بالفعل في مصر القديمةلم يكن يعرف الحساب فحسب، بل كان يعرف أيضًا التقدم الهندسي. هنا، على سبيل المثال، مشكلة من بردية ريند: “سبعة وجوه لها سبع قطط؛ يأكل كل قط سبعة فئران، ويأكل كل فأر سبع سنابل، ويمكن أن تنمو كل سنبلة من الشعير سبعة أكيال من الشعير. ما حجم الأعداد في هذه المتسلسلة ومجموعها؟
 |
|
أرز. 1. مسألة التقدم الهندسي عند المصريين القدماء |
وقد تكررت هذه المهمة عدة مرات مع اختلافات مختلفة بين الشعوب الأخرى في أوقات أخرى. على سبيل المثال، مكتوب في القرن الثالث عشر. "كتاب العداد" لليوناردو البيزا (فيبوناتشي) به مشكلة تظهر فيها 7 نساء عجوز في طريقهن إلى روما (من الواضح الحجاج)، كل واحدة منهن لديها 7 بغال، كل منها لديه 7 أكياس، كل منها تحتوي على 7 أرغفة، كل منها به 7 سكاكين، كل منها به 7 أغلفة. تسأل المشكلة عن عدد الكائنات الموجودة.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . يمكن إثبات هذه الصيغة، على سبيل المثال، على النحو التالي: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
أضف الرقم b 1 q n إلى S n واحصل على:
|
من هنا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1)، ونحصل على الصيغة اللازمة.
موجود بالفعل على أحد الألواح الطينية لبابل القديمة، والتي يعود تاريخها إلى القرن السادس. قبل الميلاد على سبيل المثال، يحتوي على المجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. صحيح، كما هو الحال في عدد من الحالات الأخرى، لا نعرف كيف عرف البابليون هذه الحقيقة .
يتم استخدام الزيادة السريعة في التقدم الهندسي في عدد من الثقافات، وخاصة في الثقافة الهندية، بشكل متكرر كرمز مرئي لاتساع الكون. وفي الأسطورة الشهيرة عن ظهور لعبة الشطرنج، يمنح الحاكم مخترعها الفرصة لاختيار المكافأة بنفسه، ويسأل عن عدد حبات القمح التي يمكن الحصول عليها لو وضعت إحداها في المربع الأول رقعة الشطرنجاثنان للثاني، وأربعة للثالث، وثمانية للرابع، وما إلى ذلك، في كل مرة يتضاعف العدد. اعتقد فلاديكا أننا نتحدث على الأكثر عن بضعة أكياس، لكنه أخطأ في الحساب. من السهل أن نرى أنه بالنسبة لجميع مربعات رقعة الشطرنج البالغ عددها 64، يجب على المخترع أن يحصل على (2 64 - 1) حبة، والتي يتم التعبير عنها كرقم مكون من 20 رقمًا؛ حتى لو تم زرع كامل سطح الأرض، فسيستغرق الأمر 8 سنوات على الأقل لجمع الكمية المطلوبة من الحبوب. يتم تفسير هذه الأسطورة أحيانًا على أنها تشير إلى الإمكانيات غير المحدودة تقريبًا المخفية في لعبة الشطرنج.
من السهل أن نرى أن هذا الرقم يتكون بالفعل من 20 رقمًا:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (الحساب الأكثر دقة يعطي 1.84∙10 19). لكني أتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة الرقم الذي ينتهي به هذا الرقم؟
يمكن أن يكون التقدم الهندسي متزايدًا إذا كان المقام أكبر من 1، أو يتناقص إذا كان أقل من واحد. في الحالة الأخيرة، يمكن أن يصبح الرقم q n لـ n الكبير بدرجة كافية صغيرًا بشكل تعسفي. في حين أن التقدم الهندسي المتزايد يزداد بسرعة غير متوقعة، فإن التقدم الهندسي المتناقص يتناقص بنفس السرعة.
كلما زاد n، كلما كان الرقم أضعف q n يختلف عن الصفر، وكلما اقترب مجموع حدود n للتقدم الهندسي S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) من الرقم S = b 1 / ( 1 – ف). (على سبيل المثال، مسبب F. Viet بهذه الطريقة). يُطلق على الرقم S مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي. ومع ذلك، لقرون عديدة، لم يكن السؤال حول معنى جمع المتوالية الهندسية بأكملها، بعدد لا حصر له من المصطلحات، واضحًا بدرجة كافية لعلماء الرياضيات.
يمكن رؤية تقدم هندسي متناقص، على سبيل المثال، في مفارقات زينون "نصف القسم" و"أخيل والسلحفاة". في الحالة الأولى، يظهر بوضوح أن الطريق بأكمله (بافتراض الطول 1) هو المجموع عدد لا نهائيالأجزاء 1/2، 1/4، 1/8، وما إلى ذلك. وهذا بالطبع من وجهة نظر الأفكار حول المجموع المحدود للتقدم الهندسي اللانهائي. وحتى الآن - كيف يمكن أن يكون هذا؟
|
أرز. 2. التقدم بمعامل 1/2 |
في aporia حول أخيل، الوضع أكثر تعقيدا قليلا، لأن مقام التقدم هنا ليس 1/2، ولكن بعض الأرقام الأخرى. لنفترض، على سبيل المثال، أن أخيل يركض بسرعة v، والسلحفاة تتحرك بسرعة u، والمسافة الابتدائية بينهما هي l. سيقطع أخيل هذه المسافة في الزمن l/v، وخلال هذا الوقت ستتحرك السلحفاة مسافة lu/v. عندما يدير أخيل هذا المقطع، فإن المسافة بينه وبين السلحفاة ستصبح مساوية ل (u /v) 2، إلخ. وتبين أن اللحاق بالسلحفاة يعني إيجاد مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع الحد الأول l والمقام u /v. هذا المجموع - القطعة التي سيركضها أخيل في النهاية إلى مكان اللقاء مع السلحفاة - يساوي l / (1 – u /v) = lv / (v – u). ولكن مرة أخرى، كيف ينبغي لنا أن نفسر هذه النتيجة، ولماذا تبدو منطقية على الإطلاق؟ لفترة طويلةلم يكن واضحا جدا.
|
أرز. 3. التقدم الهندسي بمعامل 2/3 |
استخدم أرخميدس مجموع التقدم الهندسي لتحديد مساحة قطعة القطع المكافئ. يترك هذا الجزءيتم تحديد القطع المكافئ بواسطة الوتر AB ويكون المماس عند النقطة D للقطع المكافئ موازيًا للقطع المكافئ AB. لتكن C نقطة منتصف AB، وE نقطة منتصف AC، وF نقطة منتصف CB. دعونا نرسم خطوطًا موازية للـ DC من خلال النقاط A، E، F، B؛ دع المماس المرسوم عند النقطة D يتقاطع مع هذه الخطوط عند النقاط K، L، M، N. لنرسم أيضًا المقطعين AD وDB. دع الخط EL يتقاطع مع الخط AD عند النقطة G، والقطع المكافئ عند النقطة H؛ يتقاطع الخط FM مع الخط DB عند النقطة Q، والقطع المكافئ عند النقطة R. وفقًا للنظرية العامة للمقاطع المخروطية، فإن DC هو قطر القطع المكافئ (أي القطعة الموازية لمحورها)؛ يمكن أن يكون هو والمماس عند النقطة D بمثابة محوري الإحداثيات x وy، حيث يتم كتابة معادلة القطع المكافئ كـ y 2 = 2px (x هي المسافة من D إلى أي نقطة بقطر معين، y هو طول قطعة موازية لمماس معين من نقطة القطر هذه إلى نقطة ما على القطع المكافئ نفسه).
بموجب معادلة القطع المكافئ، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، وبما أن DK = 2DL، فإن KA = 4LH. لأن KA = 2LG، LH = HG. مساحة القطعة ADB للقطع المكافئ تساوي مساحة المثلث ΔADB ومساحات القطع AHD وDRB مجتمعة. في المقابل، فإن مساحة المقطع AHD تساوي بالمثل مساحة المثلث AHD والقطاعات المتبقية AH وHD، حيث يمكنك تنفيذ نفس العملية مع كل منها - تقسيمها إلى مثلث (Δ) و المقطعين المتبقيين ()، وما إلى ذلك:
مساحة المثلث ΔAHD تساوي نصف مساحة المثلث ΔALD (لهما قاعدة مشتركة AD، وتختلف الارتفاعات مرتين)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المثلث ΔAKD، وبالتالي نصف مساحة المثلث ΔACD. وبذلك فإن مساحة المثلث ΔAHD تساوي ربع مساحة المثلث ΔACD. وبالمثل فإن مساحة المثلث ΔDRB تساوي ربع مساحة المثلث ΔDFB. لذا فإن مساحة المثلثين ΔAHD و ΔDRB مجتمعتين تساوي ربع مساحة المثلث ΔADB. سيؤدي تكرار هذه العملية عند تطبيقها على الأجزاء AH و HD و DR و RB إلى تحديد مثلثات منها، والتي ستكون مساحتها مجتمعة 4 مرات أقل من مساحة المثلثات ΔAHD و ΔDRB مجتمعة، و وبالتالي أقل بـ 16 مرة من مساحة المثلث ΔADB. وهكذا:
وهكذا أثبت أرخميدس أن «كل قطعة تقع بين خط مستقيم والقطع المكافئ تشكل أربعة ثلثي مثلث له نفس القاعدة والارتفاع المتساوي».
دعونا نفكر في سلسلة معينة.
7 28 112 448 1792...
ومن الواضح تمامًا أن قيمة أي عنصر من عناصره أكبر بأربع مرات تمامًا من العنصر السابق. هذا يعني أن هذه السلسلة عبارة عن تقدم.
التقدم الهندسي هو تسلسل لا نهائي من الأرقام. الميزة الرئيسيةوهو أن الرقم التالي يتم الحصول عليه من الرقم السابق عن طريق الضرب في رقم محدد. يتم التعبير عن ذلك من خلال الصيغة التالية.
a z +1 =a z ·q، حيث z هو رقم العنصر المحدد.
وفقا لذلك، ض ∈ ن.
الفترة التي يتم فيها دراسة التقدم الهندسي في المدرسة هي الصف التاسع. ستساعدك الأمثلة على فهم المفهوم:
0.25 0.125 0.0625...
وبناء على هذه الصيغة يمكن إيجاد مقام التقدم على النحو التالي:
لا يمكن أن يكون q أو b z صفرًا. كما أن كل عنصر من عناصر التقدم يجب ألا يساوي الصفر.
وفقًا لذلك، لمعرفة الرقم التالي في السلسلة، عليك ضرب الرقم الأخير بـ q.
لتعيين هذا التقدم، يجب عليك تحديد العنصر الأول والمقام. بعد ذلك، من الممكن العثور على أي من الحدود اللاحقة ومجموعها.
أصناف
اعتمادًا على q وa 1، ينقسم هذا التقدم إلى عدة أنواع:
- إذا كان كل من 1 و q أكبر من واحد، فإن هذا التسلسل هو تقدم هندسي يتزايد مع كل عنصر لاحق. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =3، ف=2 - كلا المعلمتين أكبر من واحد.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3 6 12 24 48 ...
- إذا |ف| أقل من واحد، أي أن الضرب به يعادل القسمة، فإن المتوالية ذات الشروط المماثلة هي متوالية هندسية تناقصية. ويرد أدناه مثال على ذلك.
مثال: أ 1 =6، ف=1/3 - أ 1 أكبر من واحد، ف أقل.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
6 2 2/3 ... - أي عنصر أكبر بثلاث مرات من العنصر الذي يليه.
- علامة بالتناوب. إذا س<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
مثال: أ 1 = -3، ف = -2 - كلا المعلمتين أقل من الصفر.
ومن ثم يمكن كتابة التسلسل الرقمي على النحو التالي:
3, 6, -12, 24,...
الصيغ
هناك العديد من الصيغ للاستخدام المريح للتقدم الهندسي:
- صيغة المصطلح Z. يسمح لك بحساب عنصر تحت رقم محدد دون حساب الأرقام السابقة.
مثال:س = 3, أ 1 = 4. مطلوب حساب العنصر الرابع من التقدم.
حل:أ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- مجموع العناصر الأولى التي تساوي كميتها ض. يسمح لك بحساب مجموع كل عناصر التسلسل حتىأ ضشامل.
منذ (1-س) في المقام، ثم (1 - ف)≠ 0، وبالتالي فإن q لا تساوي 1.
ملاحظة: إذا كانت q=1، فسيكون التقدم عبارة عن سلسلة من الأرقام المتكررة بلا حدود.
مجموع التقدم الهندسي، أمثلة:أ 1 = 2, س= -2. احسب S5.
حل:س 5 = 22- الحساب باستخدام الصيغة.
- المبلغ إذا |س| < 1 и если z стремится к бесконечности.
مثال:أ 1 = 2 , س= 0.5. العثور على المبلغ.
حل:س ض = 2 · = 4
س ض = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
بعض الخصائص:
- خاصية مميزة. إذا كان الشرط التالي يعمل لأيض، فإن سلسلة الأرقام المعطاة هي تقدم هندسي:
أ ض 2 = أ ض -1 · أض+1
- أيضًا، يمكن العثور على مربع أي رقم في متوالية هندسية عن طريق إضافة مربعي أي رقمين آخرين في سلسلة معينة، إذا كانا على مسافة متساوية من هذا العنصر.
أ ض 2 = أ ض - ر 2 + أ ض + ر 2 ، أينر- المسافة بين هذه الأرقام.
- عناصرتختلف في سمرة واحدة.
- وتشكل لوغاريتمات عناصر التقدم أيضًا تقدمًا، ولكنها حسابية، أي أن كل منها أكبر من السابق برقم معين.
أمثلة على بعض المشاكل الكلاسيكية
لفهم ما هو التقدم الهندسي بشكل أفضل، يمكن أن تساعد الأمثلة مع الحلول للفئة 9.
- شروط:أ 1 = 3, أ 3 = 48. البحثس.
الحل: كل عنصر لاحق أكبر من العنصر الذي يسبقهس مرة واحدة.من الضروري التعبير عن بعض العناصر بدلالة عناصر أخرى باستخدام المقام.
لذلك،أ 3 = س 2 · أ 1
عند الاستبدالس= 4
- شروط:أ 2 = 6, أ 3 = 12. احسب S 6.
حل:للقيام بذلك، ما عليك سوى العثور على q، العنصر الأول واستبداله في الصيغة.
أ 3 = س· أ 2 ، لذلك،س= 2
أ 2 = ف · أ 1،لهذا السبب أ 1 = 3
س6= 189
- · أ 1 = 10, س= -2. ابحث عن العنصر الرابع للتقدم.
الحل: للقيام بذلك يكفي التعبير عن العنصر الرابع من خلال الأول ومن خلال المقام.
أ 4 = س 3· أ 1 = -80
مثال التطبيق:
- قام أحد عملاء البنك بإيداع مبلغ قدره 10000 روبل، وبموجب شروطه، سيضيف العميل كل عام 6٪ منه إلى المبلغ الأصلي. كم سيكون المبلغ في الحساب بعد 4 سنوات؟
الحل: المبلغ الأولي هو 10 آلاف روبل. وهذا يعني أنه بعد سنة من الاستثمار سيكون لدى الحساب مبلغ يساوي 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06
وبناء على ذلك، سيتم التعبير عن المبلغ الموجود في الحساب بعد سنة أخرى على النحو التالي:
(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000
أي أن المبلغ يزيد كل عام بمقدار 1.06 مرة. وهذا يعني أنه للعثور على مبلغ الأموال في الحساب بعد 4 سنوات، يكفي العثور على العنصر الرابع من التقدم، والذي يعطى بالعنصر الأول يساوي 10 آلاف والمقام يساوي 1.06.
س = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625
أمثلة على مسائل حساب المجموع:
يستخدم التقدم الهندسي في مختلف المشاكل. يمكن إعطاء مثال للعثور على المبلغ على النحو التالي:
أ 1 = 4, س= 2، احسبس 5.
الحل: جميع البيانات اللازمة للحساب معروفة، ما عليك سوى استبدالها في الصيغة.
س 5 = 124
- أ 2 = 6, أ 3 = 18. احسب مجموع العناصر الستة الأولى.
حل:
في جيوم. التقدم، كل عنصر تالٍ أكبر بمقدار q من العنصر السابق، أي لحساب المجموع الذي تحتاج إلى معرفة العنصرأ 1 والقاسمس.
أ 2 · س = أ 3
س = 3
وبالمثل، تحتاج إلى العثور عليهاأ 1 ، مع العلمأ 2 وس.
أ 1 · س = أ 2
أ 1 =2
س 6 = 728.
يعد التقدم الهندسي، إلى جانب التقدم الحسابي، سلسلة أرقام مهمة يتم دراستها في دورة الجبر المدرسية في الصف التاسع. في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على مقام المتوالية الهندسية وكيف تؤثر قيمته على خصائصه.
تعريف التقدم الهندسي
أولاً، دعونا نعطي تعريفًا لسلسلة الأرقام هذه. المتوالية الهندسية عبارة عن سلسلة من الأعداد النسبية التي يتم تشكيلها عن طريق ضرب عنصرها الأول بالتتابع في رقم ثابت يسمى المقام.
على سبيل المثال، الأرقام في المتسلسلة 3، 6، 12، 24، ... هي متتابعة هندسية، لأنك إذا ضربت 3 (العنصر الأول) في 2، تحصل على 6. وإذا ضربت 6 في 2، تحصل على 12، وهكذا.
عادةً ما يُشار إلى أعضاء التسلسل قيد النظر بالرمز ai، حيث i عبارة عن عدد صحيح يشير إلى رقم العنصر في السلسلة.
يمكن كتابة التعريف أعلاه للتقدم باللغة الرياضية على النحو التالي: an = bn-1 * a1، حيث b هو المقام. من السهل التحقق من هذه الصيغة: إذا كان n = 1، فإن b1-1 = 1، وسنحصل على a1 = a1. إذا كان n = 2، فإن an = b * a1، ونأتي مرة أخرى إلى تعريف سلسلة الأرقام المعنية. يمكن الاستمرار في التفكير المماثل للقيم الكبيرة لـ n.
مقام التقدم الهندسي
يحدد الرقم b تمامًا الحرف الذي ستحتوي عليه سلسلة الأرقام بأكملها. يمكن أن يكون المقام b موجبًا أو سالبًا أو أكبر من أو أقل من واحد. جميع الخيارات المذكورة أعلاه تؤدي إلى تسلسلات مختلفة:
- ب > 1. هناك سلسلة متزايدة من الأعداد النسبية. على سبيل المثال، 1، 2، 4، 8، ... إذا كان العنصر a1 سالبًا، فإن التسلسل بأكمله سيزيد فقط من حيث القيمة المطلقة، ولكنه سيتناقص اعتمادًا على إشارة الأرقام.
- ب = 1. في كثير من الأحيان لا تسمى هذه الحالة بالتقدم، حيث توجد سلسلة عادية من الأرقام المنطقية المتطابقة. على سبيل المثال، -4، -4، -4.
صيغة المبلغ
قبل أن ننظر مهام محددةباستخدام مقام نوع التقدم قيد النظر، يجب إعطاء صيغة مهمة لمجموع عناصره الأولى. تبدو الصيغة كما يلي: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
يمكنك الحصول على هذا التعبير بنفسك إذا كنت تفكر في التسلسل العودي لشروط التقدم. لاحظ أيضًا أنه في الصيغة أعلاه يكفي معرفة العنصر الأول والمقام فقط للعثور على مجموع عدد عشوائي من المصطلحات.
تسلسل تنازلي لا نهاية له
وقد تقدم شرح أعلاه لما هو عليه. الآن، بعد أن عرفنا صيغة Sn، فلنطبقها على سلسلة الأعداد هذه. حيث أن أي رقم لا يتجاوز معامله 1 يميل إلى الصفر عند رفعه إلى قوى كبيرة، أي b∞ => 0 إذا -1
نظرًا لأن الفرق (1 - ب) سيكون دائمًا موجبًا، بغض النظر عن قيمة المقام، فإن إشارة مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي S∞ يتم تحديدها بشكل فريد من خلال إشارة عنصرها الأول a1.
الآن دعونا نلقي نظرة على العديد من المشاكل حيث سنوضح كيفية تطبيق المعرفة المكتسبة على أرقام محددة.
المهمة رقم 1. حساب عناصر التقدم والمجموع غير المعروفة
بالنظر إلى تقدم هندسي، فإن مقام التقدم هو 2، وعنصره الأول هو 3. ما الذي يساوي حديه السابع والعاشر، وما هو مجموع عناصره السبعة الأولية؟
حالة المشكلة بسيطة للغاية وتتضمن الاستخدام المباشر للصيغ المذكورة أعلاه. لذا، لحساب رقم العنصر n، نستخدم التعبير an = bn-1 * a1. بالنسبة للعنصر السابع لدينا: a7 = b6 * a1، وبالتعويض عن البيانات المعروفة، نحصل على: a7 = 26 * 3 = 192. ونفعل الشيء نفسه بالنسبة للحد العاشر: a10 = 29 * 3 = 1536.
دعونا نستخدم الصيغة المعروفة للمجموع ونحدد هذه القيمة للعناصر السبعة الأولى في السلسلة. لدينا: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
المشكلة رقم 2. تحديد مجموع العناصر التعسفية للتقدم
دع -2 يساوي مقام التقدم الهندسي bn-1 * 4، حيث n عدد صحيح. من الضروري تحديد المجموع من العنصر الخامس إلى العنصر العاشر من هذه السلسلة ضمناً.
لا يمكن حل المشكلة المطروحة مباشرة باستخدام الصيغ المعروفة. يمكن حلها باستخدام طريقتين مختلفتين. ولإكتمال عرض الموضوع نقدم كلا الأمرين.
الطريقة الأولى: الفكرة بسيطة: تحتاج إلى حساب المجموعين المتقابلين للحدين الأولين، ثم طرح الآخر من أحدهما. نحسب المبلغ الأصغر: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. الآن نحسب المجموع الأكبر: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. لاحظ أنه في التعبير الأخير تم جمع 4 حدود فقط، حيث تم تضمين الحد الخامس بالفعل في المبلغ الذي يجب حسابه وفقًا لشروط المشكلة. أخيرًا، نأخذ الفرق: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
الطريقة الثانية: قبل استبدال الأرقام والعد، يمكنك الحصول على صيغة للمجموع بين حدي m وn للسلسلة المعنية. نحن نفعل نفس الشيء تمامًا كما في الطريقة الأولى، فقط نعمل أولاً مع التمثيل الرمزي للمبلغ. لدينا: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . يمكنك استبدال الأرقام المعروفة في التعبير الناتج وحساب النتيجة النهائية: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
المشكلة رقم 3. ما هو القاسم؟
لنفترض أن a1 = 2، أوجد مقام المتوالية الهندسية، على أن يكون مجموعها اللانهائي 3، ومن المعلوم أن هذه سلسلة متناقصة من الأعداد.
بناءً على ظروف المشكلة، ليس من الصعب تخمين الصيغة التي يجب استخدامها لحلها. وبطبيعة الحال، لمجموع التقدم يتناقص بلا حدود. لدينا: S∞ = a1 / (1 - ب). من حيث نعبر عن المقام: b = 1 - a1 / S∞. يبقى استبدال القيم المعروفة والحصول على الرقم المطلوب: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 أو -0.333(3). يمكننا التحقق من هذه النتيجة نوعيًا إذا تذكرنا أنه بالنسبة لهذا النوع من التسلسل، يجب ألا يتجاوز المعامل b 1. كما يمكن أن يرى، |-1 / 3|
المهمة رقم 4. استعادة سلسلة من الأرقام
لنفترض عنصرين من سلسلة أرقام، على سبيل المثال، الخامس يساوي 30 والعاشر يساوي 60. ومن الضروري إعادة بناء السلسلة بأكملها من هذه البيانات، مع العلم أنها تلبي خصائص التقدم الهندسي.
لحل المشكلة، يجب عليك أولاً كتابة التعبير المقابل لكل مصطلح معروف. لدينا: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. الآن نقسم التعبير الثاني على الأول، فنحصل على: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. من هنا نحدد المقام بأخذ الجذر الخامس لنسبة الحدود المعروفة من بيان المشكلة، ب = 1.148698. نعوض الرقم الناتج في أحد تعبيرات العنصر المعروف فنحصل على: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
وبذلك وجدنا مقام المتوالية bn، والمتوالية الهندسية bn-1 * 17.2304966 = an، حيث b = 1.148698.
أين يتم استخدام التقدم الهندسي؟
ولو لم يكن هناك تطبيق عملي لهذه السلسلة العددية، لاختزلت دراستها إلى مجرد اهتمام نظري بحت. ولكن مثل هذا التطبيق موجود.
فيما يلي الأمثلة الثلاثة الأكثر شهرة:
- تم حل مفارقة زينو، حيث لا يستطيع أخيل الذكي اللحاق بالسلحفاة البطيئة، باستخدام مفهوم تسلسل الأرقام المتناقص بشكل لا نهائي.
- إذا وضعت حبات قمح على كل مربع من رقعة الشطرنج بحيث تضع حبة واحدة في المربع الأول، وفي الثاني - 2، وفي الثالث - 3، وهكذا، فستحتاج إلى ملء جميع مربعات اللوحة 18446744073709551615 حبة!
- في لعبة "برج هانوي" لنقل الأقراص من قضيب إلى آخر، من الضروري إجراء عمليات 2n - 1، أي أن عددها ينمو بشكل كبير مع عدد الأقراص المستخدمة.
الرياضيات مايتحكم الناس في الطبيعة وأنفسهم.
عالم الرياضيات السوفيتي والأكاديمي أ.ن. كولموغوروف
التقدم الهندسي.
إلى جانب المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي، فإن المشكلات المتعلقة بمفهوم التقدم الهندسي شائعة أيضًا في امتحانات القبول في الرياضيات. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تحتاج إلى معرفة خصائص التقدم الهندسي وأن يكون لديك مهارات جيدة في استخدامها.
هذه المقالة مخصصة لعرض الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي. يتم أيضًا توفير أمثلة لحل المشكلات النموذجية هنا., مستعارة من مهام امتحانات القبول في الرياضيات.
دعونا أولا نلاحظ الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي ونتذكر أهم الصيغ والعبارات, المتعلقة بهذا المفهوم.
تعريف.يسمى التسلسل الرقمي تقدمًا هندسيًا إذا كان كل رقم بدءًا من الثاني يساوي الرقم السابق مضروبًا في نفس الرقم. ويسمى الرقم مقام التقدم الهندسي.
للتقدم الهندسيالصيغ صالحة
, (1)
أين . تسمى الصيغة (1) صيغة الحد العام للتقدم الهندسي، وتمثل الصيغة (2) الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي: كل حد من التقدم يتزامن مع الوسط الهندسي للمصطلحات المجاورة له و .
ملحوظة، أنه بسبب هذه الخاصية بالتحديد يُطلق على التقدم المعني اسم "الهندسي".
يتم تعميم الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:
, (3)
لحساب المبلغأولاً شروط التقدم الهندسيتنطبق الصيغة
إذا دلنا على ذلك
أين . وبما أن الصيغة (6) هي تعميم للصيغة (5).
في حالة متى و التقدم الهندسييتناقص بلا حدود. لحساب المبلغمن بين جميع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، يتم استخدام الصيغة
. (7)
على سبيل المثال ، باستخدام الصيغة (7) يمكننا أن نظهر، ماذا
أين . يتم الحصول على هذه التساويات من الصيغة (7) بشرط (المساواة الأولى) و (المساواة الثانية).
نظرية.إذاً
دليل. إذاً
لقد تم إثبات النظرية.
دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة حل المشكلات حول موضوع "التقدم الهندسي".
مثال 1.معطى: و. يجد .
حل.إذا طبقنا الصيغة (5)، إذن
إجابة: .
مثال 2.فليكن. يجد .
حل.منذ و، نستخدم الصيغ (5)، (6) ونحصل على نظام المعادلات
إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام (9) على الأولى، ثم أو . ويترتب على ذلك أن . دعونا ننظر في حالتين.
1. إذا، ثم من المعادلة الأولى للنظام (9) لدينا.
2. إذا .
مثال 3.اسمحوا و . يجد .
حل.من الصيغة (2) يتبع ذلك أو . منذ ذلك الحين أو.
حسب الحالة. ومع ذلك، لذلك. منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات
إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام على الأولى، أو .
وبما أن المعادلة لها جذر مناسب فريد. في هذه الحالة، فإنه يتبع من المعادلة الأولى للنظام.
وبأخذ الصيغة (7) نحصل عليها.
إجابة: .
مثال 4.معطى : و . يجد .
حل.منذ ذلك الحين.
منذ ذلك الحين أو
وفقا للصيغة (2) لدينا . وفي هذا الصدد، من المساواة (10) نحصل على أو .
ومع ذلك، بشرط، لذلك.
مثال 5.ومن المعروف أن. يجد .
حل. وفقا للنظرية، لدينا مساويان
منذ ذلك الحين أو. لأنه إذن .
إجابة: .
مثال 6.معطى : و . يجد .
حل.وبأخذ الصيغة (5) نحصل عليها
منذ ذلك الحين. منذ , و , ثم .
مثال 7.فليكن. يجد .
حل.وفقا للصيغة (1) يمكننا الكتابة
ولذلك، لدينا أو. ومن المعروف أن و ، وبالتالي و .
إجابة: .
مثال 8.أوجد مقام المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية إذا
و .
حل. ومن الصيغة (7) يتبعو . ومن هنا ومن شروط المشكلة نحصل على نظام المعادلات
إذا تم تربيع المعادلة الأولى للنظام, ثم قسمة المعادلة الناتجة على المعادلة الثانية، ثم نحصل
أو .
إجابة: .
مثال 9.ابحث عن جميع القيم التي يكون فيها التسلسل تقدمًا هندسيًا.
حل.اسمحوا و . وفقا للصيغة (2)، التي تحدد الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي، يمكننا أن نكتب أو .
ومن هنا نحصل على المعادلة التربيعية, التي جذورهاو .
دعونا نتحقق: إذا, ثم , و ;
إذا , ثم , و .في الحالة الأولى لدينا
و، وفي الثانية - و.
إجابة: ، .مثال 10.
, (11)
حل المعادلة
أين و.
ومن الصيغة (7) يتبع، ماذا حل. الجانب الأيسر من المعادلة (11) هو مجموع متوالية هندسية متناقصة لا نهائية، حيث و، خاضعة لـ: و.. وفي هذا الصدد تأخذ المعادلة (11) الشكل أو . الجذر المناسب
إجابة: .
المعادلة التربيعية هيمثال 11. صتسلسل الأرقام الإيجابيةيشكل التقدم الحسابي ، أ- التقدم الهندسي
حل.، وهنا. يجد . لأنالتسلسل الحسابي ، الذي - التي (الملكية الرئيسيةالتقدم الحسابي). لأن ، ثم أو . ويترتب على هذا،أن التقدم الهندسي له الشكل. حسب الصيغة (2)
، ثم نكتب ذلك. منذ و، ثم. في هذه الحالة التعبير يأخذ النموذج أو . وفقا للشرط،لذلك من مكافئ.نحصل على حل فريد للمشكلة قيد النظر
إجابة: .
، أي. .مثال 12.
. (12)
حل. حساب المبلغ
اضرب طرفي المساواة (12) في 5 واحصل علىالتسلسل الحسابي
إذا طرحنا (12) من التعبير الناتج
أو .
إجابة: .
للحساب، نستبدل القيم في الصيغة (7) ونحصل على . منذ ذلك الحين., ستكون أمثلة حل المشكلات الواردة هنا مفيدة للمتقدمين عند التحضير لامتحانات القبول. لدراسة أعمق لأساليب حل المشكلات, المتعلقة بالتقدم الهندسي يمكن استخدامهاالوسائل التعليمية
من قائمة الأدبيات الموصى بها.
1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: مير والتعليم، 2013. – 608 ص. 2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: أقسام إضافية من المنهج المدرسي. - م: ليناند / URSS
، 2014. – 216 ص. 3. ميدينسكي م. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المسائل والتمارين. الكتاب الثاني: المتتاليات العددية والتقدمات. - م: إيديتوس
، 2015. – 208 ص.
لا تزال لديك أسئلة؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:
تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.
على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:
الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.
الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.
عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .
في حالتنا:
أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - التقدم الهندسي.
لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟
حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. كانت أمام الراهب مهمة تحديد ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن منتج ما؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذا هو أحد المواقف الأولى التي كان على الناس فيها مواجهة تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل مفهوم عام. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟
حاليًا، في ممارسة الحياة، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. المبلغ الجديد سيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف موقف مماثل في مشاكل حساب ما يسمى الفائدة المركبة- يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.
هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .
بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.
التقدم الهندسي.
لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:
ستجيب على الفور بأن هذا أمر سهل وأن اسم هذا التسلسل هو مع اختلاف أعضائه. ماذا عن هذا:
إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وهكذا)، ولكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم لاحق أكبر مرات من الرقم السابق!
يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي التقدم الهندسيويتم تعيينه.
المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنه لا يوجد شيء، ولا يزال الحد الأول متساويًا، وq تساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:
توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.
كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، ببساطة لن يكون هناك أي تقدم، حيث أن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما كلها أصفار، أو رقم واحد، وكل الباقي هو أصفار.
الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.
دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟التقدم الهندسي.
ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلا).
لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:
هذا صحيح. وفقًا لذلك، إذا كانت جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية.
ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟
هذه قصة مختلفة تماما
حاول حساب شروط هذا التقدم. كم حصلت؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:
فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
- التقدم الهندسي - 3، 6.
- التقدم الحسابي - 2، 4.
- إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.
دعنا نعود إلى تقدمنا الأخير ونحاول العثور على العضو الخاص به، تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.
نحن نضرب كل حد على التوالي.
لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.
كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.
ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد العاشر لهذا التقدم:
بعبارة أخرى:
أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.
هل نجحت؟ دعونا نقارن إجاباتنا:
يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها بشكل عام ونحصل على:
الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي بالشروط التالية: أ.
هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:
توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.
تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.
تحدثنا مؤخرًا عن حقيقة أنها يمكن أن تكون أكبر أو أقل من الصفر، إلا أن هناك قيمًا خاصة تسمى بالمتتالية الهندسية يتناقص بلا حدود.
لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي الذي يتكون من الحدود.
فلنقول إذن:
نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور بـ "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.
لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:
في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:
لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصلت عليه. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:
حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟
هل تمكنت؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:
الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع المتوالية الهندسية: أنت تعرف ما هي، وتعرف كيفية العثور على مصطلحها، وتعرف أيضًا ما هو المتوالية الهندسية المتناقصة بلا حدود، دعنا ننتقل إلى خاصيتها الرئيسية.
خاصية التقدم الهندسي.
هل تتذكر خاصية شروط التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لشروط هذا التقدم. هل تذكر؟ ها هو:
الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. لاستخلاص مثل هذه الصيغة، لنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل جدًا، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.
لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.
قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في صورة ونحاول إجراء عمليات معالجة مختلفة بها للوصول إلى القيمة.
دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. علينا إيجاد القيمة الموضحة باللون البرتقالي، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعونا نحاول القيام بإجراءات مختلفة معهم، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.
إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:
من هذا التعبير، كما ترون، لا يمكننا التعبير عنه بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.
الطرح.
وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.
الضرب.
انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:
خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح، للعثور علينا نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:
ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة في منظر عام. هل نجحت؟
نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:
وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.
الآن دعونا نحسب ما يساويه
الجواب الصحيح هو ! إذا لم تنس القيمة الثانية المحتملة أثناء الحساب، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب ضرورة كتابة كلا الجذرين الجواب.
لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:
من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كانت جميع حدوده المعطاة هي نفسها؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.
ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.
الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و
قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:
ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، مع وصف ما تتكون منه كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
ماذا حصلت؟
الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبناء على ذلك:
من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.
وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:
أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أيًا عدد طبيعي، وهو أصغر. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.
تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!
- ، . يجد.
- ، . يجد.
- ، . يجد.
مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.
دعونا نقارن النتائج.
في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:
وفي الحالة الثالثة، وبعد الفحص الدقيق للأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: فهو الرقم السابق، ولكنه محذوف في موضع، لذا فهو ليس من الممكن تطبيق الصيغة.
كيفية حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.
لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحصل على:
نستبدل بياناتنا في الصيغة:
الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها هي - لهذا نحتاج إلى أخذ الجذر التكعيبي للرقم الناتج.
الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكن علينا العثور عليه، وهو بدوره يساوي:
وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:
جوابنا: .
حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:
كم حصلت؟ أملك - .
كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.
مجموع شروط التقدم الهندسي.
الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:
لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتتابعة الهندسية المحدودة، اضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحصل على:
انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. ماذا حصلت؟
الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:
قم بتجميع التعبير. يجب أن تحصل على:
كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:
وفقا لذلك، في هذه الحالة.
ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف هي؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:
هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.
يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.
طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.
فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.
والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟
لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، بحسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى أن المشكلة تتعلق بمتتابعة هندسية. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.
مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.
لتخيل "مقياس" رقم معين على الأقل تقريبًا، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:
بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:
كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.
Phew) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.
لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه سيحتاج إلى يوم على الأقل من العد الدؤوب، ونظرا لأنه من الضروري عد الكوينتيليونات، فإن الحبوب يجب أن يحسب طوال حياته.
والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟
لذلك، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في أول يوم من وصوله. المجموع الإجمالي لشروط التقدم يساوي عدد طلاب 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:
لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:
سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. هل نجحت؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:
احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.
ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.
كما ترون، فإن هذه المهمة والرسم الخاص بها يشبهان الهرم، حيث "تجلب" كل مهمة لاحقة أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وبالتالي، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث تم إعطاء المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، فإن الشخص (أو بشكل عام) لن يحضر أي شخص، وبالتالي، سيخسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.
كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بلا حدود. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا يتميز هذا النوع من التقدم بخصائص معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.
لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:
الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو
ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.
- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد الأعضاء.
إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.
الآن دعونا نتدرب.
- أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
- أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.
أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.
مسائل في حساب الفائدة المركبة.
ربما تكون قد سمعت عما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.
نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: وهذا يشمل المدة والخدمات الإضافية والفائدة مع اثنين بطرق مختلفةحساباته - بسيطة ومعقدة.
مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.
الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.
لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟
هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.
أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:
يوافق؟
يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:
موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية
في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نحول النسب المئوية إلى كسور عشرية، أي:
يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيخصم البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:
أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تمكنت؟ دعونا نقارن النتائج:
أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الإيداع المتراكم.
وهنا ما حصلت عليه:
أو بمعنى آخر:
أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا نتحقق!
كما ترون، إذا قمت بوضع المال في البنك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تتلقى روبل، وإذا بسعر فائدة مركب، فستحصل على روبل. الفائدة صغيرة، ولكن هذا يحدث فقط خلال السنة الخامسة، ولكن الرسملة لفترة أطول تكون أكثر ربحية:
دعونا نفكر في نوع آخر من المشاكل: الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:
بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.
أو يمكننا أن نكتب باختصار:
بالنسبة لحالتنا:
2000، 2001، 2002 و 2003.
على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.
تمرين.
- أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك و
- أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتالية الهندسية إذا علمت ذلك، و
- بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. بدأت شركة MSK Cash Flows الاستثمار في هذه الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق أرباح في عام 2006 بمبلغ. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟
الإجابات:
- نظرًا لأن بيان المشكلة لا ينص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب إيجاد مجموع عدد محدد من حدوده، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة إم دي إم كابيتال:2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
على التوالى:
روبل
شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:2005، 2006، 2007.
- يزيد، أي بالأزمنة.
على التوالى:
روبل
روبل
دعونا نلخص.
1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.
2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .
3) يمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
- إذا، ثم كل الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
4) ، في - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)
أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)
وعندما تجده، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.
على سبيل المثال،
5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو
أو
مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.
6) يتم أيضًا حساب مسائل الفائدة المركبة باستخدام صيغة الحد الرابع من التقدم الهندسي، بشرط عدم سحب الأموال من التداول:
التقدم الهندسي. باختصار عن الأشياء الرئيسية
التقدم الهندسي( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.
مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.
- إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية؛
- إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
- متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.
معادلة شروط التقدم الهندسي - .
مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو
إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:
حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.
لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!
الآن الشيء الأكثر أهمية.
لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.
المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..
لماذا؟
لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.
لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..
الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.
لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.
الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقا؟ لا أعرف...
لكن فكر بنفسك..
ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟
احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.
لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.
سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.
وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.
يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.
ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول تحليل مفصل وتقرر، تقرر، تقرر!
يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.
لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.
كيف؟ هناك خياران:
- فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
- فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية
نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.
يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.
و في الختام...
إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.
إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.
البحث عن المشاكل وحلها!
