الشكوك الرئيسية حول الحدود والإفصاح عنها. قاعدة لوبيتال: نظرية وأمثلة للحلول ما هو الرقم للقوة اللانهائية؟

يتم "خدم" حالة عدم اليقين هذه ثانية حد رائع ، وفي الجزء الثاني من هذا الدرس نظرنا بتفصيل كبير في الأمثلة القياسية للحلول الموجودة عمليًا في معظم الحالات. الآن سيتم الانتهاء من الصورة مع الأسس، بالإضافة إلى ذلك، سيتم تخصيص المهام النهائية للدرس للحدود "الخاطئة"، حيث يبدو أنه من الضروري تطبيق الحد الرائع الثاني، على الرغم من أن هذا ليس على الإطلاق قضية.

عيب الصيغتين العمليتين للحد الملحوظ الثاني هو أن الوسيطة يجب أن تميل إلى "زائد اللانهاية" أو إلى الصفر. ولكن ماذا لو كانت الحجة تميل إلى رقم مختلف؟

تأتي صيغة عالمية للإنقاذ (والتي هي في الواقع نتيجة للحد الثاني الملحوظ):

يمكن القضاء على عدم اليقين باستخدام الصيغة:

في مكان ما أعتقد أنني شرحت بالفعل ما تعنيه الأقواس المربعة. لا شيء خاص، الأقواس هي مجرد أقواس. يتم استخدامها عادةً لتسليط الضوء على التدوين الرياضي بشكل أكثر وضوحًا.

دعونا نسلط الضوء على النقاط الأساسية في الصيغة:

1) عباره عن فقط عن اليقين ولا شيء غيره.

2) يمكن أن تميل الوسيطة "x" إلى ذلك قيمة تعسفية(وليس فقط إلى الصفر أو)، على وجه الخصوص، إلى "ناقص اللانهاية" أو إلى أي شخصعدد محدود.

باستخدام هذه الصيغة يمكنك حل جميع الأمثلة في الدرس. حدود رائعة، والتي تنتمي إلى الحد الثاني الملحوظ. على سبيل المثال، دعونا نحسب الحد:

في هذه الحالة ، ووفقا للصيغة :

صحيح أنني لا أوصي بالقيام بذلك؛ فالتقليد هو الاستمرار في استخدام التصميم "المعتاد" للحل، إذا كان من الممكن تطبيقه. لكن باستخدام الصيغة أنها مريحة للغاية للتحققأمثلة "كلاسيكية" إلى الحد الثاني الملحوظ.

كل هذا جيد وصحيح، ولكن الآن هناك لقطات أكثر إثارة للاهتمام في الإطار:

مثال 18

حساب الحد

في الخطوة الأولى، لن أتعب من التكرار، نعوض بقيمة "x" في التعبير الموجود أسفل علامة الحد. ماذا لو لم يكن هناك عدم يقين على الإطلاق؟ يحدث ذلك! ولكن ليس هذه المرة. باستبدال "الثلاثة"، نتوصل إلى استنتاج مفاده أن هناك عدم يقين هنا

نحن نستخدم الصيغة

لكي لا تسحب الحرف "e" معك ولا تجعله أصغر، استخدم المؤشر إنه أكثر ملاءمة للحساب بشكل منفصل:

في هذه الحالة:

هكذا:

من وجهة نظر تكنولوجيا الحساب، كل شيء روتيني: أولاً نقوم بتبسيط الحد الأول إلى قاسم مشترك، ثم نخرج الثوابت ونجري عمليات التخفيض، والتخلص من حالة عدم اليقين 0:0.

نتيجة ل:

الهدية الموعودة مع اختلاف اللوغاريتمات وعدم اليقين:

مثال 19

حساب الحد

أولا الحل الكامل ثم التعليقات:

(1)-(2) في الخطوتين الأوليين نستخدم الصيغ . ش مشتقات معقدةنحن "نتفكك" اللوغاريتمات، ولكن هنا، على العكس من ذلك، يجب "تجميعها".

(3) حرك أيقونة الحد أسفل اللوغاريتم. ويمكن القيام بذلك لأن هذا اللوغاريتم مستمرإلى "ناقص اللانهاية". بالإضافة إلى ذلك، يشير الحد إلى "ملء" اللوغاريتم.

(4)-(5) التقنية القياسية التي تمت مناقشتها في الدرس الأساسي حول حدود رائعة، نقوم بتحويل عدم اليقين إلى النموذج.

(6) نستخدم الصيغة .

(7) الدوال الأسية واللوغاريتمية متبادلة وظائف عكسيةلذلك يمكن إزالة كل من "e" واللوغاريتم. وبالفعل حسب خاصية اللوغاريتم : . نضيف الطرح قبل الكسر إلى المقام:

(8) لا يوجد تعليقات =)

نوع الحد الذي تم النظر فيه ليس نادرًا جدًا؛ لقد وجدت 30-40 مثالًا.

مثال 20

حساب الحد

وهذا مثال ل قرار مستقل. بالإضافة إلى استخدام الصيغة، يمكنك تمثيل الحد كـ وعن طريق الاستبدال تقليل الحل لهذه القضية .

في الختام، دعونا نلقي نظرة على الحدود "الوهمية".

دعونا نعود إلى عدم اليقين. هذا عدم اليقين ليس دائمايمكن اختزالها إلى عدم اليقين واستخدام الحد الملحوظ الثاني أو صيغة النتيجة الطبيعية. التحول ممكن إذا البسط والمقام للقاعدة - مقابلوظائف كبيرة بلا حدود. على سبيل المثال: .

لنأخذ استراحة من المؤشر ونحسب حد القاعدة:

في الحد الذي تم الحصول عليه وحدة، وهو ما يعني البسط والمقام ليس فقط من نفس ترتيب النمو، ولكن أيضًا ما يعادله. في الصف حدود ملحوظة. أمثلة على الحلوللقد قمنا بسهولة بتحويل هذا المثال إلى عدم اليقين وحصلنا على الإجابة.

يمكنك التوصل إلى الكثير من الحدود المماثلة:
إلخ.

يتم توحيد أجزاء هذه الأمثلة من خلال الميزة المذكورة أعلاه: . وفي حالات أخرى، إذا كان هناك عدم يقين لا ينطبق الحد الملحوظ الثاني.

مثال 21

ابحث عن الحدود

بغض النظر عن مدى صعوبة محاولتك، لا يمكن تحويل عدم اليقين إلى عدم يقين

فيما يلي بسط ومقامات القواعد نفس ترتيب النمو، ولكن ليس ما يعادله: .

وهكذا فإن الحد الملحوظ الثاني، وخاصة الصيغة، لا يمكن تطبيقها.

! ملحوظة: يجب عدم الخلط بينه وبين المثال رقم 18، الذي لا يكون فيه بسط ومقام الأساس متساويين. هناك عدم يقين جاهز، لكننا هنا نتحدث عن عدم اليقين.

طريقة حل النهايات "الزائفة" بسيطة وتحتاج إلى بسط ومقام أسبابقسّم على "x" إلى أعلى درجة (بغض النظر عن الأس):

إذا كان بسط ومقام القاعدة مختلفين في ترتيب النمو، فإن الحل هو نفسه تمامًا:

مثال 22

ابحث عن الحدود

هذه أمثلة قصيرة للدراسة الذاتية

أحيانا قد لا يكون هناك عدم يقين على الإطلاق:

مثل هذه الحيل محبوبة بشكل خاص من قبل جامعي مجموعة كوزنتسوف. ولهذا السبب من المهم جدًا استبدال "x" دائمًا في التعبير الموجود أسفل علامة الحد في الخطوة الأولى!

مثال 2

الدرجة الكبرى للبسط: 2؛ أعلى درجة للمقام: 3.
:

مثال 4

قسمة البسط والمقام على :


ملحوظة : الإجراء الأخير كان ضرب البسط والمقام للتخلص من اللاعقلانية في القاسم.

مثال 6

قسمة البسط والمقام على :

مثال 8

قسمة البسط والمقام على :

ملحوظة : شرط تميل إلى الصفر أبطأ من ، لهذا السبب هو الصفر "الرئيسي" للمقام. .

مثال 22


ملحوظة : إلى ما لا نهاية وظيفة صغيرة يميل إلى الصفر أبطأ من لذا فإن الصفر "الأكبر" للمقام يلعب دورًا حاسمًا:

مشتق الدالة لا يقع بعيدًا، وفي حالة قواعد L'Hopital يقع بالضبط في نفس المكان الذي تقع فيه الدالة الأصلية. يساعد هذا الظرف في الكشف عن حالات عدم اليقين في النموذج 0/0 أو ∞/∞ وبعض حالات عدم اليقين الأخرى التي تنشأ عند الحساب حدالعلاقة بين وظيفتين متناهية الصغر أو كبيرة بلا حدود. تم تبسيط الحساب إلى حد كبير باستخدام هذه القاعدة (في الواقع قاعدتان وملاحظات عليهما):

كما توضح الصيغة أعلاه، عند حساب حد النسبة بين دالتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي، يمكن استبدال حد النسبة بين دالتين بحد النسبة بين دالتين المشتقاتوبالتالي الحصول على نتيجة معينة.

دعنا ننتقل إلى صياغة أكثر دقة لقواعد L'Hopital.

قاعدة لوبيتال لحالة حد الكميتين المتناهيتين في الصغر. دع الوظائف و(س) و ز(س أ. وعند هذه النقطة أ أمشتق من وظيفة ز(س) ليس صفر ( ز"(س أمتساويان مع بعضهما البعض ويساويان الصفر:

.

قاعدة لوبيتال لحالة حد الكميتين الكبيرتين إلى ما لا نهاية. دع الوظائف و(س) و ز(س) لها مشتقات (أي قابلة للتمييز) في بعض المناطق المجاورة للنقطة أ. وعند هذه النقطة أقد لا يكون لديهم مشتقات. علاوة على ذلك، على مقربة من النقطة أمشتق من وظيفة ز(س) ليس صفر ( ز"(س)≠0) وحدود هذه الدوال حيث تميل x إلى قيمة الدالة عند النقطة أمتساوون مع بعضهم البعض ويساوون ما لا نهاية:

.

فإن نهاية النسبة بين هذه الدوال تساوي نهاية النسبة بين مشتقاتها:

بمعنى آخر، بالنسبة لحالات عدم اليقين من الشكل 0/0 أو ∞/∞، فإن حد النسبة بين دالتين يساوي حد نسبة مشتقاتهما، إذا كانت الأخيرة موجودة (محدودة، أي تساوي عدد معين، أو لا نهائي، أي يساوي ما لا نهاية).

ملحوظات.

1. تنطبق قواعد L'Hopital أيضًا عندما تكون الوظائف و(س) و ز(س) لم يتم تعريف متى س = أ.

2. إذا، عند حساب حد نسبة مشتقات الوظائف و(س) و ز(س) وصلنا مرة أخرى إلى عدم اليقين في النموذج 0/0 أو ∞/∞، فيجب تطبيق قواعد L'Hôpital بشكل متكرر (مرتين على الأقل).

3. تنطبق قواعد L'Hopital أيضًا عندما لا تميل وسيطة الوظائف (x) إلى عدد محدود أوإلى ما لا نهاية ( س → ∞).

يمكن أيضًا تقليل حالات عدم اليقين من الأنواع الأخرى إلى حالات عدم اليقين من الأنواع 0/0 و∞/∞.

الكشف عن الشكوك بنوعيها "صفر مقسوم على صفر" و"اللانهاية مقسومة على ما لا نهاية"

مثال 1.

س=2 يؤدي إلى عدم اليقين في النموذج 0/0. ولذلك، يتم الحصول على مشتق كل وظيفة

تم حساب مشتق كثير الحدود في البسط وفي المقام - مشتق من وظيفة لوغاريتمية معقدة. قبل علامة المساواة الأخيرة، المعتاد حد، استبدال اثنين بدلا من X.

مثال 2.احسب نهاية النسبة بين دالتين باستخدام قاعدة L'Hopital:

حل. استبدال قيمة في وظيفة معينة س

مثال 3.احسب نهاية النسبة بين دالتين باستخدام قاعدة L'Hopital:

حل. استبدال قيمة في وظيفة معينة س=0 يؤدي إلى عدم اليقين في النموذج 0/0. لذلك نحسب مشتقات الدوال في البسط والمقام ونحصل على:

مثال 4.احسب

حل. يؤدي استبدال القيمة x التي تساوي زائد اللانهاية في دالة معينة إلى عدم اليقين في النموذج ∞/∞. ولذلك، فإننا نطبق قاعدة لوبيتال:

تعليق. دعنا ننتقل إلى الأمثلة التي يجب فيها تطبيق قاعدة L'Hopital مرتين، أي للوصول إلى نهاية نسبة المشتقات الثانية، حيث أن نهاية نسبة المشتقات الأولى هي حالة عدم يقين من الشكل 0 /0 أو ∞/∞.

كشف الشكوك حول شكل "صفر مرة اللانهاية"

مثال 12.احسب

.

حل. نحصل على

يستخدم هذا المثال الهوية المثلثية.

الكشف عن الشكوك من أنواع "صفر أس صفر" و"اللانهاية أس صفر" و"واحد أس لانهاية"

حالات عدم اليقين في النموذج ، أو يتم تقليلها عادةً إلى النموذج 0/0 أو ∞/∞ عن طريق أخذ لوغاريتم دالة من النموذج

لحساب نهاية التعبير، يجب عليك استخدام الهوية اللوغاريتمية، وحالة خاصة منها هي خاصية اللوغاريتم .

باستخدام الهوية اللوغاريتمية وخاصية استمرارية الدالة (لتمرير علامة النهاية)، يجب حساب النهاية على النحو التالي:

بشكل منفصل، يجب أن تجد حد التعبير في الأس والبناء هإلى الدرجة التي وجدت.

مثال 13.

حل. نحصل على

.

.

مثال 14.احسب باستخدام قاعدة L'Hopital

حل. نحصل على

حساب نهاية التعبير في الأس

.

.

مثال 15.احسب باستخدام قاعدة L'Hopital

تحدثنا في المقالة السابقة عن كيفية حساب حدود الدوال الأولية بشكل صحيح. إذا أخذنا المزيد وظائف معقدة، فسيكون لدينا تعبيرات ذات قيمة غير محددة في حساباتنا. يطلق عليهم عدم اليقين.

يتم تمييز الأنواع الرئيسية التالية من عدم اليقين:

1. قسمة 0 على 0 0 0 ;
2. قسمة ما لا نهاية على أخرى ∞ ∞;

0 مرفوع للأس صفر 0 0 ;

3. مرفوعة ما لا نهاية للأس صفر ∞ 0 .

لقد أدرجنا جميع أوجه عدم اليقين الرئيسية. وقد تأخذ التعبيرات الأخرى قيمًا منتهية أو لا نهائية في ظل ظروف مختلفة، وبالتالي لا يمكن اعتبارها حالات عدم يقين.

كشف الشكوك

يمكن حل عدم اليقين عن طريق:

1. من خلال تبسيط شكل الدالة (باستخدام صيغ الضرب المختصرة، الصيغ المثلثية، الضرب الإضافي بالتعبيرات المترافقة والتخفيض اللاحق، وما إلى ذلك)؛

بمساعدة الحدود الرائعة؛

باستخدام قاعدة لوبيتال.

عن طريق استبدال تعبير متناهي الصغر بتعبير مكافئ له (كقاعدة عامة، يتم تنفيذ هذا الإجراء باستخدام جدول من التعبيرات متناهية الصغر).

يمكن عرض جميع المعلومات الواردة أعلاه بوضوح في شكل جدول. على الجانب الأيسر يظهر نوع عدم اليقين، على اليمين - الطريقة المناسبة للكشف عنه (إيجاد الحد). هذا الجدول مناسب جدًا للاستخدام في العمليات الحسابية المتعلقة بإيجاد الحدود.

ريبة	طريقة الإفصاح عن عدم اليقين
1. قسمة 0 على 0	التحويل والتبسيط اللاحق للتعبير. إذا كان التعبير هو sin (k x) k x أو k x sin (k x) فأنت بحاجة إلى استخدام الحد الملحوظ الأول. إذا كان هذا الحل غير مناسب، نستخدم قاعدة L'Hopital أو جدول التعبيرات المتناهية الصغر المكافئة
2. قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية	قم بتحويل التعبير وتبسيطه أو استخدم قاعدة L'Hopital
3. ضرب الصفر في ما لا نهاية أو إيجاد الفرق بين ما لا نهاية	التحويل إلى 0 0 أو ∞ ∞ متبوعًا بتطبيق قاعدة L'Hopital
4. وحدة قوة اللانهاية	استخدام الحد الكبير الثاني
5. رفع الصفر أو ما لا نهاية إلى القوة صفر	أخذ لوغاريتم التعبير باستخدام حد المساواة x → x 0 ln (f (x)) = ln lim x → x 0 f (x)

دعونا نلقي نظرة على بعض المشاكل. هذه الأمثلة بسيطة للغاية: حيث يتم الحصول على الإجابة فورًا بعد استبدال القيم ولا يوجد أي شك.

مثال 1

احسب الحد الأقصى x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .

حل

نقوم بإجراء استبدال القيمة ونحصل على الإجابة.

ليم x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2

إجابة:ليم x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .

مثال 2

احسب الحد الأقصى x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 .

حل

لدينا دالة أسية، وعلينا التعويض في قاعدتها بـ x = 0.

(س 2 + 2، 5) س = 0 = 0 2 + 2، 5 = 2، 5

هذا يعني أنه يمكننا تحويل النهاية إلى التعبير التالي:

الحد x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = الحد x → 0 2, 5 1 x 2

الآن دعونا نلقي نظرة على المؤشر - دالة الطاقة 1 × 2 = س - 2. دعونا نلقي نظرة على جدول الحدود ل وظائف الطاقةبأس أقل من الصفر ونحصل على ما يلي: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ و lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 س - 2 = + ∞

وهكذا يمكننا أن نكتب أن lim x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = lim x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞.

الآن نأخذ جدول حدود الدوال الأسية ذات الأساس الأكبر من 0، ونحصل على:

الحد x → 0 (x 2 + 2, 5) 1 x 2 = الحد x → 0 2, 5 1 x 2 = 2, 5 + ∞ = + ∞

إجابة:ليم x → 0 (x 2 + 2 , 5) 1 x 2 = + ∞ .

مثال 3

احسب الحد الأقصى x → 1 x 2 - 1 x - 1 .

حل

نحن نقوم باستبدال القيمة.

ليم س → 1 × 2 - 1 × - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0

ونتيجة لذلك، انتهى بنا الأمر إلى حالة من عدم اليقين. استخدم الجدول أعلاه لتحديد طريقة الحل. يشير إلى أنك بحاجة إلى تبسيط التعبير.

ليم x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = ليم x → 1 (x - 1) (x + 1) x - 1 = = ليم x → 1 (x - 1) (x + 1) · ( س + 1) س - 1 = ليم س → 1 (س + 1) · س - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0

وكما نرى، أدى التبسيط إلى الكشف عن عدم اليقين.

إجابة:ليم س → 1 × 2 - 1 × - 1 = 0

مثال 4

احسب الحد الأقصى x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .

حل

نستبدل القيمة ونحصل على الإدخال التالي.

ليم س → 3 س - 3 12 - س - 6 + س = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0

لقد وصلنا إلى ضرورة قسمة الصفر على صفر، وهو عدم اليقين. دعونا نلقي نظرة على طريقة الحل المطلوبة في الجدول - وهي تبسيط التعبير وتحويله. دعونا أيضًا نضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق 12 - x + 6 + x:

الحد x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = الحد x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x

يتم ضرب المقام بحيث يمكنك بعد ذلك استخدام صيغة الضرب المختصرة (فرق المربعات) لإجراء التخفيض.

الحد x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = الحد x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = الحد x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 12 - x - (6 + x) = = الحد x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = الحد x → 3 (x - 3) 12 - x + 6 + x - 2 (x - 3) = = الحد x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3

وكما نرى، نتيجة لهذه الإجراءات تمكنا من التخلص من حالة عدم اليقين.

إجابة:ليم x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .

من المهم ملاحظة أن أسلوب الضرب يُستخدم كثيرًا عند حل مشكلات مثل هذه، لذا ننصحك أن تتذكر بالضبط كيف يتم ذلك.

مثال 5

احسب الحد x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .

حل

نقوم بإجراء الاستبدال.

ليم x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 1 - 3 3 1 2 - 5 1 + 2 = 0 0

ونتيجة لذلك، انتهى بنا الأمر إلى حالة من عدم اليقين. الطريقة الموصى بها لحل المشكلة في هذه الحالة هي تبسيط التعبير. بما أنه بقيمة x ، يساوي واحد، يتحول البسط والمقام إلى 0، ثم يمكننا تحليلهما ثم تقليلهما بمقدار x - 1، وبعد ذلك ستختفي حالة عدم اليقين.

نقوم بتحليل البسط:

x 2 + 2 x - 3 = 0 د = 2 2 - 4 1 (- 3) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = س + 3 س - 1

الآن نفعل نفس الشيء مع المقام:

3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 3 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 س - 2 3 س - 1

حصلنا على حد من النموذج التالي:

الحد x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = الحد x → 1 x + 3 x - 1 3 x - 2 3 x - 1 = = الحد x → 1 x + 3 3 س - 2 3 = 1 + 3 3 1 - 2 3 = 4

كما نرى، خلال عملية التحول تمكنا من التخلص من عدم اليقين.

إجابة:ليم x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .

بعد ذلك، نحتاج إلى النظر في حالات النهايات عند اللانهاية من تعبيرات القوة. إذا كانت أسس هذه التعبيرات أكبر من 0، فإن النهاية عند اللانهاية ستكون أيضًا لا نهائية. في هذه الحالة، تكون الدرجة الأكبر ذات أهمية أساسية، ويمكن تجاهل الباقي.

على سبيل المثال، lim x → ∞ (x 4 + 2 x 3 - 6) = lim x → ∞ x 4 = ∞ أو lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞.

إذا كان لدينا تحت علامة النهاية كسرًا به تعبيرات قوة في البسط والمقام، فعندئذٍ كـ x → ∞ لدينا عدم يقين من الصيغة ∞ ∞. للتخلص من عدم اليقين هذا، نحتاج إلى قسمة بسط ومقام الكسر على x m a x (m, n). دعونا نعطي مثالا على حل مثل هذه المشكلة.

مثال 6

احسب الحد الأقصى x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .

حل

الحد x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞

قوى البسط والمقام تساوي 7. اقسمهم على × 7 واحصل على:

الحد x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = الحد x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = الحد x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 × 7 3 + 12 × 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3

إجابة:ليم x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .

مثال 7

احسب الحد الأقصى x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .

حل

ليم x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞

البسط له قوة 8 3 والمقام له قوة 2. لنقسم البسط والمقام على x 8 3:

الحد x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = الحد x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = الحد x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞

إجابة:ليم x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .

مثال 8

احسب الحد الأقصى x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .

حل

الحد x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞

لدينا بسط أس 3 ومقام أس 10 3 . هذا يعني أننا بحاجة إلى قسمة البسط والمقام على x 10 3:

الحد x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = الحد x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = الحد x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0

إجابة:ليم x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .

الاستنتاجات

في حالة حد النسبة، هناك ثلاثة خيارات رئيسية:

إذا كانت درجة البسط تساوي درجة المقام، فإن النهاية ستكون مساوية لنسبة معاملات القوى الأعلى.

إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام، فإن النهاية ستكون مساوية لما لا نهاية.

إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام، فستكون النهاية صفرًا.

سنناقش الطرق الأخرى للكشف عن أوجه عدم اليقين في مقالات منفصلة.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الدرس 20

20.1 عدم اليقين في الكشف عن الأنواع

مثال 1

حل الحد أولًا، دعونا نحاول التعويض بـ -1 في الكسر: في هذه الحالة يتم الحصول على ما يسمى بعدم اليقين.

القاعدة العامة:إذا كان البسط والمقام يحتويان على كثيرات الحدود، وهناك عدم يقين في الشكل، ثم الكشف عنه تحتاج إلى تحليل البسط والمقام.

للقيام بذلك، غالبًا ما تحتاج إلى حل معادلة تربيعية و/أو استخدام صيغ الضرب المختصرة.

دعونا نحلل البسط.

مثال 2

حساب الحد

دعونا نحلل البسط والمقام.

البسط: المقام: ,

طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق

نواصل النظر في عدم اليقين في النموذج

النوع التالي من الحدود مشابه للنوع السابق. الشيء الوحيد، بالإضافة إلى كثيرات الحدود، سنضيف الجذور.

مثال 3

العثور على الحد

اضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق.

20.2 عدم اليقين في الكشف عن الأنواع

سننظر الآن إلى مجموعة النهايات، والدالة عبارة عن كسر يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود

مثال 4

حساب الحد

وفقًا لقاعدتنا، سنحاول التعويض بما لا نهاية في الدالة. ماذا نحصل في الأعلى؟ إنفينيتي. وماذا يحدث أدناه؟ أيضا اللانهاية. وهكذا لدينا ما يسمى عدم اليقين الأنواع. قد يعتقد المرء أن الإجابة جاهزة، ولكن بشكل عام ليس هذا هو الحال على الإطلاق، ومن الضروري تطبيق بعض تقنيات الحل، والتي سننظر فيها الآن.

كيفية حل الحدود من هذا النوع؟

أولاً ننظر إلى البسط ونجد القوة الأعلى: القوة الرائدة في البسط هي اثنان.

الآن ننظر إلى المقام ونجده أيضًا بأعلى قوة: أعلى درجة للمقام هي اثنان.

ثم نختار أعلى قوة للبسط والمقام: في هذا المثال، هما متساويان ويساويان اثنين.

لذا فإن طريقة الحل هي كما يلي: للكشف عن عدم اليقينتحتاج إلى تقسيم البسط والمقامفي الدرجة العليا.

قسمة البسط والمقام على

ها هو الجواب، وليس اللانهاية على الإطلاق.

ما هو المهم بشكل أساسي في تصميم القرار؟

أولا، نشير إلى عدم اليقين، إن وجد.

ثانيًا: يُنصح بمقاطعة الحل للتفسيرات الوسيطة. عادةً ما أستخدم العلامة، فهي ليس لها أي معنى رياضي، ولكنها تعني مقاطعة الحل لتفسير وسيط.

ثالثا، في الحد من المستحسن وضع علامة على ما يجري وأين. عندما يتم رسم العمل يدويًا، فمن الملائم القيام بذلك بهذه الطريقة: من الأفضل استخدام قلم رصاص بسيط لتدوين الملاحظات.

بالطبع، لا يتعين عليك القيام بأي من هذا، ولكن بعد ذلك، ربما سيشير المعلم إلى أوجه القصور في الحل أو يبدأ في طرح أسئلة إضافية حول المهمة. هل تحتاجها؟

مثال 5

العثور على الحد مرة أخرى في البسط والمقام نجد في أعلى درجة: الدرجة القصوى في البسط: 3 الدرجة القصوى في المقام: 4 اختر أعظمالقيمة، في هذه الحالة أربعة. وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا، للكشف عن عدم اليقين، نقسم البسط والمقام على. قد تبدو المهمة الكاملة كما يلي:

مثال 6

العثور على الحد الحد الأقصى لدرجة "X" في البسط: 2 الحد الأقصى لدرجة "X" في المقام: 1 (يمكن كتابتها كـ) للكشف عن عدم اليقين، من الضروري قسمة البسط والمقام على. قد يبدو الحل النهائي كما يلي:

قسمة البسط والمقام على

التدوين لا يعني القسمة على صفر (لا يمكنك القسمة على صفر)، بل يعني القسمة على عدد متناهٍ في الصغر.

وهكذا، من خلال الكشف عن عدم اليقين بشأن الأنواع، قد نتمكن من ذلك الرقم النهائيأو صفر أو ما لا نهاية.

التدريب العملي 20

المهمة رقم 1

حل:إذا وضعنا بدلاً من المتغير القيمة 7 التي يميل إليها، فسنحصل على عدم يقين في النموذج

المهمة رقم 2الموضوع: الكشف عن حالة عدم اليقين من النوع "صفر إلى صفر".

حل:إذا وضعنا بدلاً من المتغير القيمة 0 التي يميل إليها، فسنحصل على عدم يقين في النموذج

المهمة رقم 3الموضوع: الكشف عن حالة عدم اليقين من النوع "صفر إلى صفر".

حل:إذا وضعنا بدلاً من المتغير القيمة 6 التي يميل إليها، فسنحصل على عدم اليقين في النموذج

المهمة رقم 4

حل:لأن و

المهمة رقم 5الموضوع: الكشف عن عدم اليقين من شكل "اللانهاية إلى اللانهاية"

حل:لأن و ثم هناك عدم يقين في النموذج للكشف عنه، تحتاج إلى قسمة كل حد من البسط والمقام. ثم معرفة ما نحصل عليه:

العمل المستقل 20

المهمة رقم 1الموضوع: الكشف عن حالة عدم اليقين من النوع "صفر إلى صفر".

المهمة رقم 2الموضوع: الكشف عن حالة عدم اليقين من النوع "صفر إلى صفر".

المهمة رقم 3الموضوع: الكشف عن حالة عدم اليقين من النوع "صفر إلى صفر".

المهمة رقم 4الموضوع: الكشف عن عدم اليقين من شكل "اللانهاية إلى اللانهاية"

المهمة رقم 5الموضوع: الكشف عن عدم اليقين من شكل "اللانهاية إلى اللانهاية"حد الوظيفة متساوي...

المهمة رقم 6الموضوع: الكشف عن عدم اليقين من شكل "اللانهاية إلى اللانهاية"

الحدود تسبب الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل حد ما، يتعين عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من طرق الحل، وهو ما يناسب مثالًا معينًا.

في هذا المقال لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم، ولكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف نفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ الفهم يأتي مع الخبرة، لذلك سنقدم في نفس الوقت عدة أمثلة تفصيلية لحل النهايات مع الشرح.

مفهوم الحد في الرياضيات

السؤال الأول هو: ما هذا الحد وحدود ماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود التسلسلات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم نهاية الدالة، لأن هذا هو ما يواجهه الطلاب في أغلب الأحيان. لكن أولاً، التعريف الأكثر عمومية للحد:

لنفترض أن هناك بعض القيمة المتغيرة. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير تقترب بشكل غير محدود من رقم معين أ ، الذي - التي أ – حد هذه القيمة.

لوظيفة محددة في فترة زمنية معينة و(س)=ص ويسمى هذا الرقم الحد أ ، والتي تميل إليها الوظيفة متى X ، تميل إلى نقطة معينة أ . نقطة أ ينتمي إلى الفاصل الزمني الذي تم تعريف الوظيفة عليه.

يبدو الأمر مرهقًا، لكنه مكتوب بكل بساطة:

ليم- من اللغة الإنجليزية حد- حد.

هناك أيضًا تفسير هندسي لتحديد الحد، لكننا هنا لن نخوض في النظرية، لأننا نهتم بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للمسألة. عندما نقول ذلك X يميل إلى قيمة ما، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم، بل يقترب منه إلى ما لا نهاية.

دعونا نعطي مثالا محددا. المهمة هي العثور على الحد.

لحل هذا المثال، نعوض بالقيمة س = 3 في وظيفة. نحصل على:

بالمناسبة، إذا كنت مهتما بالعمليات الأساسية على المصفوفات، فاقرأ مقالة منفصلة حول هذا الموضوع.

في الأمثلة X يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X يميل إلى اللانهاية:

بشكل بديهي، كلما زاد الرقم الموجود في المقام، كلما كانت القيمة التي ستأخذها الدالة أصغر. لذلك، مع نمو غير محدود X معنى 1/س سوف تنخفض وتقترب من الصفر.

كما ترون، لحل النهاية، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى للحصول عليها في الدالة X . ومع ذلك، هذه هي أبسط حالة. في كثير من الأحيان العثور على الحد ليس واضحا جدا. داخل الحدود هناك شكوك من هذا النوع 0/0 أو اللانهاية/اللانهاية . ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ اللجوء إلى الحيل!

عدم اليقين في الداخل

عدم اليقين من شكل اللانهاية / اللانهاية

وليكن هناك حد:

إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة، فسنحصل على ما لا نهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام، تجدر الإشارة إلى أن هناك عنصرًا فنيًا معينًا في حل مثل هذه الشكوك: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل الوظيفة بطريقة تختفي حالة عدم اليقين. في حالتنا، نقسم البسط والمقام على X في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟

من المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل للحد هو:

لحل الشكوك النوعية اللانهاية/اللانهايةقسمة البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة.

بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على أي نوع من العمل

نوع آخر من عدم اليقين: 0/0

كما هو الحال دائمًا، استبدال القيم في الدالة س=-1 يعطي 0 في البسط والمقام. انظر عن كثب وستلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية في البسط. دعونا نجد الجذور ونكتب:

دعونا نقلل ونحصل على:

لذا، إذا كنت تواجه نوعًا من عدم اليقين 0/0 - عامل البسط والمقام.

ولتسهيل عليك حل الأمثلة، نقدم جدولا بحدود بعض الدوال:

حكم L'Hopital في الداخل

آخر طريقة قوية، مما يسمح بإزالة الشكوك من كلا النوعين. ما هو جوهر الطريقة؟

إذا كان هناك عدم يقين في النهاية، خذ مشتقة البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين.

تبدو قاعدة L'Hopital كما يلي:

نقطة مهمة : النهاية التي يجب أن تكون فيها مشتقات البسط والمقام بدلا من البسط والمقام موجودة.

والآن - مثال حقيقي:

هناك حالة من عدم اليقين النموذجي 0/0 . لنأخذ مشتقات البسط والمقام:

Voila، يتم حل حالة عدم اليقين بسرعة وبشكل أنيق.

نأمل أن تتمكن من تطبيق هذه المعلومات بشكل مفيد في الممارسة العملية والعثور على إجابة السؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الدالة عند نقطة ما، ولكن لا يوجد وقت على الإطلاق لهذا العمل، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل.