تم إعطاء التوقع الرياضي a=3 والانحراف المعياري =5 للمتغير العشوائي الموزع توزيعاً طبيعياً X.
اكتب كثافة التوزيع الاحتمالي ورسمها تخطيطيا.
أوجد احتمال أن x سوف تأخذ قيمة من الفترة (2;10).
أوجد احتمال أن تأخذ x قيمة أكبر من 10.
أوجد فترة متناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي، حيث سيتم احتواء قيم الكمية x باحتمال =0.95.
1). لنقم بتكوين دالة كثافة التوزيع لمتغير عشوائي X مع المعلمات а=3، =5 باستخدام الصيغة
. لنقم بإنشاء رسم بياني تخطيطي للوظيفة 
. دعونا ننتبه إلى حقيقة أن المنحنى الطبيعي متماثل بالنسبة إلى الخط المستقيم x = 3 وله حد أقصى عند هذه النقطة يساوي 
، أي. 
ونقطتي انعطاف 
مع الإحداثيات 
دعونا نبني رسما بيانيا 
2) دعونا نستخدم الصيغة: 
تم العثور على قيم الوظيفة من جدول التطبيق.
4) دعونا نستخدم الصيغة 
. ووفقا للشرط، فإن احتمال الوقوع في فترة متناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي 
. باستخدام الجدول، نجد t حيث Ф(t)=0.475، t=2. وسائل 
. هكذا، 
. الجواب هو x(-1;7).
للمشاكل 31-40.
أوجد فاصل ثقة لتقدير بموثوقية 0.95 للتوقع الرياضي غير المعروف a للخاصية الموزعة بشكل طبيعي X سكان، إذا كان الانحراف المعياري العام =5، فإن متوسط العينة 
وحجم العينة ن = 25.
نحن بحاجة إلى إيجاد فترة الثقة 
.
جميع الكميات باستثناء ر معروفة. دعونا نجد t من النسبة Ф(t)=0.95/2=0.475. وباستخدام الجدول الملحق نجد t=1.96. بالاستبدال، نحصل أخيرًا على فترة الثقة المطلوبة وهي 12.04 قام قسم الرقابة الفنية بفحص 200 دفعة من المنتجات المتطابقة وحصل على التوزيع التجريبي التالي، التكرار n i - عدد الدفعات التي تحتوي على x i منتجات غير قياسية مطلوب اختبار الفرضية عند مستوى دلالة 0.05 بأن عدد المنتجات غير القياسية. يتم توزيع المنتجات القياسية X وفقًا لقانون بواسون. لنجد متوسط العينة: لنأخذ متوسط العينة =0.6 كتقدير للمعلمة لتوزيع بواسون. لذلك، قانون بواسون المفترض الإعداد i=0,1,2,3,4، نجد احتمالات P i لظهور المنتجات غير القياسية في 200 دفعة: دعونا نجد الترددات النظرية باستخدام الصيغة دعونا نقارن التكرارات التجريبية والنظرية باستخدام اختبار بيرسون. للقيام بذلك، سوف نقوم بإنشاء جدول الحساب. دعونا نجمع بين الترددات الصغيرة (4+2=6) والترددات النظرية المقابلة لها (3.96+0.6=4.56). ومن الناحية العملية، فإن معظم المتغيرات العشوائية التي تتأثر بعدد كبير من العوامل العشوائية تخضع لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي. ولذلك، في التطبيقات المختلفة لنظرية الاحتمالات، هذا القانون له أهمية خاصة. يخضع المتغير العشوائي $X$ لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي إذا كانت كثافة التوزيع الاحتمالي له بالشكل التالي $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\سيجما )^2))$$ يظهر الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)$ بشكل تخطيطي في الشكل ويسمى "منحنى غاوسي". على يمين هذا الرسم البياني توجد الورقة النقدية الألمانية فئة 10 مارك، والتي كانت تستخدم قبل طرح اليورو. إذا نظرت عن كثب، يمكنك أن ترى على هذه الورقة النقدية منحنى غاوس ومكتشفه، عالم الرياضيات الأكبر كارل فريدريش غاوس. دعنا نعود إلى دالة الكثافة $f\left(x\right)$ ونقدم بعض التوضيحات المتعلقة بمعلمات التوزيع $a,\ (\sigma )^2$. تميز المعلمة $a$ مركز تشتت قيم المتغير العشوائي، أي أنها تحمل معنى توقعًا رياضيًا. عندما تتغير المعلمة $a$ وتبقى المعلمة $(\sigma )^2$ دون تغيير، يمكننا ملاحظة تحول في الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)$ على طول الإحداثي السيني، بينما الرسم البياني للكثافة في حد ذاته لا يغير شكله. المعلمة $(\sigma )^2$ هي التباين وتميز شكل منحنى الرسم البياني للكثافة $f\left(x\right)$. عند تغيير المعلمة $(\sigma )^2$ مع عدم تغيير المعلمة $a$، يمكننا ملاحظة كيف يتغير شكل الرسم البياني للكثافة، أو الضغط أو التمدد، دون التحرك على طول محور الإحداثي السيني. كما هو معروف، يمكن حساب احتمال وقوع المتغير العشوائي $X$ في المجال $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$ هنا الدالة $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ هي الدالة وظيفة لابلاس. قيم هذه الوظيفة مأخوذة من . يمكن ملاحظة الخصائص التالية للدالة $\Phi \left(x\right)$. 1
. $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$، أي أن الدالة $\Phi \left(x\right)$ غريبة. 2
. $\Phi \left(x\right)$ هي دالة متزايدة بشكل رتيب. 3
. $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ يسار(س\يمين)\)=-0.5$. لحساب قيم الدالة $\Phi \left(x\right)$، يمكنك أيضًا استخدام معالج الدالة $f_x$ في Excel: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left(x ;0;1;1\يمين )-0.5$. على سبيل المثال، لنحسب قيم الدالة $\Phi \left(x\right)$ لـ $x=2$. يمكن حساب احتمالية وقوع المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ في فترة زمنية متماثلة فيما يتعلق بالتوقع الرياضي $a$ باستخدام الصيغة $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$ قاعدة ثلاثة سيجما. من شبه المؤكد أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي $X$ سوف يقع في الفاصل الزمني $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$. مثال 1
. يخضع المتغير العشوائي $X$ لقانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي مع المعلمات $a=2,\ \sigma =3$. أوجد احتمال وقوع $X$ في المجال $\left(0.5;1\right)$ واحتمال تحقيق المتراجحة $\left|X-a\right|< 0,2$. باستخدام الصيغة $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$ نجد $P\left(0.5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0.5-2)\ over (3) ))\يمين)=\Phi \left(-0.33\right)-\Phi \left(-0.5\right)=\Phi \left(0.5\right)-\Phi \ left(0.33\right)=0.191- 0.129=0.062 دولار. $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$ مثال 2
. لنفترض أنه خلال العام يكون سعر أسهم شركة معينة متغيرا عشوائيا موزعا وفقا للقانون العادي مع توقع رياضي يساوي 50 وحدة نقدية تقليدية وانحراف معياري يساوي 10. ما هو احتمال أن يكون ذلك على مجموعة مختارة عشوائيا؟ في اليوم من الفترة قيد المناقشة، سيكون سعر العرض الترويجي: أ) أكثر من 70 وحدة نقدية تقليدية؟ ب) أقل من 50 للسهم الواحد؟ ج) ما بين 45 و58 وحدة نقدية تقليدية للسهم الواحد؟ ليكن المتغير العشوائي $X$ هو سعر أسهم شركة معينة. حسب الشرط، يخضع $X$ للتوزيع الطبيعي مع المعلمات $a=50$ - التوقع الرياضي، $\sigma =10$ - الانحراف المعياري. الاحتمال $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле: $$P\left(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$ $$а)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ أكثر من (10))\يمين)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$ $$b)\P\left(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$ $$in)\ P\left(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$ وبدون مبالغة يمكن تسميته بالقانون الفلسفي. من خلال مراقبة الأشياء والعمليات المختلفة في العالم من حولنا، غالبًا ما نواجه حقيقة أن شيئًا ما لا يكفي، وأن هناك قاعدة: ما هي الأمثلة التي يمكنك تقديمها؟ هناك ببساطة ظلام منهم. هذا ، على سبيل المثال ، طول الأشخاص ووزنهم (وليس فقط) وقوتهم البدنية وقدراتهم العقلية وما إلى ذلك. هناك "الكتلة الرئيسية" (لسبب أو لآخر)وهناك انحرافات في كلا الاتجاهين. هذه هي خصائص مختلفة للأشياء غير الحية (نفس الحجم والوزن). هذه مدة عشوائية للعمليات، على سبيل المثال، وقت سباق مائة متر أو تحويل الراتنج إلى العنبر. من الفيزياء، تذكرت جزيئات الهواء: بعضها بطيء، وبعضها سريع، ولكن معظمها يتحرك بسرعات "قياسية". بعد ذلك، ننحرف عن المركز بانحراف معياري آخر ونحسب الارتفاع: تحديد النقاط على الرسم (أخضر)ونحن نرى أن هذا يكفي. في المرحلة النهائية، ارسم رسمًا بيانيًا بعناية، و بعناية خاصةتعكس ذلك محدب / مقعر! حسنًا، ربما أدركت منذ وقت طويل أن المحور السيني هو الخط المقارب الأفقي، ويمنع منعاً باتاً "الصعود" خلفه! عند تقديم حل إلكترونيًا، من السهل إنشاء رسم بياني في Excel، وبشكل غير متوقع بالنسبة لي، قمت حتى بتسجيل مقطع فيديو قصير حول هذا الموضوع. لكن أولاً، دعونا نتحدث عن كيفية تغير شكل المنحنى الطبيعي اعتمادًا على قيم و. عند زيادة أو نقصان "أ" (مع "سيجما" ثابت)يحتفظ الرسم البياني بشكله و يتحرك يمينًا/يسارًاعلى التوالى. لذلك، على سبيل المثال، عندما تأخذ الدالة النموذج في حالة تغيير "سيجما" (مع ثابت "أ")، "يظل الرسم البياني كما هو" ولكن يتغير شكله. وعندما تكبر تصبح أقل ومستطيلة، مثل الأخطبوط الذي يمد مخالبه. وعلى العكس من ذلك، عند تقليل الرسم البياني يصبح أضيق وأطول- اتضح أنه "أخطبوط متفاجئ". نعم متى ينقص"سيجما" مرتين: الرسم البياني السابق يضيق ويمتد للأعلى مرتين: يسمى التوزيع الطبيعي بقيمة وحدة سيجما تطبيع، وإذا كان كذلك تركزت(حالتنا)، ثم يسمى هذا التوزيع معيار. لديها وظيفة كثافة أبسط، والتي تم العثور عليها بالفعل في نظرية لابلاس المحلية: حسنًا، لنشاهد الفيلم الآن:
نعم، صحيح تماما - بطريقة أو بأخرى ظلت في الظل بشكل غير مستحق دالة التوزيع الاحتمالي. دعونا نتذكرها تعريف: داخل التكامل، عادة ما يتم استخدام حرف مختلف بحيث لا يكون هناك "تداخلات" مع التدوين، لأن كل قيمة هنا مرتبطة بـ تكامل غير لائق لا يمكن حساب جميع القيم تقريبًا بدقة، ولكن كما رأينا للتو، مع قوة الحوسبة الحديثة، فإن هذا ليس بالأمر الصعب. لذلك، بالنسبة للوظيفة =NORMSDIST(ض) واحد، اثنان - وقد انتهيت: الآن دعونا نتذكر إحدى المهام الرئيسية للموضوع، وهي معرفة كيفية إيجاد احتمال وجود متغير عشوائي عادي سوف تأخذ القيمة من الفاصل الزمني. هندسيا، هذا الاحتمال يساوي منطقةبين المنحنى الطبيعي والمحور السيني في القسم المقابل: ! يتذكر أيضا
، ماذا هنا يمكنك استخدام Excel مرة أخرى، ولكن هناك بضع "تحفظات" مهمة: أولاً، ليس في متناول اليد دائمًا، وثانيًا، من المرجح أن تثير القيم "الجاهزة" أسئلة من المعلم. لماذا؟ لقد تحدثت عن هذا عدة مرات من قبل: في وقت ما (وليس منذ وقت ليس ببعيد) كانت الآلة الحاسبة العادية ترفا، ولا تزال الطريقة "اليدوية" لحل المشكلة المعنية محفوظة في الأدبيات التعليمية. جوهرها هو توحيدقيم "ألفا" و"بيتا"، أي تقليل الحل إلى التوزيع القياسي: ملحوظة
: من السهل الحصول على الوظيفة من الحالة العامة لماذا هذا ضروري؟ والحقيقة هي أن القيم تم حسابها بدقة من قبل أسلافنا وتم تجميعها في جدول خاص موجود في العديد من الكتب حول terwer. ولكن في كثير من الأحيان يوجد جدول القيم الذي تعاملنا معه بالفعل نظرية لابلاس التكاملية: إذا كان لدينا جدول قيم لدالة لابلاس أذكرك بذلك إجابةيجب أن تعطى كنسبة مئوية، لذلك يجب ضرب الاحتمال المحسوب بـ 100 وتقديم النتيجة مع تعليق ذي معنى: - مع رحلة من 5 إلى 70 مترًا، سيسقط حوالي 15.87% من القذائف نحن ندرب بأنفسنا: مثال 3 قطر المحامل المصنعة في المصنع هو متغير عشوائي، يتم توزيعه طبيعيًا بتوقع رياضي قدره 1.5 سم وانحراف معياري قدره 0.04 سم. أوجد احتمال أن يتراوح حجم المحامل المختارة عشوائيًا من 1.4 إلى 1.6 سم. في نموذج الحل وما يليه، سأستخدم دالة Laplace باعتبارها الخيار الأكثر شيوعًا. بالمناسبة، لاحظ أنه وفقًا للصياغة، يمكن تضمين نهايات الفاصل الزمني في الاعتبار هنا. ومع ذلك، هذا ليس حاسما. وبالفعل واجهنا في هذا المثال حالة خاصة - عندما تكون الفترة متماثلة بالنسبة للتوقع الرياضي. في مثل هذه الحالة، يمكن كتابتها في النموذج، وباستخدام شذوذ دالة لابلاس، تبسيط صيغة العمل: من الجيد أن الحل يتناسب مع سطر واحد :) تبين أن نتيجة هذه المهمة قريبة من الوحدة، لكنني أرغب في الحصول على قدر أكبر من الموثوقية - أي معرفة الحدود التي يقع ضمنها القطر الجميع تقريبامحامل. هل هناك أي معيار لهذا؟ موجود! السؤال المطروح يجيب عليه ما يسمى جوهرها هو ذلك موثوقة عمليا
هي حقيقة أن المتغير العشوائي الموزع بشكل طبيعي سيأخذ قيمة من الفاصل الزمني وبالفعل فإن احتمال الانحراف عن القيمة المتوقعة أقل من: ومن حيث المحامل فهي 9973 قطعة بقطر من 1.38 إلى 1.62 سم و 27 نسخة "دون المستوى" فقط. في البحث العملي، عادة ما يتم تطبيق قاعدة سيجما الثلاثة في الاتجاه المعاكس: إذا إحصائياوقد وجد أن جميع القيم تقريبا المتغير العشوائي قيد الدراسةتقع ضمن فترة 6 انحرافات معيارية، فإن هناك أسبابا قاهرة للاعتقاد بأن هذه القيمة يتم توزيعها وفقا لقانون عادي. يتم التحقق باستخدام النظرية الفرضيات الإحصائية. نواصل حل المشاكل السوفيتية القاسية: مثال 4 يتم توزيع القيمة العشوائية لخطأ الوزن حسب القانون العادي بتوقع رياضي صفر وانحراف معياري قدره 3 جرام. أوجد احتمال إجراء الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرام في القيمة المطلقة. حلبسيط جدا. حسب الحالة، نلاحظ على الفور أنه في الوزن التالي (شيء أو شخص ما)سنحصل على النتيجة بنسبة 100٪ تقريبًا بدقة 9 جرام. لكن المشكلة تنطوي على انحراف أضيق ووفقًا للصيغة إجابة: تختلف المشكلة التي تم حلها اختلافًا جوهريًا عن المشكلة التي تبدو مشابهة. مثال 3درس حول توزيع موحد. كان هناك خطأ التقريبنتائج القياس، ونحن هنا نتحدث عن الخطأ العشوائي للقياسات نفسها. تنشأ مثل هذه الأخطاء بسبب الخصائص التقنية للجهاز نفسه. (يُشار عادةً إلى نطاق الأخطاء المقبولة في جواز سفره)وأيضًا من خلال خطأ المجرب - عندما نأخذ، على سبيل المثال، "بالعين" قراءات من إبرة نفس المقاييس. من بين أمور أخرى، هناك أيضا ما يسمى منهجيأخطاء القياس. إنه بالفعل غير عشوائيالأخطاء التي تحدث بسبب الإعداد غير الصحيح أو تشغيل الجهاز. على سبيل المثال، يمكن للموازين الأرضية غير المنظمة أن "تضيف" كيلوغرامات بشكل مطرد، ويقوم البائع بوزن العملاء بشكل منهجي. أو يمكن حسابه بشكل غير منهجي. لكن في كل الأحوال فإن مثل هذا الخطأ لن يكون عشوائيا، وتوقعه يختلف عن الصفر. …أعمل على تطوير دورة تدريبية في مجال المبيعات بشكل عاجل =) دعونا نحل المشكلة العكسية بأنفسنا: مثال 5 قطر الأسطوانة هو متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي، وانحرافه المعياري يساوي ملم. أوجد طول الفترة المتناظرة بالنسبة للتوقع الرياضي، والتي من المحتمل أن يقع فيها طول قطر الأسطوانة. النقطة 5* تخطيط التصميمللمساعدة. يرجى ملاحظة أن التوقع الرياضي غير معروف هنا، لكن هذا لا يمنعنا على الأقل من حل المشكلة. ومهمة الامتحان التي أوصي بها بشدة لتعزيز المادة: مثال 6 يتم تحديد المتغير العشوائي الموزع توزيعاً طبيعياً من خلال معلماته (التوقع الرياضي) و (الانحراف المعياري). مطلوب: أ) اكتب كثافة الاحتمالية ورسم الرسم البياني الخاص بها بشكل تخطيطي؛ يتم تقديم مثل هذه المشكلات في كل مكان، وعلى مدار سنوات الممارسة، قمت بحل المئات والمئات منها. تأكد من التدرب على رسم الرسم باليد واستخدام الجداول الورقية؛) حسنًا، سألقي نظرة على مثال للتعقيد المتزايد: مثال 7 كثافة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي لها الشكل حل: بداية، دعونا نلاحظ أن الشرط لا يقول شيئا عن طبيعة المتغير العشوائي. إن وجود الأس في حد ذاته لا يعني شيئًا: فقد يتبين، على سبيل المثال، إرشاديةأو حتى تعسفيا التوزيع المستمر. وبالتالي فإن "الحالة الطبيعية" للتوزيع لا تزال بحاجة إلى تبرير: منذ الوظيفة ها نحن. لهذا حدد مربعًا كاملاًوتنظيم جزء من ثلاثة طوابق: هكذا: الآن دعونا نجد قيمة المعلمة. بما أن مضاعف التوزيع الطبيعي له الشكل و، إذن: لنقم ببناء رسم بياني للكثافة: كما ذكرنا سابقًا، أمثلة على التوزيعات الاحتمالية متغير عشوائي مستمر
X هي: دعونا نعطي مفهوم قانون التوزيع الطبيعي، ووظيفة التوزيع لمثل هذا القانون، وإجراءات حساب احتمال وقوع المتغير العشوائي X في فترة زمنية معينة. الطول X لجزء معين هو متغير عشوائي موزع حسب قانون التوزيع الطبيعي، ويبلغ متوسط قيمته 20 مم وانحراف معياري 0.2 مم. حل.
أ)نجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X موزعة وفق القانون العادي: بشرط أن m x =20, σ =0.2. ب)بالنسبة للتوزيع الطبيعي للمتغير العشوائي، يتم تحديد احتمال الوقوع في الفترة (19.7؛ 20.3) من خلال: الخامس)نجد احتمال أن تكون القيمة المطلقة للانحراف أقل من الرقم الموجب 0.1: ز)نظرًا لأن احتمال الانحراف أقل من 0.1 مم هو 0.383، فإنه يترتب على ذلك أن 38.3 جزءًا في المتوسط من 100 سيكون لها مثل هذا الانحراف، أي. 38.3%. د)بما أن النسبة المئوية للأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن المتوسط القيمة المحددة قد ارتفعت إلى 54%، إذن P(|X-20|< δ) = 0,54. Отсюда следует, что 2Ф(δ/σ) = 0,54, а значит Ф(δ/σ) = 0,27. باستخدام التطبيق ( الجدول 2
) نجد δ/σ = 0.74. وبالتالي δ = 0.74*σ = 0.74*0.2 = 0.148 مم. ه)بما أن الفاصل الزمني المطلوب متماثل بالنسبة للقيمة المتوسطة m x = 20، فيمكن تعريفه على أنه مجموعة قيم X التي تحقق عدم المساواة 20 − δ< X < 20 + δ или |x − 20| < δ . وفقًا للشرط، فإن احتمال العثور على X في الفترة المطلوبة هو 0.95، وهو ما يعني P(|x − 20|< δ)= 0,95. С другой стороны P(|x − 20| < δ) = 2Ф(δ/σ), следовательно 2Ф(δ/σ) = 0,95, а значит Ф(δ/σ) = 0,475. باستخدام التطبيق ( الجدول 2
) نجد δ/σ = 1.96. وبالتالي δ = 1.96*σ = 1.96*0.2 = 0.392. للمشاكل 41-50.
يبدو 
.
,
,
,
,
.
. استبدال قيم الاحتمال في هذه الصيغة، نحصل على 
,
,
,
,
.
احتمال وقوع متغير عشوائي موزع بشكل طبيعي في فترة زمنية معينة
قانون التوزيع الاحتمالي الطبيعي
هنا وجهة نظر أساسية وظائف الكثافةالتوزيع الاحتمالي الطبيعي، وأرحب بكم في هذا الدرس المثير للاهتمام.
ويتحرك الرسم البياني الخاص بنا بمقدار 3 وحدات إلى اليسار - بالضبط إلى أصل الإحداثيات: 
الكمية الموزعة بشكل طبيعي مع توقع رياضي صفر حصلت على اسم طبيعي تمامًا - تركزت; وظيفة الكثافة 
– حتى، والرسم البياني متماثل حول الإحداثي.
كل شيء يتوافق تماما مع التحولات الهندسية للرسوم البيانية.
. لقد وجد التوزيع القياسي تطبيقًا واسعًا في الممارسة العملية، وسرعان ما سنفهم أخيرًا الغرض منه.
- احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة أقل من المتغير الذي "يمر عبر" جميع القيم الحقيقية إلى ما لا نهاية "زائد".
، وهو ما يعادل بعض رقممن الفاصل .
التوزيع القياسي، تحتوي وظيفة Excel المقابلة بشكل عام على وسيطة واحدة:
ويبين الرسم بوضوح تنفيذ الجميع خصائص وظيفة التوزيعومن الفروق الفنية الدقيقة هنا يجب الانتباه إليها الخطوط المقاربة الأفقيةونقطة الانعطاف.
ولكن في كل مرة أحاول الحصول على قيمة تقريبية 
غير معقول، وبالتالي فهو أكثر عقلانية للاستخدام صيغة "خفيفة".:
.
باستخدام الخطية البدائل. ثم أيضاً:
ومن الاستبدال نفذت الصيغة التالية: 
الانتقال من قيم التوزيع التعسفي إلى القيم المقابلة للتوزيع القياسي.
، ثم نحل من خلاله:
يتم تقريب القيم الكسرية تقليديًا إلى 4 منازل عشرية، كما هو الحال في الجدول القياسي. وللسيطرة هناك النقطة 5 تَخطِيط.
، وتجنباً للارتباك السيطرة دائما، جدول ما هي الوظيفة أمام عينيك.
يتم استدعاء المعلمة دلتا انحرافمن التوقع الرياضي، ويمكن "تعبئة" المتباينة المزدوجة باستخدام وحدة:
– احتمال أن تنحرف قيمة المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي بأقل من .
- احتمال أن يختلف قطر المحمل المأخوذ عشوائياً عن 1.5 سم بما لا يزيد عن 0.1 سم.قاعدة ثلاثة سيجما
.
أو 99.73%
:
– احتمالية إجراء الوزن التالي بخطأ لا يتجاوز 5 جرام.
ب) أوجد احتمال أن تأخذ قيمة من الفترة 
;
ج) أوجد احتمال أن تنحرف القيمة المطلقة عن ما لا يزيد عن ؛
د) باستخدام قاعدة "ثلاثة سيجما"، أوجد قيم المتغير العشوائي.
. البحث، التوقع الرياضي، التشتت، دالة التوزيع، بناء الرسوم البيانية للكثافة ووظائف التوزيع، إيجاد.
محدد في أيالقيمة الحقيقية، ويمكن تخفيضها إلى النموذج 
، ثم يتم توزيع المتغير العشوائي وفقا للقانون العادي.
تأكد من إجراء فحص وإعادة المؤشر إلى شكله الأصلي:
، وهو ما أردنا رؤيته.
- بواسطة حكم العمليات مع السلطات"قرصة قبالة" وهنا يمكنك تدوين الخصائص العددية الواضحة على الفور: 
، من حيث نعبر ونستبدل في وظيفتنا: 
، وبعد ذلك سنراجع التسجيل بأعيننا مرة أخرى ونتأكد من أن الوظيفة الناتجة لها الشكل 
.
والرسم البياني وظيفة التوزيع 
:
إذا لم يكن لديك برنامج Excel أو حتى آلة حاسبة عادية في متناول اليد، فيمكن إنشاء الرسم البياني الأخير يدويًا بسهولة! عند هذه النقطة تأخذ وظيفة التوزيع القيمة 
وهنا هو عليه№
مؤشر قانون التوزيع الطبيعي ملحوظة
تعريف
دعا عادي
التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر X، كثافته لها الشكل
حيث m x هو التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X، وσ x هو الانحراف المعياري
2
وظيفة التوزيع
احتمال
الوقوع في الفاصل الزمني (أ ؛ ب)
- دالة لابلاس المتكاملة
احتمال
حقيقة أن القيمة المطلقة للانحراف أقل من الرقم الموجب δ
عند م × = 0
مثال على حل مشكلة في موضوع "قانون التوزيع الطبيعي لمتغير عشوائي مستمر"
مهمة.
ضروري:
أ) اكتب التعبير عن كثافة التوزيع؛
ب) أوجد احتمال أن يتراوح طول الجزء بين 19.7 و20.3 ملم؛
ج) أوجد احتمال ألا يتجاوز الانحراف 0.1 مم؛
د) تحديد النسبة المئوية للأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن متوسط القيمة 0.1 مم؛
هـ) العثور على الانحراف الذي يجب ضبطه بحيث تزيد نسبة الأجزاء التي لا يتجاوز انحرافها عن المتوسط القيمة المحددة إلى 54٪؛
و) ابحث عن فترة زمنية متماثلة حول القيمة المتوسطة التي ستقع فيها X باحتمال 0.95.
Ф((20.3-20)/0.2) – Ф((19.7-20)/0.2) = Ф(0.3/0.2) – Ф(-0.3/0, 2) = 2Ф(0.3/0.2) = 2Ф(1.5) = 2*0.4332 = 0.8664.
وجدنا القيمة Ф(1.5) = 0.4332 في الملاحق، في جدول قيم دالة لابلاس التكاملية Φ(x) ( الجدول 2
)
R(|X-20|< 0,1) = 2Ф(0,1/0,2) = 2Ф(0,5) = 2*0,1915 = 0,383.
وجدنا القيمة Ф(0.5) = 0.1915 في الملاحق، في جدول قيم دالة لابلاس التكاملية Φ(x) ( الجدول 2
)
الفاصل الزمني للبحث
: (20 - 0.392؛ 20 + 0.392) أو (19.608؛ 20.392).
