يتم تنفيذه لجميع قيم الوسيطة (من النطاق العام).
صيغ الاستبدال العالمية.
باستخدام هذه الصيغ، من السهل تحويل أي تعبير يحتوي على دوال مثلثية مختلفة لوسيطة واحدة إلى تعبير منطقي لدالة واحدة tg (ألفا /2):
صيغ لتحويل المبالغ إلى منتجات والمنتجات إلى مبالغ.
في السابق، تم استخدام الصيغ المذكورة أعلاه لتبسيط العمليات الحسابية. لقد حسبوا باستخدام الجداول اللوغاريتمية، وفي وقت لاحق - قاعدة الشريحة، لأن اللوغاريتمات هي الأنسب لضرب الأرقام. وهذا هو السبب في اختزال كل تعبير أصلي إلى شكل مناسب للوغاريثمة، أي للنواتج على سبيل المثال:
2 خطيئة α خطيئة ب = كوس (α - ب) - كوس (α + ب);
2 كوس α كوس ب = كوس (α - ب) + كوس (α + ب);
2 خطيئة α كوس ب = خطيئة (α - ب) + خطيئة (α + ب).
أين هي الزاوية التي، على وجه الخصوص،
يمكن الحصول بسهولة على صيغ وظائف الظل وظل التمام مما سبق.
صيغ تخفيض الدرجة.
|
الخطيئة 2 α = (1 - جتا 2α)/2؛ |
كوس 2 α = (1 + كوس 2α)/2؛ |
|
الخطيئة 3α = (3 خطيئةα - الخطيئة 3α )/4; |
كوس 3 أ = (3 كوسα + كوس 3α )/4. |
باستخدام هذه الصيغ، يمكن اختزال المعادلات المثلثية بسهولة إلى معادلات ذات قوى أقل. يتم اشتقاق صيغ التخفيض للدرجات الأعلى بنفس الطريقة خطيئةو كوس.
التعبير عن الدوال المثلثية من خلال إحداها لنفس الوسيط.
تعتمد العلامة الموجودة أمام الجذر على موقع ربع الزاوية α .
يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف زاوية، وما إلى ذلك.
في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.
التنقل في الصفحة.
الهويات المثلثية الأساسية
الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.
للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.
صيغ التخفيض
صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية الدورية الدوال المثلثية، خاصية التناظر، وكذلك خاصية التحول زاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.
يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.
صيغ الإضافة
صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. ويستند اشتقاقها على صيغ الجمع.
يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية
صيغ نصف الزاوية
صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.
يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.
صيغ تخفيض الدرجة
الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام في الدرجة الأولى ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.
صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثية
الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.
صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام
يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.
الاستبدال المثلثي العالمي
نكمل مراجعتنا للصيغ الأساسية لعلم المثلثات بصيغ تعبر عن الدوال المثلثية من حيث ظل نصف الزاوية. تم استدعاء هذا الاستبدال الاستبدال المثلثي العالمي. تكمن ملاءمتها في حقيقة أن جميع الوظائف المثلثية يتم التعبير عنها بشكل عقلاني من حيث ظل نصف زاوية بدون جذور.
مراجع.
- الجبر:كتاب مدرسي للصف التاسع. متوسط المدرسة / يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova؛ إد. S. A. Teleakovsky - M.: التعليم، 1990. - 272 ص: مريض - ISBN 5-09-002727-7
- باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.
- الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. التعليم العام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.
- غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.
حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents
جميع الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من الموقع، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.
في تحولات الهوية التعبيرات المثلثيةيمكن استخدام الأساليب الجبرية التالية: إضافة وطرح المصطلحات المتماثلة؛ وضع العامل المشترك بين قوسين؛ الضرب والقسمة بنفس الكمية؛ تطبيق صيغ الضرب المختصرة؛ اختيار مربع كامل؛ تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية؛ إدخال متغيرات جديدة لتبسيط التحولات.
عند تحويل التعبيرات المثلثية التي تحتوي على كسور، يمكنك استخدام خصائص التناسب أو تقليل الكسور أو تحويل الكسور إلى مقام مشترك. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك استخدام اختيار الجزء بأكمله من الكسر، وضرب البسط والمقام للكسر بنفس المقدار، وكذلك، إن أمكن، مراعاة تجانس البسط أو المقام. إذا لزم الأمر، يمكنك تمثيل الكسر كمجموع أو فرق بين عدة كسور أبسط.
بالإضافة إلى ذلك، عند تطبيق جميع الطرق اللازمة لتحويل التعبيرات المثلثية، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار باستمرار نطاق القيم المسموح بها للتعبيرات التي يتم تحويلها.
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.
مثال 1.
احسب A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+
الخطيئة (3π/2 – س) الخطيئة (2س –5π/2)) 2
حل.
من صيغ التخفيض ما يلي:
الخطيئة (2x - π) = -الخطيئة 2x؛ كوس (3π - س) = -كوس س؛
الخطيئة (2س - 9π/2) = -cos 2x؛ كوس (س + π/2) = -سين س؛
كوس (س - π/2) = الخطيئة س؛ كوس (2س - 7π/2) = -سين 2س؛
الخطيئة (3ط/2 - س) = -كوس س؛ الخطيئة (2س - 5π/2) = -cos 2x.
ومن هنا، بفضل صيغ إضافة الحجج والهوية المثلثية الرئيسية، نحصل على ذلك
أ = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= جا 2 3س + جتا 2 3س = 1
الجواب: 1.
مثال 2.
حول التعبير M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ إلى منتج.
حل.
من صيغ إضافة الوسائط وصيغ تحويل مجموع الدوال المثلثية إلى منتج بعد التجميع المناسب، لدينا
M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =
2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =
2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =
4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).
الإجابة: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).
مثال 3.
أظهر أن التعبير A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) يأخذ واحدًا لجميع x من R و نفس المعنى. أوجد هذه القيمة.
حل.
فيما يلي طريقتان لحل هذه المشكلة. بتطبيق الطريقة الأولى، عن طريق عزل مربع كامل واستخدام الصيغ المثلثية الأساسية المقابلة، نحصل على ذلك
أ = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =
4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =
Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.
لحل المشكلة بالطريقة الثانية، اعتبر A دالة لـ x من R واحسب مشتقتها. بعد التحولات التي نحصل عليها
А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) خطيئة (x – π/6) =
خطيئة 2(س + π/6) + خطيئة ((x + π/6) + (س – π/6)) – خطيئة 2(x – π/6) =
الخطيئة 2س – (الخطيئة (2س + π/3) + الخطيئة (2س – π/3)) =
الخطيئة 2س – 2الخطيئة 2س · جتا π/3 = الخطيئة 2س – الخطيئة 2س ≡ 0.
وبالتالي، نظرًا لمعيار ثبات دالة قابلة للاشتقاق على الفترة، نستنتج ذلك
A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R. 
الإجابة: أ = 3/4 لـ x € R.
التقنيات الرئيسية لإثبات الهويات المثلثية هي:
أ)تقليص الجانب الأيسر من الهوية إلى اليمين من خلال التحولات المناسبة؛
ب)تقليل الجانب الأيمن من الهوية إلى اليسار؛
الخامس)تقليل الجانبين الأيمن والأيسر من الهوية إلى نفس الشكل؛
ز)تقليل الفرق بين الجانبين الأيسر والأيمن للهوية التي تم إثباتها إلى الصفر.
مثال 4.
تحقق من أن cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).
حل.
لقد قمنا بتحويل الجانب الأيمن من هذه المتطابقة باستخدام الصيغ المثلثية المقابلة
4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =
2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3)) =
2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =
2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.
يتم تقليل الجانب الأيمن من الهوية إلى اليسار.
مثال 5.
أثبت أن sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 إذا كانت α, β, γ هي الزوايا الداخلية لبعض المثلثات.
حل.
بالنظر إلى أن α، β، γ هي الزوايا الداخلية لبعض المثلثات، نحصل على ذلك
α + β + γ = π وبالتالي γ = π – α – β.
خطيئة 2 α + خطيئة 2 β + خطيئة 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =
Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =
Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =
1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.
وقد ثبت المساواة الأصلية.
مثال 6.
أثبت أنه لكي تكون إحدى زوايا المثلث α، β، γ تساوي 60°، من الضروري والكافي أن يكون sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
حل.
تتضمن حالة هذه المشكلة إثبات الضرورة والكفاية.
أولا دعونا نثبت ضرورة.
يمكن أن يظهر ذلك
خطيئة 3α + خطيئة 3β + خطيئة 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).
وبالتالي، مع الأخذ في الاعتبار أن cos (3/2 60°) = cos 90° = 0، نحصل على أنه إذا كانت إحدى الزوايا α أو β أو γ تساوي 60°، إذن
cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، وبالتالي، sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.
دعونا نثبت الآن كفايةالحالة المحددة.
إذا كان sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0، فإن cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0، وبالتالي
إما cos (3α/2) = 0، أو cos (3β/2) = 0، أو cos (3γ/2) = 0.
لذلك،
أو 3α/2 = π/2 + πk، أي α = π/3 + 2πك/3، 
أو 3β/2 = π/2 + πk، أي. β = π/3 + 2πk/3،
أو 3γ/2 = π/2 + πk،
أولئك. γ = π/3 + 2πk/3، حيث k ϵ Z.
من حقيقة أن α، β، γ هي زوايا المثلث، لدينا
0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.
ولذلك، بالنسبة لـ α = π/3 + 2πk/3 أو β = π/3 + 2πk/3 أو
γ = π/3 + 2πk/3 لجميع kϵZ فقط k = 0 مناسب.
ويترتب على ذلك إما α = π/3 = 60°، أو β = π/3 = 60°، أو γ = π/3 = 60°.
وقد ثبت البيان.
لا تزال لديك أسئلة؟ لست متأكدا من كيفية تبسيط التعبيرات المثلثية؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
