مساعدة في حل الحدود. الوظائف الأولية والرسوم البيانية الخاصة بها. وظائف متناهية الصغر

عند حساب الحدود، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار القواعد الأساسية التالية:

1. نهاية مجموع (فرق) الدوال يساوي مجموع (فرق) حدود الحدود:

2. نهاية منتج الدوال يساوي منتج حدود العوامل:

3. حد النسبة بين الدالتين يساوي نسبة حدود هذه الدوال:

.

4. يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد:

.

5. نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه:

6. بالنسبة للوظائف المستمرة، يمكن تبديل رموز الحد والوظيفة:

.

يجب أن يبدأ العثور على نهاية الدالة عن طريق استبدال القيمة في تعبير الدالة. علاوة على ذلك، إذا تم الحصول على القيمة العددية 0 أو ¥، فقد تم العثور على الحد المطلوب.

مثال 2.1.احسب الحد.

حل.

.

تسمى التعبيرات من النموذج , , , عدم اليقين.

إذا حصلت على عدم يقين في النموذج، للعثور على النهاية التي تحتاجها لتحويل الدالة للكشف عن عدم اليقين هذا.

عادةً ما يتم الحصول على عدم اليقين في الشكل عند تحديد حد النسبة بين كثيرتي الحدود. في هذه الحالة، لحساب النهاية، يوصى بتحليل كثيرات الحدود وتقليلها بعامل مشترك. هذا المضاعف يساوي الصفرعند القيمة الحدية X .

مثال 2.2.احسب الحد.

حل.

بالتعويض نحصل على عدم اليقين:

.

دعونا نحلل البسط والمقام:

;

دعونا نختصر بعامل مشترك ونحصل على

.

يتم الحصول على عدم اليقين في النموذج عندما يتم إعطاء حد نسبة اثنين من كثيرات الحدود عند . في هذه الحالة، لحسابها، يوصى بتقسيم كل من كثيرات الحدود على X في الدرجة العليا.

مثال 2.3.احسب الحد.

حل.عند التعويض بـ ∞، نحصل على عدم يقين في الشكل، لذلك نقسم جميع حدود التعبير على × 3.

.

ويراعى هنا أن .

عند حساب حدود دالة تحتوي على جذور، يوصى بضرب الدالة وتقسيمها على مرافقها.

مثال 2.4.حساب الحد

حل.

عند حساب النهايات للكشف عن عدم اليقين في الشكل أو (1) ∞، غالباً ما يتم استخدام الحدين الملحوظين الأول والثاني:

العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الثاني الملحوظ.

دعونا نفكر في مثال Ya. I. Perelman، مع إعطاء تفسير للرقم هفي مشكلة حول الفائدة المركبة. وفي بنوك الادخار، تضاف أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الانضمام في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ أكبر في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية.

دع 100 منكر تودع في البنك. وحدات على أساس 100% سنويا. إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، ففي هذه الفترة 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 وحدة نقدية.

الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 إنكار. وحدات، إذا تم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. وبعد ستة أشهر 100 دن. وحدات سوف تنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - بمقدار 150 × 1.5 = 225 (دن. وحدة). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات سوف يتحول إلى 100 × (1 +1/3) 3 "237 (وحدات دن).

سنزيد شروط إضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، إلى 0.01 سنة، إلى 0.001 سنة، وما إلى ذلك. ثم من أصل 100 دن. وحدات وبعد عام يصبح:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (الوحدات)،

100 × (1+1/100) 100 » 270 (الوحدات)،

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (الوحدات).

ومع التخفيض غير المحدود في شروط إضافة الفائدة، فإن رأس المال المتراكم لا ينمو إلى أجل غير مسمى، بل يقترب من حد معين يساوي 271 تقريبًا. ولا يمكن لرأس المال المودع بنسبة 100% سنويًا أن يزيد بأكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تمت إضافتها إلى العاصمة كل ثانية فقط بسبب

مثال 2.5.احسب نهاية الدالة

حل.

مثال 2.6.احسب نهاية الدالة .

حل.استبدال نحصل على عدم اليقين:

.

استخدام الصيغة المثلثية، تحويل البسط إلى منتج:

ونتيجة لذلك نحصل

ويؤخذ الثاني بعين الاعتبار هنا حد رائع.

مثال 2.7.احسب نهاية الدالة

حل.

.

للكشف عن عدم اليقين في النموذج أو، يمكنك استخدام قاعدة L'Hopital، والتي تعتمد على النظرية التالية.

نظرية.نهاية النسبة بين دالتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي يساوي نهاية النسبة بين مشتقاتهما

لاحظ أنه يمكن تطبيق هذه القاعدة عدة مرات متتالية.

مثال 2.8.يجد

حل.عند الاستبدال، لدينا عدم اليقين في النموذج. وبتطبيق قاعدة لوبيتال نحصل على

استمرارية الوظيفة

خاصية هامةالوظيفة هي الاستمرارية.

تعريف.تعتبر الوظيفة مستمر، إذا كان التغيير الطفيف في قيمة الوسيطة يستلزم تغييرًا صغيرًا في قيمة الدالة.

رياضيا يتم كتابة هذا على النحو التالي: متى

ويقصد بـ و زيادة المتغيرات، أي الفرق بين القيم اللاحقة والسابقة: ، (الشكل 2.3)

الشكل 2.3 - زيادة المتغيرات

من تعريف الدالة المستمرة عند النقطة يتبع ذلك . وهذه المساواة تعني توافر ثلاثة شروط:

حل.للوظيفة النقطة مشبوهة بالنسبة للانقطاع، دعونا نتحقق من ذلك ونجد الحدود من جانب واحد

لذلك، ، وسائل - نقطة الاستراحة

مشتق من وظيفة

يعد عدم اليقين بشأن النوع والأنواع أكثر حالات عدم اليقين شيوعًا التي يجب الكشف عنها عند حل الحدود.

معظمتحتوي المشكلات الحدية التي يواجهها الطلاب على وجه التحديد على مثل هذه الشكوك. للكشف عنها، أو بشكل أكثر دقة، لتجنب عدم اليقين، هناك العديد من التقنيات الاصطناعية لتحويل نوع التعبير تحت علامة الحد. هذه التقنيات هي كما يلي: قسمة البسط والمقام على حدة بأعلى قوة للمتغير، والضرب بالتعبير المترافق والتحليل للاختزال اللاحق باستخدام حلول المعادلات التربيعية وصيغ الضرب المختصرة.

عدم اليقين الأنواع

مثال 1.

نيساوي 2. لذلك، نقسم البسط والمقام حدًا تلو الآخر على:

.

التعليق على الجانب الأيمن من التعبير. تشير الأسهم والأرقام إلى ما تميل إليه الكسور بعد الاستبدال نمعنى اللانهاية. هنا، كما في المثال 2، الدرجة نيوجد في المقام أكثر مما هو موجود في البسط، ونتيجة لذلك يميل الكسر بأكمله إلى أن يكون متناهيًا في الصغر أو "صغيرًا جدًا".

نحصل على الجواب: نهاية هذه الدالة مع متغير يميل إلى ما لا نهاية يساوي .

مثال 2. .

حل. هنا أعلى قوة للمتغير سيساوي 1. لذلك، نقسم البسط والمقام على حد س:

.

تعليق على التقدم المحرز في القرار. في البسط ندفع "x" تحت جذر الدرجة الثالثة، وحتى تظل درجتها الأصلية (1) دون تغيير، نخصص لها نفس درجة الجذر، أي 3. لا توجد أسهم أو أرقام إضافية في هذا المدخل، فحاول ذلك ذهنيًا، ولكن قياسًا على المثال السابق، حدد ما تتجه إليه التعبيرات في البسط والمقام بعد استبدال اللانهاية بدلاً من "x".

لقد حصلنا على الإجابة: نهاية هذه الدالة بمتغير يميل إلى ما لا نهاية تساوي صفرًا.

عدم اليقين الأنواع

مثال 3.كشف عدم اليقين والعثور على الحد.

حل. البسط هو الفرق بين المكعبات. دعونا نحللها باستخدام صيغة الضرب المختصرة من دورة الرياضيات المدرسية:

يحتوي المقام على ثلاثية الحدود التربيعية، والتي سنقوم بتحليلها عن طريق حل معادلة تربيعية (مرة أخرى رابط لحل المعادلات التربيعية):

لنكتب التعبير الذي تم الحصول عليه نتيجة للتحولات ونجد نهاية الدالة:

مثال 4.فتح حالة عدم اليقين والعثور على الحد

حل. نظرية حد الحاصل غير قابلة للتطبيق هنا، منذ ذلك الحين

لذلك، نقوم بتحويل الكسر بشكل مماثل: ضرب البسط والمقام في مرافق ذات الحدين بالمقام، والتقليل بـ س+1. وفقًا للنتيجة الطبيعية للنظرية 1، نحصل على تعبير، لحله نجد الحد المطلوب:

مثال 5.فتح حالة عدم اليقين والعثور على الحد

حل. استبدال القيمة المباشرة س= 0 في دالة معينة يؤدي إلى عدم اليقين في النموذج 0/0. وللكشف عنه، نقوم بإجراء تحويلات متطابقة ونحصل في النهاية على الحد المطلوب:

مثال 6.احسب

حل:دعونا نستخدم النظريات على النهايات

إجابة: 11

مثال 7.احسب

حل:في هذا المثال، حدود البسط والمقام تساوي 0:

; . لقد تلقينا، إذن، نظرية نهاية خارج القسمة لا يمكن تطبيقها.

دعونا نحلل البسط والمقام لتقليل الكسر بعامل مشترك يميل إلى الصفر، وبالتالي نجعل الاستخدام المحتملالنظرية 3.

دعونا نوسع ثلاثية الحدود المربعة في البسط باستخدام الصيغة، حيث x 1 و x 2 هما جذور ثلاثية الحدود. بعد التحليل والمقام، قم بتبسيط الكسر بمقدار (x-2)، ثم قم بتطبيق النظرية 3.

إجابة:

مثال 8.احسب

حل:عندما يميل البسط والمقام إلى ما لا نهاية، لذلك عند تطبيق النظرية 3 مباشرة، نحصل على التعبير الذي يمثل عدم اليقين. للتخلص من هذا النوع من عدم اليقين، يجب عليك قسمة البسط والمقام على أعلى قوة للوسيطة. في هذا المثال، تحتاج إلى القسمة على X:

إجابة:

مثال 9.احسب

حل: × 3:

إجابة: 2

مثال 10.احسب

حل:عندما يميل البسط والمقام إلى ما لا نهاية. دعونا نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للوسيطة، أي. × 5:

=

يميل بسط الكسر إلى 1، ويميل المقام إلى 0، وبالتالي فإن الكسر يميل إلى ما لا نهاية.

إجابة:

مثال 11.احسب

حل:عندما يميل البسط والمقام إلى ما لا نهاية. دعونا نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للوسيطة، أي. × 7:

إجابة: 0

المشتق.

مشتق الدالة y = f(x) بالنسبة للوسيطة xيُسمى حد نسبة زيادته y إلى زيادة x للوسيطة x، عندما تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر: . إذا كان هذا الحد محدودًا، فالدالة ص = و(س)يقال أنه قابل للاشتقاق عند x. إذا كان هذا الحد موجودا، فإنهم يقولون أن الوظيفة ص = و(س)لديه مشتق لا نهائي عند النقطة x.

المشتقات الأساسية وظائف أولية:

1. (الثبات)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

قواعد التمايز:

أ)

الخامس)

مثال 1.أوجد مشتقة الدالة

حل:إذا تم العثور على مشتقة الحد الثاني باستخدام قاعدة اشتقاق الكسور، فإن الحد الأول هو دالة مركبة، يتم العثور على مشتقتها بالصيغة:

، أين ، ثم

عند حل الصيغ التالية تم استخدام: 1،2،10،أ،ج،د.

إجابة:

مثال 21.أوجد مشتقة الدالة

حل:كلا المصطلحين - وظائف معقدة, حيث للأول , , وللثانية , ثم

إجابة:

تطبيقات مشتقة.

1. السرعة والتسارع

دع الدالة s(t) تصف موضعكائن في بعض نظام الإحداثيات في الوقت t. إذن المشتق الأول للدالة s(t) يكون لحظيًا سرعةهدف:
الخامس = ق '= و '(ر)
المشتق الثاني للدالة s(t) يمثل اللحظية تسريعهدف:
ث=الخامس′=الصورة′′=و′′(ر)

2. معادلة الظل
ص−y0=f′(x0)(x−x0),
حيث (x0,y0) هي إحداثيات نقطة الظل، وf′(x0) هي قيمة مشتق الدالة f(x) عند نقطة الظل.

3. معادلة عادية
ص−y0=−1f′(x0)(x−x0),

حيث (x0,y0) هي إحداثيات النقطة التي يتم رسم العمود عندها، وf'(x0) هي قيمة مشتق الدالة f(x) عند هذه النقطة.

4. زيادة ونقصان وظيفة
إذا كانت f'(x0)>0، فإن الدالة تزيد عند النقطة x0. في الشكل أدناه الدالة تتزايد مثل x ×2.
إذا كانت f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1إذا كانت f′(x0)=0 أو كان المشتق غير موجود، فإن هذا المعيار لا يسمح لنا بتحديد طبيعة رتابة الدالة عند النقطة x0.

5. القيم القصوى المحلية للدالة
الدالة f(x) لها الحد الأقصى المحليعند النقطة x1، إذا كان هناك حي للنقطة x1 بحيث يكون التباين f(x1)≥f(x) ثابتًا لجميع x من هذا الحي.
وبالمثل، فإن الدالة f(x) لها الحد الأدنى المحليعند النقطة x2، إذا كان هناك جوار للنقطة x2 بحيث يكون التباين f(x2)≥f(x) ثابتًا لجميع x من هذا الحي.

6. النقاط الحرجة
النقطة x0 هي نقطة حرجةالدالة f(x)، إذا كانت المشتقة f'(x0) فيها تساوي صفرًا أو غير موجودة.

7. أول علامة كافية على وجود الحد الأقصى
إذا كانت الدالة f(x) تزيد (f′(x)>0) لجميع x في فترة ما (a,x1] وتتناقص (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) لجميع x من الفاصل الزمني )