التوافقيات - هذا، كما يوحي الاسم نفسه، هو فرع من الرياضيات يدرس مختلف مجموعات أو مجموعات أي كائنات (عناصر) - أرقام، كائنات، حروف في الكلمات، إلخ. قسم مثير للاهتمام للغاية.) ولكن لسبب أو لآخر، من الصعب فهمه. لماذا؟ لأنه غالباً ما يحتوي على مصطلحات وتسميات أكثر صعوبة للإدراك البصري. إذا كانت الأحرف هي 10، 2، 3/4 وحتى، أو السجل 2 5 واضح لنا بصريًا، على سبيل المثال. يمكننا أن "نشعر بها" بطريقة ما، ثم باستخدام تسميات مثل 15!ص 9 تبدأ المشاكل . بالإضافة إلى ذلك، يتم تقديم هذا الموضوع في معظم الكتب المدرسية بشكل جاف للغاية ويصعب فهمه. آمل أن تساعد هذه المادة في حل هذه المشكلات قليلاً على الأقل وسوف تحب التوافقيات.)
كل واحد منا يواجه مشاكل اندماجية كل يوم. عندما نقرر في الصباح كيف نرتدي ملابسنا، فإننا يجمعأنواع معينة من الملابس. عندما نقوم بتحضير السلطة، نقوم بدمج المكونات. تعتمد النتيجة على مجموعة المنتجات التي تم اختيارها - لذيذة أو لا طعم لها. صحيح أن قضايا الذوق لم تعد تعالج عن طريق الرياضيات، ولكن عن طريق الطبخ، ولكن لا يزال.) عندما نلعب "الكلمات"، ونصنع كلمات صغيرة من كلمة طويلة، فإننا نجمع الحروف. عندما نفتح قفلًا مجمعًا أو نطلب رقم هاتف، فإننا نجمع الأرقام.) يقوم مدير المدرسة بوضع جداول الدروس، والجمع بين المواضيع. فرق كرة القدمفي البطولات العالمية أو الأوروبية يتم تقسيمهم إلى مجموعات وتشكيل مجموعات. وهكذا.)
قام الناس بحل المشكلات التوافقية في العصور القديمة (المربعات السحرية، الشطرنج)، وحدثت الذروة الحقيقية للتوافقيات في القرنين السادس والسابع، أثناء الاستخدام الواسع النطاق للمقامرة (البطاقات والنرد)، عندما كان على اللاعبين التفكير في حركات مختلفة وبالتالي في الواقع أيضًا حل المشكلات التوافقية.) جنبًا إلى جنب مع التوافقيات، نشأ فرع آخر من الرياضيات في نفس الوقت - نظرية الاحتمالات . هذان القسمان قريبان جدًا ويسيران جنبًا إلى جنب.) وعند دراسة نظرية الاحتمالات، سنواجه مشكلات التوافقيات أكثر من مرة.
وسنبدأ في دراسة التوافقيات بمفهوم حجر الزاوية مثل مضروب .
ما هو مضروب؟
كلمة "مضروب" كلمة جميلة، لكنها تخيف وتربك الكثيرين. ولكن عبثا. في هذا الدرس سوف نفهم هذا المفهوم البسيط ونتعامل معه جيدًا.) تأتي هذه الكلمة من الكلمة اللاتينية "factorialis"، والتي تعني "الضرب". ولسبب وجيه: حساب أي مضروب يعتمد على العادي الضرب.)) إذن، ما هو مضروب.
دعونا نأخذ بعض عدد طبيعي ن . اعتباطي تمامًا: نريد 2، نريد 10، أيًا كان، طالما كان ذلك طبيعيًا.) لذا، مضروب عدد طبيعي ن هو نتاج جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى ن شاملة. يتم تعيينه مثل هذا: ن! إنه،
ولكي لا نقوم بوصف هذا العمل الطويل في كل مرة، فقد توصلنا ببساطة إلى ملاحظة قصيرة. :) يُقرأ بشكل غير معتاد إلى حد ما: "enfactorial" (وليس العكس، "factorial en"، كما قد يبدو).
هذا كل شيء! على سبيل المثال،
هل فهمت الفكرة؟)) عظيم! ثم نتأمل الأمثلة:
الإجابات (في حالة من الفوضى): 30؛ 0.1; 144؛ 6؛ 720؛ 2؛ 5040.
هل نجح كل شيء؟ رائع! نحن نعرف بالفعل كيفية حساب المضروب وحل الأمثلة البسيطة معهم. دعونا نمضي قدما. :)
خصائص العامل
دعونا ننظر في التعبير 0، وهو ليس واضحا جدا من وجهة نظر تحديد المضروب. لذلك في الرياضيات تم الاتفاق على ذلك
نعم نعم! هذه معادلة مثيرة للاهتمام. سواء من واحد أو من صفر، فإن المضروب هو نفسه - واحد.)) في الوقت الحالي، دعونا نعتبر هذه المساواة بمثابة عقيدة، ولكن لماذا هذا بالضبط سوف يكون واضحًا بعد قليل، مع الأمثلة.))
الخاصيتان التاليتان متشابهتان جدًا:
يمكن إثباتها بطريقة أولية. مباشرة بمعنى مضروب.)
تسمح هاتان الصيغتان، أولاً، بحساب مضروب العدد الطبيعي الحالي بسهولة من خلال المضروب سابقأرقام. أو التالية حتى الحالية.) تسمى هذه الصيغ في الرياضيات متكرر.
ثانيًا، بمساعدة هذه الصيغ، يمكنك تبسيط وحساب بعض التعبيرات الصعبة باستخدام العوامل. مثل هذه.
احسب:
كيف سنمضي قدما؟ اضرب كل شيء بالتسلسل الأعداد الطبيعيةمن 1 إلى 1999 ومن 1 إلى 2000؟ سوف تفاجأ بهذا! لكن خصائص المثال يتم حلها حرفيًا في سطر واحد:
أو مثل هذا:
أو مثل هذه المهمة. بسّط:
مرة أخرى نعمل مباشرة على الخصائص:
لماذا هناك حاجة إلى العوامل ومن أين أتت؟ حسنا، لماذا يحتاجون؟ هذا سؤال فلسفي. في الرياضيات، لا شيء يحدث بهذه الطريقة، فقط من أجل الجمال.)) في الواقع، المضروب له عدد كبير من التطبيقات. هذه هي ذات الحدين لنيوتن، ونظرية الاحتمالات، والمتسلسلات، وصيغة تايلور، وحتى العدد الشهيره ، وهو مبلغ لا نهائي مثير للاهتمام:
كلما سألت أكثرن كلما زاد عدد الحدود في المجموع وكان هذا المجموع أقرب إلى الرقمه . وفي حدعندما يصبح مساوياً للرقم بالضبطه . :) ولكننا سنتحدث عن هذا الرقم المذهل في الموضوع المناسب. وهنا لدينا العوامل والتوافقيات.)
من أين أتوا؟ لقد أتوا من التوافقيات، من دراسة مجموعات من العناصر.) أبسط هذه المجموعة هي إعادة ترتيب دون تكرار. لنبدأ به. :)
إعادة الترتيب دون تكرار
دعونا لدينا اثنين متنوعهدف. أو عنصر. على الاطلاق أي. تفاحتان (حمراء وأخضر)، قطعتان من الحلوى (شوكولاتة وكراميل)، كتابان، رقمان، حرفان - أي شيء. لو كانوا كذلك متنوع.) دعونا نسميهمأ وب على التوالى.
ماذا يمكنك أن تفعل معهم؟ إذا كانت هذه حلوى، فيمكنك بالطبع تناولها.)) سوف نتحملها الآن ونأكلها الترتيب بترتيب مختلف.
ويسمى كل موقع من هذا القبيل إعادة ترتيب دون تكرار. لماذا "لا تكرار"؟ لأن جميع العناصر المشاركة في التقليب هي مختلف. ومن أجل التبسيط، قررنا ذلك حتى الآن. هناك المزيد التقليب مع التكرارحيث قد تكون بعض العناصر متماثلة. لكن مثل هذه التباديل أكثر تعقيدًا بعض الشيء. المزيد عنها لاحقًا.)
لذلك، إذا تم النظر في عنصرين مختلفين، فإن الخيارات التالية ممكنة:
أ.ب , ب أ .
هناك خياران فقط، أي. اثنين من التباديل. متفرقة.)
الآن دعونا نضيف عنصرًا آخر إلى مجموعتناج . وفي هذه الحالة سيكون هناك ستة تباديل:
اي بي سي , ايه سي بي , باك , قبل الميلاد. , الكابينة , C.B.A. .
سنقوم ببناء التباديل لأربعة عناصر على النحو التالي. أولا، دعونا نضع العنصر أولاأ . وفي نفس الوقت الباقي ثلاثةيمكن إعادة ترتيب العناصر، كما نعلم بالفعل، ستةطرق:
وهذا يعني أن عدد التباديل مع العنصر الأولأ يساوي 6.
لكن نفس القصة ستظهر إذا وضعنا أولاً أيمن هذه العناصر الأربعة. لديهم حقوق متساوية وكل منهم يستحق أن يكون في المركز الأول.) وهذا يعني أن إجمالي عدد التباديل لأربعة عناصر سيكون مساوياً لـ . وهنا هم:
لذلك، لتلخيص: التقليب منن تسمى العناصر أي أمرمجموعة من هذهنعناصر.
كلمة "مرتبة" هي المفتاح هنا: كل التقليب يختلف فقط ترتيب العناصر، وتبقى العناصر نفسها في المجموعة كما هي.
يبقى فقط معرفة عدد هذه التباديل أي عدد العناصر: نحن لسنا مازوشيين نكتبهم في كل مرة الجميعخيارات مختلفة وحسابها. :) بالنسبة للعناصر الأربعة، تلقينا 24 التباديل - وهذا بالفعل كثير جدًا بالنسبة للإدراك البصري. ماذا لو كان هناك 10 عناصر؟ أو 100؟ سيكون من الجيد إنشاء صيغة يمكنها، بضربة واحدة، حساب عدد كل هذه التباديل لأي عدد من العناصر. وهناك مثل هذه الصيغة! الآن سوف نشتقها.) لكن أولاً، دعونا نصوغ قاعدة مساعدة واحدة مهمة جدًا في جميع التوافقيات، تسمى قاعدة المنتج .
قاعدة المنتج: إذا تم تضمينها في المجموعةن خيارات مختلفةاختيار العنصر الأول ولكل منهم هناكم خيارات مختلفة لاختيار العنصر الثاني، ثم ما مجموعهن · م أزواج مختلفة من هذه العناصر.
والآن، دعونا الآن يكون هناك مجموعة منن عناصر مختلفة
,
حيث، بطبيعة الحال،. نحن بحاجة إلى حساب عدد جميع التباديل الممكنة لعناصر هذه المجموعة. نحن نفكر بنفس الطريقة تمامًا.)) يمكنك وضع أي منها في المقام الأولن عناصر. وهذا يعني ذلك عدد الطرق لتحديد العنصر الأول هو ن .
الآن تخيل أن لدينا العنصر الأول المحدد (ن الطرق، كما نتذكر). كم عدد العناصر غير المحددة المتبقية في المجموعة؟ يمين،ن-1 . :) هذا يعني أنه لا يمكن تحديد العنصر الثاني إلان-1 طرق. ثالث -ن -2 الطرق (حيث تم تحديد عنصرين بالفعل). وهكذا، العنصر كيمكنك الاختيارن-(ك-1) بطرق، ما قبل الأخير - بطريقتين، والعنصر الأخير - بطريقة واحدة فقط، حيث تم بالفعل تحديد جميع العناصر الأخرى بطريقة أو بأخرى. :)
حسنا، الآن دعونا نبني الصيغة.
لذلك، فإن عدد الطرق لاختيار العنصر الأول من المجموعة هون . على كلمن هؤلاءن طرق وفقان-1 طريقة اختيار الثاني . وهذا يعني أن العدد الإجمالي لطرق تحديد العنصرين الأول والثاني، وفقًا لـ قاعدة المنتج، سيكون متساويان (ن-1) . وعلاوة على ذلك، كل واحد منهم، بدوره، يمثلن -2 طريقة اختيار العنصر الثالث وسائل، ثلاثةيمكن بالفعل تحديد العنصرن(ن-1)(ن-2) طرق. وهكذا:
4 عناصر - 
طرق
عناصر ك بطرق,
ن العناصر بطرق.
وسائل، نعناصريمكن اختيارها (أو ترتيبها في حالتنا) بطرق.
يشار إلى عدد هذه الطرق على النحو التالي:ب . يقرأ: "pe from en." من الفرنسيين " صالتقليب - إعادة الترتيب." ترجمتها إلى اللغة الروسية تعني: "التقليب من ن عناصر".
وسائل،
الآن دعونا نلقي نظرة على التعبير، واقفًا على الجانب الأيمن من الصيغة. لا يذكرك بأي شيء؟ ماذا لو أعدت كتابتها من اليمين إلى اليسار هكذا؟
حسنًا بالطبع! عامل، شخصيا. :) الآن يمكنك الكتابة بإيجاز:
وسائل، رقم الجميعالتباديل المحتملة من ن العناصر المختلفة متساوية ن! .
هذا هو المعنى العملي الرئيسي للمضروب.))
الآن يمكننا بسهولة الإجابة على العديد من الأسئلة المتعلقة بالمجموعات والتباديل.)
بكم طريقة يمكن وضع 7 كتب مختلفة على الرف؟
ف7 = 7! = 1 2·3·4·5·6·7 = 5040 طرق.)
بكم طريقة يمكنك عمل جدول (ليوم واحد) من 6 مواضيع مختلفة؟
ص6=6! = 1 2·3·4·5·6 = 720 طرق.
بكم طريقة يمكن ترتيب 12 شخصا في عمود؟
لا شك! ف 12 = 12! = 1 2·3·...·12 = 479001600 طرق. :)
عظيم، أليس كذلك؟
هناك مشكلة مزحة مشهورة جدًا حول موضوع التباديل:
في أحد الأيام، ذهب 8 أصدقاء إلى مطعم به طاولة مستديرة كبيرة، وتجادلوا لفترة طويلة فيما بينهم حول أفضل طريقة للجلوس حول هذه الطاولة. تجادلوا وجادلوا حتى عرض عليهم صاحب المطعم في النهاية صفقة: لماذا تتجادلون؟ لن يبقى أحد منكم جائعًا على أي حال :) أولاً، اجلس بطريقة ما! تذكر ترتيب الجلوس اليوم جيدًا. ثم تعال غدا واجلس بشكل مختلف. في اليوم التالي تعال واجلس مرة أخرى بطريقة جديدة! وهكذا... بمجرد مراجعة جميع خيارات الجلوس الممكنة وحان الوقت للجلوس مرة أخرى كما فعلت اليوم، فليكن، أعدك بإطعامك في مطعمي مجانًا! من سيفوز المالك أم الزوار؟ :)
حسنًا، لنحسب عدد جميع خيارات الجلوس الممكنة. في حالتنا، هذا هو عدد التباديل لـ 8 عناصر:
ف 8 = 8! = 40320 طرق.
دعونا نحصل على 365 يومًا في السنة (لن نأخذ في الاعتبار الأيام الكبيسة من أجل البساطة). وهذا يعني أنه حتى مع أخذ هذا الافتراض في الاعتبار، فإن عدد السنوات التي ستستغرقها تجربة جميع طرق الزراعة الممكنة سيكون:
أكثر من 110 سنة! وهذا هو، حتى لو تم إحضار أبطالنا على الكراسي المتحركة إلى المطعم من قبل أمهاتهم مباشرة من مستشفى الولادة، فلن يتمكنوا من الحصول على وجبات غداء مجانية إلا في سن المعمرين الكبار جدًا. إذا، بالطبع، بقي الثمانية جميعًا على قيد الحياة حتى هذا العمر.))
وذلك لأن المضروب هو دالة متزايدة بسرعة كبيرة! انظر بنفسك:
بالمناسبة، ماذا تفعل المساواة و1! = 1 ؟ وإليك الطريقة: من مجموعة فارغة (0 عناصر) يمكننا الإنشاء فقط واحدالتقليب - مجموعة فارغة. :) تمامًا كما هو الحال في مجموعة تتكون من عنصر واحد فقط، يمكننا أيضًا صنعها فقط واحدالتقليب - هذا العنصر نفسه.
هل كل شيء واضح مع إعادة الترتيب؟ عظيم، فلنقم بالمهام.)
المهمة 1
احسب:
أ)ص 3 ب)ص5
في)ص9:ص8 ز)P2000:P1999
المهمة 2
هل صحيح ذلك
المهمة 3
كم عدد الأعداد المختلفة المكونة من أربعة أرقام التي يمكن تكوينها؟
أ) من الأرقام 1، 2، 3، 4
ب) من الأرقام 0، 5، 6، 7؟
تلميح للنقطة ب): لا يمكن أن يبدأ الرقم بالرقم 0!
المهمة 4
يتم استدعاء الكلمات والعبارات ذات الحروف المعاد ترتيبها الجناس الناقصة. كم عدد الجناس التي يمكن تكوينها من كلمة "الوتر"؟
المهمة 5
كم عدد الأعداد المكونة من خمسة أرقام والتي تقبل القسمة على 4 والتي يمكن تكوينها عن طريق تبديل الأرقام في الرقم 61135؟
تلميح: تذكر اختبار قابلية القسمة على 4 (بناءً على آخر رقمين)!
الإجابات في حالة من الفوضى: 2000؛ 3628800; 9؛ 24؛ 120؛ 18؛ 12؛ 6.
حسنًا ، لقد نجح كل شيء! تهانينا! اكتمل المستوى الأول، فلننتقل إلى المستوى التالي. مُسَمًّى " مواضع دون تكرار."
عاملي.
مضروب - هذا هو اسم الدالة التي يتم مواجهتها غالبًا في الممارسة العملية، ويتم تعريفها للأعداد الصحيحة غير السالبة. يأتي اسم الوظيفة من المصطلح الرياضي الإنجليزي عامل- "المضاعف". تم تعيينه ن!. علامة العامل " ! "تم تقديمه عام 1808 في الكتاب المدرسي الفرنسي Chr. كرومب.
لكل عدد صحيح موجب نوظيفة ن!يساوي منتج جميع الأعداد الصحيحة من 1 ل ن.
على سبيل المثال:
4! = 1*2*3*4 = 24.
للراحة، ونحن نفترض بحكم التعريف 0! = 1 . كتب ج. واليس عام 1656 في كتابه "حساب اللانهائي" أن مضروب الصفر يجب، حسب التعريف، أن يساوي واحدًا.
وظيفة ن!ينمو مع زيادة نبسرعة كبيرة. لذا،
(ن+1)! = (ن + 1) ن! = (ن + 1) ن (ن – 1)!
(1) عالم الرياضيات الإنجليزي ج.ستيرلينغ في عام 1970 عرضت مريحة للغايةصيغة
لحساب تقريبي للدالة n!: أين = ه
2.7182... هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية.
الخطأ النسبي عند استخدام هذه الصيغة صغير جدًا وينخفض بسرعة مع زيادة الرقم n.
دعونا نلقي نظرة على طرق حل التعبيرات التي تحتوي على مضروب باستخدام الأمثلة.مثال 1 .
.(ن!+1)! = (ن! + 1) ن! 10! 8!
مثال 2.
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
احسبحل. (ن + 3)! = 90 لنستخدم الصيغة (1):
مثال 2مثال 3
. حل المعادلة
(ن+1)! + 3)! = (ن + 3)(وفقا للصيغة (1) لدينا= (ن + 3)(ن + 2) = 90.
(ن
ن + 2)(ن+1)! + (ن+1)! (ن+1)!
بفتح الأقواس في المنتج نحصل على معادلة تربيعيةن 2 5n - 84 = 0، جذورها هي الأعداد n = 7 و n = -12. ومع ذلك، يتم تعريف المضروب فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، أي لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0. لذلك، فإن الرقم n = -12 لا يستوفي شروط المشكلة. إذن ن = 7.مثال 4.
مثال 2ومن تعريف مضروب العدد الطبيعي n يتبع ذلك
(ن+1)! = (ن + 1) ن!
دعونا نضع n + 1 = y في هذه المساواة! = س، أين فيهو عدد طبيعي تعسفي، نحصل عليه
الآن نرى أنه يمكن تحديد ثلاثية الأرقام المطلوبة في النموذج
(ص!;ص;ص!-1) (2)
حيث y عدد طبيعي أكبر من 1.
على سبيل المثال، المساواة صحيحة
مثال 5.تحديد عدد الأصفار التي تنتهي بالتدوين العشري للرقم 32!.
مثال 2إذا كان التدوين العشري لرقم ر= 32! ينتهي كصفر ثم الرقم ريمكن تمثيلها في النموذج
ف = س 10 كيلو,
أين هو الرقم س لا يقبل القسمة على 10. وهذا يعني أن تحلل الرقم سالعوامل الأولية لا تحتوي على 2 و 5
لذلك، للإجابة على السؤال المطروح، دعونا نحاول تحديد ما هي أسس المنتج 1 2 3 4 ... 30 31 32 يتضمن الرقمين 2 و 5. إذا كان الرقم ك- أصغر المؤشرات الموجودة فينتهي الرقم P كأصفار.
لذلك، دعونا نحدد عدد الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32 القابلة للقسمة على 2. ومن الواضح أن عددها هو 32/2 = 16. ثم سنحدد عدد الأعداد الـ 16 الموجودة القابلة للقسمة على 4؛ ثم - كم منهم يقبل القسمة على 8، وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، نحصل على أنه من بين أول اثنين وثلاثين رقمًا طبيعيًا، هناك 16 رقمًا يقبل القسمة على 2،
منها 32/4 = 8 أرقام تقبل القسمة على 4، منها 32/8 = 4 أرقام تقبل القسمة على 8، منها 32/16 = رقمان تقبل القسمة على 16، وأخيرا، من هذه الأرقام 32/32 = 1 يقبل القسمة على 32، هؤلاء. رقم واحد. ومن الواضح أن مجموع الكميات الواردة:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
يساوي الأس الذي تم تضمين الرقم 2 في 32!.
وبالمثل، دعونا نحدد عدد الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32 التي تقبل القسمة على 5، ومن العدد الموجود على 10. نقسم 32 على 5.
نحصل على 32/5 = 6.4. ولذلك بين الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32
هناك 6 أرقام تقبل القسمة على 5. واحد منهم يقبل القسمة على 25
العدد منذ 32/25 = 1.28. ونتيجة لذلك، تم تضمين الرقم 5 في الرقم 32! بمؤشر يساوي المجموع 6+1 = 7.
ومن النتائج التي تم الحصول عليها يترتب على ذلك أن 32!= 2 31 5 7 تي،أين هو الرقم تلا يقبل القسمة على 2 أو 5. وبالتالي فإن الرقم هو 32! يحتوي على مضاعف
10 7، وبالتالي ينتهي بـ 7 أصفار.
لذلك، في هذا الملخص تم تعريف مفهوم المضروب.
تم إعطاء صيغة عالم الرياضيات الإنجليزي J. Stirling للحساب التقريبي للدالة n!
عند تحويل التعبيرات التي تحتوي على مضروب، فمن المفيد استخدام المساواة
(ن+1)! = (ن + 1) ن! = (ن + 1) ن (ن – 1)!
تتم مناقشة طرق حل المشكلات مع المضروب بالتفصيل باستخدام الأمثلة.
يتم استخدام العامل في صيغ مختلفة في التوافقيات,في الرتب الخ
على سبيل المثال، عدد طرق البناء نتلاميذ المدارس في سطر واحد يساوي ن!.
رقم ن! يساوي، على سبيل المثال، عدد الطرق التي يمكن من خلالها ترتيب n من الكتب المختلفة على رف الكتب، أو، على سبيل المثال، الرقم 5! يساوي عدد الطرق التي يمكن بها جلوس خمسة أشخاص على مقعد واحد. أو مثلا الرقم 27! يساوي عدد الطرق التي يمكن لفصلنا المكون من 27 طالبًا أن يصطفوا في صف التربية البدنية.
الأدب.
ريازانوفسكي أ.ر.، زايتسيف إ.أ.
الرياضيات. 5-11 الدرجات: مواد إضافيةلدرس الرياضيات. -م: حبارى، 2001.- (مكتبة المعلم).
القاموس الموسوعي لعالم الرياضيات الشاب. / شركات.
أ.ب.سافين-م: علم أصول التدريس، 1985
عاملي.
مضروب - هذا هو اسم الدالة التي يتم مواجهتها غالبًا في الممارسة العملية، ويتم تعريفها للأعداد الصحيحة غير السالبة. يأتي اسم الوظيفة من المصطلح الرياضي الإنجليزي عامل- "المضاعف". تم تعيينه ن!. علامة العامل " ! "تم تقديمه عام 1808 في الكتاب المدرسي الفرنسي Chr. كرومب.
لكل عدد صحيح موجب نوظيفة ن!يساوي منتج جميع الأعداد الصحيحة من 1 ل ن.
على سبيل المثال:
4! = 1*2*3*4 = 24.
للراحة، ونحن نفترض بحكم التعريف 0! = 1 . كتب ج. واليس عام 1656 في كتابه "حساب اللانهائي" أن مضروب الصفر يجب، حسب التعريف، أن يساوي واحدًا.
وظيفة ن!ينمو مع زيادة نبسرعة كبيرة. لذا،
(ن+1)! = (ن + 1) ن! = (ن + 1) ن (ن – 1)!
(1) عالم الرياضيات الإنجليزي ج.ستيرلينغ في عام 1970 عرضت مريحة للغايةصيغة
لحساب تقريبي للدالة n!: أين = ه
2.7182... هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية.
الخطأ النسبي عند استخدام هذه الصيغة صغير جدًا وينخفض بسرعة مع زيادة الرقم n.
دعونا نلقي نظرة على طرق حل التعبيرات التي تحتوي على مضروب باستخدام الأمثلة.مثال 1 .
.(ن!+1)! = (ن! + 1) ن! 10! 8!
مثال 2.
10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!
احسبحل. (ن + 3)! = 90 لنستخدم الصيغة (1):
مثال 2مثال 3
. حل المعادلة
(ن+1)! + 3)! = (ن + 3)(وفقا للصيغة (1) لدينا= (ن + 3)(ن + 2) = 90.
(ن
ن + 2)(ن+1)! + (ن+1)! (ن+1)!
بفتح الأقواس في المنتج نحصل على معادلة تربيعيةن 2 5n - 84 = 0، جذورها هي الأعداد n = 7 و n = -12. ومع ذلك، يتم تعريف المضروب فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة، أي لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0. لذلك، فإن الرقم n = -12 لا يستوفي شروط المشكلة. إذن ن = 7.مثال 4.
مثال 2ومن تعريف مضروب العدد الطبيعي n يتبع ذلك
(ن+1)! = (ن + 1) ن!
دعونا نضع n + 1 = y في هذه المساواة! = س، أين فيهو عدد طبيعي تعسفي، نحصل عليه
الآن نرى أنه يمكن تحديد ثلاثية الأرقام المطلوبة في النموذج
(ص!;ص;ص!-1) (2)
حيث y عدد طبيعي أكبر من 1.
على سبيل المثال، المساواة صحيحة
مثال 5.تحديد عدد الأصفار التي تنتهي بالتدوين العشري للرقم 32!.
مثال 2إذا كان التدوين العشري لرقم ر= 32! ينتهي كصفر ثم الرقم ريمكن تمثيلها في النموذج
ف = س 10 كيلو,
أين هو الرقم س لا يقبل القسمة على 10. وهذا يعني أن تحلل الرقم سالعوامل الأولية لا تحتوي على 2 و 5
لذلك، للإجابة على السؤال المطروح، دعونا نحاول تحديد ما هي أسس المنتج 1 2 3 4 ... 30 31 32 يتضمن الرقمين 2 و 5. إذا كان الرقم ك- أصغر المؤشرات الموجودة فينتهي الرقم P كأصفار.
لذلك، دعونا نحدد عدد الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32 القابلة للقسمة على 2. ومن الواضح أن عددها هو 32/2 = 16. ثم سنحدد عدد الأعداد الـ 16 الموجودة القابلة للقسمة على 4؛ ثم - كم منهم يقبل القسمة على 8، وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، نحصل على أنه من بين أول اثنين وثلاثين رقمًا طبيعيًا، هناك 16 رقمًا يقبل القسمة على 2،
منها 32/4 = 8 أرقام تقبل القسمة على 4، منها 32/8 = 4 أرقام تقبل القسمة على 8، منها 32/16 = رقمان تقبل القسمة على 16، وأخيرا، من هذه الأرقام 32/32 = 1 يقبل القسمة على 32، هؤلاء. رقم واحد. ومن الواضح أن مجموع الكميات الواردة:
16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
يساوي الأس الذي تم تضمين الرقم 2 في 32!.
وبالمثل، دعونا نحدد عدد الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32 التي تقبل القسمة على 5، ومن العدد الموجود على 10. نقسم 32 على 5.
نحصل على 32/5 = 6.4. ولذلك بين الأعداد الطبيعية من 1 إلى 32
هناك 6 أرقام تقبل القسمة على 5. واحد منهم يقبل القسمة على 25
العدد منذ 32/25 = 1.28. ونتيجة لذلك، تم تضمين الرقم 5 في الرقم 32! بمؤشر يساوي المجموع 6+1 = 7.
ومن النتائج التي تم الحصول عليها يترتب على ذلك أن 32!= 2 31 5 7 تي،أين هو الرقم تلا يقبل القسمة على 2 أو 5. وبالتالي فإن الرقم هو 32! يحتوي على مضاعف
10 7، وبالتالي ينتهي بـ 7 أصفار.
لذلك، في هذا الملخص تم تعريف مفهوم المضروب.
تم إعطاء صيغة عالم الرياضيات الإنجليزي J. Stirling للحساب التقريبي للدالة n!
عند تحويل التعبيرات التي تحتوي على مضروب، فمن المفيد استخدام المساواة
(ن+1)! = (ن + 1) ن! = (ن + 1) ن (ن – 1)!
تتم مناقشة طرق حل المشكلات مع المضروب بالتفصيل باستخدام الأمثلة.
يتم استخدام العامل في صيغ مختلفة في التوافقيات,في الرتب الخ
على سبيل المثال، عدد طرق البناء نتلاميذ المدارس في سطر واحد يساوي ن!.
رقم ن! يساوي، على سبيل المثال، عدد الطرق التي يمكن من خلالها ترتيب n من الكتب المختلفة على رف الكتب، أو، على سبيل المثال، الرقم 5! يساوي عدد الطرق التي يمكن بها جلوس خمسة أشخاص على مقعد واحد. أو مثلا الرقم 27! يساوي عدد الطرق التي يمكن لفصلنا المكون من 27 طالبًا أن يصطفوا في صف التربية البدنية.
الأدب.
ريازانوفسكي أ.ر.، زايتسيف إ.أ.
الرياضيات. دليل تلاميذ المدارس. / شركات. جي إم. ياكوشيفا.- م: عالم فقه اللغة. جمعية "سلوفو"، 1996.
القاموس الموسوعي لعالم الرياضيات الشاب. / شركات.
أ.ب.سافين-م: علم أصول التدريس، 1985
الرياضيات. الصفوف 5-11: مواد إضافية لدرس الرياضيات. -م: حبارى، 2001.- (مكتبة المعلم).
يذكرنا الاستعلام لماذا الرقم المرفوع إلى القوة صفر هو واحد، وهو استعلام قمت بحله في مقالة سابقة. علاوة على ذلك، اسمحوا لي أن أؤكد ما أكدته سابقًا في شرح هذه الحقيقة الواضحة والمقبولة بلا خجل، ولكن لا يمكن تفسيرها، وهي أن العلاقة ليست تعسفية.
هناك ثلاث طرق لتحديد سبب كون العامل صفر يساوي واحدًا.
1! = 1 * 1 = 1
2! = 1 * 2 = 2
3! = 1 * 2 * 3 = 6
4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
قالب كامل
,إذا، (ن-1)! = 1*2*3*4
(ف-3) * (ن-2) * (ن-1)
,ثم، منطقيا، ن! = 1*2*3*4
(ف-٣) *(ص-٢)* (ص-١)*ص
أو ن! = ن*(ن-1)! - (أنا)
4! / 4 = 3!
3! / 3 = 2!
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
إذا نظرت عن كثب إلى هذه المسارات، فإن الصورة تكشف نفسها. دعونا ننهيها حتى تتمكن من تحقيق نتائج مشروعة:
أو 0! = 1
1! = 1 * (1-1)!
1 = 1 * 0!
إذا نظرت عن كثب إلى هذه المسارات، فإن الصورة تكشف نفسها. دعونا ننهيها حتى تتمكن من تحقيق نتائج مشروعة:
يمكن للمرء الوصول إلى هذه النتيجة ببساطة عن طريق توصيل 1 لـ "n" في (i) للحصول على:
2! / 2 = 1!
1! / 1 = 0!
0! / 0 =
,ومع ذلك، لا يقول هذا التفسير شيئًا عن سبب عدم وجود مضروبات الأعداد السالبة. دعونا نلقي نظرة على نمطنا مرة أخرى لمعرفة السبب.
أوافق على أن هذه الأساليب مشبوهة بعض الشيء؛ يبدو أنها طرق ماكرة وضمنية لتحديد مضروب الصفر. إنه مثل الجدال من أجل القش. ومع ذلك، يمكن للمرء أن يجد تفسيرًا في مجال يعتمد وجوده بالكامل على حساب العوامل - التوافقيات.
فكر في 4 كراسي يجب أن يشغلها 4 أشخاص. يمكن أن يشغل الكرسي الأول أي من هؤلاء الأشخاص الأربعة، وبالتالي فإن عدد الاختيارات الناتج سيكون 4. والآن بعد أن أصبح أحد الكراسي مشغولًا، لدينا 3 خيارات يمكن شغلها للكرسي التالي. كذلك فإن الكرسي الذي يليه يمثل خيارين، والكرسي الأخير يمثل خياراً واحداً؛ إنه مشغول بآخر شخص. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للاختيارات لدينا هو 4x3x2x1 أو 4!. أو يمكنك القول أن هناك 4! طرق تنظيم 4 كراسي مختلفة.
لذا عندما تكون قيمة "n" صفرًا، يتحول السؤال إلى ما هي طرق مختلفةتنظيم الأشياء صفر؟ واحد بالطبع! لا يوجد سوى تبديل واحد أو طريقة واحدة لترتيب أي شيء، لأنه لا يوجد شيء يمكن ترتيبه. ماذا؟ ولكي نكون منصفين، فهو ينتمي إلى فرع من فروع الفلسفة، وإن كان من الأفكار السيئة أو الخاطئة التي يثق بها الطلاب الجدد بعد قراءة اقتباسات نيتشه على موقع Pinterest.
دعونا نلقي نظرة على مثال يتضمن أشياء مادية، لأن هذا قد يحسن الفهم. تعتبر العوامل أيضًا أساسية في التركيبات الحاسوبية، وهي عملية تحدد أيضًا الآليات، ولكن على عكس التقليب، لا يهم ترتيب الأشياء. الفرق بين التقليب والجمع هو الفرق بين القفل المركب ووعاء مكعبات الفاكهة. غالبًا ما تسمى الأقفال المركبة عن طريق الخطأ "الأقفال المركبة" في حين أنها تسمى في الواقع التباديل، حيث لا يمكن لـ 123 و321 فتحها.
يمكن ترتيب الصيغة العامة لتحديد عدد مسارات الكائنات "k" بين الأماكن "n":
وحيث أنه لتحديد عدد الطرق لتحديد أو دمج الكائنات "k" من الكائنات "n":
يتيح لنا هذا، على سبيل المثال، تحديد عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار كرتين من حقيبة تحتوي على خمس كرات ألوان مختلفة. وبما أن ترتيب الكرات المختارة ليس مهما، فإننا نرجع إلى الصيغة الثانية لحساب المجموعات الجاذبة.
فماذا لو كانت قيم "n" و "k" متطابقة تمامًا؟ دعونا نستبدل هذه القيم ونكتشف ذلك. لاحظ أنه يتم الحصول على مضروب الصفر في المقام.
ولكن كيف نفهم هذه العملية الحسابية بصريًا، من وجهة نظر مثالنا؟ إن العملية الحسابية هي في الأساس حل لسؤال يطرح نفسه: ما العدد المختلف للطرق التي يمكننا من خلالها اختيار ثلاث كرات من كيس يحتوي على ثلاث كرات فقط؟ حسنًا بالطبع! اختيارهم بأي ترتيب لن يكون له أي تأثير! المعادلة الحسابية التي تحتوي على واحد ومضروب الصفر تبين أنها *دق الطبلة*
..ما هي العوامل وكيفية حلها
مضروب الرقم n، والذي يُشار إليه في الرياضيات بالحرف اللاتيني n متبوعًا بعلامة التعجب!. يتم نطق هذا التعبير بالصوت كـ "n Factorial". المضروب هو نتيجة الضرب المتسلسل لسلسلة من الأعداد الطبيعية من 1 إلى الرقم المطلوب n. على سبيل المثال 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 720 يُشار إلى مضروب الرقم n بالحرف اللاتيني n! ويتم نطقها بشكل مضروب. يمثل الضرب المتسلسل (المنتج) لجميع الأعداد الطبيعية بدءاً من 1 إلى الرقم n. على سبيل المثال: 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 720
العامل له معنى رياضي فقط إذا كان الرقم عددًا صحيحًا وموجبًا (طبيعي). يأتي هذا المعنى من تعريف المضروب ذاته، لأنه جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة وغير سالبة. يمكن الاطلاع على قيم المضروبات، وهي نتيجة ضرب التسلسل من واحد إلى الرقم n، في جدول المضروبات. مثل هذا الجدول ممكن لأن القيمة العاملية لأي عدد صحيح معروفة مسبقًا وهي، إذا جاز التعبير، قيمة جدولية.
حسب التعريف 0! = 1. أي أنه إذا كان هناك مضروب صفر فإننا لا نضرب أي شيء وتكون النتيجة أول عدد طبيعي موجود وهو واحد.
يمكن عرض نمو دالة المضروب على الرسم البياني. سيكون هذا قوسًا مشابهًا لدالة x-squared، والتي ستتجه بسرعة نحو الأعلى.
العامل هو وظيفة سريعة النمو. إنها تنمو وفقًا للرسم البياني بشكل أسرع من دالة متعددة الحدود من أي درجة وحتى من الدالة الأسية. ينمو المضروب بشكل أسرع من كثيرات الحدود من أي درجة والدالة الأسية (ولكن في نفس الوقت أبطأ من الدالة الأسية المزدوجة). ولهذا السبب قد يكون من الصعب حساب المضروب يدويًا، لأن النتيجة يمكن أن تكون كبيرة جدًا عدد كبير. لتجنب حساب المضروب يدويًا، يمكنك استخدام الآلة الحاسبة للمضروب، والتي يمكنك من خلالها الحصول على الإجابة بسرعة. يتم استخدام المضروب في التحليل الوظيفي ونظرية الأعداد والتوافقيات، حيث يكون له معنى رياضي كبير مرتبط بعدد جميع المجموعات غير المرتبة المحتملة من الكائنات (الأرقام).
آلة حاسبة مضروبة مجانية على الإنترنت
تتيح لك أداة الحل المجانية لدينا حساب العوامل عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الآلة الحاسبة. يمكنك أيضًا معرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كان لا يزال لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة فكونتاكتي الخاصة بنا.
