نظام المعادلات الخطية المتجانسة
نظام المعادلات الخطية المتجانسة هو نظام من الشكل
ومن الواضح أنه في هذه الحالة 
، لأن جميع عناصر أحد الأعمدة في هذه المحددات تساوي صفرًا.
حيث يتم العثور على المجهولات وفقا للصيغ 
، ثم في حالة Δ ≠ 0، يكون لدى النظام حل صفري فريد س = ذ = ض= 0. ومع ذلك، في العديد من المسائل يكون السؤال المثير للاهتمام هو ما إذا كان النظام المتجانس له حلول غير الصفر.
نظرية.لكي يكون لنظام المعادلات الخطية المتجانسة حل غير صفري، من الضروري والكافي أن يكون Δ ≠ 0.
لذلك، إذا كان المحدد Δ ≠ 0، فإن النظام لديه حل فريد. إذا كانت Δ ≠ 0، فإن نظام المعادلات المتجانسة الخطية لديه عدد لا نهائي من الحلول.
أمثلة.
المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة
دعونا نعطي مصفوفة مربعة 
, X- عمود مصفوفة ما، يتزامن ارتفاعه مع ترتيب المصفوفة أ. .
في العديد من المشاكل علينا أن نأخذ في الاعتبار المعادلة X
حيث π هو رقم معين. من الواضح أنه لأي π هذه المعادلة لها حل صفر.
يُطلق على الرقم lect الذي تكون لهذه المعادلة حلول غير صفرية له اسم القيمة الذاتيةالمصفوفات أ، أ Xلمثل هذا يسمى eigenvectorالمصفوفات أ.
دعونا نجد المتجهات الذاتية للمصفوفة أ. لأن ه∙س = س، فيمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة بالشكل 
أو 
. في شكل موسع، يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كنظام من المعادلات الخطية. حقًا 
.
وبالتالي 
وبذلك نكون قد حصلنا على نظام من المعادلات الخطية المتجانسة لتحديد الإحداثيات × 1, × 2, × 3ناقلات X. لكي يكون للنظام حلول غير صفرية من الضروري والكافي أن تكون محددات النظام مساوية للصفر، أي.
هذه معادلة من الدرجة الثالثة لـ . إنه يسمى معادلة مميزةالمصفوفات أويعمل على تحديد القيم الذاتية لـ lect.
كل قيمة ذاتية π تقابل متجهًا ذاتيًا X، والتي يتم تحديد إحداثياتها من النظام بالقيمة المقابلة لـ .
أمثلة.
الجبر المتجه. مفهوم المتجهات
عند دراسة مختلف فروع الفيزياء هناك كميات يتم تحديدها بشكل كامل من خلال تحديد قيمها العددية، على سبيل المثال الطول والمساحة والكتلة ودرجة الحرارة وغيرها. وتسمى هذه الكميات العددية. ومع ذلك، بالإضافة إلى ذلك، هناك أيضًا كميات، لتحديدها، بالإضافة إلى القيمة العددية، من الضروري أيضًا معرفة اتجاهها في الفضاء، على سبيل المثال، القوة المؤثرة على الجسم، وسرعة وتسارع الجسم. الجسم عندما يتحرك في الفضاء، والتوتر المجال المغنطيسيعند نقطة معينة في الفضاء، الخ. وتسمى هذه الكميات الكميات المتجهة.
دعونا نقدم تعريفا صارما.
مقطع موجهدعنا نسمي قطعة، نسبة إلى نهاياتها معروفة أي منها هو الأول وأيهما هو الثاني.
ناقليسمى مقطع موجه له طول معين، أي. هذا مقطع بطول معين، حيث يتم اعتبار إحدى النقاط التي تحده كبداية، والثانية كنهاية. لو أ- بداية المتجه، بهو نهايته، فيتم الإشارة إلى المتجه بالرمز؛ بالإضافة إلى ذلك، غالبًا ما يُشار إلى المتجه بحرف واحد. في الشكل، يُشار إلى المتجه بالقطعة، واتجاهه بالسهم.
الوحدة النمطيةأو طوليسمى المتجه بطول القطعة الموجهة التي تحدده. يُشار إليه بـ || أو ||.
سندرج أيضًا ما يسمى بالمتجه الصفري، الذي تتطابق بدايته ونهايته، كمتجهات. تم تعيينه. المتجه الصفري ليس له اتجاه محدد ومعامله كذلك يساوي الصفر ||=0.
تسمى المتجهات على استطرادإذا كانت تقع على نفس الخط أو على خطوط متوازية. علاوة على ذلك، إذا كانت المتجهات و في نفس الاتجاه، فسنكتب عكس ذلك.
تسمى المتجهات الواقعة على خطوط مستقيمة موازية لنفس المستوى متحد المستوى.
يتم استدعاء المتجهين متساوي، إذا كانا على خط مستقيم، فإن لهما نفس الاتجاه ومتساويان في الطول. في هذه الحالة يكتبون .
ويترتب على تعريف مساواة المتجهات أنه يمكن نقل المتجه بالتوازي مع نفسه، ووضع أصله في أي نقطة في الفضاء.
على سبيل المثال.
العمليات الخطية على المتجهات
- ضرب المتجه بعدد.
حاصل ضرب المتجه والرقم lect هو متجه جديد مثل:
يُشار إلى حاصل ضرب المتجه والرقم α بالرمز .
على سبيل المثال،يوجد متجه موجه في نفس اتجاه المتجه ويبلغ طوله نصف طول المتجه.
العملية المقدمة لديها ما يلي ملكيات:
- إضافة المتجهات.
اسمحوا ويكون اثنين من المتجهات التعسفية. دعونا نأخذ نقطة تعسفية ياوبناء ناقلات. بعد ذلك من هذه النقطة أدعونا نضع جانبا المتجه. يُسمى المتجه الذي يربط بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الثاني كميةمن هذه النواقل ويشار إليها
.
يسمى التعريف المصاغ لإضافة المتجهات قاعدة متوازي الأضلاع، حيث يمكن الحصول على نفس مجموع المتجهات على النحو التالي. دعونا نؤجل من هذه النقطة ياناقلات و. دعونا نبني متوازي الأضلاع على هذه المتجهات أوابك. بما أن المتجهات، فهي متجهة، وهي قطر متوازي الأضلاع المرسوم من رأسه يا، من الواضح أنه سيكون مجموع المتجهات.
من السهل التحقق مما يلي خصائص إضافة المتجهات.
- الفرق المتجهات.
يسمى المتجه الذي يقع على خط مستقيم مع متجه معين، متساوي في الطول وموجه بشكل معاكس عكسالمتجه للمتجه ويشار إليه بـ . يمكن اعتبار المتجه المعاكس نتيجة ضرب المتجه بالرقم lect = –1: .
"يحدد الجزء الأول الأحكام الضرورية إلى الحد الأدنى لفهم القياسات الكيميائية، ويحتوي الجزء الثاني على الحقائق التي تحتاج إلى معرفتها لفهم أعمق لأساليب التحليل متعدد المتغيرات. تم توضيح العرض التقديمي باستخدام الأمثلة الواردة في مصنف Excel Matrix.xls، والتي تصاحب هذه الوثيقة.
يتم وضع روابط الأمثلة في النص ككائنات Excel. هذه الأمثلة مجردة بطبيعتها، ولا ترتبط بأي حال من الأحوال بمشاكل الكيمياء التحليلية. تمت مناقشة أمثلة واقعية لاستخدام جبر المصفوفة في القياسات الكيميائية في نصوص أخرى تغطي مجموعة متنوعة من تطبيقات القياس الكيميائي.
معظم القياسات التي يتم إجراؤها في الكيمياء التحليلية ليست مباشرة، ولكن غير مباشر. وهذا يعني أنه في التجربة، بدلاً من قيمة المادة التحليلية المطلوبة C (التركيز)، يتم الحصول على قيمة أخرى س(إشارة)، مرتبطة بـ C ولكنها لا تساويها، أي. س(ج) ≠ ج. كقاعدة عامة، نوع الاعتماد س(C) غير معروف، ولكن لحسن الحظ في الكيمياء التحليلية تكون معظم القياسات متناسبة. وهذا يعني أنه مع زيادة تركيز C في أمرات، إشارة X سوف تزيد بنفس المقدار، أي. س(أج) = س(ج). بالإضافة إلى ذلك، تكون الإشارات أيضًا إضافية، وبالتالي فإن الإشارة من العينة التي تحتوي على مادتين بتركيزات C 1 وC 2 ستكون مساوية لمجموع الإشارات من كل مكون، أي. س(ج1 + ج2) = س(ج1)+ س(ج2). التناسب والإضافة معا يعطيان الخطية. ويمكن إعطاء أمثلة كثيرة لتوضيح مبدأ الخطية، ولكن يكفي أن نذكر المثالين الأكثر وضوحا - اللوني والتحليل الطيفي. الميزة الثانية المتأصلة في تجربة الكيمياء التحليلية هي متعدد القنوات. تقوم المعدات التحليلية الحديثة بقياس الإشارات للعديد من القنوات في نفس الوقت. على سبيل المثال، يتم قياس شدة انتقال الضوء لعدة أطوال موجية في وقت واحد، أي. نطاق. لذلك، في التجربة نتعامل مع العديد من الإشارات س 1 , س 2 ,...., س n، التي تميز مجموعة التركيزات C 1 , C 2 , ..., C m من المواد الموجودة في النظام قيد الدراسة.
أرز. 1 أطياف
لذلك، تتميز التجربة التحليلية بالخطية وتعدد الأبعاد. ولذلك، فمن الملائم اعتبار البيانات التجريبية كمتجهات ومصفوفات ومعالجتها باستخدام جهاز جبر المصفوفات. يتم توضيح جدوى هذا النهج من خلال المثال الموضح في، والذي يعرض ثلاثة أطياف مأخوذة عند 200 طول موجي من 4000 إلى 4796 سم −1. أولاً ( س 1) والثانية ( س 2) تم الحصول على الأطياف للعينات القياسية التي يُعرف فيها تركيز مادتين A وB: في العينة الأولى [A] = 0.5، [B] = 0.1، وفي العينة الثانية [A] = 0.2، [ ب] = 0.6. ماذا يمكن أن يقال عن عينة جديدة غير معروفة يشار إلى طيفها س 3 ?
دعونا نفكر في ثلاثة أطياف تجريبية س 1 , س 2 و س 3 كثلاثة متجهات للبعد 200. باستخدام الجبر الخطي، يمكن للمرء بسهولة إظهار ذلك س 3 = 0.1 س 1 +0.3 س 2، لذلك من الواضح أن العينة الثالثة تحتوي فقط على المادتين A وB بتركيزات [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 و[B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.
1. المعلومات الأساسية
1.1 المصفوفات
مصفوفةيسمى جدول مستطيل من الأرقام، على سبيل المثال
أرز. 2 مصفوفة
يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف كبيرة وعريضة ( أ)، وعناصرها - من خلال الحروف الصغيرة المقابلة للمؤشرات، أي. أأنا. الفهرس الأول يقوم بترقيم الصفوف، والثاني - الأعمدة. في القياس الكيميائي، من المعتاد الإشارة إلى القيمة القصوى للمؤشر بنفس حرف المؤشر نفسه، ولكن بأحرف كبيرة. لذلك المصفوفة أيمكن كتابتها أيضًا كـ ( أ أنا , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,..., ج). بالنسبة لمصفوفة المثال أنا = 4, ج= 3 و أ 23 = −7.5.
زوج من الأرقام أناو جيسمى البعد المصفوفة ويشار إليه باسم أنا× ج. مثال على المصفوفة في القياسات الكيميائية هو مجموعة من الأطياف التي تم الحصول عليها أناعينات ل جالأطوال الموجية.
1.2. أبسط العمليات على المصفوفات
يمكن أن تكون المصفوفات اضرب بالأرقام. وفي هذه الحالة، يتم ضرب كل عنصر بهذا الرقم. على سبيل المثال -
أرز. 3 ضرب المصفوفة بعدد
يمكن أن تكون مصفوفتان لهما نفس البعد عنصرًا بعنصر طيةو طرح. على سبيل المثال،
أرز. 4 إضافة مصفوفة
نتيجة الضرب بعدد والجمع يتم الحصول على مصفوفة من نفس البعد.
المصفوفة الصفرية هي مصفوفة تتكون من أصفار. تم تعيينه يا. من الواضح أن أ+يا = أ, أ−أ = ياو 0 أ = يا.
يمكن أن تكون المصفوفة تبديل. خلال هذه العملية، يتم قلب المصفوفة، أي. يتم تبديل الصفوف والأعمدة. تتم الإشارة إلى النقل بواسطة أولية ، أ"أو الفهرس أر. وهكذا إذا أ = {أ أنا , أنا = 1,..., أنا; ي = 1,...,ج)، الذي - التي أر = ( أ جي , ي = 1,...,ج; ط = 1،...، أنا). على سبيل المثال
أرز. 5 تبديل المصفوفة
ومن الواضح أن ( أر) ر = أ, (أ+ب) ر =أر+ بر.
1.3. ضرب المصفوفة
يمكن أن تكون المصفوفات ضاعفولكن فقط إذا كانت ذات أبعاد مناسبة. لماذا هذا سوف يكون واضحا من التعريف. منتج المصفوفة أالبعد أنا× ك، والمصفوفات بالبعد ك× ج، تسمى مصفوفة جالبعد أنا× ج، وعناصرها عبارة عن أرقام
وهكذا بالنسبة للمنتج أ.بفمن الضروري أن عدد الأعمدة في المصفوفة اليسرى أكان يساوي عدد الصفوف في المصفوفة اليمنى ب. مثال على منتج المصفوفة -
الشكل 6: منتج المصفوفات
يمكن صياغة قاعدة ضرب المصفوفات على النحو التالي. للعثور على عنصر المصفوفة ج، واقفاً عند التقاطع أنا- السطر و يالعمود العاشر ( ج أنا) يجب ضرب عنصر بعنصر أنا-الصف من المصفوفة الأولى أعلى يالعمود الرابع من المصفوفة الثانية بوجمع كل النتائج. لذلك في المثال الموضح، يتم الحصول على عنصر من الصف الثالث والعمود الثاني كمجموع منتجات الصف الثالث من حيث العناصر أوالعمود الثاني ب
الشكل 7: عنصر منتج المصفوفات
يعتمد منتج المصفوفات على الترتيب، أي. أ.ب ≠ بكالوريوس.، على الأقل لأسباب الأبعاد. يقولون أنه غير تبادلي. ومع ذلك، فإن منتج المصفوفات هو ترابطي. وهذا يعني ذلك اي بي سي = (أ.ب)ج = أ(قبل الميلاد). بالإضافة إلى ذلك، فهي أيضًا توزيعية، أي. أ(ب+ج) = أ.ب+مكيف الهواء. من الواضح أن أ.و. = يا.
1.4. المصفوفات المربعة
إذا كان عدد أعمدة المصفوفة يساوي عدد صفوفها ( أنا = ي = ن)، فإن هذه المصفوفة تسمى مربع. في هذا القسم سننظر فقط في هذه المصفوفات. ومن بين هذه المصفوفات يمكن تمييز المصفوفات ذات الخصائص الخاصة.
أعزبمصفوفة (المشار إليها أنا،وأحيانا ه) هي مصفوفة تكون جميع عناصرها مساوية للصفر، باستثناء العناصر القطرية التي تساوي 1، أي.
بوضوح منظمة العفو الدولية. = أنا. = أ.
تسمى المصفوفة قطري، إذا كانت جميع عناصره باستثناء العناصر القطرية ( أ ثانيا) تساوي الصفر. على سبيل المثال
أرز. 8 مصفوفة قطرية
مصفوفة أدعا الأعلى الثلاثي، إذا كانت جميع عناصره الواقعة تحت القطر تساوي الصفر، أي. أ أنا= 0، في أنا>ي. على سبيل المثال
أرز. 9 المصفوفة الثلاثية العليا
يتم تعريف المصفوفة المثلثية السفلية بالمثل.
مصفوفة أمُسَمًّى متماثل، لو أر = أ. بعبارة أخرى أ أنا = أ جي. على سبيل المثال
أرز. 10 مصفوفة متماثلة
مصفوفة أمُسَمًّى متعامد، لو
أر أ = أ.أ.ر = أنا.
تسمى المصفوفة طبيعيلو
1.5. التتبع والمحدد
التاليمصفوفة مربعة أ(يُشار إليه بواسطة Tr( أ) أو س( أ)) هو مجموع عناصره القطرية،
على سبيل المثال،
أرز. 11 تتبع المصفوفة
من الواضح أن
س (α أ) = α س( أ) و
س ( أ+ب) = س( أ)+ س( ب).
يمكن أن يظهر ذلك
س ( أ) = س( أر)، س ( أنا) = ن,
وأيضا ذلك
س ( أ.ب) = س( بكالوريوس.).
سمة أخرى مهمة للمصفوفة المربعة هي المحدد(يشار إليه بـ( أ)). تحديد المحدد في الحالة العامة أمر صعب للغاية، لذلك سنبدأ بالخيار الأبسط - المصفوفة أالبعد (2×2). ثم
بالنسبة للمصفوفة (3×3) فإن المحدد سيكون مساوياً لها
في حالة المصفوفة ( ن× ن) يتم حساب المحدد كمجموع 1·2·3· ... · ن= ن! حيث أن كل منها متساوي
الفهارس ك 1 , ك 2 ,..., ك نيتم تعريفها على أنها جميع التباديلات المرتبة الممكنة صالأرقام في المجموعة (1، 2، ...، ن). يعد حساب محدد المصفوفة إجراءً معقدًا يتم تنفيذه عمليًا باستخدام برامج خاصة. على سبيل المثال،
أرز. 12 محدد المصفوفة
دعونا نلاحظ فقط الخصائص الواضحة:
ديت ( أنا) = 1، ديت ( أ) = ديت( أر)،
ديت ( أ.ب) = ديت( أ)حذف( ب).
1.6. المتجهات
إذا كانت المصفوفة تتكون من عمود واحد فقط ( ج= 1)، ثم يتم استدعاء مثل هذا الكائن ناقلات. بتعبير أدق، ناقل العمود. على سبيل المثال
يمكن للمرء أيضًا اعتبار المصفوفات التي تتكون من صف واحد، على سبيل المثال
هذا الكائن هو أيضًا ناقل، ولكن ناقلات الصف. عند تحليل البيانات، من المهم أن نفهم المتجهات التي نتعامل معها - الأعمدة أو الصفوف. لذلك يمكن اعتبار الطيف المأخوذ لعينة واحدة بمثابة متجه صف. ثم ينبغي التعامل مع مجموعة الكثافات الطيفية عند طول موجي معين لجميع العينات على أنها متجه عمود.
البعد المتجه هو عدد عناصره.
من الواضح أنه يمكن تحويل أي متجه عمود إلى متجه صف عن طريق التبديل، أي.
في الحالات التي لم يتم فيها ذكر شكل المتجه على وجه التحديد، ولكن يُقال ببساطة أنه متجه، فإنهم يقصدون متجه العمود. سوف نلتزم أيضًا بهذه القاعدة. تتم الإشارة إلى المتجه بحرف صغير للأمام وعريض. المتجه الصفري هو متجه جميع عناصره صفر. تم تعيينه 0 .
1.7. أبسط العمليات مع المتجهات
يمكن جمع المتجهات وضربها بالأرقام بنفس طريقة المصفوفات. على سبيل المثال،
أرز. 13 العمليات مع المتجهات
اثنين من المتجهات سو ذيتم استدعاؤها خطي، إذا كان هناك رقم α هكذا
1.8. منتجات المتجهات
متجهان من نفس البعد نيمكن أن تتضاعف. يجب أن يكون هناك ناقلان س = (س 1 , س 2 ,...,سن)ر و ذ = (ذ 1 , ذ 2 ,...,ذن) ر . مسترشدين بقاعدة الضرب صفًا بعمود، يمكننا تكوين منتجين منهما: سر ذو xyر. العمل الأول
مُسَمًّى العدديةأو داخلي. نتيجته رقم. ويشار إليه أيضًا بـ ( س,ذ)= سر ذ. على سبيل المثال،
أرز. 14 المنتج الداخلي (العددي).
القطعة الثانية
مُسَمًّى خارجي. والنتيجة هي مصفوفة الأبعاد ( ن× ن). على سبيل المثال،
أرز. 15 عمل خارجي
تسمى المتجهات التي يكون حاصل ضربها القياسي صفرًا متعامد.
1.9. قاعدة المتجهات
يُطلق على المنتج العددي للمتجه مع نفسه اسم المربع العددي. هذه القيمة
يحدد مربع طولناقلات س. للإشارة إلى الطول (ويسمى أيضًا القاعدةالمتجه) يتم استخدام الترميز
على سبيل المثال،
أرز. 16 قاعدة المتجهات
متجه طول الوحدة (|| س|| = 1) يسمى تطبيع. ناقل غير صفري ( س ≠ 0 ) يمكن تطبيعها بتقسيمها على الطول، أي. س = ||س|| (س/||س||) = ||س|| ه. هنا ه = س/||س|| - ناقلات تطبيع.
تسمى المتجهات متعامدة إذا كانت جميعها طبيعية ومتعامدة بشكل زوجي.
1.10. الزاوية بين المتجهات
المنتج العددي يحدد و ركنφ بين ناقلين سو ذ
إذا كانت المتجهات متعامدة، فإن cosφ = 0 و φ = π/2، وإذا كانت على خط مستقيم، فإن cosφ = 1 و φ = 0.
1.11. تمثيل المتجهات للمصفوفة
كل مصفوفة أمقاس أنا× جيمكن تمثيلها كمجموعة من المتجهات
هنا كل ناقلات أ ييكون يالعمود العاشر ومتجه الصف ب أنايكون أناالصف العاشر من المصفوفة أ
1.12. المتجهات المعتمدة خطياً
ناقلات من نفس البعد ( ن) يمكن جمعها وضربها برقم، تمامًا مثل المصفوفات. ستكون النتيجة متجهًا بنفس البعد. يجب أن يكون هناك عدة نواقل لها نفس البعد س 1 , س 2 ,...,س K ونفس عدد الأرقام α α 1 , α 2 ,...,α ك. ناقل
ذ= α 1 س 1 + ألفا 2 س 2 +...+ أ ك س ك
مُسَمًّى مزيج خطيناقلات س ك .
إذا كان هناك مثل هذه الأرقام غير الصفرية α ك ≠ 0, ك = 1,..., ك، ماذا ذ = 0 ، ثم هذه المجموعة من المتجهات س كمُسَمًّى تعتمد خطيا. وبخلاف ذلك، يقال إن المتجهات مستقلة خطيًا. على سبيل المثال، المتجهات س 1 = (2، 2)ر و س 2 = (−1, −1) t يعتمدان خطيًا، لأن س 1 +2س 2 = 0
1.13. رتبة المصفوفة
النظر في مجموعة من كناقلات س 1 , س 2 ,...,س كأبعاد ن. رتبة هذا النظام من المتجهات هي الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا. على سبيل المثال في المجموعة
على سبيل المثال، لا يوجد سوى متجهين مستقلين خطيا س 1 و س 2، لذا فإن رتبته هي 2.
من الواضح أنه إذا كان عدد المتجهات في المجموعة أكبر من أبعادها ( ك>ن)، فإنهم بالضرورة يعتمدون خطيًا.
رتبة المصفوفة(يشار إليه بالرتبة( أ)) هي رتبة نظام المتجهات الذي يتكون منه. على الرغم من أنه يمكن تمثيل أي مصفوفة بطريقتين (متجهات الأعمدة أو الصفوف)، إلا أن هذا لا يؤثر على قيمة الترتيب، لأن
1.14. مصفوفة معكوسة
مصفوفة مربعة أويسمى غير منحط إذا كان له فريدة يعكسمصفوفة أ-1 تحددها الشروط
أ.أ. −1 = أ −1 أ = أنا.
المصفوفة العكسية غير موجودة في جميع المصفوفات. الشرط الضروري والكافي لعدم الانحطاط هو
ديت ( أ) ≠ 0 أو الرتبة( أ) = ن.
يعد انعكاس المصفوفة إجراءً معقدًا توجد به برامج خاصة. على سبيل المثال،
أرز. 17 انعكاس المصفوفة
دعونا نقدم الصيغ لأبسط حالة - مصفوفة 2 × 2
إذا المصفوفات أو بفهي غير منحطة، ثم
(أ.ب) −1 = ب −1 أ −1 .
1.15. مصفوفة عكسية زائفة
إذا مصفوفة أمفرد والمصفوفة العكسية غير موجودة، وفي بعض الحالات يمكنك استخدامها معكوس زائفالمصفوفة، والتي يتم تعريفها على أنها مصفوفة أ+ ذلك
أ.أ. + أ = أ.
المصفوفة العكسية الكاذبة ليست الوحيدة ويعتمد شكلها على طريقة بنائها. على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفة المستطيلة، يمكنك استخدام طريقة مور-بنروز.
إذا كان عدد الأعمدة أقل من عدد الصفوف
أ + =(أر أ) −1 أر
على سبيل المثال،
أرز. 17a الانقلاب الزائف للمصفوفة
إذا كان عدد الأعمدة أكبر من عدد الصفوف
أ + =أر ( أ.أ.ر) −1
1.16. ضرب المتجه بمصفوفة
ناقل سيمكن ضربها بمصفوفة أحجم مناسب. في هذه الحالة، يتم ضرب متجه العمود على اليمين الفأس، والصف المتجه على اليسار سر أ. إذا كان البعد ناقلات ج، والبعد المصفوفة أنا× جفإن النتيجة ستكون متجه البعد أنا. على سبيل المثال،
أرز. 18 ضرب المتجه بمصفوفة
إذا مصفوفة أ- مربع ( أنا× أنا)، ثم المتجه ذ = الفأسله نفس البعد س. من الواضح أن
أ(أ 1 س 1 + ألفا 2 س 2) = α 1 الفأس 1 + ألفا 2 الفأس 2 .
ولذلك، يمكن اعتبار المصفوفات بمثابة تحويلات خطية للمتجهات. بخاصة التاسع = س, ثور = 0 .
2. معلومات إضافية
2.1. أنظمة المعادلات الخطية
يترك أ- حجم المصفوفة أنا× ج، أ ب- ناقل البعد ج. خذ بعين الاعتبار المعادلة
الفأس = ب
نسبة إلى المتجه س، أبعاد أنا. في الأساس، هو نظام أناالمعادلات الخطية مع جمجهول س 1 ,...,س ج. الحل موجود إذا وفقط إذا
رتبة( أ) = الرتبة( ب) = ر,
أين بهي مصفوفة موسعة للأبعاد أنا×( ي+1)، تتكون من مصفوفة أ، مكملاً بعمود ب, ب = (أ ب). وإلا فإن المعادلات غير متناسقة.
لو ر = أنا = ج، فالحل فريد
س = أ −1 ب.
لو ر < أنا، فهناك العديد من الحلول المختلفة التي يمكن التعبير عنها من خلال مجموعة خطية ج−رناقلات. نظام المعادلات المتجانسة الفأس = 0 مع مصفوفة مربعة أ (ن× ن) لديه حل غير بديهي ( س ≠ 0 ) إذا وفقط إذا ديت( أ) = 0. إذا ر= الرتبة( أ)<ن، ثم هناك ن−رحلول مستقلة خطيا.
2.2. الأشكال الثنائية والتربيعية
لو أهي مصفوفة مربعة، و سو ذ- متجه البعد المقابل، ثم المنتج القياسي للنموذج سر نعممُسَمًّى خطينالنموذج المحدد بواسطة المصفوفة أ. في س = ذتعبير سر الفأسمُسَمًّى من الدرجة الثانيةاستمارة.
2.3. مصفوفات محددة إيجابية
مصفوفة مربعة أمُسَمًّى إيجابية محددة، إذا كان لأي ناقل غير صفري س ≠ 0 ,
سر الفأس > 0.
محددة بالمثل سلبي (سر الفأس < 0), غير سلبي (سر الفأس≥ 0) و سلبي (سر الفأس≥ 0) مصفوفات معينة.
2.4. التحلل تشوليسكي
إذا كانت المصفوفة المتماثلة أإيجابية محددة، ثم هناك مصفوفة ثلاثية فريدة من نوعها شمع العناصر الإيجابية، والتي
أ = شر ش.
على سبيل المثال،
أرز. 19 التحلل تشوليسكي
2.5. التحلل القطبي
يترك أهي مصفوفة مربعة غير مفردة البعد ن× ن. ثم هناك فريدة من نوعها القطبيةأداء
أ = ر.س.
أين سهي مصفوفة متماثلة غير سلبية، و رهي مصفوفة متعامدة. المصفوفات سو ريمكن تعريفها بوضوح:
س 2 = أ.أ.ر أو س = (أ.أ.ر) ½ و ر = س −1 أ = (أ.أ.ر) -½ أ.
على سبيل المثال،
أرز. 20 التحلل القطبي
إذا مصفوفة أكان منحطاً، فإن التحلل ليس فريداً - وهو: سما زلت وحيدا، ولكن رربما كثيرا. يمثل التحلل القطبي المصفوفة أكمزيج من الضغط/التمديد سويتحول ر.
2.6. المتجهات الذاتية والقيم الذاتية
يترك أهي مصفوفة مربعة. ناقل ضدمُسَمًّى eigenvectorالمصفوفات أ، لو
شارع = λ ضد,
حيث يتم استدعاء الرقم القيمة الذاتيةالمصفوفات أ. وبالتالي، فإن التحول الذي تقوم به المصفوفة أفوق المتجه ضد، يتلخص في التمدد أو الضغط البسيط بمعامل LA. يتم تحديد المتجه الذاتي حتى الضرب بواسطة ثابت α ≠ 0، أي. لو ضدهو متجه ذاتي، ثم α ضد- أيضًا ناقل ذاتي.
2.7. القيم الذاتية
في المصفوفة أالبعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكثر من نالقيم الذاتية. يرضون معادلة مميزة
ديت ( أ − λ أنا) = 0,
وهي معادلة جبرية ن- الترتيب. على وجه الخصوص، بالنسبة للمصفوفة 2 × 2، تكون المعادلة المميزة بالشكل
على سبيل المثال،
أرز. 21 القيم الذاتية
مجموعة من القيم الذاتية Â 1 ,..., α نالمصفوفات أمُسَمًّى نطاق أ.
الطيف له خصائص مختلفة. بخاصة
ديت ( أ) = lect 1 ×...× lect ن،سب( أ) = 1 +...+ ن.
يمكن أن تكون القيم الذاتية للمصفوفة التعسفية أرقامًا معقدة، ولكن إذا كانت المصفوفة متماثلة ( أر = أ)، فإن قيمها الذاتية حقيقية.
2.8. المتجهات الذاتية
في المصفوفة أالبعد ( ن× ن) لا يمكن أن يكون أكثر من نالمتجهات الذاتية، كل منها يتوافق مع قيمته الذاتية. لتحديد المتجهات الذاتية ضد نالحاجة إلى حل نظام المعادلات المتجانسة
(أ − λ ن أنا)ضد ن = 0 .
لديها حل غير تافه، منذ ديت ( أ -λ ن أنا) = 0.
على سبيل المثال،
أرز. 22 ناقلات ذاتية
المتجهات الذاتية للمصفوفة المتماثلة متعامدة.
القيم الذاتية (الأرقام) و ناقلات ذاتية.
أمثلة على الحلول
كن نفسك
ومن كلا المعادلتين ينتج ذلك.
فلنضعها إذن: 
.
نتيجة ل: 
– المتجه الذاتي الثاني.
دعونا نكرر نقاط مهمةالحلول:
- النظام الناتج بالتأكيد لديه حل عام (المعادلات تعتمد خطيا)؛
- نختار "y" بحيث يكون عددًا صحيحًا ويكون الإحداثي "x" الأول عددًا صحيحًا وموجبًا وصغيرًا قدر الإمكان.
– نتحقق من أن الحل المعين يحقق كل معادلة من معادلة النظام.
إجابة 
.
كان هناك ما يكفي من "نقاط التفتيش" الوسيطة، لذا فإن التحقق من المساواة غير ضروري من حيث المبدأ.
في مصادر المعلومات المختلفة، غالبًا ما تتم كتابة إحداثيات المتجهات الذاتية ليس في أعمدة، بل في صفوف، على سبيل المثال: 
(وبصراحة أنا نفسي معتاد على كتابتها في سطور). وهذا الخيار مقبول، ولكن في ضوء الموضوع التحولات الخطيةمن الناحية الفنية أكثر ملاءمة للاستخدام ناقلات العمود.
ربما بدا لك الحل طويلا جدا، لكن هذا فقط لأنني علقت على المثال الأول بتفصيل كبير.
مثال 2
المصفوفات
دعونا نتدرب بمفردنا! مثال تقريبي للمهمة النهائية في نهاية الدرس.
في بعض الأحيان عليك أن تفعل مهمة إضافيةوهي:
اكتب تحليل المصفوفة الكنسي
ما هذا؟
إذا كانت المتجهات الذاتية لشكل المصفوفة أساس، فيمكن تمثيلها على النحو التالي:
حيث تتكون المصفوفة من إحداثيات المتجهات الذاتية، - قطريمصفوفة مع القيم الذاتية المقابلة.
ويسمى هذا التحلل المصفوفة الكنسيأو قطري.
دعونا نلقي نظرة على مصفوفة المثال الأول. ناقلاتها الذاتية 
مستقلة خطيا(غير خطية) وتشكل الأساس. لنقم بإنشاء مصفوفة لإحداثياتها:
على قطري الرئيسيالمصفوفات بالترتيب المناسبتقع القيم الذاتية، والعناصر المتبقية تساوي الصفر:
- أؤكد مرة أخرى على أهمية الترتيب: "اثنان" يتوافق مع المتجه الأول وبالتالي يقع في العمود الأول، "ثلاثة" - يتوافق مع المتجه الثاني.
باستخدام الخوارزمية المعتادة لإيجاد مصفوفة معكوسةأو طريقة غاوس-جورداننجد 
. لا، هذا ليس خطأ مطبعي! - أمامك حدث نادر، مثل كسوف الشمس، عندما يتزامن العكس مع المصفوفة الأصلية.
يبقى أن نكتب التحلل القانوني للمصفوفة: 
يمكن حل النظام باستخدام التحويلات الأولية، وفي الأمثلة التالية سوف نلجأ إلى هذه الطريقة. ولكن هنا تعمل طريقة "المدرسة" بشكل أسرع بكثير. من المعادلة الثالثة نعبر عن : – نعوض في المعادلة الثانية : 
وبما أن الإحداثي الأول هو صفر، نحصل على نظام من كل معادلة يتبع ذلك.
ومرة أخرى انتبه إلى الوجود الإلزامي لعلاقة خطية. إذا تم الحصول على حل تافه فقط 
، فإما أنه تم العثور على القيمة الذاتية بشكل غير صحيح، أو أنه تم تجميع/حل النظام مع حدوث خطأ.
الإحداثيات المدمجة تعطي القيمة
المتجه الذاتي: 
ومرة أخرى، نتحقق من وجود الحل 
يرضي كل معادلة النظام. في الفقرات اللاحقة وفي المهام اللاحقة، أوصي بأخذ هذه الرغبة كقاعدة إلزامية.
2) بالنسبة للقيمة الذاتية وبنفس المبدأ نحصل على النظام التالي: 
من المعادلة الثانية للنظام نعبر عن: – نعوض في المعادلة الثالثة: 
وبما أن إحداثيات "زيتا" تساوي الصفر، فإننا نحصل على نظام من كل معادلة يتبعه اعتماد خطي.
يترك 
التحقق من أن الحل 
يرضي كل معادلة النظام.
وبالتالي فإن المتجه الذاتي هو : .
3) وأخيرًا، يتوافق النظام مع القيمة الذاتية: 
تبدو المعادلة الثانية هي الأبسط، فلنعبر عنها ونعوض بها في المعادلتين الأولى والثالثة:
كل شيء على ما يرام - ظهرت علاقة خطية نستبدلها في التعبير:
ونتيجة لذلك، تم التعبير عن "x" و"y" من خلال "z": . في الممارسة العملية، ليس من الضروري تحقيق مثل هذه العلاقات بدقة؛ في بعض الحالات يكون من الملائم أكثر التعبير عن كل من خلال أو من خلال. أو حتى "القطار" - على سبيل المثال، "X" إلى "I"، و"I" إلى "Z"
فلنضعها إذن:
نتحقق من العثور على الحل 
يرضي كل معادلة النظام ويكتب المتجه الذاتي الثالث
إجابة: المتجهات الذاتية: 
هندسيًا، تحدد هذه المتجهات ثلاثة اتجاهات مكانية مختلفة ("ذهابا وايابا")، وفقا لما التحول الخطييحول المتجهات غير الصفرية (المتجهات الذاتية) إلى متجهات خطية متداخلة.
وإذا كان الشرط يقتضي إيجاد التحلل القانوني، فهذا ممكن هنا، لأن تتوافق القيم الذاتية المختلفة مع المتجهات الذاتية المختلفة المستقلة خطيًا. صنع مصفوفة 
من إحداثياتهم مصفوفة قطرية 
من مناسبالقيم الذاتية وإيجادها مصفوفة معكوسة .
إذا، بشرط، تحتاج إلى الكتابة مصفوفة التحويل الخطي على أساس المتجهات الذاتيةثم نعطي الجواب في النموذج . هناك فرق، والفرق كبير!لأن هذه المصفوفة هي مصفوفة "دي".
مشكلة مع المزيد حسابات بسيطةل قرار مستقل:
مثال 5
أوجد المتجهات الذاتية للتحول الخطي المعطى بواسطة المصفوفة 
عند العثور على أرقامك الخاصة، حاول ألا تنتقل إلى متعددة الحدود من الدرجة الثالثة. بالإضافة إلى ذلك، قد تختلف حلول نظامك عن حلولي - ليس هناك يقين هنا؛ وقد تختلف المتجهات التي تجدها عن نماذج المتجهات حتى تناسب إحداثياتها. على سبيل المثال، و. من الممتع أكثر من الناحية الجمالية تقديم الإجابة في النموذج، لكن لا بأس إذا توقفت عند الخيار الثاني. ومع ذلك، هناك حدود معقولة لكل شيء؛ لم تعد النسخة تبدو جيدة جدًا.
نموذج نهائي تقريبي للمهمة في نهاية الدرس.
كيفية حل المشكلة في حالة القيم الذاتية المتعددة؟
تظل الخوارزمية العامة كما هي، ولكن لها خصائصها الخاصة، ومن المستحسن الاحتفاظ ببعض أجزاء الحل بأسلوب أكاديمي أكثر صرامة:
مثال 6
ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية 
حل
بالطبع، دعونا نستغل العمود الأول الرائع: 
وبعد تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:
ونتيجة لذلك، يتم الحصول على القيم الذاتية، اثنان منها مضاعفات.
دعونا نجد المتجهات الذاتية:
1) دعونا نتعامل مع الجندي المنفرد وفق مخطط “مبسط”:
من المعادلتين الأخيرتين، تكون المساواة واضحة للعيان، والتي من الواضح أنه ينبغي استبدالها بالمعادلة الأولى للنظام:
لن تجد مزيجًا أفضل:
المتجه الذاتي:
2-3) الآن نقوم بإزالة اثنين من الحراس. في هذه الحالة قد تتحول إما اثنان أو واحد eigenvector. وبغض النظر عن تعدد الجذور، فإننا نعوض بالقيمة في المحدد 
الذي يقودنا في اليوم التالي نظام متجانس من المعادلات الخطية:
المتجهات الذاتية هي بالضبط ناقلات
النظام الأساسي للحلول
في الواقع، طوال الدرس بأكمله، لم نفعل شيئًا سوى العثور على متجهات النظام الأساسي. إنه فقط في الوقت الحالي لم يكن هذا المصطلح مطلوبًا بشكل خاص. بالمناسبة هؤلاء الطلاب الأذكياء الذين فاتهم الموضوع ببدلات التمويه معادلات متجانسة، سوف تضطر إلى تدخينه الآن.
كان الإجراء الوحيد هو إزالة الخطوط الإضافية. والنتيجة هي مصفوفة واحدة في ثلاثة مع "خطوة" رسمية في المنتصف.
– المتغير الأساسي – المتغيرات الحرة . هناك نوعان من المتغيرات الحرة، لذلك هناك أيضًا متجهان للنظام الأساسي.
لنعبر عن المتغير الأساسي بدلالة المتغيرات الحرة : . يسمح عامل الصفر الموجود أمام "X" بأخذ أي قيم على الإطلاق (والتي يمكن رؤيتها بوضوح من نظام المعادلات).
في سياق هذه المشكلة، يكون الحل العام أكثر ملاءمة لكتابة الحل العام ليس على التوالي، ولكن في العمود:
يتوافق الزوج مع ناقل ذاتي:
الزوج يتوافق مع eigenvector:
ملحوظة
: يمكن للقراء المتمرسين اختيار هذه المتجهات شفهيًا - وذلك ببساطة عن طريق تحليل النظام 
ولكن هناك حاجة إلى بعض المعرفة هنا: هناك ثلاثة متغيرات، رتبة مصفوفة النظام- واحد يعني نظام القرار الأساسييتكون من 3 – 1 = 2 متجهين. ومع ذلك، فإن المتجهات التي تم العثور عليها مرئية بوضوح حتى بدون هذه المعرفة، على مستوى حدسي بحت. في هذه الحالة، سيتم كتابة المتجه الثالث بشكل أكثر "جمالاً": . ومع ذلك، أحذرك أنه في مثال آخر، قد لا يكون الاختيار البسيط ممكنًا، ولهذا السبب فإن البند مخصص للأشخاص ذوي الخبرة. بالإضافة إلى ذلك، لماذا لا نعتبر، على سبيل المثال، المتجه الثالث؟ بعد كل شيء، فإن إحداثياتها تلبي أيضًا كل معادلة النظام والمتجهات 
مستقلة خطيا. هذا الخيار مناسب من حيث المبدأ ولكنه "ملتوي" لأن المتجه "الآخر" عبارة عن مزيج خطي من متجهات النظام الأساسي.
إجابة: القيم الذاتية: ، المتجهات الذاتية: 
مثال مماثل لحل مستقل:
مثال 7
ابحث عن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية 
نموذج تقريبي للتصميم النهائي في نهاية الدرس.
تجدر الإشارة إلى أنه في كلا المثالين السادس والسابع تم الحصول على ثلاثية من المتجهات الذاتية المستقلة خطيًا، وبالتالي فإن المصفوفة الأصلية قابلة للتمثيل في التحلل القانوني. لكن مثل هذا التوت لا يحدث في جميع الحالات:
مثال 8
حل: لنقم بإنشاء وحل المعادلة المميزة: 
دعونا نوسع المحدد في العمود الأول: 
نقوم بإجراء مزيد من التبسيط وفقًا للطريقة المدروسة، مع تجنب متعددة الحدود من الدرجة الثالثة: 
- القيم الذاتية.
دعونا نجد المتجهات الذاتية:
1) لا توجد صعوبات مع الجذر: 
لا تتفاجأ، بالإضافة إلى المجموعة، هناك أيضًا متغيرات قيد الاستخدام - لا يوجد فرق هنا.
من المعادلة الثالثة نعبر عنها ونعوضها في المعادلتين الأولى والثانية: 
وينتج من المعادلتين:
دع إذن: 
2-3) للقيم المتعددة نحصل على النظام 
.
دعونا نكتب مصفوفة النظام، وباستخدام التحويلات الأولية، ننقلها إلى شكل تدريجي:
www.siteيسمح لك بالعثور على ملفات . يقوم الموقع بالحساب. في غضون ثوانٍ قليلة، سيقدم الخادم الحل الصحيح. المعادلة المميزة للمصفوفةسيكون تعبيرًا جبريًا تم العثور عليه باستخدام قاعدة حساب المحدد المصفوفات المصفوفاتبينما على طول القطر الرئيسي سيكون هناك اختلافات في قيم العناصر القطرية والمتغير. عند الحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت، كل عنصر المصفوفاتسيتم ضربها مع العناصر الأخرى المقابلة المصفوفات. البحث في الوضع متصلممكن فقط للمربع المصفوفات. عملية البحث المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيقلل من حساب المجموع الجبري لمنتج العناصر المصفوفاتنتيجة لإيجاد المحدد المصفوفات، فقط لغرض التحديد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. وتحتل هذه العملية مكانة خاصة في النظرية المصفوفات، يسمح لك بالعثور على القيم الذاتية والمتجهات باستخدام الجذور. مهمة العثور المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيتكون من عناصر مضاعفة المصفوفاتمتبوعًا بجمع هذه المنتجات وفقًا لقاعدة معينة. www.siteيجد المعادلة المميزة للمصفوفةالبعد المحدد في الوضع متصل. حساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتنظرا لبعدها، فهذا هو إيجاد كثيرة الحدود ذات معاملات عددية أو رمزية، وجدت وفقا لقاعدة حساب المحدد المصفوفات- كمجموع منتجات العناصر المقابلة المصفوفات، فقط لغرض التحديد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. العثور على كثيرة الحدود فيما يتعلق بمتغير للمعادلة التربيعية المصفوفات، كتعريف المعادلة المميزة للمصفوفة، شائع من الناحية النظرية المصفوفات. معنى جذور كثير الحدود المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتتستخدم لتحديد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية لـ المصفوفات. علاوة على ذلك، إذا كان المحدد المصفوفاتسيكون مساوياً للصفر، إذن المعادلة المميزة للمصفوفةسيظل موجودا، على عكس العكس المصفوفات. من أجل الحساب المعادلة المميزة للمصفوفةأو البحث عن عدة في وقت واحد مصفوفات المعادلات المميزة، تحتاج إلى قضاء الكثير من الوقت والجهد، بينما سيجد خادمنا ذلك في غضون ثوانٍ المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. في هذه الحالة الجواب على إيجاد المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتسوف تكون صحيحة وبدقة كافية، حتى لو كانت الأرقام عند العثور عليها المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتسيكون غير عقلاني. على الموقع www.siteيُسمح بإدخالات الأحرف في العناصر المصفوفات، إنه المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتيمكن تمثيلها بشكل رمزي عام عند الحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. من المفيد التحقق من الإجابة التي تم الحصول عليها عند حل مشكلة البحث المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنتباستخدام الموقع www.site. عند إجراء عملية حساب كثير الحدود - المعادلة المميزة للمصفوفة، عليك أن تكون حذرًا ومركزًا للغاية عند حل هذه المشكلة. بدوره، سيساعدك موقعنا على التحقق من قرارك بشأن الموضوع المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت. إذا لم يكن لديك الوقت لإجراء فحوصات طويلة للمشكلات التي تم حلها، إذن www.siteستكون بالتأكيد أداة ملائمة للتحقق عند البحث والحساب المعادلة المميزة للمصفوفة على الانترنت.
تعليمات
يُطلق على الرقم k قيمة ذاتية (رقم) للمصفوفة A إذا كان هناك متجه x بحيث يكون Ax=kx. (1) في هذه الحالة، يسمى المتجه x بالمتجه الذاتي للمصفوفة A، الموافق للرقم k. في الفضاء R^n (انظر الشكل 1)، يكون للمصفوفة A الشكل كما في الشكل.
من الضروري تحديد مهمة العثور على متجهات المصفوفة A. دع المتجه الذاتي x يُعطى بواسطة الإحداثيات. في شكل مصفوفة، سيتم كتابتها كمصفوفة عمود، والتي ينبغي تمثيلها كصف منقول للراحة. X=(x1,x2,…,xn)^T. بناءً على (1)، Ax-khx=0 أو Ax-kEx=0، حيث E هي مصفوفة الهوية (العناصر الموجودة على القطر الرئيسي، وجميع العناصر الأخرى هي أصفار ). ثم (A-kE)x=0. (2)
التعبير (2) للمعادلات الجبرية الخطية المتجانسة له حل غير صفري (متجه ذاتي). ولذلك فإن المحدد الرئيسي للنظام (2) يساوي الصفر، أي |A-kE|=0. (3) تسمى المساواة الأخيرة للقيمة الذاتية k بالمعادلة المميزة للمصفوفة A ولها الشكل الموسع (انظر الشكل 2).
استبدال الجذر k للمعادلة المميزة في النظام (2)، وهو نظام متجانس من المعادلات الخطية بمصفوفة فردية (محددها هو صفر). كل حل غير صفري لهذا النظام هو ناقل ذاتي للمصفوفة A يتوافق مع قيمة ذاتية معينة k (أي جذر المعادلة المميزة).
مثال. أوجد القيم الذاتية ومتجهات المصفوفة A (انظر الشكل 3). يتم عرض المعادلة المميزة في الشكل. 3. قم بتوسيع المحدد وابحث عن القيم الذاتية للمصفوفة، وهي المعادلة المعطاة (3-k)(-1-k)-5=0، (k-3)(k+1)-5=0 ، k^2-2k -8=0 جذورها هي k1=4، k2=-2
أ) تم العثور على المتجهات الذاتية المقابلة لـ k1=4 عن طريق حل النظام (A-4kE)x=0. في هذه الحالة، مطلوب معادلات واحدة فقط، حيث من الواضح أن محدد النظام يساوي الصفر. إذا وضعنا x=(x1, x2)^T، فإن المعادلة الأولى للنظام هي (1-4)x1+x2=0, -3x1+x2=0. إذا افترضنا أن x1=1 (ولكن ليس الصفر)، فإن x2=3. نظرًا لأن النظام المتجانس ذو المصفوفة المفردة يحتوي على العديد من الحلول غير الصفرية حسب الرغبة، فإن المجموعة الكاملة من المتجهات الذاتية المقابلة للقيمة الذاتية الأولى x =C1(1, 3), C1=const.
ب) أوجد المتجهات الذاتية المقابلة لـ k2=-2. عند حل النظام (A+2kE)x=0 فإن معادلته الأولى هي (3+2)x1+x2=0، 5x1+x2=0 إذا وضعنا x1=1، فإن x2=-5. المتجهات الذاتية المقابلة x =C2(1, 3), C2=const. المجموعة الإجمالية لجميع المتجهات الذاتية لمصفوفة معينة: x = C1(1, 3)+ C2(1, 3).
مصادر:
- بيسكونوف إن إس. حساب التفاضل والتكامل. م، 1976، - 576 ص.
- العثور على القيم الذاتية ومتجهات المصفوفة
تُستخدم المصفوفات، وهي شكل جدولي لتسجيل البيانات، على نطاق واسع عند العمل مع أنظمة المعادلات الخطية. علاوة على ذلك، فإن عدد المعادلات يحدد عدد صفوف المصفوفة، وعدد المتغيرات يحدد ترتيب أعمدتها. ونتيجة لذلك، يتم تقليل حل الأنظمة الخطية إلى العمليات على المصفوفات، وأحدها هو إيجاد القيم الذاتية للمصفوفة. يتم حسابها باستخدام المعادلة المميزة. يمكن تعريف القيم الذاتية لمصفوفة مربعة من الرتبة m.
تعليمات
اكتب مربعًا معينًا A. للعثور على قيمه الذاتية، استخدم المعادلة المميزة الناتجة عن شرط الحل غير البديهي لنظام متجانس خطي، ممثلًا في هذه الحالة بمصفوفة مربعة. كما يلي من كريمر، يوجد الحل فقط إذا كان محدده يساوي الصفر. وبذلك يمكننا كتابة المعادلة | أ - | = 0، حيث A هي القيمة المعطاة، α هي الأرقام المطلوبة، E هي مصفوفة الهوية التي تكون فيها جميع العناصر الموجودة على القطر الرئيسي تساوي واحدًا، والباقي يساوي صفرًا.
اضرب المتغير المطلوب lect بمصفوفة الهوية E التي لها نفس البعد الأصلي المعطى A. وستكون نتيجة العملية مصفوفة تقع فيها قيم lect على طول القطر الرئيسي، وتبقى العناصر المتبقية مساوية للصفر .
