;
  ;
  ;
  ;
  ;
  .

أمثلة على الحلول

مثال 1

لهذا.
1. احسب الحد.
بما أن الدالة مستمرة لجميع x، بما في ذلك عند النقطة، إذن
.
2. نظرًا لأن الوظيفة غير محددة (وبالتالي ليست مستمرة) لـ ، فنحن بحاجة إلى التأكد من وجود حي مثقوب للنقطة التي عليها.
في حالتنا، في.
.

هكذا،
.
ولذلك تم استيفاء هذا الشرط.
;
3. احسب الحد.
.

وفي حالتنا فهو يساوي الحد الملحوظ الأول:
.

وبالمثل، نجد نهاية الدالة في المقام:
في ؛
وأخيرًا، نطبق الخصائص الحسابية لنهاية الدالة:
دعونا نطبق.

في . من جدول الدوال المكافئة نجد:

في ؛ في .
.

ثم .

مثال 2 0/0 .

العثور على الحد:
.

الحل باستخدام الحد الملحوظ الأول
.
في ، ، . هذا هو عدم اليقين في النموذج
.
لنحول الدالة إلى ما بعد علامة الحد:
.
دعونا نجعل تغيير المتغير.

.

منذ وإلى , ثم

وبالمثل لدينا:
في ؛
وأخيرًا، نطبق الخصائص الحسابية لنهاية الدالة:
دعونا نطبق.

بما أن دالة جيب التمام مستمرة على خط الأعداد بأكمله، إذن

نطبق الخصائص الحسابية للنهايات:
.

الحل باستخدام وظائف مكافئة
;
.
دعونا نطبق نظرية استبدال الدوال بأخرى مكافئة في حد حاصل القسمة. 0/0 .

مثال 3

العثور على الحد:
.
لنعوض ببسط ومقام الكسر:
;


;

.

هذا هو عدم اليقين في النموذج
.

دعونا نحاول حل هذا المثال باستخدام الحد الرائع الأول. وبما أن قيمة المتغير فيه تميل إلى الصفر، فسوف نقوم بإجراء استبدال بحيث لا يميل المتغير الجديد إلى الصفر، بل إلى الصفر. للقيام بذلك، ننتقل من x إلى متغير جديد t، ونقوم بالاستبدال، .
.
ثم عند .

نقوم أولًا بتحويل الدالة إلى ما بعد علامة النهاية عن طريق ضرب بسط الكسر ومقامه في:

.

.

دعونا نستبدل ونستخدم الصيغ المثلثية المذكورة أعلاه.

نطبق الخصائص الحسابية للنهايات:
.

الوظيفة مستمرة عند . 0/0 .

نجد حدها:
.
دعونا نحول الكسر الثاني ونطبق الحد الرائع الأول:
.
لقد أجرينا التعويض في بسط الكسر.
.
نحن نطبق خاصية نهاية منتج الوظائف:
.

مثال 4 في ، ، . لدينا عدم اليقين من النموذجلنقم بتحويل الدالة تحت علامة الحد. دعونا نطبق الصيغة:
.

دعونا نستبدل:
.

دعونا نحول المقام:

ثم
.

منذ ومن أجل، نقوم بالتعويض ونطبق نظرية النهاية 0/0 وظيفة معقدة
.

والحد الأول الملحوظ:
نطبق الخصائص الحسابية لنهاية الدالة:مثال 5
أوجد نهاية الدالة: .
من السهل أن نرى أنه في هذا المثال لدينا حالة من عدم اليقين بشأن النموذج
.
.

,
وللكشف عنها نطبق نتيجة المشكلة السابقة والتي بموجبها
,
;
;
;
.

نستخدم (A5.2) واستمرارية دالة جيب التمام. نحن نطبق الخصائص الحسابية لنهاية الدالة.
,
هنا m هو رقم غير الصفر، ؛
;


;
.

مثال 6

نطبق الخصائص الحسابية للنهايات:
.

عندما يميل البسط والمقام للكسر إلى 0 . 0/0 هذا هو عدم اليقين في النموذج
.

.
.
دعونا نحول الكسر الثاني ونطبق الحد الرائع الأول:
;
,
لتوسيعه، نقوم بتحويل بسط الكسر:

.
.
دعونا نحول الكسر الثاني ونطبق الحد الرائع الأول:
;
,
لتوسيعه، نقوم بتحويل بسط الكسر:

دعونا نطبق الصيغة:

.
أين .
.

بسط الكسر:



.

الدالة خلف علامة الحد سوف تأخذ الشكل:
.
لنوجد نهاية العامل الأخير مع مراعاة استمراريته عند:
دعونا نطبق الصيغة المثلثية:
.

دعونا نستبدل

.

.
.

ثم
.
دعونا نطبق.

لنقسم البسط والمقام على، ونطبق الحد الملحوظ الأول وأحد نتائجه:

وأخيراً لدينا:

ملاحظة 1: كان من الممكن أيضًا تطبيق الصيغة أنظر أيضا:.

صيغة النهاية الملحوظة الثانية هي lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. هناك شكل آخر للكتابة يشبه هذا: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

عندما نتحدث عن النهاية الملحوظة الثانية، علينا أن نتعامل مع عدم اليقين من الصورة 1 ∞، أي. وحدة في

درجة لا نهائية

لنفكر في المشكلات التي تكون فيها القدرة على حساب الحد الملحوظ الثاني مفيدة.

مثال 1 أوجد النهاية x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .حل

دعونا نستبدل

الصيغة المطلوبة

وإجراء الحسابات.

ليم x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

وتبين أن إجابتنا هي واحدة أس ما لا نهاية. ولتحديد طريقة الحل نستخدم جدول عدم اليقين. دعونا نختار الحد الملحوظ الثاني ونقوم بتغيير المتغيرات.

ر = - س 2 + 1 2 ⇔ س 2 + 1 4 = - ر 2

إذا كانت x → ∞، فإن t → - ∞.دعونا نرى ما حصلنا عليه بعد الاستبدال:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

إجابة:

لنفكر في المشكلات التي تكون فيها القدرة على حساب الحد الملحوظ الثاني مفيدة.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

مثال 2

احسب الحد الأقصى x → ∞ x - 1 x + 1 x . دعونا نستبدل اللانهاية ونحصل على ما يلي.الحد x → ∞ x - 1 x + 1 x = الحد x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

في الإجابة، حصلنا مرة أخرى على نفس الشيء كما في المسألة السابقة، لذلك يمكننا استخدام النهاية الملحوظة الثانية مرة أخرى. بعد ذلك نحتاج إلى التحديد في القاعدة

وظيفة الطاقة

الجزء كله:

س - 1 س + 1 = س + 1 - 2 س + 1 = س + 1 س + 1 - 2 س + 1 = 1 - 2 س + 1

وبعد ذلك يأخذ الحد الشكل التالي:

ليم x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = ليم x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = ليم x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = ليم x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = ه - 2

لإجراء هذا التحويل، استخدمنا الخصائص الأساسية للحدود والصلاحيات.

إذا كانت x → ∞، فإن t → - ∞.ليم x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

مثال 3

احسب الحد الأقصى x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

لنفكر في المشكلات التي تكون فيها القدرة على حساب الحد الملحوظ الثاني مفيدة.

الحد x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = الحد x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

بعد ذلك، علينا تحويل الدالة لتطبيق النهاية الكبرى الثانية. حصلنا على ما يلي:

الحد x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = الحد x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 س 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 × 2 - 1 × 3 + 2 × 2 - 1 - 2 × 2 + 2 - 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 2 - 1 3 × 4 2 × 3 - 5

وبما أن لدينا الآن نفس الأسس في بسط ومقام الكسر (يساوي ستة)، فإن نهاية الكسر عند اللانهاية ستكون مساوية لنسبة هذه المعاملات عند القوى الأعلى.

ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = الحد x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = الحد x → ∞ 1 + - 2 × 2 + 2 × 3 + 2 × 2 - 1 × 3 + 2 × 2 - 1 - 2 × 2 + 2 - 3

بالتعويض t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 نحصل على النهاية الملحوظة الثانية. وهذا يعني أن:

ليم x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = ليم x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = ه - 3

إذا كانت x → ∞، فإن t → - ∞.ليم x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

الاستنتاجات

عدم اليقين 1 ∞، أي وحدة القوة اللانهائية هي عدم يقين في قانون القوى، لذلك يمكن الكشف عنها باستخدام قواعد إيجاد حدود دوال القوة الأسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter