نظرية النهايات هي أحد فروع التحليل الرياضي. إن مسألة حل النهايات واسعة جدًا، نظرًا لوجود العشرات من الطرق لحل النهايات أنواع مختلفة. هناك العشرات من الفروق الدقيقة والحيل التي تسمح لك بحل هذا الحد أو ذاك. ومع ذلك، سنظل نحاول فهم الأنواع الرئيسية من الحدود التي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
لنبدأ بمفهوم الحد ذاته. ولكن أولا واحدة قصيرة الخلفية التاريخية. عاش هناك رجل فرنسي، أوغسطين لويس كوشي، في القرن التاسع عشر، الذي أعطى تعريفات صارمة للعديد من مفاهيم المتان ووضع أسسها. ولا بد من القول إن عالم الرياضيات المحترم هذا كان وما زال وسيظل في كوابيس جميع طلاب أقسام الفيزياء والرياضيات، حيث أثبت عددا هائلا من نظريات التحليل الرياضي، وإحدى النظريات أكثر فتكاً من الأخرى. في هذا الصدد، لن ننظر بعد تحديد حد كوشيولكن دعونا نحاول القيام بأمرين:
1. افهم ما هو الحد.
2. تعلم كيفية حل الأنواع الرئيسية للحدود.
أعتذر عن بعض التفسيرات غير العلمية، فمن المهم أن تكون المادة مفهومة حتى لإبريق الشاي، وهي في الواقع مهمة المشروع.
إذن ما هو الحد؟
ومجرد مثال على سبب الجدة الأشعث ...
أي حد يتكون من ثلاثة أجزاء:
1) أيقونة الحد المعروفة.
2) الإدخالات تحت رمز الحد، في هذه الحالة. يقرأ الإدخال "X يميل إلى واحد". في أغلب الأحيان - بالضبط، على الرغم من وجود متغيرات أخرى بدلاً من "X" في الممارسة العملية. في المهام العملية، يمكن أن يكون مكان واحد على الإطلاق أي رقم، وكذلك اللانهاية ().
3) وظائف تحت علامة الحد، في هذه الحالة.
التسجيل نفسه 
يقرأ مثل هذا: "نهاية الدالة حيث أن x تميل إلى الوحدة."
دعونا نلقي نظرة على السؤال المهم التالي - ماذا يعني التعبير "x"؟ يسعىإلى واحد"؟ وماذا يعني "السعي" أصلاً؟
مفهوم الحد هو مفهوم، إذا جاز التعبير، متحرك. لنقم ببناء تسلسل: أولاً، ثم،، ...، 
, ….
أي أن التعبير "x". يسعىإلى واحد" يجب أن يُفهم على النحو التالي: "x" تأخذ القيم باستمرار التي تقترب من الوحدة بشكل لا نهائي وتتوافق معها عمليا.
كيفية حل المثال أعلاه؟ بناءً على ما سبق، كل ما عليك فعله هو استبدال واحد في الدالة الموجودة أسفل علامة الحد:
إذن القاعدة الأولى: عند إعطاء أي حد، نحاول أولاً توصيل الرقم بالدالة.
لقد تناولنا أبسط الحدود، ولكنها تحدث أيضًا في الممارسة العملية، وليس نادرًا!
مثال مع ما لا نهاية:
دعونا معرفة ما هو؟ وهذا هو الحال إذا زاد بلا حد، أي: أولاً، ثم، ثم، وهكذا إلى ما لا نهاية.
ماذا يحدث للوظيفة في هذا الوقت؟
, , 
, …
إذن: إذا، فإن الدالة تميل إلى سالب ما لا نهاية:
بشكل تقريبي، وفقًا لقاعدتنا الأولى، بدلًا من "X"، نستبدل اللانهاية في الدالة ونحصل على الإجابة.
مثال آخر مع اللانهاية:
مرة أخرى نبدأ في الزيادة إلى ما لا نهاية وننظر إلى سلوك الوظيفة: 
الاستنتاج: عندما تزيد الدالة بلا حدود:
وسلسلة أخرى من الأمثلة:
من فضلك حاول أن تحلل لنفسك الآتي ذهنيًا وتذكر أبسط أنواع الحدود:
, , , , 
, , , , 
,
إذا كانت لديك أي شكوك، يمكنك التقاط الآلة الحاسبة والتدرب عليها قليلًا.
في هذه الحالة، حاول بناء التسلسل،،. إذا , ثم , .
! ملحوظة: بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا النهج لبناء تسلسل من عدة أرقام غير صحيح، ولكن لفهم أبسط الأمثلة فهو مناسب تماما.
انتبه أيضًا إلى الشيء التالي. حتى لو تم إعطاء حد بعدد كبير في الأعلى، أو حتى بمليون:، فالأمر سواء 
، نظرًا لأن "X" عاجلاً أم آجلاً سيبدأ في اتخاذ مثل هذه القيم الهائلة بحيث يصبح المليون بالمقارنة ميكروبًا حقيقيًا.
ما الذي تحتاج إلى تذكره وفهمه مما سبق؟
1) عند إعطاء أي نهاية، نحاول أولاً استبدال الرقم في الدالة.
2) يجب عليك فهم أبسط الحدود وحلها على الفور، مثل 
. . . إلخ.
وعلاوة على ذلك، فإن الحد لديه جيد جدا معنى هندسي. لفهم الموضوع بشكل أفضل أنصحك بقراءته المواد المنهجية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. بعد قراءة هذه المقالة، لن تفهم أخيرًا ما هو الحد فحسب، بل ستتعرف أيضًا على حالات مثيرة للاهتمام عندما يكون حد الدالة بشكل عام غير موجود!
في الممارسة العملية، لسوء الحظ، هناك عدد قليل من الهدايا. ومن ثم ننتقل إلى النظر في النهايات الأكثر تعقيدًا. بالمناسبة، حول هذا الموضوع هناك دورة مكثفةبتنسيق pdf، وهو أمر مفيد بشكل خاص إذا كان لديك القليل من الوقت للتحضير. لكن مواد الموقع بالطبع ليست أسوأ:
سننظر الآن إلى مجموعة النهايات، والدالة عبارة عن كسر يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود
مثال:
حساب الحد 
وفقًا لقاعدتنا، سنحاول التعويض بما لا نهاية في الدالة. ماذا نحصل في الأعلى؟ إنفينيتي. وماذا يحدث أدناه؟ أيضا اللانهاية. وهكذا لدينا ما يسمى عدم اليقين الأنواع. قد يظن المرء ذلك، والإجابة جاهزة، ولكن في الحالة العامة هذا ليس هو الحال على الإطلاق، ومن الضروري تطبيق بعض تقنيات الحل، والتي سننظر فيها الآن.
كيفية حل الحدود من هذا النوع؟
أولاً ننظر إلى البسط ونجد القوة الأعلى: 
القوة الرائدة في البسط هي اثنان.
الآن ننظر إلى المقام ونجده أيضًا بأعلى قوة: 
أعلى درجة للمقام هي اثنان.
ثم نختار أعلى قوة للبسط والمقام: في هذا المثال، هما متساويان ويساويان اثنين.
لذلك، طريقة الحل هي كما يلي: من أجل الكشف عن عدم اليقين، من الضروري تقسيم البسط والمقام على أعلى قوة.
ها هو الجواب، وليس اللانهاية على الإطلاق.
ما هو المهم بشكل أساسي في تصميم القرار؟
أولا، نشير إلى عدم اليقين، إن وجد.
ثانيًا: يُنصح بمقاطعة الحل للتفسيرات الوسيطة. عادةً ما أستخدم العلامة، فهي ليس لها أي معنى رياضي، ولكنها تعني مقاطعة الحل لتفسير وسيط.
ثالثا، في الحد من المستحسن وضع علامة على ما يجري وأين. عندما يتم رسم العمل يدويًا، فمن الملائم القيام بذلك بهذه الطريقة: 
من الأفضل استخدام قلم رصاص بسيط لتدوين الملاحظات.
بالطبع، لا يتعين عليك القيام بأي من هذا، ولكن بعد ذلك، ربما سيشير المعلم إلى أوجه القصور في الحل أو يبدأ في طرح أسئلة إضافية حول المهمة. هل تحتاجها؟
مثال 2
العثور على الحد 
مرة أخرى في البسط والمقام نجد في أعلى درجة: 
الدرجة القصوى في البسط: 3
الحد الأقصى لدرجة المقام: 4
يختار أعظمالقيمة، في هذه الحالة أربعة.
وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا، للكشف عن عدم اليقين، نقسم البسط والمقام على .
قد تبدو المهمة الكاملة كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
مثال 3
العثور على الحد 
الحد الأقصى لدرجة "X" في البسط: 2
الحد الأقصى لدرجة "X" في المقام: 1 (يمكن كتابتها كـ)
للكشف عن عدم اليقين، فمن الضروري قسمة البسط والمقام على . قد يبدو الحل النهائي كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
التدوين لا يعني القسمة على صفر (لا يمكنك القسمة على صفر)، بل يعني القسمة على عدد متناهٍ في الصغر.
وهكذا، من خلال الكشف عن عدم اليقين بشأن الأنواع، قد نتمكن من ذلك الرقم النهائيأو صفر أو ما لا نهاية.
حدود عدم التأكد من نوعها وطريقة حلها
المجموعة التالية من النهايات تشبه إلى حد ما النهايات التي تناولناها للتو: يحتوي البسط والمقام على متعددات الحدود، ولكن "x" لم تعد تميل إلى اللانهاية، بل إلى عدد محدود.
مثال 4
حل الحد 
أولًا، دعونا نحاول التعويض بـ -1 في الكسر: 
في هذه الحالة يتم الحصول على ما يسمى بعدم اليقين.
القاعدة العامة : إذا كان البسط والمقام يحتويان على كثيرات الحدود، وهناك شك في الشكل، فيجب الكشف عنها تحتاج إلى تحليل البسط والمقام.
للقيام بذلك، غالبًا ما تحتاج إلى حل معادلة تربيعية و/أو استخدام صيغ الضرب المختصرة. إذا تم نسيان هذه الأشياء، قم بزيارة الصفحة الصيغ والجداول الرياضيةوقراءة المواد التعليمية الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية. بالمناسبة، من الأفضل طباعتها؛ فهي مطلوبة في كثير من الأحيان، ويتم امتصاص المعلومات بشكل أفضل من الورق.
إذن، دعونا نحل النهاية 
عامل البسط والمقام
من أجل تحليل البسط، عليك حل المعادلة التربيعية: 
أولا نجد التمييز:
والجذر التربيعي له : .
إذا كان المميز كبيراً، مثلاً 361، نستخدم الآلة الحاسبة؛ ووظيفة استخراج الجذر التربيعي تكون على أبسط آلة حاسبة.
! إذا لم يتم استخراج الجذر بالكامل (يتم الحصول على رقم كسري بفاصلة)، فمن المحتمل جدًا أنه تم حساب المميز بشكل غير صحيح أو كان هناك خطأ مطبعي في المهمة.
بعد ذلك نجد الجذور: 
هكذا:
الجميع. تم تحليل البسط.
القاسم. المقام هو بالفعل أبسط عامل، ولا توجد طريقة لتبسيطه.
ومن الواضح أنه يمكن اختصارها إلى:
الآن نعوض بـ -1 في التعبير الذي يبقى تحت علامة الحد:
بطبيعة الحال، في عمل اختباري، أثناء الاختبار أو الامتحان، لا يتم كتابة الحل أبدًا بمثل هذه التفاصيل. في النسخة النهائية، يجب أن يبدو التصميم كما يلي:
دعونا نحلل البسط. 
مثال 5
حساب الحد 
أولاً، النسخة "النهائية" من الحل
دعونا نحلل البسط والمقام.
البسط:
القاسم: 
, 
ما هو المهم في هذا المثال؟
أولاً، يجب أن يكون لديك فهم جيد لكيفية ظهور البسط، أولاً أخرجنا 2 من الأقواس، ثم استخدمنا صيغة الفرق بين المربعات. هذه هي الصيغة التي تحتاج إلى معرفتها ورؤيتها.
توصية: إذا كان من الممكن في أي حد (من أي نوع تقريبًا) إخراج رقم من الأقواس، فإننا نفعل ذلك دائمًا.
علاوة على ذلك، يُنصح بنقل هذه الأرقام إلى ما هو أبعد من رمز الحد. لماذا؟ نعم، فقط حتى لا يعيقوا الطريق. الشيء الرئيسي هو عدم فقدان هذه الأرقام لاحقًا أثناء الحل.
يرجى ملاحظة أنه على المرحلة النهائيةلقد اتخذت القرار بما يتجاوز علامة الحد كرقم اثنين، ثم كعلامة ناقص.
! مهم
أثناء الحل، يحدث جزء النوع في كثير من الأحيان. تقليل هذا الكسرإنه ممنوع
. تحتاج أولاً إلى تغيير إشارة البسط أو المقام (ضع -1 بين قوسين).
أي تظهر علامة الطرح التي تؤخذ في الاعتبار عند حساب الحد ولا داعي لفقدها على الإطلاق.
بشكل عام، لاحظت أنه في أغلب الأحيان، عند العثور على حدود من هذا النوع، يتعين عليك حل معادلتين من الدرجة الثانية، أي أن كلا من البسط والمقام يحتويان على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.
طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق
نواصل النظر في عدم اليقين في النموذج
النوع التالي من الحدود مشابه للنوع السابق. الشيء الوحيد، بالإضافة إلى كثيرات الحدود، سنضيف الجذور.
مثال 6
العثور على الحد 
لنبدأ في اتخاذ القرار.
نحاول أولًا التعويض بالرقم 3 في التعبير الموجود أسفل علامة الحد
أكرر مرة أخرى - هذا هو أول شيء عليك القيام به لأي حد. عادة ما يتم تنفيذ هذا الإجراء عقليًا أو في شكل مسودة.
تم الحصول على عدم اليقين في النموذج الذي يجب إزالته. 
كما لاحظت على الأرجح، يحتوي البسط على الفرق بين الجذور. ومن المعتاد في الرياضيات التخلص من الجذور إن أمكن. لماذا؟ والحياة أسهل بدونهم.
أولاً حد ملحوظتسمى المساواة التالية :
\begin(المعادلة)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(المعادلة)
نظرًا لأن $\alpha\to(0)$ لدينا $\sin\alpha\to(0)$، فإنهم يقولون إن الحد الأول الملحوظ يكشف عن عدم اليقين في النموذج $\frac(0)(0)$. بشكل عام، في الصيغة (1)، بدلاً من المتغير $\alpha$، يمكن وضع أي تعبير تحت علامة الجيب وفي المقام، طالما تم استيفاء شرطين:
- تميل التعبيرات تحت علامة الجيب وفي المقام في نفس الوقت إلى الصفر، أي. هناك عدم يقين في النموذج $\frac(0)(0)$.
- التعبيرات الموجودة تحت علامة الجيب والمقام هي نفسها.
غالبًا ما يتم أيضًا استخدام النتائج الطبيعية من الحد الملحوظ الأول:
\begin(المعادلة) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(المعادلة) \begin(المعادلة) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(معادلة) \begin(معادلة) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \النهاية(المعادلة)
تم حل أحد عشر مثالاً في هذه الصفحة. المثال رقم 1 مخصص لإثبات الصيغ (2)-(4). تحتوي الأمثلة رقم 2 ورقم 3 ورقم 4 ورقم 5 على حلول مع تعليقات مفصلة. تحتوي الأمثلة رقم 6-10 على حلول بدون أي تعليقات تقريبًا، لأنه تم تقديم شرح تفصيلي في الأمثلة السابقة. يستخدم الحل بعض الصيغ المثلثيةالتي يمكن العثور عليها.
وألاحظ أن الحضور الدوال المثلثيةمقترنًا بعدم اليقين $\frac (0) (0)$ لا يعني بعد التطبيق الإلزامي للحد الملحوظ الأول. في بعض الأحيان تكون التحويلات المثلثية البسيطة كافية - على سبيل المثال، انظر.
المثال رقم 1
أثبت أن $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
أ) بما أن $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$، إذن:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
بما أن $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ و $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ ، الذي - التي:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
ب) لنجري التغيير $\alpha=\sin(y)$. بما أن $\sin(0)=0$، فمن الشرط $\alpha\to(0)$ لدينا $y\to(0)$. بالإضافة إلى ذلك، هناك حي صفر فيه $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$، لذا:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
تم إثبات المساواة $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$.
ج) لنقم بالاستبدال $\alpha=\tg(y)$. بما أن $\tg(0)=0$، فإن الشرطين $\alpha\to(0)$ و$y\to(0)$ متكافئان. بالإضافة إلى ذلك، هناك حي صفري يكون فيه $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$، وبالتالي، بناءً على نتائج النقطة أ)، سيكون لدينا:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
تم إثبات المساواة $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
غالبًا ما تستخدم المساواة أ)، ب)، ج) مع الحد الملحوظ الأول.
المثال رقم 2
احسب النهاية $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (س+7))$.
بما أن $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ و$\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$، أي ويميل كل من بسط ومقام الكسر في نفس الوقت إلى الصفر، إذن نحن هنا نتعامل مع حالة عدم يقين من الشكل $\frac(0)(0)$، أي. منتهي. بالإضافة إلى ذلك، من الواضح أن التعبيرات تحت علامة الجيب وفي المقام متطابقة (أي راضية):
وبذلك يكون قد تم استيفاء كلا الشرطين المذكورين في بداية الصفحة. ويترتب على ذلك أن الصيغة قابلة للتطبيق، أي. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.
إجابة: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
المثال رقم 3
ابحث عن $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
بما أن $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ و$\lim_(x\to(0))x=0$، فإننا نتعامل مع عدم اليقين من الصيغة $\frac (0 )(0)$، أي منتهي. ومع ذلك، فإن التعبيرات تحت علامة الجيب وفي المقام لا تتطابق. هنا تحتاج إلى ضبط التعبير في المقام إلى النموذج المطلوب. نحن بحاجة إلى أن يكون التعبير $9x$ في المقام، ثم يصبح صحيحًا. في الأساس، نحن نفتقد عامل 9$ في المقام، وهو أمر ليس من الصعب إدخاله — فقط اضرب التعبير الموجود في المقام بـ 9$. بطبيعة الحال، للتعويض عن الضرب في $9$، سيتعين عليك القسمة فورًا على $9$:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin) (9x))(9x)$$
الآن تتطابق التعبيرات الموجودة في المقام وتحت علامة الجيب. تم استيفاء كلا الشرطين للحد $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$. ولذلك، $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. وهذا يعني أن:
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
المثال رقم 4
ابحث عن $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
بما أن $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ و $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$، فإننا هنا نتعامل مع عدم اليقين في النموذج $\فارك(0)(0)$. ومع ذلك، يتم انتهاك شكل الحد الملحوظ الأول. البسط الذي يحتوي على $\sin(5x)$ يتطلب مقامًا قدره $5x$. أسهل طريقة في هذه الحالة هي قسمة البسط على $5x$، وضربه فورًا في $5x$. بالإضافة إلى ذلك، سنجري عملية مماثلة مع المقام، بضرب وقسمة $\tg(8x)$ على $8x$:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
بالتبسيط بمقدار $x$ وأخذ الثابت $\frac(5)(8)$ خارج علامة الحد، نحصل على:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
لاحظ أن $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ يلبي تمامًا متطلبات الحد الملحوظ الأول. للعثور على $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ تنطبق الصيغة التالية:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
المثال رقم 5
ابحث عن $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
بما أن $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (تذكر أن $\cos(0)=1$) و$\ lim_(x\to(0))x^2=0$، فإننا نتعامل مع عدم اليقين في النموذج $\frac(0)(0)$. ومع ذلك، من أجل تطبيق الحد الملحوظ الأول، يجب عليك التخلص من جيب التمام في البسط، والانتقال إلى الجيوب (من أجل تطبيق الصيغة بعد ذلك) أو الظلال (من أجل تطبيق الصيغة بعد ذلك). ويمكن القيام بذلك عن طريق التحويل التالي:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\يمين)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
لنعد إلى الحد:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\يمين) $$
الكسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ قريب بالفعل من الشكل المطلوب للحد الملحوظ الأول. دعونا نتعامل قليلاً مع الكسر $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$، ونضبطه على الحد الأول الملحوظ (لاحظ أن التعبيرات الموجودة في البسط وتحت جيب الجيب يجب أن تتطابق):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ فارك(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\يمين)^2$$
دعنا نعود إلى الحد قيد النظر:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
المثال رقم 6
أوجد النهاية $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
بما أن $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ و $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$، إذن نحن نتعامل مع عدم اليقين $\frac(0)(0)$. دعونا نكشف عنها بمساعدة الحد الأول الرائع. للقيام بذلك، دعونا ننتقل من جيب التمام إلى الجيوب. بما أن $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$، إذن:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
وبالتمرير إلى الجيوب في الحد المعطى، سيكون لدينا:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ فارك(\sin(3x))(3x)\يمين)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\يمين)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
المثال رقم 7
احسب الحد $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ يخضع لـ $\alpha\neq \ بيتا$.
تم تقديم تفسيرات تفصيلية سابقًا، ولكن هنا نلاحظ ببساطة أنه هناك عدم يقين مرة أخرى $\frac(0)(0)$. دعنا ننتقل من جيب التمام إلى جيب التمام باستخدام الصيغة
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
باستخدام هذه الصيغة نحصل على:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\يمين| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ بيتا(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\يمين)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ الخطيئة\اليسار(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ ألفا ^ 2)(2)$.
المثال رقم 8
أوجد النهاية $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
بما أن $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (تذكر أن $\sin(0)=\tg(0)=0$) و$\ lim_(x\to(0))x^3=0$، فنحن هنا نتعامل مع عدم اليقين في النموذج $\frac(0)(0)$. دعونا نقسمها على النحو التالي:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\يمين)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\فارك(1)(2). $$
إجابة: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
المثال رقم 9
أوجد النهاية $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
بما أن $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ و $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$، إذن هناك حالة عدم يقين من الصيغة $\frac(0)(0)$. قبل الشروع في توسيعه، من المناسب إجراء تغيير للمتغير بحيث يميل المتغير الجديد إلى الصفر (لاحظ أنه في الصيغ المتغير $\alpha \to 0$). أسهل طريقة هي تقديم المتغير $t=x-3$. ومع ذلك، من أجل تسهيل إجراء المزيد من التحويلات (يمكن رؤية هذه الميزة في سياق الحل أدناه)، فمن المفيد إجراء الاستبدال التالي: $t=\frac(x-3)(2)$. ألاحظ أن كلا البديلين قابلان للتطبيق في هذه الحالة، لكن البديل الثاني سيسمح لك بالعمل بشكل أقل مع الكسور. منذ $x\to(3)$، ثم $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\يمين| =\left|\begin(محاذاة)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ إلى(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
إجابة: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
المثال رقم 10
أوجد النهاية $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.
مرة أخرى نحن نتعامل مع عدم اليقين $\frac(0)(0)$. قبل الشروع في توسيعه، من المناسب إجراء تغيير للمتغير بحيث يميل المتغير الجديد إلى الصفر (لاحظ أن المتغير في الصيغ هو $\alpha\to(0)$). أسهل طريقة هي تقديم المتغير $t=\frac(\pi)(2)-x$. منذ $x\to\frac(\pi)(2)$، ثم $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(محاذاة)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(محاذاة)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ فارك(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\فارك(1)(2). $$
إجابة: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\فارك(1)(2)$.
المثال رقم 11
أوجد النهايات $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ بي)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
في هذه الحالة ليس علينا استخدام الحد الرائع الأول. يرجى ملاحظة أن الحدين الأول والثاني يحتويان فقط على دوال وأرقام مثلثية. في كثير من الأحيان، في أمثلة من هذا النوع، من الممكن تبسيط التعبير الموجود تحت علامة الحد. علاوة على ذلك، بعد التبسيط المذكور وتقليل بعض العوامل، يختفي عدم اليقين. لقد أعطيت هذا المثال لغرض واحد فقط: لتوضيح أن وجود الدوال المثلثية تحت علامة النهاية لا يعني بالضرورة استخدام النهاية الملحوظة الأولى.
بما أن $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (تذكر أن $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) و $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (دعني أذكرك بأن $\cos\frac(\pi)(2)=0$)، فلدينا التعامل مع عدم اليقين من النموذج $\frac(0)(0)$. ومع ذلك، هذا لا يعني أننا سنحتاج إلى استخدام الحد الرائع الأول. للكشف عن عدم اليقين، يكفي أن نأخذ في الاعتبار أن $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
ويوجد حل مشابه في كتاب حلول ديميدوفيتش (رقم 475). أما الحد الثاني، فكما في الأمثلة السابقة في هذا القسم، لدينا حالة عدم يقين على الشكل $\frac(0)(0)$. لماذا تنشأ؟ ينشأ بسبب $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ و$2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. نستخدم هذه القيم لتحويل التعبيرات في البسط والمقام. الهدف من أفعالنا هو كتابة المجموع في البسط والمقام كمنتج. بالمناسبة، غالبًا ما يكون من المناسب تغيير متغير داخل نوع مماثل، بحيث يميل المتغير الجديد إلى الصفر (انظر، على سبيل المثال، الأمثلة رقم 9 أو رقم 10 في هذه الصفحة). ومع ذلك، في هذا المثال ليس هناك فائدة من الاستبدال، على الرغم من أنه إذا رغبت في ذلك، فإن استبدال المتغير $t=x-\frac(2\pi)(3)$ ليس من الصعب تنفيذه.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ إلى\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\يمين )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ خطيئة\فارك(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac) (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) )(2))(-4\الخطيئة\فارك(x+\frac(2\pi)(3))(2)\الخطيئة\فارك(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 )=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\يمين)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
كما ترون، لم يكن علينا تطبيق الحد الرائع الأول. بالطبع، يمكنك القيام بذلك إذا أردت (انظر الملاحظة أدناه)، لكن ذلك ليس ضروريًا.
ما هو الحل باستخدام الحد الملحوظ الأول؟ إظهار\إخفاء
وباستخدام الحد الملحوظ الأول نحصل على:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ يمين))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
إجابة: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
نظرية النهايات هي أحد فروع التحليل الرياضي. إن مسألة حل النهايات واسعة جدًا، نظرًا لوجود العشرات من الطرق لحل النهايات بمختلف أنواعها. هناك العشرات من الفروق الدقيقة والحيل التي تسمح لك بحل هذا الحد أو ذاك. ومع ذلك، سنظل نحاول فهم الأنواع الرئيسية من الحدود التي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
لنبدأ بمفهوم الحد ذاته. لكن أولاً، خلفية تاريخية مختصرة. عاش في القرن التاسع عشر رجل فرنسي، أوغسطين لويس كوشي، الذي وضع أسس التحليل الرياضي وأعطى تعريفات صارمة، وتحديدًا تعريف النهاية. ولا بد من القول إن كوشي نفسه كان وما زال وسيظل في كوابيس جميع طلاب أقسام الفيزياء والرياضيات، إذ أثبت عددا هائلا من نظريات التحليل الرياضي، وكل نظرية مقززة أكثر من الأخرى. وفي هذا الصدد، لن نتناول تعريفًا صارمًا للحد، ولكننا سنحاول القيام بأمرين:
1. افهم ما هو الحد.
2. تعلم كيفية حل الأنواع الرئيسية للحدود.
أعتذر عن بعض التفسيرات غير العلمية، فمن المهم أن تكون المادة مفهومة حتى لإبريق الشاي، وهي في الواقع مهمة المشروع.
إذن ما هو الحد؟
ومجرد مثال على سبب الجدة الأشعث ...
أي حد يتكون من ثلاثة أجزاء:
1) أيقونة الحد المعروفة.
2) الإدخالات تحت رمز الحد، في هذه الحالة. يقرأ الإدخال "X يميل إلى واحد". في أغلب الأحيان - بالضبط، على الرغم من وجود متغيرات أخرى بدلاً من "X" في الممارسة العملية. في المهام العملية، يمكن أن يكون مكان واحد على الإطلاق أي رقم، وكذلك اللانهاية ().
3) وظائف تحت علامة الحد، في هذه الحالة.
يُقرأ الإدخال نفسه على النحو التالي: "حد الدالة حيث أن x يميل إلى الوحدة."
دعونا نلقي نظرة على السؤال المهم التالي - ماذا يعني التعبير "x"؟ يسعىإلى واحد"؟ وماذا يعني "السعي" أصلاً؟
مفهوم الحد هو مفهوم، إذا جاز التعبير، متحرك. لنقم ببناء تسلسل: أولاً، ثم،، ...، 
, ….
أي أن التعبير "x". يسعىإلى واحد" يجب أن يُفهم على النحو التالي: "x" تأخذ القيم باستمرار التي تقترب من الوحدة بشكل لا نهائي وتتوافق معها عمليا.
كيفية حل المثال أعلاه؟ بناءً على ما سبق، كل ما عليك فعله هو استبدال واحد في الدالة الموجودة أسفل علامة الحد:
إذن القاعدة الأولى: عند إعطاء أي حد، نحاول أولاً توصيل الرقم بالدالة.
لقد تناولنا أبسط الحدود، ولكنها تحدث أيضًا في الممارسة العملية، وليس نادرًا!
مثال مع ما لا نهاية:
دعونا معرفة ما هو؟ وهذا هو الحال إذا زاد بلا حد، أي: أولاً، ثم، ثم، وهكذا إلى ما لا نهاية.
ماذا يحدث للوظيفة في هذا الوقت؟
, , 
, …
إذن: إذا، فإن الدالة تميل إلى سالب ما لا نهاية:
بشكل تقريبي، وفقًا لقاعدتنا الأولى، بدلًا من "X"، نستبدل اللانهاية في الدالة ونحصل على الإجابة.
مثال آخر مع اللانهاية:
مرة أخرى نبدأ في الزيادة إلى ما لا نهاية، وننظر إلى سلوك الوظيفة: 
الاستنتاج: عندما تزيد الدالة بلا حدود:
وسلسلة أخرى من الأمثلة:
من فضلك حاول أن تحلل لنفسك الآتي ذهنيًا وتذكر أبسط أنواع الحدود:
, , , , 
, , , , 
,
إذا كانت لديك أي شكوك، يمكنك التقاط الآلة الحاسبة والتدرب عليها قليلًا.
في هذه الحالة، حاول بناء التسلسل،،. إذا , ثم , .
ملاحظة: بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا النهج لبناء تسلسل من عدة أرقام غير صحيح، ولكن لفهم أبسط الأمثلة فهو مناسب تماما.
انتبه أيضًا إلى الشيء التالي. حتى لو تم إعطاء حد بعدد كبير في الأعلى، أو حتى بمليون:، فالأمر سواء 
، نظرًا لأن "X" عاجلاً أم آجلاً سوف يأخذ مثل هذه القيم الهائلة بحيث يصبح مليون مقارنة بها ميكروبًا حقيقيًا.
ما الذي تحتاج إلى تذكره وفهمه مما سبق؟
1) عند إعطاء أي نهاية، نحاول أولاً استبدال الرقم في الدالة.
2) يجب عليك فهم أبسط الحدود وحلها فورًا، مثل، و، وما إلى ذلك.
سننظر الآن إلى مجموعة النهايات، والدالة عبارة عن كسر يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود
مثال:
حساب الحد
وفقًا لقاعدتنا، سنحاول التعويض بما لا نهاية في الدالة. ماذا نحصل في الأعلى؟ إنفينيتي. وماذا يحدث أدناه؟ أيضا اللانهاية. وهكذا لدينا ما يسمى عدم اليقين الأنواع. قد يظن المرء ذلك، والإجابة جاهزة، ولكن في الحالة العامة هذا ليس هو الحال على الإطلاق، ومن الضروري تطبيق بعض تقنيات الحل، والتي سننظر فيها الآن.
كيفية حل الحدود من هذا النوع؟
أولاً ننظر إلى البسط ونجد القوة الأعلى: 
القوة الرائدة في البسط هي اثنان.
الآن ننظر إلى المقام ونجده أيضًا بأعلى قوة:
أعلى درجة للمقام هي اثنان.
ثم نختار أعلى قوة للبسط والمقام: في هذا المثال، هما متساويان ويساويان اثنين.
لذلك، طريقة الحل هي كما يلي: من أجل الكشف عن عدم اليقين، من الضروري تقسيم البسط والمقام على أعلى قوة.
ها هو الجواب، وليس اللانهاية على الإطلاق.
ما هو المهم بشكل أساسي في تصميم القرار؟
أولا، نشير إلى عدم اليقين، إن وجد.
ثانيًا: يُنصح بمقاطعة الحل للتفسيرات الوسيطة. عادةً ما أستخدم العلامة، فهي ليس لها أي معنى رياضي، ولكنها تعني مقاطعة الحل لتفسير وسيط.
ثالثا، في الحد من المستحسن وضع علامة على ما يجري وأين. عندما يتم رسم العمل يدويًا، فمن الملائم القيام بذلك بهذه الطريقة: 
من الأفضل استخدام قلم رصاص بسيط لتدوين الملاحظات.
بالطبع، لا يتعين عليك القيام بأي من هذا، ولكن بعد ذلك، ربما سيشير المعلم إلى أوجه القصور في الحل أو يبدأ في طرح أسئلة إضافية حول المهمة. هل تحتاجها؟
مثال 2
العثور على الحد 
مرة أخرى في البسط والمقام نجد في أعلى درجة: 
الدرجة القصوى في البسط: 3
الحد الأقصى لدرجة المقام: 4
يختار أعظمالقيمة، في هذه الحالة أربعة.
وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا، للكشف عن عدم اليقين، نقسم البسط والمقام على .
قد تبدو المهمة الكاملة كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
مثال 3
العثور على الحد 
الحد الأقصى لدرجة "X" في البسط: 2
الحد الأقصى لدرجة "X" في المقام: 1 (يمكن كتابتها كـ)
للكشف عن عدم اليقين، فمن الضروري قسمة البسط والمقام على . قد يبدو الحل النهائي كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
التدوين لا يعني القسمة على صفر (لا يمكنك القسمة على صفر)، بل يعني القسمة على عدد متناهٍ في الصغر.
وهكذا، من خلال الكشف عن عدم اليقين بشأن الأنواع، قد نتمكن من ذلك الرقم النهائيأو صفر أو ما لا نهاية.
حدود عدم التأكد من نوعها وطريقة حلها
المجموعة التالية من النهايات تشبه إلى حد ما النهايات التي تناولناها للتو: يحتوي البسط والمقام على متعددات الحدود، ولكن "x" لم تعد تميل إلى اللانهاية، بل إلى عدد محدود.
مثال 4
حل الحد 
أولًا، دعونا نحاول التعويض بـ -1 في الكسر: 
في هذه الحالة يتم الحصول على ما يسمى بعدم اليقين.
القاعدة العامة: إذا كان البسط والمقام يحتويان على كثيرات الحدود، وهناك شك في الشكل، فيجب الكشف عنها تحتاج إلى تحليل البسط والمقام.
للقيام بذلك، غالبًا ما تحتاج إلى حل معادلة تربيعية و/أو استخدام صيغ الضرب المختصرة. إذا تم نسيان هذه الأشياء، قم بزيارة الصفحة الصيغ والجداول الرياضيةوقراءة المواد التعليمية الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية. بالمناسبة، من الأفضل طباعتها؛ فهي مطلوبة في كثير من الأحيان، ويتم امتصاص المعلومات بشكل أفضل من الورق.
إذن، دعونا نحل النهاية 
عامل البسط والمقام
من أجل تحليل البسط، عليك حل المعادلة التربيعية: 
أولا نجد التمييز:
والجذر التربيعي له : .
إذا كان المميز كبيراً، مثلاً 361، نستخدم الآلة الحاسبة؛ ووظيفة استخراج الجذر التربيعي تكون على أبسط آلة حاسبة.
! إذا لم يتم استخراج الجذر بالكامل (يتم الحصول على رقم كسري بفاصلة)، فمن المحتمل جدًا أنه تم حساب المميز بشكل غير صحيح أو كان هناك خطأ مطبعي في المهمة.
بعد ذلك نجد الجذور: 
هكذا:
الجميع. تم تحليل البسط.
القاسم. المقام هو بالفعل أبسط عامل، ولا توجد طريقة لتبسيطه.
ومن الواضح أنه يمكن اختصارها إلى:
الآن نعوض بـ -1 في التعبير الذي يبقى تحت علامة الحد:
وبطبيعة الحال، في الاختبار أو الاختبار أو الامتحان، لا يتم وصف الحل أبدًا بمثل هذه التفاصيل. في النسخة النهائية، يجب أن يبدو التصميم كما يلي:
دعونا نحلل البسط. 
مثال 5
حساب الحد
أولاً، النسخة "النهائية" من الحل
دعونا نحلل البسط والمقام.
البسط:
القاسم: 
,
ما هو المهم في هذا المثال؟
أولاً، يجب أن يكون لديك فهم جيد لكيفية ظهور البسط، أولاً أخرجنا 2 من الأقواس، ثم استخدمنا صيغة الفرق بين المربعات. هذه هي الصيغة التي تحتاج إلى معرفتها ورؤيتها.
وظيفةص = و (خ)هو قانون (قاعدة) بموجبه يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y.
العنصر س ∈ سمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
العنصر ذ ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.
تسمى المجموعة X مجال الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، والتي تحتوي على صور أولية في المجموعة X، تسمى منطقة أو مجموعة من قيم الوظيفة.
يتم استدعاء الوظيفة الفعلية محدود من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M بحيث ينطبق عدم المساواة على الجميع:
.
يتم استدعاء وظيفة الرقم محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.
الحافة العلويةأو الحد الأعلى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية أصغر رقم يحد نطاق قيمه من الأعلى. وهذا يعني أن هذا رقم s، بالنسبة للجميع ولأي شخص، هناك وسيطة تتجاوز قيمة دالتها s′: .
يمكن الإشارة إلى الحد الأعلى للدالة على النحو التالي:
.
على التوالى الحافة السفليةأو الحد الأدنى الدقيقتسمى الوظيفة الحقيقية بالرقم الأكبر الذي يحد نطاق قيمه من الأسفل. وهذا يعني أن هذا هو الرقم i الذي يوجد له وسيطة لكل شخص ولأي شخص تكون قيمة دالته أقل من i': .
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.
تحديد نهاية الوظيفة
تحديد نهاية الدالة حسب كوشي
الحدود المحدودة للوظيفة عند نقاط النهاية
دع الدالة يتم تعريفها في بعض المناطق المجاورة لنقطة النهاية، مع احتمال استثناء النقطة نفسها.
.
عند نقطة ما، إذا كان هناك شيء من هذا القبيل، اعتمادًا على، فإنه بالنسبة لجميع x، فإن عدم المساواة يحمل
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:
أو عند .
.
باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف نهاية الدالة على النحو التالي:
حدود من جانب واحد.
.
الحد الأيسر عند نقطة ما (الحد الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة ما (الحد الأيمن):
;
.
غالبًا ما يُشار إلى الحدود اليسرى واليمنى على النحو التالي:
الحدود المحدودة للدالة عند نقاط اللانهاية
.
.
.
يتم تحديد الحدود عند نقاط اللانهاية بطريقة مماثلة.
;
;
.
وغالبا ما يشار إليهم على النحو التالي:
استخدام مفهوم حي النقطة
.
إذا قدمنا مفهوم الحي المثقوب لنقطة ما، فيمكننا إعطاء تعريف موحد للحد المحدود للدالة عند نقاط محدودة وبعيدة بشكل لا نهائي:
;
;
.
هنا لنقاط النهاية
;
;
.
يتم ثقب أي حي من النقاط عند اللانهاية:
حدود الوظيفة اللانهائية
تعريف دع الوظيفة يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة لنقطة ما (محدودة أو لا نهاية لها). (خ)حد الوظيفة f 0
مثل س → سيساوي اللانهاية ، إذا كان لأي شخص، بشكل تعسفيعدد كبير > 0
م > 0
، هناك رقم δ M
.
، اعتمادًا على M، أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب δ M - للنقطة: فإن عدم المساواة التالي يحمل:
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:
ويشار إلى الحد اللانهائي على النحو التالي:
.
يمكنك أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و :
.
.
التعريف العالمي لحد الوظيفة
باستخدام مفهوم جوار نقطة ما، يمكننا تقديم تعريف عالمي للحد المحدود وغير المحدود للدالة، والذي ينطبق على كل من النقاط المحدودة (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) والنقاط البعيدة بلا حدود:
.
تحديد نهاية الدالة حسب هاينه
دع الوظيفة يتم تعريفها على بعض المجموعة X:.
الرقم a يسمى حد الدالةعند النقطة:
,
إذا كان لأي تسلسل يتقارب إلى x 0
:
,
التي تنتمي عناصرها إلى المجموعة X : ,
.
ولنكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.
إذا أخذنا الحي الأيسر للنقطة x كمجموعة X 0 ، ثم نحصل على تعريف الحد الأيسر. وإذا كانت أيمنًا، فسنحصل على تعريف النهاية اليمنى. إذا أخذنا جوار نقطة ما عند اللانهاية كمجموعة X، فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عند اللانهاية.
نظرية
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة متكافئة.
دليل
خصائص ونظريات نهاية الوظيفة
علاوة على ذلك، نفترض أن الدوال قيد النظر محددة في الحي المقابل للنقطة، وهو عدد منتهٍ أو أحد الرموز: .
ويمكن أيضًا أن تكون نقطة حد أحادية الجانب، أي أن يكون لها النموذج أو .
والمجاورة ذات طرفين لحد من جانبين، وجانب واحد لحد من جانب واحد. (خ)الخصائص الأساسية إذا كانت قيم الدالة fتغيير (أو جعل غير محدد) عدد محدود من النقاط x 0 .
1، × 2، × 3، ... × ن 0
فإن هذا التغيير لن يؤثر على وجود وقيمة نهاية الدالة عند نقطة عشوائية x (خ)إذا كان هناك نهاية منتهية، فهناك حي مثقوب للنقطة x
.
، حيث تكون الدالة f 0
محدود:
.
دع الدالة تكون عند النقطة x 0
الحد المحدود غير الصفري:
ثم، بالنسبة لأي رقم c من الفاصل الزمني، يوجد حي مثقوب للنقطة x
لماذا،
، لو ؛
، لو . 0
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
الذي - التي .
,
إذا , وعلى بعض أحياء هذه النقطة
على وجه الخصوص، إذا كان في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما
ثم إذا، ثم و؛ 0
:
,
إذا ، ثم و .
إذا كان على بعض الحي المثقوب للنقطة x
.
وهناك حدود متساوية محدودة (أو لا نهائية لعلامة معينة):
، الذي - التي
يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية على الصفحة
دع الوظائف يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة من النقطة.
وليكن هناك حدود محدودة:
و .
;
;
;
لماذا،
وليكن C ثابتًا، أي رقمًا محددًا. ثم
إذا، ثم.
يتم تقديم البراهين على الخصائص الحسابية على الصفحة
“الخصائص الحسابية لحدود الدالة”.
نظرية
معيار كوشي لوجود نهاية الدالة 0
من أجل تحديد دالة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة محدودة أو عند نقطة اللانهاية x > 0
، كان لها حد محدود في هذه المرحلة، فمن الضروري والكافي لأي ε 0
كان هناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x
.
، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي، فإن التباين التالي يحمل:
حدود وظيفة معقدة
نظرية نهاية دالة معقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين حي مثقوب لنقطة ما على حي مثقوب لنقطة ما.
ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
.
وهنا النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: .
.
يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:
يتم تطبيق نظرية النهاية لدالة معقدة عندما لا تكون الدالة معرفة عند نقطة ما أو تكون لها قيمة مختلفة عن النهاية.
لتطبيق هذه النظرية يجب أن يكون هناك حي مثقوب للنقطة التي لا تحتوي فيها مجموعة قيم الدالة على النقطة: إذا كانت الدالة متصلة عند النقطة، فيمكن تطبيق علامة النهاية على وسيطة الدالة المستمرة:وفيما يلي نظرية المقابلة لهذه الحالة. 0
نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة 0
:
.
يجب أن يكون هناك حد للدالة g 0
(ر)
كما ر → ر (خ)، وهو يساوي x 0
.
هنا النقطة ر يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: .ودع الدالة f مستمر عند النقطة x:
.
ثم هناك حد للوظيفة المعقدة f
(ز (ر))
، وهو يساوي f
(×0)
حدود الوظيفة اللانهائية
يتم تقديم البراهين على النظريات على الصفحة
.
“الحد واستمرارية وظيفة معقدة”.وظائف متناهية الصغر وكبيرة بلا حدود
وظائف متناهية الصغريقال أن الدالة متناهية الصغر إذا
المجموع والفرق والمنتج
,
من عدد محدود من الوظائف متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في . منتج دالة محدودةعلى بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في.
لكي يكون للدالة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن يكون ذلك
أين - إلى ما لا نهاية
حدود الوظيفة اللانهائية
وظيفة صغيرة
.
مجموع أو اختلاف الدالة المحدودة، في بعض المناطق المجاورة المثقوبة للنقطة، ودالة كبيرة لا نهائية عند، هو لانهائي وظيفة عظيمةعلى بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في.
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي وكانت الدالة محصورة في منطقة مثقوبة من النقطة، إذن
.
إذا كانت الدالة، في بعض المناطق المثقوبة من النقطة، ترضي عدم المساواة:
,
والدالة متناهية الصغر في:
، و (على بعض الحي المثقوب من النقطة)، إذن
.
يتم عرض الأدلة على الخصائص في القسم
“خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود”.
العلاقة بين الوظائف الكبيرة والمتناهية الصغر
من الخاصيتين السابقتين يتبع العلاقة بين الدوال الكبيرة والمتناهية الصغر.
إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند , فإن الدالة تكون متناهية الصغر عند .
إذا كانت الدالة متناهية الصغر بالنسبة لـ و، فإن الدالة تكون كبيرة بلا حدود بالنسبة لـ .
يمكن التعبير عن العلاقة بين الدالة المتناهية الصغر والدالة الكبيرة بشكل رمزي:
,
.
إذا كانت دالة متناهية الصغر لها إشارة معينة عند، أي أنها موجبة (أو سالبة) على بعض المناطق المثقوبة للنقطة، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبنفس الطريقة، إذا كانت دالة كبيرة بشكل لا نهائي لها إشارة معينة عند، فإنهم يكتبون:
.
ومن ثم يمكن استكمال العلاقة الرمزية بين الوظائف الصغيرة والكبيرة بشكل لا نهائي بالعلاقات التالية:
,
,
,
.
يمكن العثور على صيغ إضافية تتعلق برموز اللانهاية على الصفحة
"النقاط إلى اللانهاية وخصائصها."
حدود الوظائف الرتيبة
حدود الوظيفة اللانهائية
يتم استدعاء دالة محددة على مجموعة من الأعداد الحقيقية X زيادة صارمة، إذا كان للجميع أن عدم المساواة التالية تحمل:
.
وفقا لذلك، ل يتناقص بشدةوظيفة تحمل عدم المساواة التالية:
.
ل غير متناقصة:
.
ل غير متزايدة:
.
ويترتب على ذلك أن الدالة المتزايدة بشكل صارم هي أيضًا غير متناقصة. الدالة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير متزايدة.
يتم استدعاء الدالة رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.
نظرية
دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث .
وإذا كان محدداً من الأعلى بالرقم M: فإن هناك حداً منتهياً.
إذا لم يقتصر على ما سبق، ثم.
وإذا كان محدوداً من الأسفل بالرقم م: فهناك حد منتهٍ.
إذا لم يقتصر من الأسفل، ثم .
دع الدالة لا تنخفض في الفاصل الزمني حيث .
;
.
ثم هناك حدود أحادية الجانب عند النقطتين أ و ب:
نظرية مماثلة لوظيفة غير متزايدة.
;
.
دع الدالة لا تزيد على الفاصل الزمني حيث .
ثم هناك حدود من جانب واحد:
يتم تقديم إثبات النظرية على الصفحة
“حدود الوظائف الرتيبة”.
الأدب المستخدم:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.
الموضوع 4.6 حساب الحدود لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند × يسعى ل 1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عندأ ، والتي تم تضمينها في مجال التعريف، تساوي القيمة الجزئية للدالة عند x =) .
، أي. ليم و(س)=و( أ 2. إذا
x يميل إلى اللانهاية
أو كان الوسيط يميل إلى رقم لا ينتمي إلى مجال تعريف الدالة، ففي كل حالة من هذه الحالات، فإن العثور على نهاية الدالة يتطلب بحثًا خاصًا.
فيما يلي أبسط النهايات بناءً على خصائص النهايات التي يمكن استخدامها كصيغ:
حالات أكثر تعقيدًا لإيجاد نهاية الدالة:
ويعتبر كل على حدة. لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند سيوضح هذا القسم الطرق الرئيسية للكشف عن حالات عدم اليقين.
1. الحالة عندما
تمثل الدالة f(x) النسبة بين كميتين متناهيتين في الصغر لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند أ) تحتاج أولاً إلى التأكد من أنه لا يمكن العثور على نهاية الدالة عن طريق التعويض المباشر، ومع التغيير المشار إليه في الوسيطة، فإنها تمثل نسبة كميتين متناهيتين في الصغر. يتم إجراء التحويلات لتقليل الكسر بعامل يميل إلى 0. وفقًا لتعريف حد الدالة، فإن الوسيطة x تميل إلى قيمتها الحدية، ولا تتزامن معها أبدًا. 1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عندبشكل عام، إذا كان أحد يبحث عن الحد الأقصى للدالة في
فمن الضروري أن نتذكر أن x لا تأخذ قيمة 1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند، أي. x لا يساوي a. 1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند.
ج) يتم تدمير اللاعقلانية في البسط أو المقام بضرب البسط أو المقام في مرافق التعبير غير الكسر، ثم بعد التبسيط يتم تقليل الكسر.
د) تم استخدام الحد الملحوظ الأول (4.1).
هـ) يتم استخدام نظرية تكافؤ المتناهية الصغر والمبادئ التالية:
2. الحالة عندما لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند الدالة f(x) تمثل نسبة كميتين كبيرتين بلا حدود
أ) قسمة بسط ومقام الكسر على أعلى قوة للمجهول.
ب) بشكل عام، يمكنك استخدام القاعدة
3. الحالة عندما لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند تمثل الدالة f (x) منتج كمية متناهية الصغر وكمية كبيرة بلا حدود
يتم تحويل الكسر إلى شكل يميل بسطه ومقامه في نفس الوقت إلى 0 أو إلى ما لا نهاية، أي. الحالة 3 يتم تقليلها إلى الحالة 1 أو الحالة 2.
4. الحالة عندما لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند تمثل الدالة f (x) الفرق بين كميتين موجبتين كبيرتين بلا حدود
يتم تقليل هذه الحالة إلى النوع 1 أو 2 بإحدى الطرق التالية:
أ) جلب الكسور إلى قاسم مشترك؛
ب) تحويل الدالة إلى كسر.
ج) التخلص من اللاعقلانية.
5. الحالة عندما لا يعتمد حد الدالة على ما إذا كانت محددة عند نقطة الحد أم لا. ولكن في ممارسة حساب حدود الوظائف الأولية، فإن هذا الظرف له أهمية كبيرة.1. إذا كانت الدالة أولية وإذا كانت القيمة الحدية للوسيطة تنتمي إلى مجال تعريفها، فسيتم تقليل حساب حد الدالة إلى استبدال بسيط للقيمة الحدية للوسيطة، لأن حد الوظيفة الأولية f (x) عند تمثل الدالة f(x) قوة تميل قاعدتها إلى 1 وأسها إلى ما لا نهاية.
يتم تحويل الدالة بطريقة تستخدم الحد الملحوظ الثاني (4.2).
مثال.يجد 
.
لأن x يميل إلى 3، فإن بسط الكسر يميل إلى الرقم 3 2 +3 *3+4=22، والمقام يميل إلى الرقم 3+8=11. لذلك،
مثال
هنا بسط ومقام الكسر × تميل إلى 2تميل إلى 0 (عدم اليقين من النوع)، نقوم بتحليل البسط والمقام، ونحصل على lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)
مثال
بضرب البسط والمقام في التعبير المرافق للبسط، نحصل على ذلك
بفتح القوسين في البسط، نحصل على
مثال
المستوى 2. مثال. دعونا نعطي مثالاً على تطبيق مفهوم حد الدالة في الحسابات الاقتصادية. لنفكر في معاملة مالية عادية: إقراض مبلغ س 0 بشرط أنه بعد فترة من الزمن تسيتم استرداد المبلغ شارع. دعونا نحدد القيمة ص النمو النسبيصيغة
ص=(س ت -س 0)/س 0 (1)
يمكن التعبير عن النمو النسبي كنسبة مئوية عن طريق ضرب القيمة الناتجة صبمقدار 100.
من الصيغة (1) من السهل تحديد القيمة شارع:
شارع= س 0 (1 + ص)
عند حساب القروض طويلة الأجل التي تغطي عدة سنوات كاملة، استخدم المخطط الفائدة المركبة. وهو يتألف من حقيقة أنه إذا كان المبلغ للسنة الأولى س 0 يزيد إلى (1+ ص) مرات، ثم للسنة الثانية في (1+ ص) مرات يزيد المبلغ س 1 = س 0 (1 + ص)، إنه س 2 = س 0 (1 + ص) 2 . اتضح بالمثل س 3 = س 0 (1 + ص) 3 . من الأمثلة المذكورة أعلاه، يمكنك استخلاص صيغة عامة لحساب نمو المبلغ نالسنوات عند حسابها باستخدام نظام الفائدة المركبة:
س ن= س 0 (1 + ص) ن.
في الحسابات المالية، يتم استخدام المخططات حيث يتم حساب الفائدة المركبة عدة مرات في السنة. في هذه الحالة منصوص عليه المعدل السنوي صو عدد المستحقات في السنة ك. وكقاعدة عامة، يتم إجراء الاستحقاقات على فترات زمنية متساوية، أي طول كل فترة زمنية المعارف التقليديةتشكل جزءا من السنة. ثم للفترة في تسنوات (هنا تليس بالضرورة عددًا صحيحًا). شارعتحسب بواسطة الصيغة
(2)
أين هو الجزء الصحيح من الرقم الذي يتطابق مع الرقم نفسه، على سبيل المثال، ت؟ عدد صحيح.
دع المعدل السنوي يكون صويتم إنتاجه نالمستحقات سنويا على فترات منتظمة. ثم للسنة المبلغ سيتم زيادة 0 إلى قيمة تحددها الصيغة
(3)
في التحليل النظري والتطبيقي الأنشطة الماليةغالبًا ما يستخدم مفهوم "الفائدة المتراكمة باستمرار". للانتقال إلى الفائدة المتراكمة بشكل مستمر، تحتاج إلى زيادة الأرقام إلى أجل غير مسمى في الصيغتين (2) و(3)، على التوالي، الأرقام كو ن(أي لتوجيه كو نإلى ما لا نهاية) وحساب إلى أي حد سوف تميل الوظائف شارعو س 1. لنطبق هذا الإجراء على الصيغة (3):
لاحظ أن الحد الموجود بين قوسين متعرجين يتطابق مع الحد الملحوظ الثاني. ويترتب على ذلك بمعدل سنوي صمع الفائدة المتراكمة بشكل مستمر، المبلغ س 0 في 1 سنة يزيد من القيمة س 1 *، والذي يتم تحديده من الصيغة
س 1 * = س 0 ه ص (4)
دعونا الآن المبلغ سيتم تقديم 0 كقرض مع الفائدة المستحقة نمرة واحدة في السنة على فترات منتظمة. دعونا نشير يكررالمعدل السنوي الذي في نهاية العام المبلغ سيتم زيادة 0 إلى القيمة س 1* من الصيغة (4). في هذه الحالة سنقول ذلك يكرر- هذا سعر الفائدة السنوي نمرة واحدة في السنة أي ما يعادلها الفائدة السنوية صمع تراكم مستمر.من الصيغة (3) نحصل عليها
S* 1 =S 0 (1+ص ه /ن) ن
مساواة الطرفين الأيمن من الصيغة الأخيرة والصيغة (4)، بافتراض الأخيرة ت= 1، يمكننا استخلاص العلاقات بين الكميات صو يكرر:
وتستخدم هذه الصيغ على نطاق واسع في الحسابات المالية.
