الأشكال التربيعية

الشكل التربيعي f(x 1, x 2,...,x n) من المتغيرات n هو مجموع، كل حد منها هو إما مربع أحد المتغيرات، أو منتج اثنين من المتغيرات المختلفة، مأخوذة بمعامل معين: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

تسمى المصفوفة (أ) المكونة من هذه المعاملات بمصفوفة ذات الصورة التربيعية. إنه دائمًا متماثلالمصفوفة (أي مصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة، الصيغة التربيعية هي f(X) = X T AX، حيث

بالفعل

على سبيل المثال، لنكتب الصورة التربيعية على صورة المصفوفة.

للقيام بذلك، نجد مصفوفة على الصورة التربيعية. عناصرها القطرية تساوي معاملات المتغيرات التربيعية، والعناصر المتبقية تساوي أنصاف المعاملات المقابلة لها في الصورة التربيعية. لهذا السبب

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه عن طريق تحويل خطي غير منحط لعمود المصفوفة Y، أي. X = CY، حيث C هي مصفوفة غير مفردة من الرتبة n. ثم الشكل التربيعي
و(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

وهكذا، مع التحول الخطي غير المنحل C، تأخذ مصفوفة الشكل التربيعي الشكل: A * = C T AC.

على سبيل المثال، لنوجد الصورة التربيعية f(y 1, y 2) الناتجة من الصورة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بالتحويل الخطي.

يسمى الشكل التربيعي الكنسي(لديه عرض قانوني) ، إذا كانت جميع معاملاتها a j = 0 لـ i ≠ j، أي.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

مصفوفتها قطرية.

نظرية(لم يتم تقديم الدليل هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل خطي غير منحط.

على سبيل المثال، دعونا نختصر الصيغة التربيعية إلى الصيغة القانونية
و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

للقيام بذلك، حدد أولاً مربعًا كاملاً يحتوي على المتغير x 1:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5×22 –×2×3 .

الآن نختار مربعًا كاملاً بالمتغير x 2:

و(x 1، x 2، x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)× 3 2 =
= 2(س 1 + س 2) 2 - 5(س 2 - (1/10) × 3) 2 - (1/20) × 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المنحط y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 - (1/10) x 3 و y 3 = x 3 يجلب هذا الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني f(y 1, y 2) , ص 3) = 2ص 1 2 - 5ص 2 2 - (1/20)ص 3 2 .

لاحظ أن الشكل القانوني للشكل التربيعي يتم تحديده بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بطرق مختلفة). ومع ذلك، تلقى بطرق مختلفةالأشكال الأساسية لها عدد من الخصائص العامة. على وجه الخصوص، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال، في المثال الذي تم النظر فيه سيكون هناك دائمًا معاملان سلبيان ومعامل إيجابي واحد). هذه الخاصية تسمى قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك من خلال جلب نفس الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:
و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(× 2 2 –
- 2* × 2 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) + ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2) - 3 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(س 2 - (1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 - 3((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 = و (ص 1 , ص 2 , ص 3) = -3ص 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2، حيث y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و ص 3 = س 1 . يوجد هنا معامل موجب 2 عند y 3 ومعاملين سالبين (-3) عند y 1 وy 2 (وباستخدام طريقة أخرى حصلنا على معامل موجب 2 عند y 1 ومعاملين سالبين - (-5) عند ص 2 و (-1/20) عند ص 3).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة المصفوفة ذات الشكل التربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للشكل القانوني ولا يتغير في ظل التحولات الخطية.

تسمى الصيغة التربيعية f(X). بشكل إيجابي (سلبي) تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي لا تساوي الصفر في وقت واحد، فهي موجبة، أي. f(X) > 0 (سلبي، أي
و(س)< 0).

على سبيل المثال، الصيغة التربيعية f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 هي موجبة ومحددة، لأن هو مجموع المربعات، والصيغة التربيعية f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سالبة بالتأكيد، لأن يمثل أنه يمكن تمثيله كـ f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية، يكون تحديد العلامة المحددة للشكل التربيعي أكثر صعوبة إلى حد ما، لذلك نستخدم إحدى النظريات التالية (سنقوم بصياغتها بدون دليل).

نظرية. يكون الشكل التربيعي موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفته موجبة (سلبية).

نظرية (معيار سيلفستر). تكون الصورة التربيعية موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة من هذه الصورة موجبة.

الرئيسية (الزاوية) الثانويةتسمى مصفوفة الرتبة k A من الرتبة n محدد المصفوفة، وتتكون من الصفوف والأعمدة الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للأشكال التربيعية المحددة السالبة، فإن علامات الفروع الرئيسية تتناوب، ويجب أن تكون العلامات الثانوية من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال، دعونا نتفحص الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 لمعرفة دقة الإشارة.

= (2 - ل)*
*(3 - ل) – 4 = (6 - 2ل - 3ل + ل 2) – 4 = ل 2 - 5ل + 2 = 0; د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية إيجابية محددة.

الطريقة الثانية. فرعي رئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A D 1 = a 11 = 2 > 0. فرعي رئيسي من الدرجة الثانية D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، فإن الصيغة التربيعية هي إيجابية محددة.

سنفحص صيغة تربيعية أخرى لتحديد الإشارة، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (-2 - ل)*
*(-3 - ل) – 4 = (6 + 2ل + 3ل + ل 2) – 4 = ل 2 + 5ل + 2 = 0; د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية هي سلبية محددة.

أشكال مربعة.
علامة تحديد النماذج. معيار سيلفستر

صفة "تربيعي" تشير على الفور إلى أن شيئًا ما هنا مرتبط بمربع (الدرجة الثانية)، وقريبًا جدًا سنكتشف هذا "الشيء" وما هو شكله. اتضح أنه أعاصير اللسان :)

مرحبًا بكم في درسي الجديد، وكإحماء فوري سننظر إلى الشكل المخطط خطي. شكل خطي المتغيراتمُسَمًّى متجانسالدرجة الأولى متعددة الحدود:

- بعض الأرقام المحددة * (نفترض أن واحدًا منهم على الأقل ليس صفرًا)، a عبارة عن متغيرات يمكن أن تأخذ قيمًا عشوائية.

* في إطار هذا الموضوع سننظر فقط أرقام حقيقية .

لقد واجهنا بالفعل مصطلح "متجانس" في الدرس حول أنظمة متجانسة من المعادلات الخطية، وفي هذه الحالة يعني ذلك أن كثير الحدود لا يحتوي على ثابت زائد.

على سبيل المثال: - الشكل الخطي لمتغيرين

والآن أصبح الشكل تربيعيًا. الشكل التربيعي المتغيراتمُسَمًّى متجانسمتعدد الحدود من الدرجة الثانية, كل مصطلح منهايحتوي إما على مربع المتغير أو الزوجينتاج المتغيرات. على سبيل المثال، الصيغة التربيعية لمتغيرين لها الصيغة التالية:

انتباه!هذا إدخال قياسي وليس هناك حاجة لتغيير أي شيء فيه! على الرغم من المظهر "المخيف"، كل شيء بسيط هنا - تشير الثوابت المزدوجة إلى المتغيرات المضمنة في أي مصطلح:
- يحتوي هذا المصطلح على المنتج و (المربع)؛
- هنا العمل؛
- وهنا العمل.

- أتوقع على الفور حدوث خطأ فادح عندما يفقدون "سالب" المعامل، دون أن يفهموا أنه يشير إلى مصطلح:

في بعض الأحيان يكون هناك خيار تصميم "مدرسة" في الروح، ولكن في بعض الأحيان فقط. بالمناسبة، لاحظ أن الثوابت لا تخبرنا بأي شيء هنا على الإطلاق، وبالتالي يصعب تذكر "الترميز السهل". خاصة عندما يكون هناك المزيد من المتغيرات.

والصيغة التربيعية لثلاثة متغيرات تحتوي بالفعل على ستة حدود:

... لماذا يتم وضع عاملين "اثنين" في مصطلحات "مختلطة"؟ وهذا أمر مناسب، وسيتضح السبب قريبًا.

ومع ذلك، دعونا نكتب الصيغة العامة، ومن الملائم كتابتها في "ورقة":

– نحن ندرس كل سطر بعناية – فلا حرج في ذلك!

يحتوي النموذج التربيعي على حدود مع مربعات المتغيرات وحدود مع منتجاتها المقترنة (سم. صيغة الجمع اندماجي) . لا شيء أكثر من ذلك - لا "X وحيد" ولا ثابت مضاف (عندها لن تحصل على شكل تربيعي، ولكن غير متجانسةمتعدد الحدود من الدرجة الثانية).

تدوين المصفوفة من الشكل التربيعي

اعتمادًا على القيم، يمكن أن يأخذ النموذج المعني قيمًا موجبة وسالبة، وينطبق الشيء نفسه على أي شكل خطي - إذا كان أحد معاملاته على الأقل مختلفًا عن الصفر، فيمكن أن يكون إما موجبًا أو سالبًا (اعتمادًا على قيم).

هذا النموذج يسمى علامة بالتناوب. وإذا كان كل شيء شفافًا في الشكل الخطي، فإن الأمور في الشكل التربيعي تكون أكثر إثارة للاهتمام:

ومن الواضح تمامًا أن هذا النموذج يمكن أن يأخذ معنى أي علامة، وبالتالي يمكن أيضًا أن يكون الشكل التربيعي متناوبًا.

أو ربما لا:

- دائمًا، ما لم يساوي الصفر في نفس الوقت.

– لأي شخص ناقلاتباستثناء الصفر.

وبشكل عام،إذا لأي شخص غير الصفرالمتجه ، ثم يسمى الشكل التربيعي إيجابية محددة; إذا كان الأمر كذلك ثم سلبي محدد.

وسيكون كل شيء على ما يرام، لكن دقة الشكل التربيعي لا تظهر إلا في الأمثلة البسيطة، وتضيع هذه الرؤية حتى مع وجود تعقيد بسيط:
– ?

يمكن للمرء أن يفترض أن الشكل إيجابي محدد، ولكن هل هذا صحيح حقا؟ ماذا لو كانت هناك قيم أقل من الصفر؟

هناك نظرية: إذا كان كل شيء القيم الذاتيةالمصفوفات ذات الشكل التربيعي إيجابية * ، فهو موجب محدد. إذا كانت كلها سلبية، فهي سلبية.

* لقد ثبت من الناحية النظرية أن جميع القيم الذاتية لمصفوفة متماثلة حقيقية صالح

لنكتب مصفوفة النموذج أعلاه:
ومن مكافئ. دعونا نجدها القيم الذاتية:

دعونا نحل القديم الجيد معادلة تربيعية:

، وهو ما يعني النموذج يتم تعريفه بشكل إيجابي، أي. لأي قيم غير الصفر فهي أكبر من الصفر.

يبدو أن الطريقة المدروسة تعمل، ولكن هناك واحدة كبيرة ولكن. بالنسبة لمصفوفة مكونة من ثلاثة في ثلاثة، يعد البحث عن الأعداد الصحيحة مهمة طويلة وغير سارة؛ مع احتمال كبير، سوف تحصل على متعدد الحدود من الدرجة الثالثة مع جذور غير عقلانية.

ماذا علي أن أفعل؟ هناك طريقة أسهل!

معيار سيلفستر

لا، ليس سيلفستر ستالون :) أولا، اسمحوا لي أن أذكركم ما هو عليه قاصرون الزاويةالمصفوفات. هذا تصفيات والتي "تنمو" من الزاوية اليسرى العليا:

والأخير يساوي تمامًا محدد المصفوفة.

الآن، في الواقع، معيار:

1) يتم تعريف الشكل التربيعي بشكل إيجابيإذا وفقط إذا كانت جميع الزوايا الصغرى أكبر من الصفر: .

2) يتم تعريف الشكل التربيعي سلبيإذا وفقط إذا كانت صغراته الزاوية تتناوب في الإشارة، حيث يكون القاصر الأول أقل من الصفر: , , إذا - زوجي أو، إذا - فردي.

إذا كان هناك زاوي صغير واحد على الأقل ذو علامة معاكسة، ثم النموذج علامة بالتناوب. إذا كانت الزوايا الصغرى من العلامة "اليمنى"، ولكن هناك أصفار بينها، فهذه حالة خاصة، سأدرسها بعد قليل، بعد أن ننظر إلى أمثلة أكثر شيوعًا.

دعونا نحلل القصر الزاوي للمصفوفة :

وهذا يخبرنا على الفور أن الصورة لم يتم تعريفها بشكل سلبي.

خاتمة: جميع القاصرات الزاوية أكبر من الصفر وهو ما يعني الشكل يتم تعريفه بشكل إيجابي.

هناك فرق مع الطريقة القيم الذاتية? ;)

دعونا نكتب مصفوفة النموذج من مثال 1:

الأول هو قاصر الزاوي، والثاني ، ويترتب على ذلك أن الشكل متناوب في الإشارة، أي. اعتمادًا على القيم، يمكن أن يأخذ القيم الإيجابية والسلبية. ومع ذلك، هذا واضح بالفعل.

لنأخذ النموذج ومصفوفته من مثال 2:

لا توجد طريقة لمعرفة ذلك دون البصيرة. لكن بمعيار سيلفستر لا يهمنا:
وبالتالي فإن النموذج ليس سلبيًا بالتأكيد.

، وبالتأكيد ليست إيجابية (نظرًا لأن جميع القاصرين الزاويين يجب أن يكونوا إيجابيين).

خاتمة: الشكل بالتناوب.

أمثلة الاحماء ل قرار مستقل:

مثال 4

التحقيق في الأشكال التربيعية لتحديد الإشارة

أ)

في هذه الأمثلة، كل شيء سلس (انظر نهاية الدرس)، ولكن في الواقع، لإكمال هذه المهمة قد لا يكون معيار سيلفستر كافيا.

والمقصود أن هناك حالات "حافة" وهي: إن وجدت غير الصفرالمتجه، ثم يتم تحديد الشكل غير سلبي، إذا – إذن سلبي. هذه الأشكال لديها غير الصفرناقلات التي.

هنا يمكنك اقتباس "الأكورديون" التالي:

تسليط الضوء مربع مثالي، نرى على الفور عدم السلبيةعلى الشكل: ، وهي تساوي صفراً لأي متجه له إحداثيات متساوية، على سبيل المثال: .

مثال "المرآة". سلبيشكل معين:

ومثال أكثر تافهة:
- هنا الشكل يساوي صفر لأي متجه، حيث يكون الرقم اعتباطي.

كيفية التعرف على النماذج غير السلبية أو غير الإيجابية؟

لهذا نحن بحاجة إلى هذا المفهوم القاصرين الكبرى المصفوفات. والثانوي الأكبر هو ثانوي يتكون من عناصر تقف عند تقاطع الصفوف والأعمدة ذات الأرقام نفسها. وبالتالي، تحتوي المصفوفة على فرعين رئيسيين من الدرجة الأولى:
(العنصر عند تقاطع الصف الأول والعمود الأول)؛
(العنصر عند تقاطع الصف الثاني والعمود الثاني)،

وقاصر رئيسي واحد من الدرجة الثانية:
– تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والعمود الأول والثاني.

المصفوفة هي "ثلاثة في ثلاثة" هناك سبعة قاصرين رئيسيين، وهنا سيتعين عليك ثني العضلة ذات الرأسين:
– ثلاثة قاصرين من الدرجة الأولى،
ثلاثة قاصرين من الدرجة الثانية:
- تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والعمود الأول والثاني؛
- تتكون من عناصر الصف الأول والثالث والعمود الأول والثالث؛
- مكون من عناصر الصف الثاني والثالث والعمود الثاني والثالث،
وقاصر من الدرجة الثالثة:
– تتكون من عناصر الصف الأول والثاني والثالث والعمود الأول والثاني والثالث.
يمارسللفهم: اكتب جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة .
نتحقق في نهاية الدرس ونستمر.

معيار شوارزنيجر:

1) تعريف الصيغة التربيعية غير الصفرية* غير سلبيإذا وفقط إذا كان جميع القاصرين الرئيسيين غير سلبي(أكبر من أو يساوي الصفر).

* الصيغة التربيعية الصفرية (المنحطة) جميع معاملاتها تساوي الصفر.

2) يتم تعريف الصيغة التربيعية غير الصفرية مع المصفوفة سلبيإذا وفقط إذا:
– القصر الكبار من الدرجة الأولى غير إيجابي(أقل من أو يساوي الصفر)؛
- القصر الكبار من الدرجة الثانية غير سلبي;
– القصر الكبار من الدرجة الثالثة غير إيجابي(بدأ التناوب)؛
…
– الصغرى الكبرى من الدرجة الرابعة غير إيجابي، إذا - غريب أو غير سلبي، إذا – حتى.

إذا كان هناك قاصر واحد على الأقل من علامة معاكسة، فإن النموذج هو تناوب الإشارة.

دعونا نرى كيف يعمل المعيار في الأمثلة المذكورة أعلاه:

لنقم بإنشاء مصفوفة شكل، و أولاًدعونا نحسب الزوايا الصغرى - ماذا لو تم تعريفها بشكل إيجابي أو سلبي؟

القيم التي تم الحصول عليها لا تفي بمعيار سيلفستر بل القاصر الثاني ليست سلبيةوهذا يجعل من الضروري التحقق من المعيار الثاني (في حالة المعيار الثاني لن يتم استيفاءه تلقائيا، أي أنه سيتم استخلاص الاستنتاج على الفور حول علامة التناوب في النموذج).

القصر الرئيسيون من الدرجة الأولى:
- إيجابي،
الصغرى الكبرى من الدرجة الثانية:
- ليست سلبية.

وبالتالي، فإن جميع القاصرين الكبار ليسوا سلبيين، وهو ما يعني الشكل غير سلبي.

لنكتب مصفوفة الشكل ، والذي من الواضح أن معيار سيلفستر غير راضٍ عنه. لكننا أيضًا لم نتلق إشارات معاكسة (لأن كلا من الزوايا الصغرى تساوي الصفر). ولذلك، فإننا نتحقق من استيفاء معيار عدم السلبية/اللاإيجابية. القصر الرئيسيون من الدرجة الأولى:
- غير إيجابي،
الصغرى الكبرى من الدرجة الثانية:
- ليست سلبية.

وبالتالي، وفقا لمعيار شوارزنيجر (النقطة 2)، فإن الشكل غير محدد بشكل إيجابي.

الآن دعونا نلقي نظرة فاحصة على مشكلة أكثر إثارة للاهتمام:

مثال 5

افحص الصيغة التربيعية للتأكد من الإشارة

تم تزيين هذا النموذج بالترتيب "ألفا" الذي يمكن أن يساوي أي رقم حقيقي. لكنها ستكون أكثر متعة فقط نحن نقرر.

أولاً، دعونا نكتب مصفوفة النموذج، وربما اعتاد العديد من الأشخاص على القيام بذلك شفهيًا: on قطري الرئيسينضع معاملات المربعات، وفي الأماكن المتماثلة نضع نصف معاملات المنتجات "المختلطة" المقابلة:

دعونا نحسب القاصرين الزاويين:

سأقوم بتوسيع المحدد الثالث في السطر الثالث:

مفهوم الشكل التربيعي. مصفوفة الشكل التربيعي. الشكل القانوني للشكل التربيعي. طريقة لاغرانج. عرض عادي للشكل التربيعي. رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي. شكل تربيعي محدد موجب. رباعيات.

مفهوم الشكل التربيعي:دالة على مساحة متجهة محددة بواسطة متعددة الحدود متجانسة من الدرجة الثانية في إحداثيات المتجه.

الشكل التربيعي من نمجهول يسمى مجموعًا، كل حد منه إما مربع أحد هذه المجهولات، أو حاصل ضرب مجهولين مختلفين.

المصفوفة التربيعية:تسمى المصفوفة بمصفوفة ذات صورة تربيعية على أساس معين. إذا كانت خاصية المجال لا تساوي 2، يمكننا أن نفترض أن مصفوفة الشكل التربيعي متماثلة، أي.

اكتب مصفوفة ذات صورة تربيعية:

لذلك،

في صورة المصفوفة المتجهة، يكون الشكل التربيعي كما يلي:

أ، حيث

الشكل القانوني للشكل التربيعي:ويسمى الشكل التربيعي الكنسي إذا كان كل شيء أي.

يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام التحويلات الخطية. في الممارسة العملية، عادة ما تستخدم الطرق التالية.

طريقة لاغرانج : الاختيار المتسلسل للمربعات الكاملة. على سبيل المثال، إذا

ثم يتم تنفيذ إجراء مماثل مع الصيغة التربيعية إلخ. إذا كان كل شيء في الشكل التربيعي ولكن ثم بعد التحويل الأولي، يعود الأمر إلى الإجراء الذي تم النظر فيه. لذلك، إذا، على سبيل المثال، فإننا نفترض

الصورة العادية للشكل التربيعي:الصيغة التربيعية العادية هي صيغة تربيعية قانونية تكون فيها جميع المعاملات مساوية لـ +1 أو -1.

رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي:رتبة الشكل التربيعي أويسمى رتبة المصفوفة أ. لا تتغير رتبة الشكل التربيعي في ظل التحويلات غير المنحلة للمجهول.

ويسمى عدد المعاملات السالبة بمؤشر الشكل السلبي.

يُطلق على عدد المصطلحات الإيجابية في الشكل القانوني مؤشر القصور الذاتي الإيجابي للشكل التربيعي ، ويسمى عدد المصطلحات السالبة بالمؤشر السلبي. يسمى الفرق بين المؤشرات الموجبة والسالبة بتوقيع الصورة التربيعية

صيغة تربيعية محددة موجبة:الشكل التربيعي الحقيقي يُسمى محددًا موجبًا (محددًا سالبًا) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات التي ليست صفرًا في نفس الوقت،

. (36)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة أيضًا محددة موجبة (محددة سالبة).

فئة الأشكال الإيجابية المحددة (السلبية المحددة) هي جزء من فئة الأشكال غير السلبية (غير الإيجابية).

رباعيات:رباعي - ن-السطح الفائق الأبعاد نالفضاء +1 البعد، يُعرَّف بأنه مجموعة أصفار متعددة الحدود من الدرجة الثانية. إذا قمت بإدخال الإحداثيات ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) (في الفضاء الإقليدي أو المتقارب)، المعادلة العامة للمعادلة التربيعية هي

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة بشكل أكثر إحكاما في تدوين المصفوفة:

حيث س = ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) — ناقل الصف، س T هو ناقل منقول، س- مصفوفة الحجم ( ن+1)×( ن+1) (من المفترض أن يكون أحد عناصره على الأقل غير صفر)، صهو ناقلات الصف، و ر- ثابت. غالبًا ما يتم أخذ المعادلات التربيعية على الأعداد الحقيقية أو المعقدة بعين الاعتبار. يمكن توسيع التعريف ليشمل المعادلات التربيعية في الفضاء الإسقاطي، انظر أدناه.

وبشكل أكثر عمومية، تُعرف مجموعة الأصفار في نظام المعادلات متعددة الحدود بالتنوع الجبري. وبالتالي، فإن التربيعية هي مجموعة جبرية (متقاربة أو إسقاطية) من الدرجة الثانية والبعد المشترك 1.

تحولات الطائرة والفضاء.

تعريف التحول المستوي. كشف الحركة. خصائص الحركة. والحركات نوعان: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني. أمثلة على الحركات. التعبير التحليلي للحركة. تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة). مجموعة من الحركات الطائرة.

تعريف تحويل المستوى: التعريف.يسمى التحويل المستوي الذي يحافظ على المسافة بين النقاط حركة(أو حركة) الطائرة. يسمى التحول المستوي تقارب، إذا حولت أي ثلاث نقاط تقع على نفس الخط إلى ثلاث نقاط تقع أيضًا على نفس الخط وفي نفس الوقت تحافظ على العلاقة البسيطة بين النقاط الثلاث.

تعريف الحركة:هذه هي تحويلات الشكل التي تحافظ على المسافات بين النقاط. إذا تم محاذاة رقمين بدقة مع بعضهما البعض من خلال الحركة، فإن هذه الأرقام هي نفسها، متساوية.

خصائص الحركة:كل حركة تحافظ على اتجاه المستوى هي إما ترجمة متوازية أو دوران؛ كل حركة تغيير اتجاه المستوى هي إما تناظر محوري أو تناظر منزلق. عند التحرك، تتحول النقاط الواقعة على خط مستقيم إلى نقاط تقع على خط مستقيم، ويتم الحفاظ على ترتيبها الموقف النسبي. عند التحرك، يتم الحفاظ على الزوايا بين نصف الخطوط.

نوعان من الحركات: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني:الحركات من النوع الأول هي تلك الحركات التي تحافظ على اتجاه قواعد شكل معين. يمكن تحقيقها من خلال الحركات المستمرة.

والحركات من النوع الثاني هي تلك الحركات التي تغير اتجاه القواعد إلى العكس. لا يمكن تحقيقها بالحركات المستمرة.

ومن أمثلة الحركات من النوع الأول الانتقال والدوران حول خط مستقيم، والحركات من النوع الثاني هي التماثلات المركزية والمرآة.

إن تكوين أي عدد من الحركات من النوع الأول هو حركة من النوع الأول.

إن تركيب عدد زوجي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الأول، وتركيب عدد فردي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الثاني.

أمثلة على الحركات:النقل الموازي. دع a يكون المتجه المعطى. النقل الموازي إلى المتجه a هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث يكون المتجه MM 1 مساويًا للمتجه a.

الترجمة الموازية هي حركة لأنها رسم خريطة للمستوى على نفسه، مع الحفاظ على المسافات. يمكن تمثيل هذه الحركة بصريًا على أنها تحول للمستوى بأكمله في اتجاه متجه معين a بطوله.

تناوب.دعونا نشير إلى النقطة O على المستوى ( مركز تحول) وضبط الزاوية α ( زاوية الدوران). دوران المستوى حول النقطة O بزاوية α هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث تكون OM = OM 1 والزاوية MOM 1 تساوي α. في هذه الحالة، تظل النقطة O في مكانها، أي يتم تعيينها على نفسها، وتدور جميع النقاط الأخرى حول النقطة O في نفس الاتجاه - في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة (يوضح الشكل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة).

الدوران هو حركة لأنه يمثل رسمًا للمستوى على نفسه، حيث يتم الحفاظ على المسافات.

التعبير التحليلي للحركة:العلاقة التحليلية بين إحداثيات الصورة الأولية وصورة النقطة لها الشكل (1).

تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة): التعريف:

تكون النقطة على المستوى ثابتة (ثابتة) إذا تحولت إلى نفسها في ظل تحويل معين.

مثال: في التماثل المركزي، تكون نقطة مركز التماثل ثابتة. عند الدوران، تكون نقطة مركز الدوران ثابتة. في التماثل المحوري، الخط الثابت هو خط مستقيم - محور التماثل هو خط مستقيم من النقاط الثابتة.

النظرية: إذا لم يكن للحركة نقطة ثابتة واحدة، فإن لها على الأقل اتجاهًا ثابتًا واحدًا.

مثال: النقل الموازي. وفي الواقع، فإن الخطوط المستقيمة الموازية لهذا الاتجاه ثابتة كشكل ككل، على الرغم من أنها لا تتكون من نقاط ثابتة.

النظرية: إذا تحرك شعاع فإن الشعاع يترجم إلى نفسه، وهذه الحركة إما أن تكون تحولاً متطابقاً أو تناظراً بالنسبة إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع المعطى.

لذلك، بناءً على وجود نقاط أو أرقام ثابتة، من الممكن تصنيف الحركات.

اسم الحركة	نقاط ثابتة	خطوط ثابتة
حركة من النوع الأول.
1. - بدوره	(الوسط) - 0	لا
2. تحويل الهوية	جميع نقاط الطائرة	كل شيء على التوالي
3. التماثل المركزي	النقطة 0 - المركز	جميع الخطوط التي تمر عبر النقطة 0
4. النقل الموازي	لا	كل شيء على التوالي
حركة من النوع الثاني.
5. التماثل المحوري.	مجموعة من النقاط	محور التماثل (الخط المستقيم) جميع الخطوط المستقيمة

مجموعة الحركة الطائرة:في الهندسة دور مهمتلعب مجموعات من الشخصيات المدمجة ذاتيًا. إذا كان هناك شكل معين على مستوى (أو في الفضاء)، فيمكننا النظر في مجموعة كل حركات المستوى (أو الفضاء) التي يتحول خلالها الشكل إلى نفسه.

هذه المجموعة هي مجموعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموعة الحركات المستوية التي تحول المثلث إلى نفسه تتكون من 6 عناصر: الدوران عبر الزوايا حول نقطة والتماثلات حول ثلاثة خطوط مستقيمة.

تظهر في الشكل. 1 خطوط حمراء. يمكن تحديد عناصر مجموعة المحاذاة الذاتية للمثلث العادي بشكل مختلف. لشرح ذلك، دعونا نرقم رؤوس مثلث منتظم بالأرقام 1، 2، 3. أي محاذاة ذاتية للمثلث تأخذ النقاط 1، 2، 3 إلى نفس النقاط، ولكن بترتيب مختلف، أي. يمكن كتابتها بشكل مشروط على شكل أحد هذه الأقواس:

إلخ.

حيث تشير الأرقام 1، 2، 3 إلى أرقام تلك القمم التي تذهب إليها القمم 1، 2، 3 نتيجة للحركة قيد النظر.

الفضاءات الإسقاطية ونماذجها.

مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي. الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية. مجموعة الخطوط المتمركزة عند النقطة O هي نموذج للمستوى الإسقاطي. النقاط الإسقاطية. المستوى الممتد هو نموذج للمستوى الإسقاطي. يعد الفضاء المتقارب ثلاثي الأبعاد أو الفضاء الإقليدي نموذجًا للفضاء الإسقاطي. صور الأشكال المسطحة والمكانية في التصميم المتوازي.

مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي:

المساحة الإسقاطية فوق الحقل عبارة عن مساحة تتكون من خطوط (مسافات فرعية أحادية البعد) لبعض المساحة الخطية فوق حقل معين. يتم استدعاء المساحات المباشرة النقاطالفضاء الإسقاطي. ويمكن تعميم هذا التعريف على هيئة تعسفية

إذا كان له بعد، فإن بُعد الفضاء الإسقاطي يسمى رقمًا، ويُشار إلى الفضاء الإسقاطي نفسه ويُسمى مرتبطًا به (للإشارة إلى ذلك، تم اعتماد الترميز).

يسمى الانتقال من الفضاء المتجه ذي البعد إلى الفضاء الإسقاطي المقابل الإسقاطفضاء.

يمكن وصف النقاط باستخدام الإحداثيات المتجانسة.

الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية:الهندسة الإسقاطية هي فرع من فروع الهندسة يدرس المستويات والمساحات الإسقاطية. الميزة الرئيسيةتعتمد الهندسة الإسقاطية على مبدأ الازدواجية، مما يضفي تناسقًا رائعًا على العديد من التصاميم. يمكن دراسة الهندسة الإسقاطية من وجهة نظر هندسية بحتة، ومن وجهة نظر تحليلية (باستخدام إحداثيات متجانسة) ووجهة نظر جبرية، مع الأخذ في الاعتبار المستوى الإسقاطي كهيكل فوق الحقل. في كثير من الأحيان، وتاريخيًا، يعتبر المستوى الإسقاطي الحقيقي هو المستوى الإقليدي مع إضافة "الخط عند اللانهاية".

أما خصائص الأشكال التي تتعامل بها الهندسة الإقليدية فهي متري(قيم محددة للزوايا والقطاعات والمساحات)، وتكافؤ الأشكال يعادلها التطابق(أي عندما يمكن ترجمة الأرقام إلى بعضها البعض من خلال الحركة مع الحفاظ على الخصائص المترية)، هناك المزيد من الخصائص "العميقة" الأشكال الهندسية، والتي يتم الحفاظ عليها خلال التحولات لأكثر من النوع العاممن الحركة. تتعامل الهندسة الإسقاطية مع دراسة خصائص الأشكال التي لا تتغير ضمن هذا الفصل التحولات الإسقاطيةوكذلك هذه التحولات نفسها.

الهندسة الإسقاطية تكمل الهندسة الإقليدية، مما يوفر جمالاً وجمالاً حلول بسيطةللعديد من المشاكل المعقدة بسبب وجود الخطوط المتوازية. النظرية الإسقاطية للمقاطع المخروطية بسيطة وأنيقة بشكل خاص.

هناك ثلاث طرق رئيسية للهندسة الإسقاطية: البديهية المستقلة، وتكامل الهندسة الإقليدية، والبنية على المجال.

بديهية

يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي باستخدام مجموعة مختلفة من البديهيات.

توفر كوكستر ما يلي:

1. يوجد خط مستقيم ونقطة ليست عليه.

2. يحتوي كل سطر على ثلاث نقاط على الأقل.

3. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.

4. إذا أ, ب, ج، و د- نقاط مختلفة و أ.بو قرص مضغوطتقاطع إذن مكيف الهواءو دينار بحرينيتتقاطع.

5. إذا اي بي سيإذا كان مستوى، فهناك نقطة واحدة على الأقل ليست في المستوى اي بي سي.

6. يتقاطع مستويان مختلفان في نقطتين على الأقل.

7. النقاط القطرية الثلاث للشكل الرباعي الكامل ليست على خط واحد.

8. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط X X

يتم تعريف المستوى الإسقاطي (بدون البعد الثالث) من خلال بديهيات مختلفة قليلاً:

1. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.

2. أي خطين متقاطعين.

3. هناك أربع نقاط، ثلاث منها ليست على خط مستقيم.

4. النقاط القطرية الثلاثة للأشكال الرباعية الكاملة ليست على خط واحد.

5. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط Xثابتة فيما يتعلق بإسقاطية φ، ثم كل النقاط Xثابت بالنسبة لـ φ.

6. نظرية ديسارج: إذا كان مثلثان منظورين من خلال نقطة ما، فإنهما منظوران من خلال خط.

في وجود بعد ثالث، يمكن إثبات نظرية ديسارج دون تقديم نقطة وخط مثاليين.

المستوى الممتد - نموذج المستوى الإسقاطي:في الفضاء التقاربي A3 نأخذ حزمة من الخطوط S(O) مركزها عند النقطة O ومستوى Π لا يمر عبر مركز الحزمة: O 6∈ Π. مجموعة الخطوط في الفضاء المتقارب هي نموذج للمستوى الإسقاطي. دعونا نحدد تعيينًا لمجموعة نقاط المستوى Π على مجموعة الخطوط المستقيمة للوصلة S (اللعنة، صلوا إذا كان لديك هذا السؤال، سامحني)

الفضاء المتقارب أو الإقليدي الممتد ثلاثي الأبعاد – نموذج للفضاء الإسقاطي:

من أجل جعل التعيين شاملاً، نكرر عملية تمديد المستوى التقاربي Π رسميًا إلى المستوى الإسقاطي Π، مع استكمال المستوى Π بمجموعة من النقاط غير المناسبة (M∞) مثل: ((M∞)) = ف0(س). نظرًا لأن الصورة المعكوسة لكل مستوى من حزمة المستويات S(O) في الخريطة هي خط على المستوى d، فمن الواضح أن مجموعة جميع النقاط غير الصحيحة للمستوى الممتد: Π = Π ∩ (M∞) ، (M∞)، يمثل خطًا غير مناسب d∞ للمستوى الممتد، وهو الصورة العكسية للمستوى المفرد Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) دعونا نتفق على أننا هنا ومن الآن فصاعدا سوف نفهم المساواة الأخيرة P0(O) = Π0 بمعنى تساوي مجموعات من النقاط، ولكنها تتمتع ببنية مختلفة. من خلال استكمال المستوى التقاربي بخط غير مناسب، تأكدنا من أن التعيين (I.21) أصبح موضوعيًا على مجموعة جميع نقاط المستوى الممتد:

صور الأشكال المسطحة والمكانية أثناء التصميم المتوازي:

في القياس المجسم، تتم دراسة الأشكال المكانية، ولكن في الرسم يتم تصويرها كأشكال مسطحة. كيف ينبغي تصوير الشكل المكاني على المستوى؟ عادة في الهندسة، يتم استخدام التصميم المتوازي لهذا الغرض. دع p يكون بعض الطائرة ، ل- خط مستقيم يتقاطع معها (الشكل 1). من خلال نقطة تعسفية أ، لا ينتمي إلى الخط ل، ارسم خطًا موازيًا للخط ل. تسمى نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى p بالإسقاط الموازي للنقطة أإلى المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل. دعونا نشير إلى ذلك أ". إذا كانت النقطة أينتمي إلى الخط ل، ثم عن طريق الإسقاط الموازي أتعتبر نقطة تقاطع الخط على المستوى p لمع الطائرة ص.

وهكذا كل نقطة أالفضاء تتم مقارنة إسقاطه أ" على المستوى p. تسمى هذه المراسلات الإسقاط المتوازي على المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل.

مجموعة من التحولات الإسقاطية. تطبيق لحل المشكلات.

مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة. أمثلة على التحولات الإسقاطية للطائرة. خصائص التحولات الإسقاطية. التماثل، خصائص التماثل. مجموعة من التحولات الإسقاطية.

مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة:مفهوم التحول الإسقاطي يعمم مفهوم الإسقاط المركزي. إذا قمنا بإسقاط مركزي للمستوى α على مستوى ما α 1، فإن إسقاط α 1 على α 2، و α 2 على α 3، ... وأخيرًا، بعض المستوى α نمرة أخرى على α 1، فإن تكوين كل هذه الإسقاطات هو التحول الإسقاطي للمستوى α؛ ويمكن أيضًا تضمين التوقعات المتوازية في مثل هذه السلسلة.

أمثلة على تحويلات المستوى الإسقاطي:التحويل الإسقاطي للمستوى المكتمل هو رسم خرائط واحد لواحد على نفسه، حيث يتم الحفاظ على العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط، أو بعبارة أخرى، صورة أي خط هي خط مستقيم. أي تحول إسقاطي هو عبارة عن تركيبة من سلسلة من الإسقاطات المركزية والمتوازية. التحويل التقاربي هو حالة خاصة من التحويل الإسقاطي، حيث يتحول الخط عند اللانهاية إلى نفسه.

خصائص التحولات الإسقاطية:

أثناء التحويل الإسقاطي، يتم تحويل ثلاث نقاط لا تقع على خط إلى ثلاث نقاط لا تقع على خط.

أثناء التحويل الإسقاطي، يصبح الإطار إطارًا.

أثناء التحويل الإسقاطي، يتحول الخط إلى خط مستقيم، ويتحول قلم الرصاص إلى قلم رصاص.

التماثل، خصائص التماثل:

يسمى التحويل الإسقاطي للمستوى الذي يحتوي على خط من النقاط الثابتة، وبالتالي قلم رصاص من الخطوط الثابتة، بالتماثل.

1. الخط الذي يمر عبر نقاط التماثل المقابلة غير المتطابقة هو خط ثابت؛

2. الخطوط التي تمر عبر نقاط التماثل المتناظرة غير المتطابقة تنتمي إلى نفس قلم الرصاص الذي يكون مركزه نقطة ثابتة.

3. النقطة وصورتها ومركز التماثل تقع على نفس الخط المستقيم.

مجموعة التحولات الإسقاطية:ضع في اعتبارك التعيين الإسقاطي للمستوى الإسقاطي P 2 على نفسه، أي التحويل الإسقاطي لهذا المستوى (P 2 ’ = P 2).

كما كان من قبل، تكوين f للتحولات الإسقاطية f 1 و f 2 للمستوى الإسقاطي P 2 هو نتيجة التنفيذ المتسلسل للتحولات f 1 و f 2: f = f 2 °f 1 .

النظرية 1: المجموعة H لجميع التحولات الإسقاطية للمستوى الإسقاطي P 2 هي مجموعة فيما يتعلق بتكوين التحولات الإسقاطية.