كيفية كتابة معادلة قانونية. معادلات الخط المستقيم في الفضاء هي معادلات مستويين متقاطعين. معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي

خصائص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط المستقيمة عبر أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين يمكن رسم خط مستقيم واحد.

خطان متباعدان في المستوى إما يتقاطعان في نقطة واحدة أو يتقاطعان

بالتوازي (يتبع من السابق).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد هناك ثلاثة خيارات الموقف النسبيخطين مستقيمين :

• تتقاطع الخطوط؛

• الخطوط متوازية

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط— منحنى جبري من الدرجة الأولى: خط مستقيم في نظام الإحداثيات الديكارتية

يتم إعطاؤه على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن تحديد أي خط مستقيم على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

الفأس + وو + C = 0،

وثابت أ، بلا تساوي الصفر في نفس الوقت. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى عام

معادلة الخط المستقيم.اعتمادا على قيم الثوابت أ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0، أ ≠0، ب ≠ 0- يمر خط مستقيم بنقطة الأصل

. أ = 0، ب ≠0، ج ≠0 (بواسطة + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0، أ ≠0، ج ≠ 0 (الفأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = ج = 0، أ ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

. أ = ج = 0، ب ≠0- الخط المستقيم يتطابق مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في في أشكال مختلفةاعتمادا على أي معين

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم من نقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل، متجه ذو مكونات (A، B)

عمودي على الخط الذي تعطيه المعادلة

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة أ(1، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. مع A = 3 وB = -1، دعونا نكتب معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C = 0. لإيجاد المعامل C

لنعوض بإحداثيات النقطة A المعطاة في التعبير الناتج، وبذلك نحصل على: 3 - 2 + C = 0

ج = -1. المجموع: المعادلة المطلوبة: 3س - ص - 1 = 0.

معادلة الخط الذي يمر بنقطتين.

دعونا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و م2 (س 2، ص 2، ض 2)،ثم معادلة الخط,

المرور عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من القواسم يساوي الصفر، يجب تعيين البسط المقابل يساوي الصفر. على

المستوى، تم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

لو × 1 ≠ × 2و س = س 1، لو × 1 = × 2 .

جزء = كمُسَمًّى المنحدر مباشر.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A(1, 2) وB(3, 4).

حل. وبتطبيق الصيغة المكتوبة أعلاه نحصل على:

معادلة الخط المستقيم باستخدام النقطة والمنحدر.

إذا كانت المعادلة العامة للخط الفأس + وو + C = 0يؤدي إلى:

وتعيين ، ثم تسمى المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم مع الميل ك.

معادلة الخط المستقيم من نقطة ومتجه الاتجاه.

قياسا على النقطة التي تفكر في معادلة خط مستقيم من خلال المتجه العادي، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم عبر نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل ناقل غير الصفر (α 1 ، α 2)والتي تكون مكوناتها مستوفية للشرط

أألفا 1 + بألفا 2 = 0مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.

الفأس + وو + C = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم الذي متجه اتجاهه (1، -1) ويمر بالنقطة أ(1، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المطلوب بالشكل: الفأس + بواسطة + C = 0.وفقا للتعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط التالية:

1 * أ + (-1) * ب = 0، أي. أ = ب.

ثم معادلة الخط المستقيم لها الشكل: الفأس + آي + ج = 0،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1، ص = 2نحصل عليها ج/أ = -3، أي. المعادلة المطلوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة الخط المستقيم في القطاعات.

إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم Аh + Ву + С = 0 С≠0، فبالقسمة على -С نحصل على:

أو أين

معنى هندسيالمعاملات هي أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مستقيم مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط مقسمة إلى شرائح.

ج = 1، أ = -1، ب = 1.

المعادلة العادية للخط.

إذا كان طرفا المعادلة الفأس + وو + C = 0القسمة على العدد الذي يسمى

عامل التطبيع، ثم نحصل

xcosφ + ysinφ - ص = 0 -المعادلة العادية للخط.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ*ج< 0.

ص- طول العمود الذي يسقط من نقطة الأصل إلى الخط المستقيم،

أ φ - الزاوية التي يشكلها هذا المتعامد مع الاتجاه الموجب للمحور أوه.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط 12س - 5ص - 65 = 0. مطلوب للكتابة أنواع مختلفةالمعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط في القطاعات:

معادلة هذا الخط مع الميل: (القسمة على 5)

معادلة الخط:

كوس φ = 12/13؛ خطيئة φ= -5/13; ع = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه ليس كل خط مستقيم يمكن تمثيله بمعادلة مقطعة، على سبيل المثال الخطوط المستقيمة،

موازية للمحاور أو مارة بنقطة الأصل.

الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء سطرين ص = ك 1 س + ب 1 , ص = ك 2 س + ب 2ثم الزاوية الحادة بين هذين الخطين

سيتم تعريفها على أنها

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2. اثنين الخطوط المستقيمة متعامدة,

لو ك 1 = -1/ ك 2 .

نظرية.

مباشر الفأس + وو + C = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0متوازي عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 = α، ب 1 = κB. إذا أيضا ص 1 = ك، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة معينة وعمودي على مستقيم معين.

تعريف. خط يمر عبر نقطة م 1 (س 1، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا تم إعطاء نقطة م(س 0، ص 0)،ثم المسافة إلى الخط المستقيم الفأس + وو + C = 0تم تعريفها على أنها:

دليل. دع هذه النقطة م 1 (س 1، ص 1)- قاعدة عمودي سقط من نقطة ما مل معين

مباشر. ثم المسافة بين النقاط مو م 1:

(1)

الإحداثيات × 1و في 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطة معينة M 0 بشكل عمودي

نظرا لخط مستقيم. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى الشكل:

أ(س - س 0) + ب(ص - ص 0) + الفأس 0 + بواسطة 0 + ج = 0،

ثم بالحل نحصل على:

وبالتعويض بهذه العبارات في المعادلة (1) نجد:

لقد تم إثبات النظرية.

في نظام الإحداثيات المستطيل على المستوى، يمكن إعطاء خط مستقيم من خلال المعادلة الأساسية للخط المستقيم. في هذه المقالة، سنقوم أولاً باشتقاق وكتابة المعادلات القانونية للخطوط على المستوى المتوازية مع محاور الإحداثيات أو المتزامنة معها، وسنقدم أيضًا أمثلة. بعد ذلك، سنوضح العلاقة بين المعادلة القانونية لخط على المستوى وأنواع أخرى من معادلات هذا الخط. في الختام، سننظر بالتفصيل في حلول الأمثلة النموذجية ومسائل تكوين المعادلة القانونية للخط على المستوى.

التنقل في الصفحة.

المعادلة القانونية للخط على المستوى - الوصف والأمثلة.

دع أوكسي يتم إصلاحه على الطائرة. دعونا نحدد لأنفسنا المهمة: الحصول على معادلة الخط أ، إذا كانت نقطة ما من الخط أ وهي متجه الاتجاه للخط أ.

اسمحوا ان تكون نقطة عائمة من السطر أ . إذن المتجه هو متجه الاتجاه للخط a وله إحداثيات (راجع المقال إذا لزم الأمر). من الواضح أن مجموعة جميع النقاط على المستوى تحدد خطًا يمر عبر النقطة وله متجه اتجاه إذا وفقط إذا كانت المتجهات على خط واحد.

مثال.

اكتب المعادلة الأساسية للخط الذي يمر عبر نقطتين و في نظام الإحداثيات المستطيل أوكسي على المستوى.

حل.

بواسطة الإحداثيات المعروفةمن نقاط البداية والنهاية يمكننا إيجاد إحداثيات المتجه: . هذا المتجه هو متجه الاتجاه للخط الذي نبحث عن معادلته. المعادلة الأساسية للخط الذي يمر عبر نقطة وله متجه اتجاه.

حل.

ناقل الخط العادي له إحداثيات، وهذا المتجه هو متجه اتجاه الخط، الذي نبحث عن معادلته بسبب تعامد الخطوط. وبالتالي، سيتم كتابة المعادلة القانونية المطلوبة للخط على المستوى كما يلي .

إجابة:

مراجع.

• بوغروف ياس، نيكولسكي إس إم. الرياضيات العليا. المجلد الأول: عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية.
• إيلين في.أ.، بوزنياك إي.جي. الهندسة التحليلية.

3.1. المعادلات الكنسية للخط.

دع الخط المستقيم يعطى في نظام الإحداثيات Oxyz الذي يمر عبر النقطة

(انظر الشكل 18).
متجه موازي لخط معين. ناقل مُسَمًّى توجيه متجه لخط مستقيم.لنأخذ نقطة على خط مستقيم
والنظر في ناقلات المتجهات
على خط مستقيم، وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة لها متناسبة:

(3.3.1 )

تسمى هذه المعادلات المعادلات الكنسيةمباشر.

مثال:اكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة M(1, 2, –1) الموازي للمتجه

حل:ناقل هو متجه الاتجاه للخط المطلوب. بتطبيق الصيغ (3.1.1) نحصل على:

هذه هي المعادلات الأساسية للخط.

تعليق:تحويل أحد المقامات إلى الصفر يعني تحويل البسط المقابل إلى الصفر، أي y - 2 = 0؛ y = 2. يقع هذا الخط في المستوى y = 2، الموازي لمستوى Oxz.

3.2. المعادلات البارامترية للخط المستقيم.

دع الخط المستقيم يُعطى بواسطة المعادلات القانونية

دعونا نشير
ثم
تسمى القيمة t معلمة ويمكن أن تأخذ أي قيمة:
.

لنعبر عن x وy وz بدلالة t:

(3.2.1 )

تسمى المعادلات الناتجة المعادلات البارامترية للخط المستقيم.

مثال 1:قم بتكوين معادلات بارامترية لخط مستقيم يمر عبر النقطة M (1، 2، –1) الموازية للمتجه

حل:يتم الحصول على المعادلات الأساسية لهذا الخط في مثال الفقرة 3.1:

للعثور على المعادلات البارامترية للخط المستقيم، نطبق اشتقاق الصيغ (3.2.1):

لذا،
- المعادلات البارامترية لخط معين.

إجابة:

مثال 2.اكتب معادلات بارامترية لمستقيم يمر بالنقطة M (–1, 0, 1) الموازي للمتجه
حيث أ (2، 1، -1)، ب (-1، 3، 2).

حل:ناقل
هو متجه الاتجاه للخط المطلوب.

دعونا نجد المتجه
.

= (-3؛ 2؛ 3). باستخدام الصيغ (3.2.1) نكتب معادلات الخط المستقيم:

هي المعادلات البارامترية المطلوبة للخط المستقيم.

3.3. معادلات الخط الذي يمر عبر نقطتين معينتين.

يمر خط مستقيم واحد عبر نقطتين محددتين في الفضاء (انظر الشكل 20). دع النقاط تعطى
يمكن اعتباره ناقل الاتجاه لهذا الخط. ثم يمكن العثور على المعادلات مباشرة لهم وفقا للصيغ (3.1.1):
).

(3.3.1)

مثال 1.إنشاء معادلات قانونية وبارامترية لخط يمر عبر النقاط

حل: نطبق الصيغة (3.3.1)

لقد حصلنا على المعادلات القانونية للخط المستقيم. للحصول على المعادلات البارامترية، نطبق اشتقاق الصيغ (3.2.1). نحصل على

هي المعادلات البارامترية للخط المستقيم.

مثال 2.إنشاء معادلات قانونية وبارامترية لخط يمر عبر النقاط

حل: باستخدام الصيغ (3.3.1) نحصل على:

هذه معادلات قانونية.

دعنا ننتقل إلى المعادلات البارامترية:

- المعادلات البارامترية.

الخط المستقيم الناتج يوازي محور الأوقية (انظر الشكل 21).

دع طائرتين تعطى في الفضاء

إذا لم تكن هذه المستويات متطابقة وغير متوازية فإنها تتقاطع في خط مستقيم:

يحدد هذا النظام المكون من معادلتين خطيتين الخط المستقيم بأنه خط تقاطع طائرتين. من المعادلات (3.4.1) يمكن الانتقال إلى المعادلات الأساسية (3.1.1) أو المعادلات البارامترية (3.2.1). للقيام بذلك تحتاج إلى العثور على نقطة
ملقاة على خط مستقيم، وناقل الاتجاه إحداثيات النقطة
نحصل عليها من النظام (3.4.1)، مع إعطاء أحد الإحداثيات قيمة عشوائية (على سبيل المثال، z = 0). خلف ناقل الدليل يمكنك أن تأخذ المنتج المتجه للمتجهات، أي

مثال 1.قم بتكوين المعادلات الأساسية للخط

حل:دع z = 0. دعونا نحل النظام

وبجمع هذه المعادلات نحصل على: 3س + 6 = 0
س = -2. استبدل القيمة التي تم العثور عليها x = –2 في المعادلة الأولى للنظام واحصل على: –2 + y + 1 = 0
ص = 1.

لذا، الفترة
يقع على الخط المطلوب.

لإيجاد متجه الاتجاه لخط مستقيم، نكتب المتجهات العادية للمستويات: ونجد حاصل ضربها المتجه:

نجد معادلات الخط المستقيم باستخدام الصيغ (3.1.1):

إجابة:
.

طريقة أخرى:يمكن الحصول بسهولة على المعادلات الأساسية والبارامترية للخط (3.4.1) من خلال إيجاد نقطتين مختلفتين على الخط من النظام (3.4.1)، ومن ثم تطبيق الصيغ (3.3.1) واشتقاق الصيغ (3.2) .1).

مثال 2.إنشاء المعادلات الأساسية والبارامترية للخط

حل:دع y = 0. ثم سيأخذ النظام النموذج:

وبجمع المعادلات نحصل على: 2x + 4 = 0؛ س = -2. عوض x = –2 في المعادلة الثانية للنظام واحصل على: –2 –z +1 = 0
ض = -1. لذلك، وجدنا هذه النقطة

للعثور على النقطة الثانية، لنضع x = 0. سيكون لدينا:

إنه

لقد حصلنا على المعادلات القانونية للخط المستقيم.

دعونا نؤلف المعادلات البارامترية للخط المستقيم:

إجابة:
;
.

3.5. الموضع النسبي لخطين في الفضاء.

دعونا مستقيم
يتم إعطاؤها بواسطة المعادلات:

:
;
:

.

وتُفهم الزاوية بين هذه الخطوط على أنها الزاوية بين متجهات اتجاهها (انظر الشكل 22). هذه الزاوية نجد باستخدام صيغة من الجبر المتجه:
أو

(3.5.1)

إذا كان مستقيما
عمودي (
)،الذي - التي
لذلك،

هذه هي حالة عمودي خطين في الفضاء.

إذا كان مستقيما
موازي (
)، فإن متجهات اتجاهها تكون على خط واحد (
)، إنه

(3.5.3 )

هذه هي حالة التوازي بين خطين في الفضاء.

مثال 1.أوجد الزاوية بين الخطوط المستقيمة:

أ).
و

ب).
و

حل:أ). دعونا نكتب متجه الاتجاه للخط المستقيم
دعونا نجد متجه الاتجاه
الطائرات المضمنة في النظام ثم نجد منتجها المتجه:

(انظر المثال 1 من البند 3.4).

باستخدام الصيغة (3.5.1) نحصل على:

لذلك،

ب). دعونا نكتب متجهات الاتجاه لهذه الخطوط المستقيمة: المتجهات
تكون على خطية واحدة لأن الإحداثيات المقابلة لها متناسبة:

لذلك فهو مستقيم
موازي (
)، إنه

إجابة:أ).
ب).

مثال 2.إثبات عمودي الخطوط:

و

حل:دعونا نكتب متجه الاتجاه للخط المستقيم الأول

دعونا نجد متجه الاتجاه الخط المستقيم الثاني. للقيام بذلك، نجد المتجهات العادية
المستويات المضمنة في النظام: دعونا نحسب منتجها المتجه:

(انظر المثال 1 من الفقرة 3.4).

دعونا نطبق شرط عمودي الخطوط (3.5.2):

تم استيفاء الشرط؛ وبالتالي فإن الخطوط متعامدة (
).

يترك ل- بعض الخط المستقيم من الفضاء. كما هو الحال في قياس المخطط، أي ناقل

أ =/= 0، خط مستقيم ل، مُسَمًّى ناقل الدليلهذا الخط المستقيم.

يتم تحديد موضع الخط في الفضاء بالكامل عن طريق تحديد متجه الاتجاه والنقطة التابعة للخط.

دعها تكون مستقيمة لمع ناقل الدليل أ يمر عبر النقطة M 0، وM هي نقطة عشوائية في الفضاء. من الواضح أن النقطة M (الشكل 197) تنتمي إلى الخط لإذا وفقط إذا كان المتجه \(\overrightarrow(M_0 M)\) على خط واحد مع المتجه أ ، أي.

\(\overrightarrow(M_0 M)\) = ر أ , ر\(\في\) ر. (1)

إذا تم تحديد النقطتين M وM 0 بواسطة متجهات نصف القطر الخاصة بهما ص و ص 0 (الشكل 198) بالنسبة إلى نقطة ما في الفضاء، ثم \(\overrightarrow(M_0 M)\) = ص - ص 0 والمعادلة (1) تأخذ الشكل

ص = ص 0 + ر أ , ر\(\في\) ر. (2)

يتم استدعاء المعادلتين (1) و (2). المعادلات البارامترية المتجهة للخط المستقيم. عامل رفي المعادلات البارامترية المتجهة يسمى الخط المستقيم المعلمة.

لتكن النقطة M 0 خطاً مستقيماً لويتم إعطاء متجه الاتجاه a بواسطة إحداثياتهم:

م 0 ( X 0 ; في 0 ، ض 0), أ = (أ 1 ; أ 2 ; أ 3).

ثم إذا ( العاشر؛ ذ؛ ض) - إحداثيات نقطة عشوائية M من الخط المستقيم ل، الذي - التي

\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( س - س 0 ; ذ - ذ 0 ; ض - ض 0)

والمعادلة المتجهية (1) تعادل المعادلات الثلاث التالية:

س - س 0 = ت 1 , ذ - ذ 0 = ت 2 , ض - ض 0 = ت 3

$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3، \;\;t\in R\end(cases) (3)$$

يتم استدعاء المعادلات (3). المعادلات البارامترية للخط في الفضاء.

المهمة 1.اكتب معادلات بارامترية لمستقيم يمر بنقطة

M 0 (-3؛ 2؛ 4) ولها متجه اتجاه أ = (2; -5; 3).

في هذه الحالة X 0 = -3, في 0 = 2, ض 0 = 4; أ 1 = 2; أ 2 = -5; أ 3 = 3. باستبدال هذه القيم في الصيغ (3)، نحصل على المعادلات البارامترية لهذا الخط

$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t، \;\;t\in R\end(cases) $$

دعونا نستبعد المعلمة رمن المعادلات (3). يمكن القيام بذلك بسبب أ =/= 0، وبالتالي أحد إحداثيات المتجهات أ ومن الواضح أن يختلف عن الصفر.

لنفترض أولاً أن تكون جميع الإحداثيات مختلفة عن الصفر. ثم

$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$

وبالتالي

$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4) $$

تسمى هذه المعادلات المعادلات الكنسية للخط .

لاحظ أن المعادلات (4) تشكل نظامًا من معادلتين بثلاثة متغيرات س، صو ض.

إذا كان في المعادلات (3) أحد إحداثيات المتجهات أ ، على سبيل المثال أ 1 يساوي صفرًا، ثم يتم حذف المعلمة ر، نحصل مرة أخرى على نظام من معادلتين بثلاثة متغيرات س، صو ض:

\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

وتسمى هذه المعادلات أيضًا بالمعادلات الخطية الأساسية. وللتوحيد، يتم كتابتها بشكل تقليدي أيضًا بالشكل (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

بافتراض أنه إذا كان المقام صفرًا، فإن البسط المقابل هو صفر أيضًا. هذه المعادلات هي معادلات الخط الذي يمر عبر النقطة M 0 ( X 0 ; في 0 ، ض 0) بالتوازي مع المستوى الإحداثي يوز، منذ متجه الاتجاه (0؛ أ 2 ; أ 3).

أخيرًا، إذا كان هناك في المعادلات (3) إحداثيان متجهان أ ، على سبيل المثال أ 1 و أ 2 يساوي صفراً، فتأخذ هذه المعادلات الصورة

X = X 0 , ذ = في 0 , ض = ض 0 + ر أ 3 , ر\(\في\) ر.

هذه هي معادلات الخط الذي يمر عبر النقطة M 0 ( X 0 ; في 0 ; ض 0) موازي للمحور أوز. لمثل هذا الخط المستقيم X = X 0 , ذ = في 0، أ ض- أي رقم. وفي هذه الحالة وللتوحيد يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم (بنفس التحفظ) على الصورة (4)

\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)

وهكذا، لأي خط في الفضاء يمكن كتابة المعادلات القانونية (4)، وعلى العكس من ذلك، أي معادلة من الشكل (4) بشرط أن يكون واحد على الأقل من المعاملات أ 1 ، أ 2 , أ 3 لا يساوي الصفر، ويحدد بعض الخطوط المستقيمة في الفضاء.

المهمة 2.اكتب المعادلات القانونية للخط الذي يمر بالنقطة M 0 (- 1; 1, 7) الموازي للمتجه أ = (1; 2; 3).

المعادلات (4) في هذه الحالة تكتب على النحو التالي:

\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)

دعونا نشتق معادلات الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين معلومتين M 1 ( X 1 ; في 1 ; ض 1) و

م2( X 2 ; في 2 ; ض 2). من الواضح أنه يمكننا أخذ المتجه أ = (X 2 - X 1 ; في 2 - في 1 ; ض 2 - ض 1)، وما بعد النقطة M 0 التي يمر من خلالها خط مستقيم، على سبيل المثال، النقطة M 1. ثم سيتم كتابة المعادلات (4) على النحو التالي:

\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)

هذه هي معادلات الخط الذي يمر بالنقطتين M 1 ( X 1 ; في 1 ; ض 1) و

م2( X 2 ; في 2 ;ض 2).

المهمة 3.اكتب معادلات الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين M 1 (-4; 1; -3) وM 2 (-5; 0; 3).

في هذه الحالة X 1 = -4, في 1 = 1, ض 1 = -3, X 2 = -5, في 2 = 0, ض 2 = 3. استبدال هذه القيم في الصيغ (5) نحصل عليها

\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)

المهمة 4.اكتب معادلات الخط الذي يمر عبر النقاط M 1 (3؛ -2؛ 1) و

م 2 (5؛ -2؛ 1/2).

بعد استبدال إحداثيات النقطتين M 1 و M 2 في المعادلتين (5) نحصل على ذلك

\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)

دعونا نلقي نظرة على الحل المثال.

مثال.

أوجد إحداثيات أي نقطة على الخط المحدد في الفضاء بمعادلتي مستويين متقاطعين .

حل.

دعونا نعيد كتابة نظام المعادلات بالشكل التالي

باعتبارنا المصفوفة الأساسية للمصفوفة الرئيسية للنظام، فإننا نأخذ مصفوفة ثانوية غير صفرية من الدرجة الثانية أي أن z متغير حر غير معروف. لننقل الحدود التي تحتوي على z إلى الجانب الأيمن من المعادلات: .

دعونا نقبل أين هو الرقم الحقيقي التعسفي، إذن.

دعونا نحل نظام المعادلات الناتج:

وهكذا فإن الحل العام لنظام المعادلات لديه النموذج حيث .

إذا أخذنا قيمة محددة للمعلمة، فسنحصل على حل معين لنظام المعادلات، والذي يعطينا الإحداثيات المطلوبة لنقطة تقع على خط معين. لنأخذها إذن وبالتالي، هي النقطة المطلوبة من الخط.

يمكنك التحقق من الإحداثيات التي تم العثور عليها لنقطة ما عن طريق استبدالها بالمعادلات الأصلية لمستويين متقاطعين:

إجابة:

متجه الاتجاه للخط الذي تتقاطع فيه طائرتان.

في نظام الإحداثيات المستطيل، لا يمكن فصل المتجه الموجه للخط المستقيم عن الخط المستقيم. عندما يتم إعطاء الخط المستقيم a في نظام إحداثيات مستطيل في مساحة ثلاثية الأبعاد بواسطة معادلات طائرتين متقاطعتين و، فإن إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم غير مرئية. الآن سوف نبين كيفية تحديدها.

نحن نعلم أن الخط المستقيم يكون عموديًا على المستوى عندما يكون عموديًا على أي خط يقع في هذا المستوى. ومن ثم يكون المتجه الطبيعي للمستوى متعامدًا مع أي متجه غير صفري يقع في هذا المستوى. سنستخدم هذه الحقائق لإيجاد متجه اتجاه الخط.

الخط المستقيم أ يقع في المستوى وفي المستوى. ولذلك، فإن متجه الاتجاه للخط أ يكون عموديًا على المتجه العادي الطائرة، وناقل عادي طائرة وبالتالي، فإن متجه الاتجاه للخط المستقيم a هو و :

مجموعة جميع متجهات الاتجاه للخط المستقيم ويمكننا تعريفها على أنها ، حيث هي المعلمة التي يمكن أن تأخذ أي قيم حقيقية غير الصفر.

مثال.

إيجاد إحداثيات أي متجه اتجاه لخط مستقيم محدد في نظام إحداثيات أوكيز المستطيل في الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة معادلات مستويين متقاطعين .

حل.

المتجهات العادية للطائرات هي المتجهات و على التوالى. المتجه الموجه للخط المستقيم، وهو تقاطع طائرتين محددتين، هو حاصل ضرب المتجهات للمتجهات العادية:

إجابة:

الانتقال إلى المعادلات البارامترية والقانونية للخط المستقيم في الفضاء.

هناك حالات يكون فيها استخدام معادلات مستويين متقاطعين لوصف خط مستقيم غير مناسب تمامًا. يكون حل بعض المسائل أسهل إذا كانت المعادلات الأساسية للخط المستقيم في الفضاء معروفة: أو المعادلات البارامترية للخط في مساحة النموذج ، حيث x 1 , y 1 , z 1 هي إحداثيات نقطة معينة على الخط، و a x , a y , a z هي إحداثيات المتجه الموجه للخط، وهي معلمة تأخذ قيمًا حقيقية عشوائية. دعونا نصف عملية الانتقال من المعادلات الخطية للنموذج إلى المعادلات القانونية والبارامترية للخط المستقيم في الفضاء.

تعلمنا في الفقرات السابقة إيجاد إحداثيات نقطة معينة على الخط، وكذلك إحداثيات متجه اتجاه معين للخط، والتي تعطى من معادلات مستويين متقاطعين. هذه البيانات كافية لكتابة كل من المعادلات القانونية والبارامترية لهذا الخط في نظام إحداثيات مستطيل في الفضاء.

دعونا نفكر في حل المثال، وبعد ذلك سنعرض طريقة أخرى للعثور على المعادلات القانونية والبارامترية للخط في الفضاء.

مثال.

حل.

دعونا أولًا نحسب إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم. للقيام بذلك، نجد المنتج المتجه للمتجهات العادية و طائرات و :

إنه، .

الآن دعونا نحدد إحداثيات نقطة معينة على خط معين. للقيام بذلك، سوف نجد أحد الحلول لنظام المعادلات .

محدد يختلف عن الصفر، فلنأخذه كأساس ثانوي للمصفوفة الرئيسية للنظام. ثم يكون المتغير z حرا، ننقل الحدود معه إلى الطرف الأيمن من المعادلات، ونعطي المتغير z قيمة عشوائية:

نقوم بحل نظام المعادلات الناتج باستخدام طريقة كرامر:

لذلك،

نقبل ونحصل على إحداثيات النقطة على الخط: .

يمكننا الآن كتابة المعادلات القانونية والبارامترية المطلوبة للخط الأصلي في الفضاء:

إجابة:

و

هنا هي الطريقة الثانية لحل هذه المشكلة.

عند إيجاد إحداثيات نقطة معينة على الخط، نحل نظام المعادلات . بشكل عام، يمكن كتابة حلولها في النموذج .

وهذه هي بالضبط المعادلات البارامترية المطلوبة للخط المستقيم في الفضاء. إذا تم حل كل من المعادلات الناتجة فيما يتعلق بمعلمة ثم تمت مساواة الأطراف اليمنى للمعادلات، فسنحصل على المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاء

دعونا نعرض حل المشكلة السابقة باستخدام هذه الطريقة.

مثال.

يتم تعريف الخط المستقيم في الفضاء ثلاثي الأبعاد بواسطة معادلات طائرتين متقاطعتين . اكتب المعادلات القانونية والبارامترية لهذا الخط.

حل.

نحل هذا النظام المكون من معادلتين بثلاثة مجهولات (الحل موضح في المثال السابق ولن نكرره). في هذه الحالة نحصل . هذه هي المعادلات البارامترية المطلوبة للخط المستقيم في الفضاء.

يبقى الحصول على المعادلات القانونية للخط المستقيم في الفضاء:

تختلف معادلات الخط المستقيم الناتجة خارجيًا عن المعادلات التي تم الحصول عليها في المثال السابق، ولكنها متكافئة، لأنها تحدد نفس مجموعة النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد (وبالتالي نفس الخط المستقيم).

إجابة:

و

مراجع.

• بوغروف ياس، نيكولسكي إس إم. الرياضيات العليا. المجلد الأول: عناصر الجبر الخطي والهندسة التحليلية.
• إيلين في.أ.، بوزنياك إي.جي. الهندسة التحليلية.