المعنى الهندسي للمشتق مختصر. موضوع الدرس هو "المعنى الهندسي للمشتقات". خامسا: حل المشكلات

موضوع. المشتق. المعنى الهندسي والميكانيكي للمشتقات

إذا كانت هذه النهاية موجودة، يقال إن الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما. يُشار إلى مشتق الدالة بواسطة (الصيغة 2).

المعنى الهندسي للمشتق. دعونا نلقي نظرة على الرسم البياني للوظيفة. يتضح من الشكل 1 أنه بالنسبة لأي نقطتين A وB من الرسم البياني للدالة، يمكن كتابة الصيغة 3). أنه يحتوي على زاوية ميل القاطع AB.

وبالتالي، فإن نسبة الفرق تساوي ميل القاطع. إذا قمت بتثبيت النقطة A وحرك النقطة B نحوها، فإنها تتناقص بلا نهاية وتقترب من 0، ويقترب القاطع AB من المماس AC. ومن ثم، فإن نهاية نسبة الفرق تساوي ميل المماس عند النقطة أ. وهذا يؤدي إلى النتيجة.

مشتق الدالة عند نقطة ما هو ميل المماس للرسم البياني لهذه الدالة عند تلك النقطة. هذا هو المعنى الهندسي للمشتق.

معادلة الظل . دعونا نشتق معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما. في الحالة العامة، معادلة الخط المستقيم بمعامل زاوية لها الصيغة: . لإيجاد b، نستفيد من حقيقة أن المماس يمر بالنقطة A: . ويترتب على ذلك: . باستبدال هذا التعبير بدلاً من b، نحصل على معادلة الظل (الصيغة 4).

نوع الوظيفة: 7

حالة

الخط المستقيم y=3x+2 مماس للرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10.

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

حل

اجعل x_0 هو الحد الفاصل للنقطة على الرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10 التي يمر من خلالها ظل هذا الرسم البياني. قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y"(x_0)=-24x_0+b=3. ومن ناحية أخرى، فإن نقطة التماس تنتمي في نفس الوقت إلى كل من الرسم البياني للدالة الدالة والظل، أي -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. نحصل على نظام من المعادلات

لحل هذا النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

الخط المستقيم y=-3x+4 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7.

أوجد حدود نقطة المماس.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

المعامل الزاوي للخط المستقيم للرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y"(x_0). لكن y"=-2x+5، مما يعني y" (x_0)=-2x_0+5 معامل الخط y=-3x+4 المحدد في الشرط يساوي -3. الخطوط المتوازية لها نفس المعاملات الزاوية، لذلك نجد قيمة x_0 بحيث = -2x_0 +5=-3. نحصل على: x_0 = 4.المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017.

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

مستوى الملف الشخصي

" إد. F. F. ليسينكو، S. Yu. من الشكل نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(-6; 2) و B(-1; 1).دعونا نشير بـ C(-6; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=-6 و y=1، وبـ \alpha الزاوية ABC (يمكنك أن ترى في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط المستقيم AB زاوية \pi -\alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور، وهو منفرج. كما هو معروف، tg(\pi -\alpha) ستكون قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

لاحظ أن

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

ومن هنا وباستخدام صيغ التخفيض نحصل على:

tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu. الخط المستقيم y=-2x-4 مماس للرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12.

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أكبر من الصفر.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

لاحظ أن

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

اجعل x_0 هو الإحداثي المحوري للنقطة على الرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12 التي من خلالها

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

الخط المستقيم y=6 موازي لمحور الثور. لذلك، نجد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا لمحور الثور.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

لاحظ أن

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

على هذا الرسم البياني، هذه النقاط هي النقاط القصوى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط). كما ترون، هناك 4 نقاط متطرفة.

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

الخط y=4x-6 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=x^2-4x+9.

وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

لاحظ أن

نوع الوظيفة: 7
إجابة

حالة

أوجد حدود نقطة المماس.

أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

ميل المماس للرسم البياني للدالة y=x^2-4x+9 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y"(x_0). لكن y"=2x-4، مما يعني y"(x_0)= 2x_0-4. ميل المماس y =4x-7، المحدد في الشرط، يساوي 4. الخطوط المتوازية لها نفس المعاملات الزاوية، لذلك نجد قيمة x_0 بحيث تكون 2x_0-4=4.

يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x) والمماس لها عند النقطة مع الإحداثي السيني x_0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0.من الشكل نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(1; 1) و B(5;4).

دعونا نشير بـ C(5; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=5 و y=1، وبـ \alpha الزاوية BAC (يمكنك أن ترى في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط المستقيم AB زاوية \alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.

تقدم المقالة شرحا مفصلا للتعاريف والمعنى الهندسي للمشتق مع

الرموز الرسومية

. سيتم النظر في معادلة خط المماس مع الأمثلة، وسيتم العثور على معادلات المماس لمنحنيات الدرجة الثانية.

التعريف 1

زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b تسمى الزاوية α، والتي تقاس من الاتجاه الموجب للمحور x إلى الخط المستقيم y = k x + b في الاتجاه الموجب.

في الشكل، يُشار إلى اتجاه x بسهم أخضر وقوس أخضر، وزاوية الميل بقوس أحمر. يشير الخط الأزرق إلى الخط المستقيم. التعريف 2يسمى ميل الخط المستقيم y = k x + b بالمعامل العددي k.
المعامل الزاوي يساوي ظل الخط المستقيم، بمعنى آخر k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >زاوية ميل الخط المستقيم تساوي 0 فقط إذا كانت x متوازية وكان الميل كذلك
يساوي الصفر
لأن ظل الصفر هو 0. وهذا يعني أن شكل المعادلة سيكون y = b.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b حادة، فإن الشروط 0 تتحقق

القاطع هو الخط الذي يمر عبر نقطتين من الدالة f (x). بمعنى آخر، القاطع هو خط مستقيم يتم رسمه عبر أي نقطتين على الرسم البياني لدالة معينة.

يوضح الشكل أن A B هو قاطع، وf (x) هو منحنى أسود، و α هو قوس أحمر، مما يشير إلى زاوية ميل القاطع.

عندما يكون معامل الزاوي لخط مستقيم يساوي ظل زاوية الميل، فمن الواضح أنه يمكن إيجاد ظل المثلث القائم أ ب ج بنسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

التعريف 4

نحصل على صيغة لإيجاد القاطع من النموذج:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، حيث تكون حدود النقطتين A و B هي القيم x A وx B وf (x A) وf (x) ب) هي وظائف القيم في هذه النقاط.

من الواضح أن المعامل الزاوي للقاطع يتم تحديده باستخدام المساواة k = f (x B) - f (x A) x B - x A أو k = f (x A) - f (x B) x A - x B ، ويجب كتابة المعادلة بالشكل y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) أو
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

يقسم القاطع الرسم البياني بصريًا إلى 3 أجزاء: على يسار النقطة A، من A إلى B، وإلى يمين B. يوضح الشكل أدناه أن هناك ثلاثة قاطعات تعتبر متطابقة، أي أنه تم ضبطها باستخدام معادلة مماثلة.

ومن الواضح من التعريف أن الخط المستقيم وقاطعه في هذه الحالة متطابقان.

يمكن للقاطع أن يتقاطع مع الرسم البياني لدالة معينة عدة مرات. إذا كانت هناك معادلة بالصيغة y = 0 للقاطع، فإن عدد نقاط التقاطع مع الجيوب الأنفية لا نهائي.

التعريف 5

مماس للرسم البياني للدالة f (x) عند النقطة x 0 ; f (x 0) هو خط مستقيم يمر بنقطة معينة x 0؛ f (x 0)، مع وجود مقطع يحتوي على العديد من قيم x القريبة من x 0.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال أدناه. ومن ثم يتضح أن الخط المحدد بالدالة y = x + 1 يعتبر مماسا لـ y = 2 x عند النقطة ذات الإحداثيات (1؛ 2). وللتوضيح، من الضروري النظر في الرسوم البيانية ذات القيم القريبة من (1؛ 2). تظهر الدالة y = 2 x باللون الأسود، والخط الأزرق هو خط المماس، والنقطة الحمراء هي نقطة التقاطع.

من الواضح أن y = 2 x تندمج مع السطر y = x + 1.

لتحديد المماس، يجب أن نأخذ في الاعتبار سلوك المماس A B عندما تقترب النقطة B من النقطة A إلى ما لا نهاية، من أجل الوضوح، نقدم رسمًا.

يميل القاطع A B، المشار إليه بالخط الأزرق، إلى موضع الظل نفسه، وستبدأ زاوية ميل القاطع α في الميل إلى زاوية ميل الظل نفسه α x.

التعريف 6

يعتبر ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A هو الموضع المحدود للقاطع A B حيث يميل B إلى A، أي B → A.

الآن دعنا ننتقل إلى النظر في المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما.

دعنا ننتقل إلى النظر في القاطع A B للدالة f (x)، حيث A وB بإحداثيات x 0 وf (x 0) وx 0 + ∆ x وf (x 0 + ∆ x) و∆ x هي يشار إليها على أنها زيادة الوسيطة. الآن ستأخذ الدالة الشكل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . من أجل الوضوح، دعونا نعطي مثالا على الرسم.

خذ بعين الاعتبار المثلث القائم الناتج A B C. نستخدم تعريف المماس للحل، أي أننا حصلنا على العلاقة ∆ y ∆ x = t g α . من تعريف المماس يتبع ذلك lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . وفقًا لقاعدة المشتقة عند نقطة ما، لدينا أن المشتقة f (x) عند النقطة x 0 تسمى نهاية نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، حيث ∆ x → 0 ، ثم نشير إليها بالشكل f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

ويترتب على ذلك أن f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، حيث يُشار إلى k x على أنه ميل المماس.

أي أننا نجد أن f '(x) يمكن أن توجد عند النقطة x 0، ومثل المماس لمخطط معين للدالة عند نقطة التماس يساوي x 0، f 0 (x 0)، حيث تكون قيمة ميل المماس عند النقطة يساوي المشتقة عند النقطة x 0 . ثم نحصل على k x = f " (x 0) .

المعنى الهندسي لمشتقة الدالة عند نقطة ما هو أنها تعطي مفهوم وجود مماس للرسم البياني عند نفس النقطة.

لكتابة معادلة أي خط مستقيم على مستوى، من الضروري أن يكون معامل الزاوية مع النقطة التي يمر بها. يؤخذ تدوينه ليكون x 0 عند التقاطع.

معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة x 0، f 0 (x 0) تأخذ الشكل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

هذا يعني أن القيمة النهائية للمشتقة f "(x 0) يمكنها تحديد موضع المماس، أي عموديًا، بشرط lim x → x 0 + 0 f " (x) = ∞ و lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ أو الغياب على الإطلاق بشرط lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

يعتمد موقع المماس على قيمة معامله الزاوي k x = f "(x 0). عندما يكون موازيًا للمحور o x، نحصل على k k = 0، عندما يكون موازيًا لـ o y - k x = ∞، ويكون شكل المماس معادلة الظل x = x 0 تزداد مع k x > 0، وتتناقص عندما k x< 0 .

مثال 2

قم بتجميع معادلة مماس الرسم البياني للدالة y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 عند النقطة ذات الإحداثيات (1; 3) وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن الدالة محددة لجميع الأعداد الحقيقية. نجد أن النقطة ذات الإحداثيات المحددة بالشرط (1؛ 3) هي نقطة تماس، إذن x 0 = - 1، f (x 0) = - 3.

من الضروري العثور على المشتق عند النقطة ذات القيمة - 1. لقد حصلنا على ذلك

y " = ه x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = ه x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = ه x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

قيمة f' (x) عند نقطة التماس هي ميل الظل، وهو يساوي ظل الميل.

ثم k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

ويترتب على ذلك أن α x = a r c t g 3 3 = π 6

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

من أجل الوضوح، نعطي مثالا في الرسم التوضيحي.

يتم استخدام اللون الأسود للرسم البياني للوظيفة الأصلية، أزرق– صورة المماس، النقطة الحمراء – نقطة التماس. يوضح الشكل الموجود على اليمين منظرًا موسعًا.

مثال 3

تحديد وجود مماس للرسم البياني لوظيفة معينة
y = 3 · x - 1 5 + 1 عند النقطة ذات الإحداثيات (1 ; 1) . اكتب معادلة وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن مجال تعريف دالة معينة يعتبر مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

دعنا ننتقل إلى إيجاد المشتق

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

إذا كانت x 0 = 1، فإن f' (x) غير معرفة، ولكن النهايات مكتوبة بالشكل lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞، مما يعني وجود مماس رأسي عند النقطة (1؛ 1).

إجابة:المعادلة سوف تأخذ الشكل x = 1، حيث زاوية الميل ستكون π 2.

من أجل الوضوح، دعونا تصوير ذلك بيانيا.

مثال 4

أوجد النقاط على الرسم البياني للدالة y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 حيث

لا يوجد ظل.
الظل موازي لـ x؛
المماس يوازي الخط y = 8 5 x + 4.

حل

من الضروري الانتباه إلى نطاق التعريف. بالشرط، لدينا أن الدالة معرفة على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. نقوم بتوسيع الوحدة وحل النظام بفواصل زمنية x ∈ - ∞ ؛ 2 و [ - 2 ; + ∞) . لقد حصلنا على ذلك

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

من الضروري التمييز بين الوظيفة. لدينا ذلك

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

عندما تكون x = - 2، فإن المشتقة غير موجودة لأن النهايتين من جانب واحد غير متساويتين عند تلك النقطة:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 الحد x → - 2 + 0 y " (x) = الحد x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

نحسب قيمة الدالة عند النقطة x = - 2 حيث نحصل على ذلك

y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، أي المماس عند النقطة ( - 2؛ - 2) لن يكون موجودا.
يكون المماس موازياً لـ x عندما يكون الميل صفراً. ثم k x = t g α x = f "(x 0). أي أنه من الضروري العثور على قيم x عندما يحولها مشتق الدالة إلى الصفر. أي قيم f ' (x) ستكون نقاط التماس، حيث يكون الظل موازيا لـ x .

عندما س ∈ - ∞ ; - 2، إذن - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، وبالنسبة لـ x ∈ (- 2; + ∞) نحصل على 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 د = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 × 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (س 2 - 4 س + 3) = 0 د = 4 2 - 4 · 3 = 4 × 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

احسب قيم الوظائف المقابلة

ص 1 = ص - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 ص 2 = ص (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ص 3 = ص (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ص 4 = ص (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

وبالتالي - 5؛ 8 5، - 4؛ 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 تعتبر النقاط المطلوبة للرسم البياني للوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على تمثيل رسومي للحل.

الخط الأسود هو الرسم البياني للوظيفة، والنقاط الحمراء هي نقاط التماس.

عندما يكون المستقيمان متوازيين، تكون معاملات الزوايا متساوية. ثم من الضروري البحث عن نقاط على الرسم البياني للوظيفة حيث يكون الميل مساوياً للقيمة 8 5. للقيام بذلك، عليك حل معادلة من الصورة y "(x) = 8 5. فإذا كانت x ∈ - ∞; - 2، نحصل على - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، وإذا كان x ∈ ( - 2 ; + ∞)، فإن 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

المعادلة الأولى ليس لها جذور لأن المميز أقل من الصفر. دعونا نكتب ذلك

1 5 × 2 + 12 × + 35 = 8 5 × 2 + 12 × + 43 = 0 د = 12 4 - 2 43 = - 28< 0

إذن، هناك معادلة أخرى لها جذرين حقيقيين

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 د = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

دعنا ننتقل إلى إيجاد قيم الوظيفة. لقد حصلنا على ذلك

ص 1 = ص (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 ص 2 = ص (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

النقاط ذات القيم - 1؛ 4 15, 5; 8 3 هي النقاط التي تكون مماساتها موازية للمستقيم y = 8 5 x + 4.

إجابة:الخط الأسود - الرسم البياني للدالة، الخط الأحمر - الرسم البياني لـ y = 8 5 x + 4، الخط الأزرق - مماسات عند النقاط - 1؛ 4 15, 5; 8 3.

قد يكون هناك عدد لا حصر له من الظلال لوظائف معينة.

مثال 5

اكتب معادلات جميع مماسات الدالة y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 المتعامدة على الخط المستقيم y = - 2 x + 1 2.

حل

لتجميع معادلة الظل، من الضروري إيجاد معامل وإحداثيات نقطة الظل، بناءً على حالة عمودي الخطوط. التعريف هو كما يلي: حاصل ضرب المعاملات الزاوية المتعامدة مع الخطوط المستقيمة يساوي - 1، أي مكتوبًا بالشكل k x · k ⊥ = - 1. من الشرط لدينا أن المعامل الزاوي يقع عموديًا على الخط ويساوي k ⊥ = - 2، ثم k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

أنت الآن بحاجة إلى العثور على إحداثيات نقاط اللمس. تحتاج إلى العثور على x ثم قيمته لوظيفة معينة. لاحظ أنه من المعنى الهندسي للمشتق عند النقطة
x 0 نحصل على أن k x = y "(x 0). ومن هذه المساواة نجد قيم x لنقاط الاتصال.

لقد حصلنا على ذلك

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 ⇒ ك x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

سيتم استخدام هذه المعادلة المثلثية لحساب إحداثيات نقاط الظل.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - أ r c sin 1 9 + 2 πk أو x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z هي مجموعة من الأعداد الصحيحة.

تم العثور على نقاط اتصال x. أنت الآن بحاجة إلى الانتقال إلى البحث عن قيم y:

ص 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 أو y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

ص 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 أو ص 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

ص 0 = 4 5 - 1 3 أو ص 0 = - 4 5 + 1 3

من هذا نحصل على أن 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 هي نقاط التماس.

إجابة:سيتم كتابة المعادلات اللازمة كما

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، ك ∈ ض

للحصول على تمثيل مرئي، فكر في دالة وظل على خط الإحداثيات.

يوضح الشكل أن الدالة تقع على الفاصل الزمني [ - 10 ; 10 ]، حيث الخط الأسود هو الرسم البياني للدالة، والخطوط الزرقاء هي الظلال التي تقع عموديًا على الخط المعطى من الصورة y = - 2 x + 1 2. النقاط الحمراء هي نقاط اللمس.

المعادلات الكنسيةمنحنيات الرتبة الثانية ليست دوال ذات قيمة مفردة. يتم تجميع معادلات الظل الخاصة بهم وفقًا للمخططات المعروفة.

مماس لدائرة

لتحديد دائرة مركزها النقطة x c e n t e r ; y c e n t e r ونصف القطر R، طبّق الصيغة x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

يمكن كتابة هذه المساواة كاتحاد بين وظيفتين:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

الوظيفة الأولى تقع في الأعلى، والثانية في الأسفل، كما هو موضح في الشكل.

لتجميع معادلة الدائرة عند النقطة x 0؛ y 0 ، الموجود في نصف الدائرة العلوي أو السفلي، يجب أن تجد معادلة الرسم البياني لدالة من النموذج y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r أو y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r عند النقطة المشار إليها.

عندما تكون عند النقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; y c e n t e r - R يمكن الحصول على الظل من المعادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R، وعند النقاط x c e n t e r + R ; y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r سيكون موازيا لـ o y، ثم نحصل على معادلات من الصيغة x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R .

الظل إلى القطع الناقص

عندما يكون للقطع الناقص مركز عند x c e n t e r ; y c e n t e r مع أنصاف المحاور a و b، فيمكن تحديدها باستخدام المعادلة x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

يمكن الإشارة إلى القطع الناقص والدائرة من خلال الجمع بين وظيفتين، وهما نصف القطع الناقص العلوي والسفلي. ثم حصلنا على ذلك

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

إذا كانت المماسات تقع عند رؤوس القطع الناقص، فهي متوازية حول x أو حول y. أدناه، من أجل الوضوح، النظر في الشكل.

مثال 6

اكتب معادلة المماس للقطع الناقص x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 عند نقاط قيم x تساوي x = 2.

حل

من الضروري العثور على نقاط الظل التي تتوافق مع القيمة x = 2. نعوض في معادلة القطع الناقص الموجودة ونجد ذلك

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

ثم 2 ; 5 3 2 + 5 و 2؛ - 5 3 2 + 5 هي نقاط الظل التي تنتمي إلى نصف القطع الناقص العلوي والسفلي.

دعنا ننتقل إلى إيجاد وحل معادلة القطع الناقص بالنسبة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 + ص - 5 2 25 = 1 ص - 5 2 25 = 1 - س - 3 2 4 (ص - 5) 2 = 25 1 - س - 3 2 4 ص - 5 = ± 5 1 - س - 3 2 4 ص = 5 ± 5 2 4 - س - 3 2

من الواضح أن النصف العلوي من القطع الناقص يتم تحديده باستخدام دالة بالشكل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2، والنصف السفلي من القطع الناقص y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

دعونا نطبق خوارزمية قياسية لإنشاء معادلة مماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما. دعونا نكتب أن معادلة المماس الأول عند النقطة 2؛ 5 3 2 + 5 سيبدو هكذا

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3) ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ ص = 5 2 3 (س - 2) + 5 3 2 + 5

نجد أن معادلة المماس الثاني بقيمة عند النقطة
2 ; - 5 3 2 + 5 يأخذ الشكل

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + ص 0 ⇔ ص = - 5 2 3 (س - 2) - 5 3 2 + 5

بيانياً، يتم تحديد الظلال على النحو التالي:

الظل إلى المبالغة

عندما يكون للقطع الزائد مركز في x c e n t e r ; y c e n t e r والقمم x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r , تحدث المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 إذا كانت ذات رؤوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , ثم يتم تحديده باستخدام المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

يمكن تمثيل القطع الزائد كوظيفتين مدمجتين للنموذج

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r أو y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + أ 2 + y c e n t e r

في الحالة الأولى لدينا أن المماسات موازية لـ y، وفي الحالة الثانية موازية لـ x.

ويترتب على ذلك أنه من أجل العثور على معادلة المماس للقطع الزائد، من الضروري معرفة الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التماس. لتحديد ذلك، من الضروري التعويض في المعادلات والتحقق من الهوية.

مثال 7

اكتب معادلة مماس القطع الزائد x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 عند النقطة 7؛ - 3 3 - 3 .

حل

من الضروري تحويل سجل الحل للعثور على القطع الزائد باستخدام وظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 - ص + 3 2 9 = 1 ⇒ ص + 3 2 9 = س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 2 = 9 س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 = 3 2 س - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

من الضروري تحديد الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة معينة ذات الإحداثيات 7؛ - 3 3 - 3 .

من الواضح أنه للتحقق من الوظيفة الأولى فمن الضروري y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، إذن النقطة لا تنتمي إلى الرسم البياني، لأن المساواة لا تقام.

بالنسبة للدالة الثانية، لدينا y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, مما يعني أن النقطة تنتمي إلى الرسم البياني المعطى. من هنا يجب أن تجد المنحدر.

لقد حصلنا على ذلك

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 × 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

إجابة:يمكن تمثيل معادلة الظل على النحو التالي

ص = - 3 س - 7 - 3 3 - 3 = - 3 س + 4 3 - 3

تم تصويره بوضوح على النحو التالي:

الظل إلى القطع المكافئ

لإنشاء معادلة مماس القطع المكافئ y = a x 2 + b x + c عند النقطة x 0, y (x 0)، يجب عليك استخدام خوارزمية قياسية، ثم ستأخذ المعادلة الشكل y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0). هذا المماس عند الرأس موازي لـ x.

يجب عليك تعريف القطع المكافئ x = a y 2 + b y + c باعتباره اتحاد وظيفتين. ولذلك، علينا حل المعادلة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

x = أ y 2 + ب y + ج ⇔ أ y 2 + ب y + ج - x = 0 د = ب 2 - 4 أ (ج - س) ذ = - ب + ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ y = - ب - ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ

دعونا نصورها بيانيا على النحو التالي:

لمعرفة ما إذا كانت النقطة x 0, y (x 0) تنتمي إلى دالة، تابع بلطف وفقًا للخوارزمية القياسية. سيكون مثل هذا المماس موازيًا لـ o y بالنسبة إلى القطع المكافئ.

مثال 8

اكتب معادلة المماس للتمثيل البياني x - 2 y 2 - 5 y + 3 عندما يكون لدينا زاوية ظل قدرها 150 درجة.

حل

نبدأ الحل بتمثيل القطع المكافئ كوظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

2 ص 2 - 5 ص + 3 - س = 0 د = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - س) = 49 - 8 س ص = 5 + 49 - 8 س - 4 ص = 5 - 49 - 8 س - 4

قيمة الميل تساوي قيمة المشتق عند النقطة x 0 من هذه الدالة وتساوي ظل زاوية الميل.

نحصل على:

ك س = ص "(س 0) = ر ز α س = ر ز 150 درجة = - 1 3

ومن هنا نحدد قيمة x لنقاط الاتصال.

سيتم كتابة الوظيفة الأولى كـ

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

من الواضح أنه لا توجد جذور حقيقية، لأننا حصلنا على قيمة سالبة. نستنتج أنه لا يوجد مماس بزاوية 150° لمثل هذه الدالة.

سيتم كتابة الوظيفة الثانية كـ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ ص (س 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

لدينا أن نقاط الاتصال هي 23 4 ; - 5 + 3 4 .

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

ص = - 1 3 س - 23 4 + - 5 + 3 4

دعونا نصورها بيانيا بهذه الطريقة:

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

يعد مشتق الدالة أحد الموضوعات الصعبة في المناهج الدراسية. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة بطريقة بسيطة وواضحة ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نسعى الآن إلى الدقة الرياضية في العرض التقديمي. الشيء الأكثر أهمية هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الدالة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد تعتقد أنه ينمو بشكل أسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل للتغيير، أي أكبر مشتق.

وهنا مثال آخر.

حصلت كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

الرسم البياني يظهر كل شيء دفعة واحدة، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. كما زاد دخل جريشا أيضًا، ولكن قليلاً. وانخفض دخل ماتفي إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها، ولكن معدل تغيير الوظيفة، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

وبشكل بديهي، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغير الدالة. ولكن كيف نفعل هذا؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر، ما مدى سرعة تغير y مع تغير x؟ من الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفة يمكن أن يكون لها قيم مشتقة مختلفة - أي أنها يمكن أن تتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الدالة .

سنوضح لك كيفية العثور عليه باستخدام الرسم البياني.

تم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثي الإحداثي على ذلك. دعونا نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقدير مدى انحدار الرسم البياني للدالة. قيمة مناسبة لهذا ظل الزاوية المماسه.

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

يرجى ملاحظة أنه كزاوية ميل المماس نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

في بعض الأحيان يسأل الطلاب ما هو ظل الرسم البياني للدالة. هذا خط مستقيم له نقطة مشتركة واحدة مع الرسم البياني في هذا القسم، كما هو موضح في الشكل. يبدو وكأنه مماس لدائرة.

دعونا نجد ذلك. نتذكر أن ظل الزاوية الحادة في المثلث القائم يساوي نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور. من المثلث:

لقد وجدنا المشتقة باستخدام الرسم البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات تحت الرقم.

هناك علاقة أخرى مهمة. تذكر أن الخط المستقيم يُعطى بالمعادلة

تسمى الكمية في هذه المعادلة منحدر الخط المستقيم. وهو يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور.

لقد حصلنا على ذلك

دعونا نتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتقة الدالة عند نقطة ما يساوي ميل المماس المرسوم على الرسم البياني للدالة عند تلك النقطة.

بمعنى آخر، المشتقة تساوي ظل الزاوية المماسية.

لقد قلنا من قبل أن الدالة نفسها يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. وتزداد هذه الوظيفة في بعض المناطق، وتنقص في مناطق أخرى، وبنسب متفاوتة. ودع هذه الوظيفة تحتوي على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما تزداد الوظيفة. يشكل مماس الرسم البياني المرسوم عند النقطة زاوية حادة مع الاتجاه الموجب للمحور. وهذا يعني أن المشتقة عند هذه النقطة موجبة.

عند هذه النقطة تنخفض وظيفتنا. يشكل المماس عند هذه النقطة زاوية منفرجة مع الاتجاه الموجب للمحور. بما أن ظل الزاوية المنفرجة سالب، فإن المشتقة عند هذه النقطة تكون سالبة.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن مشتقتها تكون موجبة.

فإذا نقصت تكون مشتقتها سالبة.

ماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نلاحظ أنه عند نقطتي (النقطة القصوى) و(النقطة الدنيا) يكون المماس أفقيًا. ومن ثم، فإن ظل المماس عند هذه النقاط يساوي صفرًا، والمشتقة تساوي صفرًا أيضًا.

النقطة - النقطة القصوى. عند هذه النقطة، يتم استبدال الزيادة في الدالة بالنقصان. وبالتالي تتغير إشارة المشتقة عند النقطة من "موجب" إلى "سالب".

عند النقطة - النقطة الدنيا - يكون المشتق أيضًا صفرًا، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: باستخدام المشتقة يمكننا معرفة كل ما يهمنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

عند النقطة القصوى، يكون المشتق صفرًا وتتغير الإشارة من "زائد" إلى "سالب".

عند النقطة الدنيا، يكون المشتق أيضًا صفرًا وتتغير الإشارة من "ناقص" إلى "زائد".

لنكتب هذه الاستنتاجات في شكل جدول:

	يزيد	النقطة القصوى	يتناقص	نقطة الحد الأدنى	يزيد
+	0	-	0	+

دعونا نقدم توضيحين صغيرين. سوف تحتاج إلى واحد منهم عند حل مشاكل الاستخدام. آخر - في السنة الأولى، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

من الممكن أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا، لكن الدالة ليس لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند هذه النقطة. هذا هو ما يسمى :

عند نقطة ما، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا وتكون المشتقة صفرًا. ومع ذلك، قبل النقطة زادت الدالة - وبعد النقطة استمرت في الزيادة. إشارة المشتقة لا تتغير، بل تبقى موجبة كما كانت.

ويحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الأدنى لا يكون المشتق موجودًا. على الرسم البياني، يتوافق هذا مع كسر حاد، عندما يكون من المستحيل رسم مماس عند نقطة معينة.

كيف يمكن العثور على المشتق إذا كانت الدالة لا تُعطى من خلال رسم بياني، بل من خلال صيغة؟ في هذه الحالة ينطبق

نبدأ هذه المقالة بنظرة عامة على التعريفات والمفاهيم الضرورية.

بعد ذلك، سننتقل إلى كتابة معادلة خط المماس وتقديم حلول تفصيلية لأكثر الأمثلة والمسائل شيوعًا.

وفي الختام، سوف نركز على إيجاد معادلة المماس لمنحنيات الدرجة الثانية، أي للدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ.

التنقل في الصفحة.

التعاريف والمفاهيم.

تعريف.

زاوية الخط المستقيم y=kx+b هي الزاوية المقاسة من الاتجاه الموجب للمحور x إلى الخط المستقيم y=kx+b في الاتجاه الموجب (أي عكس اتجاه عقارب الساعة).

في الشكل، يظهر الاتجاه الموجب للمحور x بسهم أخضر أفقي، ويظهر الاتجاه الموجب للزاوية بقوس أخضر، ويظهر الخط المستقيم بخط أزرق، وزاوية ميل الخط المستقيم يظهر الخط بقوس أحمر.

تعريف.

منحدر الخط المستقيم y=kx+b يسمى المعامل العددي k.

ميل الخط المستقيم يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم، إنه، .

تعريف.

مباشر يتم استدعاء AB المرسوم من خلال نقطتين على الرسم البياني للدالة y=f(x). قاطع. بعبارة أخرى، قاطعهو خط مستقيم يمر بنقطتين على الرسم البياني للدالة.

في الشكل، يظهر الخط القاطع AB كخط أزرق، ويظهر الرسم البياني للدالة y=f(x) كمنحنى أسود، وتظهر زاوية ميل الخط القاطع كقوس أحمر.

إذا أخذنا في الاعتبار أن معامل الزاوي للخط المستقيم يساوي ظل زاوية الميل (تم مناقشة ذلك أعلاه)، وظل الزاوية في المثلث القائم ABC هو نسبة الساق المقابلة إلى الساق المجاورة (هذا هو تعريف ظل الزاوية)، فإن سلسلة من التساويات ستكون صحيحة بالنسبة للقاطع ، أين توجد حروف النقطتين A و B، - قيم الوظائف المقابلة.

إنه، زاوية قاطعةيتم تحديدها بالمساواة أو ، أ معادلة قاطعةمكتوب في النموذج أو (إذا لزم الأمر، راجع القسم).

يقسم الخط القاطع الرسم البياني للدالة إلى ثلاثة أجزاء: على يسار النقطة A، ومن A إلى B، وإلى يمين النقطة B، على الرغم من أنه قد يحتوي على أكثر من نقطتين مشتركتين مع الرسم البياني للدالة.

يوضح الشكل أدناه ثلاثة قاطعات مختلفة (النقطتان A وB مختلفتان)، لكنها متطابقة ويتم الحصول عليها من معادلة واحدة.

لم نواجه أي حديث عن الخط القاطع للخط المستقيم. ولكن مع ذلك، إذا بدأنا من التعريف، فإن الخط المستقيم وخطه القاطع يتطابقان.

في بعض الحالات، قد يحتوي القاطع على رسم بياني للدالة عدد لا نهائينقاط التقاطع. على سبيل المثال، القاطع المحدد بالمعادلة y=0 له عدد لا نهائي من النقاط المشتركة مع الموجة الجيبية.

تعريف.

مماس للرسم البياني للدالة y=f(x) عند هذه النقطةيسمى خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة، مع جزء منه يتم دمج الرسم البياني للدالة عمليًا لقيم x القريبة بشكل تعسفي من .

دعونا نشرح هذا التعريف بمثال. دعونا نوضح أن الخط المستقيم y = x+1 مماس للرسم البياني للدالة عند النقطة (1؛ 2). للقيام بذلك، سوف نعرض الرسوم البيانية لهذه الوظائف ونحن نقترب من نقطة التماس (1، 2). يظهر الرسم البياني للدالة باللون الأسود، ويظهر خط الظل كخط أزرق، وتظهر نقطة التماس كنقطة حمراء.

كل رسم لاحق عبارة عن مساحة مكبرة للرسم السابق (يتم تمييز هذه المناطق بمربعات حمراء).

من الواضح أنه بالقرب من نقطة التماس، يندمج الرسم البياني للدالة عمليًا مع خط الظل y=x+1.

الآن دعنا ننتقل إلى المزيد تعريف ذو معنىالظل.

للقيام بذلك، سوف نبين ما سيحدث للقاطع AB إذا كانت النقطة B أقرب إلى النقطة A بشكل لا نهائي.

ويوضح الشكل أدناه هذه العملية.

سيميل القاطع AB (الموضح كخط منقط أزرق) إلى اتخاذ موضع المماس للخط المستقيم (كما هو موضح كخط أزرق متصل)، وستميل زاوية ميل القاطع (الموضح كقوس أحمر متقطع) إلى زاوية ميل المماس (كما هو موضح على شكل قوس أحمر متصل).

تعريف.

هكذا، مماس للرسم البياني للدالة y=f(x) عند النقطة Aهو الموضع المحدود للقاطع AB عند .

يمكننا الآن الانتقال إلى وصف المعنى الهندسي لمشتقة الدالة عند نقطة ما.

المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما.

دعونا نفكر في القاطع AB للرسم البياني للدالة y=f(x) بحيث يكون للنقطتين A وB إحداثيات وعلى التوالي ، أين زيادة الحجة. دعونا نشير إلى زيادة الوظيفة. لنضع علامة على كل شيء على الرسم:

من المثلث الأيمن ABC لدينا . وبما أن المماس بحكم التعريف هو الموضع المحدد للقاطع، إذن .

دعونا نتذكر تعريف مشتق الدالة عند نقطة ما: مشتق الدالة y=f(x) عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة عند , يُشار إليه .

لذلك، ، أين هو ميل المماس.

وبالتالي، فإن وجود مشتق الدالة y=f(x) عند نقطة ما يعادل وجود مماس للرسم البياني للدالة y=f(x) عند نقطة التماس، و ميل المماس يساوي قيمة المشتقة عند النقطة، إنه .

نستنتج: المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة مايتكون من وجود مماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

معادلة خط المماس.

لكتابة معادلة أي خط مستقيم على مستوى، يكفي معرفة معامل زاويته والنقطة التي يمر بها. يمر خط المماس بنقطة التماس ومعامله الزاوي للدالة القابلة للتفاضل يساوي قيمة المشتقة عند هذه النقطة. أي أنه من النقطة التي يمكننا أخذ جميع البيانات فيها لكتابة معادلة خط المماس.

معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند نقطة مايبدو .

نفترض أن هناك قيمة منتهية للمشتقة، وإلا فإن الظل يكون مستقيما أو رأسيا (إذا كان و ) أو غير موجود (إذا ).

اعتمادا على المعامل الزاوي، يمكن أن يكون الظل موازيا لمحور الإحداثي ()، بالتوازي مع المحور الإحداثي (في هذه الحالة، سيكون لمعادلة الظل الشكل)، زيادة () أو نقصان ().

حان الوقت لإعطاء بعض الأمثلة للتوضيح.

مثال.

اكتب معادلة مماس الرسم البياني للدالة عند النقطة (-1;-3) وتحديد زاوية الميل.

حل.

يتم تعريف الدالة لجميع الأعداد الحقيقية (راجع المقالة إذا لزم الأمر). وبما أن (-1;-3) هي نقطة التماس، إذن .

نجد المشتق (لهذا السبب، المادة الموجودة في المقالة تفرق دالة، قد يكون العثور على المشتق مفيدًا) ونحسب قيمته عند النقطة:

وبما أن قيمة المشتقة عند نقطة التماس هي ميل المماس، وهي تساوي ظل زاوية الميل، إذن .

وبالتالي فإن زاوية ميل المماس تساوي ومعادلة خط المماس لها الشكل

الرسم التوضيحي.

يظهر الرسم البياني للدالة الأصلية باللون الأسود، ويظهر خط الظل كخط أزرق، وتظهر نقطة التماس كنقطة حمراء. الصورة الموجودة على اليمين عبارة عن منظر مكبر للمنطقة المشار إليها بالمربع المنقط باللون الأحمر في الصورة على اليسار.

مثال.

اكتشف ما إذا كان هناك مماس للرسم البياني للدالة عند النقطة (1؛ 1)، إذا كانت الإجابة بنعم، فاكتب معادلتها وحدد زاوية ميلها.

حل.

مجال الدالة هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية.

إيجاد المشتقة:

عندما لم يتم تعريف المشتق، ولكن و وبالتالي، عند النقطة (1؛1) يوجد مماس رأسي، معادلته x = 1، وزاوية ميله تساوي .

الرسم التوضيحي.

مثال.

ابحث عن جميع النقاط على الرسم البياني للوظيفة التي:
أ) الظل غير موجود. ب) المماس موازي للمحور السيني؛ ج) المماس موازي للخط المستقيم.

حل.

كما هو الحال دائمًا، نبدأ بمجال تعريف الدالة. في مثالنا، يتم تعريف الدالة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. دعونا نوسع علامة المعامل للقيام بذلك، والنظر في فترتين و:

دعونا نفرق الوظيفة:

في مشتق x=-2 غير موجود، لأن النهايتين من جانب واحد عند هذه النقطة غير متساويتين:

وبالتالي، بعد حساب قيمة الدالة عند x=-2، يمكننا إعطاء الإجابة للنقطة أ): مماس الرسم البياني للدالة غير موجود عند النقطة (-2;-2).

ب) يكون المماس موازياً لمحور x إذا كان ميله صفراً (ظل زاوية الميل صفر). لأن إذن نحتاج إلى إيجاد جميع قيم x التي يختفي عندها مشتق الدالة. ستكون هذه القيم بمثابة حدود لنقاط الظل التي يكون الظل فيها موازيًا لمحور الثور.

عندما نحل المعادلة ومتى تكون المعادلة :

يبقى لحساب القيم المقابلة للوظيفة:

لهذا السبب، - النقاط المطلوبة للرسم البياني للوظيفة.

الرسم التوضيحي.

تم توضيح الرسم البياني للدالة الأصلية بخط أسود؛ تشير النقاط الحمراء إلى النقاط التي تم العثور عليها والتي تكون عندها المماسات موازية لمحور الإحداثي السيني.

ج) إذا كان المستقيمان على المستوى متوازيين فإن معاملاتهما الزاوية متساوية (هذا مكتوب في المقال). بناءً على هذه العبارة، علينا إيجاد جميع النقاط على التمثيل البياني للدالة التي يكون ميل المماس عندها ثمانية أخماس. أي أننا بحاجة إلى حل المعادلة. وهكذا عندما نحل المعادلة ومتى تكون المعادلة .

مميز المعادلة الأولى سالب، وبالتالي ليس له جذور حقيقية:

المعادلة الثانية لها جذرين حقيقيين:

نجد قيم الوظيفة المقابلة:

في نقاط مماسات الرسم البياني للدالة موازية للخط.

الرسم التوضيحي.

يظهر الرسم البياني للدالة بخط أسود، والخط الأحمر يوضح الرسم البياني للخط المستقيم، والخطوط الزرقاء توضح مماسات الرسم البياني للدالة عند النقاط .

ل الدوال المثلثيةونظرًا لدوريتها، يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من خطوط المماس التي لها نفس الميل (نفس الميل).

مثال.

اكتب معادلات لجميع مماسات الرسم البياني للدالة والتي تكون متعامدة مع الخط.

حل.

لإنشاء معادلة مماس للرسم البياني لدالة، نحتاج فقط إلى معرفة ميلها وإحداثيات نقطة التماس.

نجد المعامل الزاوي للمماسات من: حاصل ضرب المعامل الزاوي للخطوط المستقيمة المتعامدة يساوي سالب واحد، أي. بما أن المعامل الزاوي للخط المستقيم المتعامد، حسب الشرط، يساوي إذن .

لنبدأ في إيجاد إحداثيات نقاط الظل. أولاً، دعونا نعثر على الإحداثيات، ثم نحسب القيم المقابلة للدالة - ستكون هذه إحداثيات نقاط الظل.

عند وصف المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما، لاحظنا ذلك. ومن هذه المساواة نجد حدود النقاط المماسية.

لقد وصلنا إلى معادلة مثلثية. يرجى الانتباه إليها، لأننا سنستخدمها لاحقًا عند حساب إحداثيات نقاط الظل. نحن نحلها (إذا كان لديك أي صعوبات، يرجى الرجوع إلى القسم حل المعادلات المثلثية):

تم العثور على حدود نقاط الظل، فلنحسب الإحداثيات المقابلة (هنا نستخدم المساواة التي طلبنا منك الانتباه إليها أعلاه):

وهكذا، جميع نقاط الاتصال. ولذلك، فإن معادلات الظل المطلوبة لها الشكل:

الرسم التوضيحي.

يوضح شكل المنحنى الأسود الرسم البياني للدالة الأصلية على المقطع [-10;10]، والخطوط الزرقاء تصور خطوط الظل. ومن الواضح أنها متعامدة مع الخط الأحمر. يتم تمييز نقاط اللمس بنقاط حمراء.

مماس للدائرة، القطع الناقص، القطع الزائد، القطع المكافئ.

حتى هذه اللحظة، كنا مشغولين بإيجاد معادلات لمماسات الرسوم البيانية للدوال ذات القيمة الواحدة من النموذج y = f(x) في نقاط مختلفة. المعادلات الأساسية لمنحنيات الدرجة الثانية ليست دوالاً ذات قيمة واحدة. لكن يمكننا تمثيل الدائرة والقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ من خلال الجمع بين دالتين أحاديتي القيمة، وبعد ذلك يمكننا تكوين معادلات ظلية وفقًا لمخطط معروف.

مماس لدائرة.

دائرة مركزها نقطة ويتم إعطاء نصف القطر R بواسطة .

لنكتب هذه المساواة كاتحاد بين وظيفتين:

هنا تتوافق الوظيفة الأولى مع نصف الدائرة العلوي، والثانية - إلى الجزء السفلي.

وبالتالي، من أجل بناء معادلة مماس الدائرة عند نقطة تنتمي إلى نصف الدائرة العلوي (أو السفلي)، نجد معادلة مماس الرسم البياني للدالة (أو) عند النقطة المحددة.

ومن السهل إظهار ذلك عند نقاط الدائرة ذات الإحداثيات و تكون الظلال موازية للمحور السيني وتعطى بالمعادلات وعلى التوالي (في الشكل أدناه تظهر كنقاط زرقاء وخطوط مستقيمة زرقاء)، وعند النقاط و - موازية للمحور الإحداثي ولها معادلات، على التوالي (في الشكل أدناه يتم تمييزها بنقاط حمراء وخطوط مستقيمة حمراء).

الظل إلى القطع الناقص.

القطع الناقص المتمركز عند نقطة ما مع أنصاف المحاور a و b تعطى بالمعادلة .

يمكن تعريف القطع الناقص، تمامًا مثل الدائرة، من خلال الجمع بين وظيفتين - نصف القطع الناقص العلوي والسفلي:

تكون الظلال عند رؤوس القطع الناقص متوازية إما مع محور الإحداثي السيني (كما هو موضح في الخطوط المستقيمة الزرقاء في الشكل أدناه) أو المحور الإحداثي (كما هو موضح في الخطوط المستقيمة الحمراء في الشكل أدناه).

أي أن النصف العلوي من القطع الناقص يُعطى بواسطة الدالة ، والسفلى - .

يمكننا الآن استخدام الخوارزمية القياسية لإنشاء معادلة مماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما.

المماس الأول عند النقطة:

المماس الثاني عند نقطة :

الرسم التوضيحي.

الظل إلى المبالغة.

القطع الزائد يتركز عند نقطة ما والقمم و تعطى بالمساواة (الصورة أدناه على اليسار)، ومع القمم و - المساواة (الصورة أدناه على اليمين).

كمزيج من وظيفتين، يمكن تمثيل القطع الزائد على النحو التالي:

أو .

عند رؤوس القطع الزائد، تكون المماسات موازية لمحور أوي في الحالة الأولى ومتوازية مع محور الثور في الحالة الثانية.

وبالتالي، لإيجاد معادلة المماس للقطع الزائد، نكتشف الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التماس، ونتصرف بالطريقة المعتادة.

يطرح سؤال منطقي: كيفية تحديد الوظيفة التي تنتمي إليها النقطة. للإجابة عليه، نعوض بالإحداثيات في كل معادلة ونرى أي من المتساويات يتحول إلى متطابقة. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال.

مثال.

اكتب معادلة مماس القطع الزائد عند نقطة .

حل.

لنكتب القطع الزائد على شكل دالتين:

دعنا نتعرف على الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التماس.

بالنسبة للدالة الأولى، فإن النقطة لا تنتمي إلى الرسم البياني لهذه الدالة.

بالنسبة للدالة الثانية، تنتمي النقطة إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة.

أوجد المعامل الزاوي للظل:

وبالتالي فإن معادلة الظل لها الشكل .

الرسم التوضيحي.

الظل إلى القطع المكافئ.

إنشاء معادلة المماس للقطع المكافئ من النموذج عند النقطة التي نستخدمها المخطط القياسي، واكتب معادلة المماس بالشكل . المماس للرسم البياني لهذا القطع المكافئ عند الرأس يكون موازيًا لمحور الثور.