أنواع وظائف الطاقة وخصائصها ورسومها البيانية. الوظائف الأولية الأساسية: خصائصها ورسومها البيانية. مشتق من الدالة الأسية

في مجال تعريف دالة القدرة y = x p تحمل الصيغ التالية:
; ;
;
; ;
; ;
; .

خصائص وظائف السلطة والرسوم البيانية الخاصة بها

دالة قوة أسها يساوي الصفر، p = 0

إذا كان أس دالة القدرة y = x p يساوي صفر، p = 0، فسيتم تعريف دالة القدرة لجميع x ≠ 0 وهي ثابتة تساوي واحدًا:
ص = س ع = س 0 = 1، س ≠ 0.

دالة القدرة ذات الأس الفردي الطبيعي، p = n = 1، 3، 5، ...

خذ بعين الاعتبار دالة قوة y = x p = x n ذات أس فردي طبيعي n = 1, 3, 5, ... .

يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر على الصورة: n = 2k + 1، حيث k = 0, 1, 2, 3, ... هو عدد صحيح غير سالب. فيما يلي خصائص ورسوم بيانية لهذه الوظائف.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
نِطَاق: -∞ < y < ∞
معاني متعددة:التكافؤ:
فردي، y(-x) = - y(x)روتيني:
يزيد رتابةالنهايات:
لا
محدب:< x < 0 выпукла вверх
في -∞< x < ∞ выпукла вниз
عند 0نقاط انعطاف:
نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
القيم الخاصة:
عند س = -1،
ص(-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2ك+1 = -1
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
وظيفة عكسية:
بالنسبة لـ n = 1، تكون الدالة معكوسها: x = y ل ن ≠ 1،وظيفة عكسية

هو جذر الدرجة ن:

دالة القدرة ذات الأس الطبيعي الزوجي، p = n = 2، 4، 6، ...

فكر في دالة قوة y = x p = x n ذات أس زوجي طبيعي n = 2, 4, 6, ... .

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
نِطَاق:يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر بالشكل: n = 2k، حيث k = 1، 2، 3، ... - طبيعي. وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.< ∞
معاني متعددة:رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....
فردي، y(-x) = - y(x)
0 ≥ ص
حتى، ص(-س) = ذ(س)
يزيد رتابةلـ x ≥ 0 يتناقص بشكل رتيب
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
محدب للأسفل نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:
ص(-1) = (-1) ن ≡ (-1) 2ك+1 = -1
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
بالنسبة لـ n = 2، الجذر التربيعي:
إلى عن على ن ≠ 2، جذر الدرجة ن:

دالة القدرة ذات الأس الصحيح السالب، p = n = -1، -2، -3، ...

فكر في دالة قوة y = x p = x n ذات عدد صحيح سالب n = -1, -2, -3, ... .

إذا وضعنا n = -k، حيث k = 1، 2، 3، ... هو عدد طبيعي، فيمكن تمثيله على النحو التالي:

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع عدد صحيح سالب لقيم مختلفة للأس n = -1, -2, -3, ....

الأس الفردي، n = -1، -3، -5، ...

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....
نِطَاق:س ≠ 0
معاني متعددة:التكافؤ:
فردي، y(-x) = - y(x)ص ≠ 0
يزيد رتابةالنهايات:
لا
يتناقص رتابة< 0 : выпукла вверх
في العاشر
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0النهايات:
لـ x > 0: محدب للأسفل
يتناقص رتابة< 0, y < 0
لافتة:
س = 0، ص = 0
; ; ;
الحدود:
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
من أجل x > 0، y > 0
عندما ن = -1،< -2 ,

في ن

الأس الزوجي، n = -2، -4، -6، ...

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....
نِطَاق:فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....
معاني متعددة:رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....
فردي، y(-x) = - y(x)
يتناقص رتابة< 0 : монотонно возрастает
ص> 0
يزيد رتابةالنهايات:
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0النهايات:
لـ x > 0: محدب للأسفلفيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....
س = 0، ص = 0
; ; ;
الحدود:
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1
لـ x > 0: يتناقص بشكل رتيب
عندما ن = -1،< -2 ,

عند ن = -2،

دالة القوة ذات الأس العقلاني (الكسري).

فكر في دالة قوة y = x p ذات أس نسبي (كسري)، حيث n عدد صحيح، وm > 1 عدد طبيعي. علاوة على ذلك، n، m لا يوجد بها قواسم مشتركة.

مقام المؤشر الكسري غريب

اجعل مقام الأس الكسري فرديًا: m = 3, 5, 7, ... . في هذه الحالة، يتم تعريف دالة الطاقة x p لكل من القيم الإيجابية والسلبية للوسيطة x.< 0

دعونا نفكر في خصائص وظائف القوة هذه عندما يكون الأس p ضمن حدود معينة.

القيمة p سالبة، p

دع الأس العقلاني (مع المقام الفردي m = 3، 5، 7، ...) يكون أقل من الصفر: .

تعمل الرسوم البيانية للقوة مع الأس السلبي العقلاني لقيم الأس المختلفة، حيث م = 3، 5، 7، ... - غريب.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....
نِطَاق:س ≠ 0
معاني متعددة:التكافؤ:
فردي، y(-x) = - y(x)ص ≠ 0
يزيد رتابةالنهايات:
لا
يتناقص رتابة< 0 : выпукла вверх
في العاشر
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0النهايات:
لـ x > 0: محدب للأسفل
يتناقص رتابة< 0, y < 0
لافتة:
س = 0، ص = 0
; ; ;
الحدود:
البسط الفردي، n = -1، -3، -5، ...
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

نقدم خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي العقلاني، حيث n = -1، -3، -5، ... هو عدد صحيح سلبي فردي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح سالب عدد صحيح طبيعي غريب.

عند x = -1، y(-1) = (-1) n = -1

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السالب الفردي n = -1، -3، -5، ....
نِطَاق:فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....
معاني متعددة:رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....
فردي، y(-x) = - y(x)
يتناقص رتابة< 0 : монотонно возрастает
ص> 0
يزيد رتابةالنهايات:
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0النهايات:
لـ x > 0: محدب للأسفلفيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....
س = 0، ص = 0
; ; ;
الحدود:
البسط الزوجي، n = -2، -4، -6، ...
عند x = 0، y(0) = 0 n = 0
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

خصائص دالة القوة y = x p مع الأس السلبي النسبي، حيث n = -2، -4، -6، ... هو عدد صحيح سلبي، m = 3، 5، 7 ... هو عدد صحيح طبيعي فردي .< p < 1

عند x = -1، y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

القيمة p موجبة، أقل من واحد، 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
نِطَاق: -∞ < y < +∞
معاني متعددة:التكافؤ:
فردي، y(-x) = - y(x)روتيني:
يزيد رتابةالنهايات:
لا
يتناقص رتابة< 0 : выпукла вниз
رسم بياني لدالة القوة مع الأس العقلاني (0
عند 0نقاط انعطاف:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
لـ x > 0: محدب للأسفل
يتناقص رتابة< 0, y < 0
لافتة:
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
البسط الفردي، ن = 1، 3، 5، ...
لـ x > 0: محدب للأعلى
عند x = -1، y(-1) = -1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

البسط الزوجي، ن = 2، 4، 6، ...

يتم عرض خصائص دالة الطاقة y = x p مع الأس العقلاني ضمن 0< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < +∞
نِطَاق:يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر بالشكل: n = 2k، حيث k = 1، 2، 3، ... - طبيعي. وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.< +∞
معاني متعددة:رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....
فردي، y(-x) = - y(x)
يتناقص رتابة< 0 : монотонно убывает
لـ x > 0: يزيد بشكل رتيب
يزيد رتابةالحد الأدنى عند x = 0، y = 0
لامحدب لأعلى لـ x ≠ 0
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
لـ x > 0: محدب للأسفلمن أجل x ≠ 0، y > 0
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
عند x = -1، y(-1) = 1
لـ x > 0: محدب للأعلى
عند x = -1، y(-1) = -1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

الفهرس p أكبر من واحد، p > 1

رسم بياني لدالة القوة ذات الأس العقلاني (p > 1) لقيم الأس المختلفة، حيث m = 3، 5، 7، ... أمر فردي.

البسط الفردي، ن = 5، 7، 9، ...

خصائص دالة القوة y = x p مع الأس العقلاني أكبر من واحد: .

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
نِطَاق: -∞ < y < ∞
معاني متعددة:التكافؤ:
فردي، y(-x) = - y(x)روتيني:
يزيد رتابةالنهايات:
لا
محدب:< x < 0 выпукла вверх
في -∞< x < ∞ выпукла вниз
عند 0نقاط انعطاف:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
البسط الفردي، ن = 1، 3، 5، ...
لـ x > 0: محدب للأعلى
عند x = -1، y(-1) = -1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

حيث n = 5، 7، 9، ... - طبيعي فردي، m = 3، 5، 7 ... - طبيعي فردي.

البسط الزوجي، ن = 4، 6، 8، ...

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, .... -∞ < x < ∞
نِطَاق:يمكن أيضًا كتابة هذا المؤشر بالشكل: n = 2k، حيث k = 1، 2، 3، ... - طبيعي. وترد أدناه الخصائص والرسوم البيانية لهذه الوظائف.< ∞
معاني متعددة:رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الطبيعي الزوجي لقيم مختلفة للأس n = 2, 4, 6, ....
فردي، y(-x) = - y(x)
يتناقص رتابة< 0 монотонно убывает
خصائص دالة القوة y = x p مع الأس العقلاني أكبر من واحد: .
يزيد رتابةالحد الأدنى عند x = 0، y = 0
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
;
الحدود:
عند x = -1، y(-1) = 1
لـ x > 0: محدب للأعلى
عند x = -1، y(-1) = -1
لـ x = 1، y(1) = 1 n = 1

حيث ن = 4، 6، 8، ... - حتى الطبيعية، م = 3، 5، 7 ... - الطبيعية الفردية.

لـ x > 0 يزيد بشكل رتيب

مقام المؤشر الكسري متساوي

ليكن مقام الأس الكسري زوجيًا: m = 2, 4, 6, ... . في هذه الحالة، لم يتم تعريف دالة الطاقة x p للقيم السالبة للوسيطة. تتطابق خصائصها مع خصائص دالة القوة ذات الأس غير العقلاني (انظر القسم التالي).

دالة القدرة مع الأس غير العقلاني

النظر في دالة القوة y = x p مع الأس غير العقلاني p.< 0

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....تختلف خصائص هذه الوظائف عن تلك التي تمت مناقشتها أعلاه من حيث أنها لم يتم تعريفها للقيم السالبة للوسيطة x.
نِطَاق:فيما يلي خصائص الدالة y = x n ذات الأس السلبي الزوجي n = -2، -4، -6، ....
فردي، y(-x) = - y(x)ص ≠ 0
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0النهايات:
س = 0، ص = 0 ;
بالنسبة للقيم الموجبة للوسيطة، تعتمد الخصائص فقط على قيمة الأس p ولا تعتمد على ما إذا كانت p عدد صحيح أو عقلاني أو غير عقلاني. y = x p لقيم مختلفة للأس p.

دالة القدرة ذات الأس السالب p

س> 0< p < 1

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....المعنى الخاص:
نِطَاق:بالنسبة لـ x = 1، y(1) = 1 p = 1
فردي، y(-x) = - y(x)روتيني:
لادالة القدرة ذات الأس الموجب p > 0
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
الحدود:المؤشر أقل من 0
y = x p لقيم مختلفة للأس p.

س ≥ 0

رسم بياني لدالة القوة y = x n مع الأس الفردي الطبيعي لقيم مختلفة للأس n = 1, 3, 5, ....المعنى الخاص:
نِطَاق:بالنسبة لـ x = 1، y(1) = 1 p = 1
فردي، y(-x) = - y(x)روتيني:
لال x ≥ 0 يزيد رتابة
عند 0النهايات:
الحد الأدنى، س = 0، ص = 0نقاط انعطاف:
س = 0، ص = 0
الحدود:المؤشر أقل من 0
y = x p لقيم مختلفة للأس p.

ص ≥ 0
محدب للأعلى

من أجل x = 0, y(0) = 0 p = 0 .

المؤشر أكبر من واحد p > 1 الأدب المستخدم:في. برونشتاين، ك.أ. سيمنديايف، دليل الرياضيات للمهندسين وطلاب الجامعات، "لان"، 2009.

توفر المقالة أدناه مادة أساسية حول موضوع الوظائف الأولية الأساسية. سوف نقدم المصطلحات، ونعطيها تعريفات؛ دعونا ندرس كل نوع من الوظائف الأولية بالتفصيل ونحلل خصائصها.

تتميز الأنواع التالية من الوظائف الأولية الأساسية:

التعريف 1

• وظيفة ثابتة (ثابت)؛
• الجذر ن؛
• وظيفة الطاقة
• الدالة الأسية
• دالة لوغاريتمية
• الدوال المثلثية;
• الدوال المثلثية الأخوية.

يتم تعريف الدالة الثابتة بالصيغة: y = C (C هو رقم حقيقي معين) ولها أيضًا اسم: ثابت. تحدد هذه الوظيفة مدى توافق أي قيمة حقيقية للمتغير المستقل x مع نفس قيمة المتغير y - قيمة C.

الرسم البياني للثابت هو خط مستقيم موازي لمحور الإحداثي السيني ويمر عبر نقطة ذات إحداثيات (0، C). من أجل الوضوح، نقدم رسومًا بيانية للوظائف الثابتة y = 5، y = - 2، y = 3، y = 3 (مشار إليها بالألوان الأسود والأحمر والأزرق في الرسم، على التوالي).

التعريف 2

يتم تعريف هذه الوظيفة الأولية بالصيغة y = x n (n هو عدد طبيعي أكبر من واحد).

دعونا نفكر في نوعين مختلفين من الوظيفة.

1. الجذر ن، ن - عدد زوجي

وللتوضيح، نشير إلى رسم يوضح الرسوم البيانية لهذه الوظائف: ص = س، ص = س 4 و ص = س8. هذه الميزات مرمزة بالألوان: الأسود والأحمر والأزرق على التوالي.

الرسوم البيانية للدالة ذات الدرجة الزوجية لها مظهر مماثل للقيم الأخرى للأس.

التعريف 3

خصائص الدالة الجذرية n، n هو رقم زوجي

• مجال التعريف – مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير السالبة [ 0 , + ∞) ;
• عندما x = 0، الدالة y = x n لها قيمة تساوي الصفر؛
• منح وظيفة وظيفة منظر عام(ليس زوجيًا ولا فرديًا)؛
• النطاق: [ 0 , + ∞) ;
• هذه الدالة y = x n ذات الأسس الجذرية الزوجية تزداد في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله؛
• تحتوي الوظيفة على تحدب باتجاه تصاعدي في جميع أنحاء مجال التعريف بأكمله؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• الرسم البياني للدالة حتى n يمر عبر النقطتين (0؛ 0) و (1؛ 1).

1. الجذر ن، ن - عدد فردي

يتم تعريف هذه الوظيفة على مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها. من أجل الوضوح، النظر في الرسوم البيانية للوظائف ص = س 3 , ص = س 5 و × 9 . في الرسم يشار إليهم بالألوان: الأسود والأحمر و أزرقوالمنحنيات على التوالي.

القيم الفردية الأخرى للأس الجذر للدالة y = x n ستعطي رسمًا بيانيًا من نوع مماثل.

التعريف 4

خصائص الدالة الجذرية n، n هو رقم فردي

• مجال التعريف - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية؛
• هذه الوظيفة غريبة.
• نطاق القيم - مجموعة جميع الأعداد الحقيقية؛
• الدالة y = x n للأسس الجذرية الفردية تزداد على نطاق التعريف بأكمله؛
• تحتوي الدالة على تقعر على الفاصل الزمني (- ∞ ; 0 ] وعلى التحدب على الفاصل الزمني [ 0 , + ∞);
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)؛
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• الرسم البياني للدالة الفردية n يمر عبر النقاط (- 1 ; - 1) و (0 ; 0) و (1 ; 1).

وظيفة الطاقة

التعريف 5

يتم تعريف دالة الطاقة بالصيغة y = x a.

يعتمد مظهر الرسوم البيانية وخصائص الدالة على قيمة الأس.

• عندما يكون لدالة القوة أسًا صحيحًا a، فإن نوع الرسم البياني لدالة القوة وخصائصها يعتمد على ما إذا كان الأس زوجيًا أم فرديًا، بالإضافة إلى الإشارة التي يحملها الأس. دعونا ننظر في كل هذه الحالات الخاصة بمزيد من التفصيل أدناه؛
• يمكن أن يكون الأس كسريًا أو غير نسبي - اعتمادًا على ذلك، يختلف أيضًا نوع الرسوم البيانية وخصائص الدالة. سنقوم بتحليل الحالات الخاصة من خلال وضع عدة شروط: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• يمكن أن يكون لدالة القوة أس صفر؛ وسنقوم أيضًا بتحليل هذه الحالة بمزيد من التفاصيل أدناه.

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون a رقمًا موجبًا فرديًا، على سبيل المثال، a = 1، 3، 5...

من أجل الوضوح، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: y = x (لون الرسم أسود)، ص = × 3 (اللون الأزرق للرسم البياني)، ص = س 5 (اللون الأحمر للرسم البياني)، ص = × 7 (لون الرسم أخضر). عندما يكون a = 1، نحصل على الدالة الخطية y = x.

التعريف 6

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا فرديًا

• الدالة تزايدية ل x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• الدالة لها تحدب لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] وتقعر لـ x ∈ [ 0 ; + ∞) (باستثناء الدالة الخطية)؛
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0) (باستثناء الوظيفة الخطية)؛
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• نقاط مرور الدالة: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون a رقمًا موجبًا، على سبيل المثال، a = 2، 4، 6...

من أجل الوضوح، نشير إلى الرسوم البيانية لوظائف الطاقة هذه: ص = × 2 (لون الرسم أسود)، ص = × 4 (اللون الأزرق للرسم البياني)، ص = × 8 (اللون الأحمر للرسم البياني). عندما تكون a = 2، نحصل على دالة تربيعية، ورسمها البياني عبارة عن قطع مكافئ تربيعي.

التعريف 7

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس موجبًا:

• مجال التعريف: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• التناقص ل x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• تحتوي الدالة على تقعر لـ x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• نقاط مرور الدالة: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية لوظائف الطاقة y = x a عندما يكون a رقمًا سالبًا فرديًا: ص = س - 9 (لون الرسم أسود)؛ y = x - 5 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ y = x - 3 (اللون الأحمر للرسم البياني)؛ ص = س - 1 (لون الرسم أخضر). عندما تكون a = - 1، نحصل على تناسب عكسي، ويكون الرسم البياني له زائدًا.

التعريف 8

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس سالبا فرديا:

عندما x = 0، نحصل على انقطاع من النوع الثاني، حيث أن lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ لـ a = - 1, - 3, - 5, …. وبالتالي، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب رأسي؛

• المدى: ص ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• الدالة فردية لأن y (- x) = - y (x);
• الدالة تتناقص لـ x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• تحتوي الدالة على تحدب من أجل x ∈ (- ∞ ; 0) وتقعر من أجل x ∈ (0 ; + ∞) ؛
• لا توجد نقاط انعطاف.

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0، عندما تكون a = - 1، - 3، - 5، . . . .

• نقاط مرور الدالة: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

يوضح الشكل أدناه أمثلة على الرسوم البيانية لدالة الطاقة y = x a عندما يكون a رقمًا سلبيًا: ص = س - 8 (لون الرسم أسود)؛ y = x - 4 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ y = x - 2 (اللون الأحمر للرسم البياني).

التعريف 9

خصائص دالة القوة عندما يكون الأس سالبًا:

• مجال التعريف: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

عندما x = 0، نحصل على انقطاع من النوع الثاني، حيث أن lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ لـ a = - 2, - 4, - 6, …. وبالتالي، فإن الخط المستقيم x = 0 هو خط مقارب رأسي؛

• الدالة زوجية لأن y(-x) = y(x);
• الدالة تزايدية لـ x ∈ (- ∞ ; 0) وتتناقص لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
• تقعر الدالة عند x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• لا توجد نقاط انعطاف.
• الخط المقارب الأفقي – الخط المستقيم y = 0، لأن:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 عندما a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• نقاط مرور الدالة: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

منذ البداية، انتبه إلى الجانب التالي: في الحالة التي يكون فيها a كسرًا موجبًا بمقام فردي، يأخذ بعض المؤلفين الفترة - ∞ كمجال تعريف لدالة القوة هذه؛ + ∞ ، شرط أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. في الوقت الحالي، لا يحدد مؤلفو العديد من المنشورات التعليمية حول الجبر ومبادئ التحليل وظائف القوة، حيث يكون الأس كسرًا ذو مقام فردي للقيم السالبة للحجة. علاوة على ذلك، سنلتزم بهذا الموقف بالضبط: سنأخذ المجموعة [ 0 ; + ∞) . توصية للطلاب: تعرف على وجهة نظر المعلم في هذه النقطة لتجنب الخلافات.

لذا، دعونا نلقي نظرة على وظيفة الطاقة y = x a ، عندما يكون الأس عددًا نسبيًا أو غير نسبي، بشرط أن يكون 0< a < 1 .

دعونا نوضح وظائف الطاقة بالرسوم البيانية y = x a عندما يكون a = 11 12 (لون الرسم أسود)؛ أ = 5 7 (اللون الأحمر للرسم البياني)؛ أ = 1 3 (اللون الأزرق للرسم البياني)؛ أ = 2 5 (اللون الأخضر للرسم البياني).

القيم الأخرى للأس (شريطة 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

التعريف 10

خصائص وظيفة الطاقة عند 0< a < 1:

• النطاق: ص ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
• الدالة تزايدية ل x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
• الدالة محدبة لـ x ∈ (0 ; + ∞);
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.

دعونا نحلل وظيفة الطاقة y = x a، عندما يكون الأس عددًا عقلانيًا أو غير صحيح، بشرط أن يكون a > 1.

دعونا نوضح بالرسوم البيانية وظيفة الطاقة y = x a في ظل ظروف معينة باستخدام الوظائف التالية كمثال: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (رسوم بيانية سوداء، حمراء، زرقاء، خضراء، على التوالي).

القيم الأخرى للأس a، بشرط أن تكون > 1، ستعطي رسمًا بيانيًا مشابهًا.

التعريف 11

خصائص دالة الطاقة لـ > 1:

• مجال التعريف: x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
• النطاق: ص ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• الدالة تزايدية ل x ∈ [ 0 ; + ∞) ؛
• تحتوي الدالة على تقعر لـ x ∈ (0 ; + ∞) (متى 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• نقاط تمرير الدالة: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

يرجى ملاحظة أنه عندما يكون a كسرًا سالبًا بمقام فردي، يوجد في أعمال بعض المؤلفين وجهة نظر مفادها أن مجال التعريف في هذه الحالة هو الفاصل الزمني - ∞؛ 0 ∪ (0 ; + ∞) مع التنبيه على أن الأس a هو كسر غير قابل للاختزال. حاليا المؤلفين المواد التعليميةفي الجبر ومبادئ التحليل، لم يتم تحديد دوال القوة ذات الأس على شكل كسر بمقام فردي للقيم السالبة للوسيطة. علاوة على ذلك، نحن نلتزم بالضبط بهذا الرأي: نحن نأخذ المجموعة (0 ; + ∞) كمجال تعريف دوال القوة ذات الأسس السالبة الكسرية. توصية للطلاب: قم بتوضيح رؤية معلمك في هذه المرحلة لتجنب الخلافات.

دعنا نواصل الموضوع ونحلل وظيفة الطاقة ص = س أ بشرط: - 1< a < 0 .

دعونا نقدم رسمًا بيانيًا للدوال التالية: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (أسود، أحمر، أزرق، أخضر اللون) السطور على التوالي).

التعريف 12

خصائص دالة القدرة عند -1< a < 0:

ليم س → 0 + 0 س أ = + ∞ عندما - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• النطاق: ص ∈ 0 ; + ∞ ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• لا توجد نقاط انعطاف.

يوضح الرسم أدناه الرسوم البيانية لوظائف الطاقة y = x - 5 4، y = x - 5 3، y = x - 6، y = x - 24 7 (أسود، أحمر، أزرق، الألوان الخضراءمنحنيات على التوالي).

التعريف 13

خواص دالة القدرة لـ أ< - 1:

• مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ ؛

ليم x → 0 + 0 x a = + ∞ عندما a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• الدالة تتناقص لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
• الدالة لديها تقعر ل x ∈ 0; + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• الخط المقارب الأفقي – الخط المستقيم y = 0;
• نقطة مرور الدالة : (1 ؛ 1) .

عندما a = 0 و x ≠ 0 نحصل على الدالة y = x 0 = 1 التي تحدد الخط الذي تستبعد منه النقطة (0; 1) (تم الاتفاق على أن التعبير 0 0 لن يعطى أي معنى) ).

الدالة الأسية لها الشكل y = a x، حيث a > 0 وa ≠ 1، ويبدو الرسم البياني لهذه الدالة مختلفًا بناءً على قيمة الأساس a. دعونا ننظر في حالات خاصة.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على الموقف عندما يكون لأساس الدالة الأسية قيمة من صفر إلى واحد (0< a < 1) . من الأمثلة الجيدة على ذلك الرسوم البيانية للدوال a = 1 2 (اللون الأزرق للمنحنى) وa = 5 6 (اللون الأحمر للمنحنى).

سيكون للرسوم البيانية للدالة الأسية مظهر مماثل للقيم الأساسية الأخرى تحت الشرط 0< a < 1 .

التعريف 14

خصائص الدالة الأسية عندما يكون الأساس أقل من واحد:

• النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• الدالة الأسية التي قاعدتها أقل من واحد تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• الخط المقارب الأفقي – خط مستقيم y = 0 مع متغير x يميل إلى + ∞؛

الآن فكر في الحالة التي يكون فيها أساس الدالة الأسية أكبر من واحد (a > 1).

دعونا نوضح هذه الحالة الخاصة من خلال رسم بياني للدوال الأسية y = 3 2 x (اللون الأزرق للمنحنى) وy = e x (اللون الأحمر للرسم البياني).

القيم الأخرى للقاعدة، الوحدات الأكبر، ستعطي مظهرًا مشابهًا للرسم البياني للدالة الأسية.

التعريف 15

خصائص الدالة الأسية عندما يكون الأساس أكبر من واحد:

• مجال التعريف - المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية؛
• النطاق: ص ∈ (0 ; + ∞) ;
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• الدالة الأسية التي قاعدتها أكبر من واحد تتزايد مثل x ∈ - ∞؛ + ∞ ؛
• الدالة لها تقعر عند x ∈ - ∞; + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• الخط المقارب الأفقي – خط مستقيم y = 0 مع متغير x يميل إلى - ∞؛
• نقطة مرور الدالة : (0;1) .

الدالة اللوغاريتمية لها الصيغة y = log a (x)، حيث a > 0، a ≠ 1.

يتم تعريف هذه الوظيفة فقط للقيم الإيجابية للوسيطة: for x ∈ 0; + ∞ .

الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية لديه نوع مختلف، على أساس قيمة الأساس أ.

دعونا نفكر أولاً في الموقف عندما يكون 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

القيم الأخرى للقاعدة، وليس الوحدات الأكبر، ستعطي نوعًا مشابهًا من الرسم البياني.

التعريف 16

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما يكون أساسها أقل من واحد:

• مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ . بما أن x تميل إلى الصفر من اليمين، فإن قيم الدالة تميل إلى +∞؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• لوغاريتمي
• الدالة لديها تقعر ل x ∈ 0; + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالة الخاصة التي يكون فيها أساس الدالة اللوغاريتمية أكبر من واحد: a > 1 . يوضح الرسم أدناه الرسوم البيانية للوظائف اللوغاريتمية y = log 3 2 x و y = ln x (اللونان الأزرق والأحمر للرسوم البيانية، على التوالي).

القيم الأخرى للقاعدة الأكبر من الواحد ستعطي نوعًا مشابهًا من الرسم البياني.

التعريف 17

خصائص الدالة اللوغاريتمية عندما يكون أساسها أكبر من واحد:

• مجال التعريف: x ∈ 0 ; + ∞ . بما أن x تميل إلى الصفر من اليمين، فإن قيم الدالة تميل إلى - ∞ ;
• النطاق: ص ∈ - ∞ ; + ∞ (مجموعة الأعداد الحقيقية بأكملها)؛
• هذه الوظيفة هي دالة ذات شكل عام (وهي ليست فردية ولا زوجية)؛
• الدالة اللوغاريتمية تزايدية لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
• الدالة محدبة لـ x ∈ 0; + ∞ ؛
• لا توجد نقاط انعطاف.
• لا توجد الخطوط المقاربة.
• نقطة مرور الدالة : (1; 0) .

الدوال المثلثية هي جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام. دعونا نلقي نظرة على خصائص كل منها والرسومات المقابلة لها.

بشكل عام، تتميز جميع الدوال المثلثية بخاصية الدورية، أي. عندما تتكرر قيم الدوال لقيم مختلفة للوسيطة، تختلف عن بعضها البعض بالفترة f (x + T) = f (x) (T هي الفترة). وبذلك يضاف بند "أصغر فترة موجبة" إلى قائمة خواص الدوال المثلثية. بالإضافة إلى ذلك، سنشير إلى قيم الوسيطة التي تصبح فيها الدالة المقابلة صفرًا.

1. دالة الجيب: y = sin(x)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى موجة جيبية.

التعريف 18

خصائص وظيفة الجيب:

• مجال التعريف: المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π · k، حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
• الدالة تزايدية ل x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z وتناقص لـ x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · ك، ك ∈ ض؛
• دالة الجيب لها حد أقصى محلي عند النقاط π 2 + 2 π · k; 1 والحد الأدنى المحلي عند النقاط - π 2 + 2 π · k; - 1، ك ∈ ض؛
• تكون دالة الجيب مقعرة عندما x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z ومحدبة عندما x ∈ 2 π · k; π + 2 π ك، ك ∈ ض؛
• لا توجد الخطوط المقاربة.

1. وظيفة جيب التمام: ص = كوس (س)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى موجة جيب التمام.

التعريف 19

خصائص وظيفة جيب التمام:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• أصغر فترة إيجابية: T = 2 π؛
• نطاق القيم: y ∈ - 1 ; 1 ؛
• هذه الدالة زوجية، لأن y (- x) = y (x);
• الدالة تزايدية ل x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z وتناقص لـ x ∈ 2 π · k; π + 2 π ك، ك ∈ ض؛
• دالة جيب التمام لها حد أقصى محلي عند النقاط 2 π · k ; 1, k ∈ Z والحد الأدنى المحلي عند النقاط π + 2 π · k; - 1، ك ∈ ض؛
• تكون دالة جيب التمام مقعرة عندما x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z ومحدبة عندما x ∈ - π 2 + 2 π · k; π 2 + 2 π · ك، ك ∈ ض؛
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات π 2 + π · k; 0 , ك ∈ ض
• لا توجد الخطوط المقاربة.

1. وظيفة الظل: ص = ر ز (س)

يسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة الظل.

التعريف 20

خصائص دالة الظل:

• مجال التعريف: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k، حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
• سلوك دالة الظل على حدود مجال التعريف lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . وبالتالي، فإن الخطوط المستقيمة x = π 2 + π · k k ∈ Z هي خطوط مقاربة رأسية؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π · k لـ k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
• الدالة تتزايد مثل - π 2 + π · k ; π 2 + π · ك، ك ∈ ض؛
• دالة الظل مقعرة لـ x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z ومحدبة لـ x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات π · k ; 0 , ك ∈ ض ;

1. وظيفة ظل التمام: ص = ج ر ز (س)

الرسم البياني لهذه الوظيفة يسمى ظل التمام. .

التعريف 21

خصائص وظيفة ظل التمام:

• مجال التعريف: x ∈ (π · k ; π + π · k) حيث k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛

سلوك دالة ظل التمام على حدود مجال التعريف lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . وبالتالي، فإن الخطوط المستقيمة x = π · k k ∈ Z هي خطوط مقاربة رأسية؛

• أصغر فترة إيجابية: T = π؛
• تختفي الوظيفة عندما x = π 2 + π · k لـ k ∈ Z (Z هي مجموعة الأعداد الصحيحة)؛
• النطاق: ص ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
• الدالة تتناقص لـ x ∈ π · k ; π + π ك، ك ∈ ض؛
• دالة ظل التمام مقعرة لـ x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z ومحدبة لـ x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات π 2 + π · k; 0 , ك ∈ ض ;
• لا توجد خطوط مقاربة مائلة أو أفقية.

الدوال المثلثية العكسية هي أركسين، أركوسين، ظل قوسي وظل قوسي. في كثير من الأحيان، بسبب وجود البادئة "قوس" في الاسم، تسمى الدوال المثلثية العكسية دوال القوس .

1. دالة جيب القوس: y = a r c sin (x)

التعريف 22

خصائص وظيفة أركسين:

• هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
• دالة قوس الجيب لها تقعر عند x ∈ 0; 1 والتحدب لـ x ∈ - 1 ; 0 ;
• نقاط الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)، وهي أيضًا صفر الدالة؛
• لا توجد الخطوط المقاربة.

1. وظيفة قوس جيب التمام: ص = أ ص ج كوس (س)

التعريف 23

خصائص وظيفة قوس جيب التمام:

• مجال التعريف: x ∈ - 1 ; 1 ؛
• النطاق: ص ∈ 0 ; π؛
• وهذه الوظيفة ذات شكل عام (ليست زوجية ولا فردية)؛
• الدالة تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
• دالة جيب التمام القوسية لها تقعر عند x ∈ - 1؛ 0 والتحدب لـ x ∈ 0; 1 ؛
• نقاط انعطاف لها إحداثيات 0؛ π 2;
• لا توجد الخطوط المقاربة.

1. دالة ظل القطب الشمالي: y = a r c t g (x)

التعريف 24

خصائص الدالة القوسية:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• نطاق القيم: y ∈ - π 2 ; π 2;
• هذه الدالة غريبة، لأن y (- x) = - y (x) ;
• الدالة تتزايد على نطاق التعريف بأكمله؛
• دالة الظل القوسي لها تقعر لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] وتحدب لـ x ∈ [ 0 ; + ∞);
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات (0؛ 0)، وهي أيضًا صفر الدالة؛
• الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = - π 2 مثل x → - ∞ و y = π 2 مثل x → + ∞ (في الشكل، الخطوط المقاربة هي خطوط خضراء).

1. دالة الظل القوسي: ص = أ ص ج ج ر ز (س)

التعريف 25

خصائص وظيفة ظل التمام:

• مجال التعريف: x ∈ - ∞ ; + ∞ ؛
• المدى: ص ∈ (0; π) ;
• وهذه الوظيفة ذات شكل عام؛
• الدالة تتناقص على نطاق التعريف بأكمله؛
• تحتوي دالة ظل التمام القوسية على تقعر لـ x ∈ [ 0 ; + ∞) والتحدب لـ x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• نقطة الانعطاف لها إحداثيات 0؛ π 2;
• الخطوط المقاربة الأفقية هي خطوط مستقيمة y = π عند x → - ∞ (الخط الأخضر في الرسم) و y = 0 عند x → + ∞.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الصف العاشر

وظيفة الطاقة

قوة مُسَمًّىالوظيفة المعطاة بواسطة الصيغةأين, ص – بعض العدد الحقيقي.

أنا . مؤشر- عدد طبيعي زوجي . ثم وظيفة الطاقة أينن

د ( ذ )= (−; +).

2) نطاق قيم الدالة هو مجموعة من الأرقام غير السالبة إذا:

مجموعة من الأرقام غير الموجبة إذا:

3) ) . وبالتالي فإن الوظيفةأوي .

4) إذا، فإن الدالة تنخفض كماX (- ؛ 0] ويزيد معX وينخفض ​​عندX \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

الرسم البياني (الشكل 2).

الشكل 2. رسم بياني للدالة $f\left(x\right)=x^(2n)$

خصائص دالة القوة ذات الأس الطبيعي الفردي

مجال التعريف هو كل الأعداد الحقيقية.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- الدالة فردية.

$f(x)$ مستمر على نطاق التعريف بأكمله.

النطاق هو كل الأعداد الحقيقية.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

تزيد الوظيفة على نطاق التعريف بأكمله.

$f\left(x\right)0$، لـ $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

الدالة مقعرة بالنسبة إلى $x\in (-\infty ,0)$ ومحدبة بالنسبة إلى $x\in (0,+\infty)$.

الرسم البياني (الشكل 3).

الشكل 3. الرسم البياني للدالة $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

دالة الطاقة مع الأس الصحيح

أولاً، دعونا نقدم مفهوم الدرجة ذات الأس الصحيح.

التعريف 3

يتم تحديد قوة الرقم الحقيقي $a$ مع الأس الصحيح $n$ بواسطة الصيغة:

الشكل 4.

دعونا الآن نفكر في دالة قوى ذات أس صحيح وخصائصها ورسمها البياني.

التعريف 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ تسمى دالة قوة ذات أس عدد صحيح.

إذا كانت الدرجة أكبر من الصفر، فإننا نأتي إلى حالة دالة قوى ذات أس طبيعي. لقد ناقشناها بالفعل أعلاه. بالنسبة إلى $n=0$ نحصل على دالة خطية $y=1$. ولنترك نظرها للقارئ. يبقى النظر في خصائص دالة القوة ذات الأس الصحيح السالب

خصائص دالة القوة ذات الأس الصحيح السالب

مجال التعريف هو $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

إذا كان الأس زوجيًا، تكون الدالة زوجية؛ وإذا كان فرديًا، تكون الدالة فردية.

$f(x)$ مستمر على نطاق التعريف بأكمله.

نِطَاق:

إذا كان الأس زوجيًا، فعندئذ $(0,+\infty)$; وإذا كان فرديًا، فعندئذٍ $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

بالنسبة للأس الفردي، تنخفض الدالة إلى $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. إذا كان الأس زوجيًا، تنخفض الدالة إلى $x\in (0,+\infty)$. ويزيد بمقدار $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ على نطاق التعريف بأكمله

هل أنت على دراية بالوظائف ص=س, ص=س 2 , ص=س 3 , ص=1/سإلخ، وجميع هذه الوظائف حالات خاصة من دالة القدرة، أي الدالة ص=إكس بي، حيث p هو عدد حقيقي معين.
تعتمد خصائص دالة القوة ورسمها البياني بشكل كبير على خصائص القوة ذات الأس الحقيقي، وخاصة على القيم التي لها سو صدرجة منطقية س ص. دعونا ننتقل إلى دراسة مماثلة لمختلف الحالات اعتمادا على
الأس ص.

1. مؤشر ع = 2 ن-عدد طبيعي زوجي.

ص=x2n، أين ن- عدد طبيعي وله ما يلي

ملكيات:

• مجال التعريف - جميع الأعداد الحقيقية، أي المجموعة R؛
• مجموعة القيم - أرقام غير سالبة، أي y أكبر من أو يساوي 0؛
• وظيفة ص=x2nحتى بسبب × 2 ن=(- س) 2 ن
• الدالة تتناقص على الفاصل الزمنيس<0 وزيادة على الفاصل الزمنيس>0.

رسم بياني للدالة ص=x2nله نفس الشكل، على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة ص=س 4.

2. المؤشر ع = 2ن-1- عدد طبيعي فردي
في هذه الحالة، وظيفة الطاقة ص=x2n-1حيث أن العدد الطبيعي له الخصائص التالية:

• مجال التعريف - مجموعة R؛
• مجموعة القيم - مجموعة R؛
• وظيفة ص=x2n-1غريب، منذ (- س) 2ن-1=x2n-1;
• الدالة تتزايد على المحور الحقيقي بأكمله.

رسم بياني للدالة ص=س 2n-1 له نفس الشكل، على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة ص=س 3 .

3. المؤشر ع=-2ن، أين ن-عدد طبيعي.

في هذه الحالة، وظيفة الطاقة ص=س -2ن =1/س 2نلديه الخصائص التالية:

• مجال التعريف - مجموعة R، باستثناء x=0؛
• مجموعة القيم - الأعداد الموجبة y>0؛
• وظيفة ذ =1/x2nحتى بسبب 1/(-x)2ن=1/س 2ن;
• الدالة تزايدية على الفترة x<0 и убывающей на промежутке x>0.

رسم بياني للوظيفة ذ =1/x2nله نفس الشكل، على سبيل المثال، الرسم البياني للدالة y =1/س 2.