سنركز في هذا القسم على فئة خاصة ولكنها مهمة من الصور التربيعية الإيجابية.

التعريف 3. يسمى الشكل التربيعي الحقيقي غير سلبي (غير موجب) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات

. (35)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة المتماثلة للمعاملات شبه محددة موجبة (شبه محددة سالبة).

التعريف 4. يُطلق على الشكل التربيعي الحقيقي اسم موجب محدد (محدد سالب) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات التي ليست صفرًا في نفس الوقت،

. (36)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة أيضًا محددة موجبة (محددة سالبة).

فئة الأشكال الإيجابية المحددة (السلبية المحددة) هي جزء من فئة الأشكال غير السلبية (غير الإيجابية).

دع إعطاء شكل غير سلبي. لنتخيلها كمجموع مربعات مستقلة:

. (37)

في هذا التمثيل، يجب أن تكون جميع المربعات موجبة:

. (38)

في الواقع، إذا كان هناك أي شيء، فسيكون من الممكن تحديد قيم من هذا القبيل

ولكن بعد ذلك، مع قيم المتغيرات هذه، سيكون للنموذج قيمة سالبة، وهو أمر مستحيل بالشرط. ومن الواضح، على العكس من ذلك، من (37) و (38) يترتب على ذلك أن الصورة إيجابية.

وهكذا، فإن الشكل التربيعي غير السلبي يتميز بالمساواة.

دعونا الآن يكون شكلا محددا إيجابيا. ثم إنه شكل غير سلبي. ولذلك يمكن تمثيلها بالشكل (37) حيث تكون جميعها موجبة. ومن التحديد الإيجابي للشكل يتبع ذلك . في الواقع، في هذه الحالة، من الممكن تحديد قيم لا تساوي الصفر في نفس الوقت، حيث يتحول الجميع إلى الصفر. ولكن بعد ذلك، بحكم (37)، في، وهو ما ينافي الشرط (36).

ومن السهل أن نرى ذلك على العكس من ذلك، إذا كان في (37) وكلها إيجابية، فهي صورة إيجابية محددة.

بمعنى آخر، تكون الصورة غير السالبة إيجابية محددة إذا وفقط إذا لم تكن مفردة.

تعطي النظرية التالية معيارًا للتحديد الإيجابي لشكل ما في صورة المتباينات التي يجب أن تلبيها معاملات الشكل. في هذه الحالة، يتم استخدام التدوين الذي تمت مواجهته بالفعل في الفقرات السابقة للفرعين الرئيسيين المتعاقبين للمصفوفة:

.

النظرية 3. لكي تكون الصورة التربيعية موجبة ومحددة، من الضروري والكافي استيفاء المتباينات

دليل. وكفاية الشروط (39) تتبع مباشرة من صيغة جاكوبي (28). وتثبت ضرورة الشروط (39) على النحو التالي. من التحديد الإيجابي للنموذج يتبع التحديد الإيجابي للأشكال "المبتورة".

.

ولكن بعد ذلك يجب أن تكون جميع هذه الأشكال غير مفردة، أي.

الآن لدينا الفرصة لاستخدام صيغة جاكوبي (28) (في). وبما أنه على الجانب الأيمن من هذه الصيغة، يجب أن تكون جميع المربعات موجبة

وهذا يعني عدم المساواة (39). لقد تم إثبات النظرية.

نظرًا لأنه يمكن وضع أي فرع رئيسي للمصفوفة، مع إعادة ترقيم المتغيرات بشكل صحيح، في الزاوية اليسرى العليا، فلدينا

عاقبة. في الصيغة التربيعية المحددة الموجبة، تكون جميع العناصر الثانوية الرئيسية لمصفوفة المعاملات موجبة:

تعليق. من عدم سلبية القاصرين الرئيسيين المتعاقبين

لا يتبع عدم سلبية النموذج. والواقع أن النموذج

,

فيها مستوفية الشروط ولكنها ليست غير سلبية.

ومع ذلك، فإن ما يلي يحمل

النظرية 4. لكي تكون الصيغة التربيعية غير سالبة، من الضروري والكافي أن تكون جميع العناصر الثانوية الرئيسية في مصفوفة معاملاتها غير سالبة:

دليل. ولندخل على الشكل المساعد كان غير موجب فهو ضروري وكافي لحدوث المتباينات

الأشكال التربيعية المحددة الإيجابية

تعريف. الشكل التربيعي من نيتم استدعاء المجهولين إيجابية محددةإذا كانت رتبتها تساوي مؤشر القصور الذاتي الموجب وتساوي عدد المجهولات.

نظرية.يكون الشكل التربيعي موجبًا محددًا إذا وفقط إذا أخذ قيمًا موجبة على أي مجموعة غير صفرية من قيم المتغيرات.

دليل.لتكن الصورة التربيعية تحويلاً خطيًا غير منحط للمجاهول

أعيد إلى وضعها الطبيعي

.

لأي مجموعة غير صفرية من القيم المتغيرة، واحد على الأقل من الأرقام يختلف عن الصفر، أي. . تم إثبات ضرورة النظرية.

لنفترض أن الشكل التربيعي يأخذ قيما موجبة على أي مجموعة من المتغيرات غير الصفرية، ولكن مؤشر القصور الذاتي الإيجابي الخاص بها هو تحويل خطي غير منحط للمجاهول

دعونا نعيده إلى شكله الطبيعي. بدون فقدان العمومية، يمكننا أن نفترض أنه في هذا الشكل الطبيعي يكون مربع المتغير الأخير إما غائبا أو متضمنا بعلامة الطرح، أي. ، أين أو . لنفترض أنها مجموعة غير صفرية من قيم المتغيرات التي تم الحصول عليها نتيجة حل نظام المعادلات الخطية

في هذا النظام عدد المعادلات يساوي عدد المتغيرات ومحدد النظام غير صفر. وفقا لنظرية كرامر، فإن النظام لديه حل فريد، وهو غير الصفر. لهذه المجموعة. تناقض مع الشرط. نصل إلى تناقض مع الفرضية مما يثبت كفاية النظرية.

باستخدام هذا المعيار، من المستحيل تحديد من المعاملات ما إذا كانت الصورة التربيعية موجبة محددة. يتم تقديم الإجابة على هذا السؤال من خلال نظرية أخرى، والتي نقدم لصياغتها مفهومًا آخر. القصر القطري الرئيسي للمصفوفة- هؤلاء هم القُصّر الموجودون في الزاوية اليسرى العليا:

, , , … , .

نظرية.يكون الشكل التربيعي موجبًا محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع أقطاره الثانوية الرئيسية موجبة.

دليلسننفذ طريقة الاستقراء الرياضي الكامل على الرقم نالمتغيرات التربيعية و.

فرضية الحث.لنفترض ذلك بالنسبة للصيغ التربيعية ذات المتغيرات الأقل نالبيان صحيح.

النظر في الشكل التربيعي ل نالمتغيرات. دعونا نضع جميع المصطلحات التي تحتوي على . تشكل الحدود المتبقية شكلاً تربيعيًا للمتغيرات. وفقا لفرضية الاستقراء، فإن العبارة صحيحة بالنسبة لها.

لنفترض أن الصورة التربيعية إيجابية محددة. إذن فالصيغة التربيعية تكون موجبة محددة. إذا افترضنا أن الأمر ليس كذلك، فهناك مجموعة غير صفرية من القيم المتغيرة ، من أجلها وبناء على ذلك، ، وهذا يناقض كون الصورة التربيعية موجبة محددة. بواسطة الفرضية الاستقراءية، جميع القطرات الثانوية الرئيسية للشكل التربيعي تكون موجبة، أي. جميع القصر الرئيسيين الأوائل من الشكل التربيعي وإيجابية. آخر ثانوي رئيسي من الشكل التربيعي – هذا هو المحدد لمصفوفتها. وهذا المحدد إيجابي لأن إشارته تتطابق مع إشارة المصفوفة على صورتها الطبيعية، أي. مع علامة محدد مصفوفة الهوية.

لتكن جميع القطرات الثانوية الرئيسية للصورة التربيعية موجبة إذن جميع القطرات الثانوية الرئيسية للصورة التربيعية موجبة من المساواة . ومن خلال الفرضية الاستقراءية تكون الصورة التربيعية موجبة محددة، لذلك هناك تحويل خطي غير منحط للمتغيرات يقلل الصورة إلى صورة مجموع مربعات المتغيرات الجديدة. يمكن توسيع هذا التحويل الخطي إلى تحويل خطي غير منحط لجميع المتغيرات عن طريق الإعداد. هذا التحويل يقلل من الشكل التربيعي إلى النموذج

مفهوم الشكل التربيعي. مصفوفة الشكل التربيعي. الشكل القانوني للشكل التربيعي. طريقة لاغرانج. عرض عادي للشكل التربيعي. رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي. شكل تربيعي محدد موجب. رباعيات.

مفهوم الشكل التربيعي:دالة على مساحة متجهة محددة بواسطة متعددة الحدود متجانسة من الدرجة الثانية في إحداثيات المتجه.

الشكل التربيعي من نمجهول يسمى مجموعًا، كل حد منه إما مربع أحد هذه المجهولات، أو حاصل ضرب مجهولين مختلفين.

المصفوفة التربيعية:تسمى المصفوفة بمصفوفة ذات صورة تربيعية على أساس معين. إذا كانت خاصية المجال لا تساوي 2، يمكننا أن نفترض أن مصفوفة الشكل التربيعي متماثلة، أي.

اكتب مصفوفة ذات صورة تربيعية:

لذلك،

في صورة المصفوفة المتجهة، يكون الشكل التربيعي كما يلي:

أ، حيث

الشكل القانوني للشكل التربيعي:ويسمى الشكل التربيعي الكنسي إذا كان كل شيء أي.

يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام التحويلات الخطية. في الممارسة العملية، عادة ما تستخدم الطرق التالية.

طريقة لاغرانج : الاختيار المتسلسل للمربعات الكاملة. على سبيل المثال، إذا

ثم يتم تنفيذ إجراء مماثل مع الصيغة التربيعية إلخ. إذا كان كل شيء في الشكل التربيعي ولكن ثم بعد التحويل الأولي، يعود الأمر إلى الإجراء الذي تم النظر فيه. لذلك، إذا، على سبيل المثال، فإننا نفترض

الصورة العادية للشكل التربيعي:الصيغة التربيعية العادية هي صيغة تربيعية قانونية تكون فيها جميع المعاملات مساوية لـ +1 أو -1.

رتبة وفهرس وتوقيع النموذج التربيعي:رتبة الشكل التربيعي أويسمى رتبة المصفوفة أ. لا تتغير رتبة الشكل التربيعي في ظل التحويلات غير المنحلة للمجهول.

ويسمى عدد المعاملات السالبة بمؤشر الشكل السلبي.

يُطلق على عدد المصطلحات الإيجابية في الشكل القانوني مؤشر القصور الذاتي الإيجابي للشكل التربيعي ، ويسمى عدد المصطلحات السالبة بالمؤشر السلبي. يسمى الفرق بين المؤشرات الموجبة والسالبة بتوقيع الصورة التربيعية

صيغة تربيعية محددة موجبة:الشكل التربيعي الحقيقي يسمى موجبًا محددًا (محددًا سالبًا) إذا كان لأي قيم حقيقية للمتغيرات التي ليست صفرًا في نفس الوقت،

. (36)

في هذه الحالة، تسمى المصفوفة أيضًا محددة موجبة (محددة سالبة).

فئة الأشكال الإيجابية المحددة (السلبية المحددة) هي جزء من فئة الأشكال غير السلبية (غير الإيجابية).

رباعيات:رباعي - ن-السطح الفائق الأبعاد ن+1- البعد الفضاء، ويعرف بأنه مجموعة الأصفار من كثيرة الحدود من الدرجة الثانية. إذا قمت بإدخال الإحداثيات ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) (في الفضاء الإقليدي أو المتقارب)، المعادلة العامة للمعادلة التربيعية هي

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة بشكل أكثر إحكاما في تدوين المصفوفة:

حيث س = ( س 1 , س 2 , س ن+1 ) — ناقل الصف، س T هو ناقل منقول، س- مصفوفة الحجم ( ن+1)×( ن+1) (من المفترض أن يكون أحد عناصره على الأقل غير صفر)، صهو ناقلات الصف، و ر- ثابت. غالبًا ما يتم أخذ المعادلات التربيعية على الأعداد الحقيقية أو المعقدة بعين الاعتبار. يمكن توسيع التعريف ليشمل المعادلات التربيعية في الفضاء الإسقاطي، انظر أدناه.

وبشكل أكثر عمومية، تُعرف مجموعة الأصفار في نظام المعادلات متعددة الحدود بالتنوع الجبري. وبالتالي، فإن التربيعية هي مجموعة جبرية (متقاربة أو إسقاطية) من الدرجة الثانية والبعد المشترك 1.

تحولات الطائرة والفضاء.

تعريف التحول المستوي. كشف الحركة. خصائص الحركة. والحركات نوعان: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني. أمثلة على الحركات. التعبير التحليلي للحركة. تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة). مجموعة من الحركات الطائرة.

تعريف تحويل المستوى: التعريف.يسمى التحويل المستوي الذي يحافظ على المسافة بين النقاط حركة(أو حركة) الطائرة. يسمى التحول المستوي تقارب، إذا حولت أي ثلاث نقاط تقع على نفس الخط إلى ثلاث نقاط تقع أيضًا على نفس الخط وفي نفس الوقت تحافظ على العلاقة البسيطة بين النقاط الثلاث.

تعريف الحركة:هذه هي تحويلات الشكل التي تحافظ على المسافات بين النقاط. إذا تم محاذاة رقمين بدقة مع بعضهما البعض من خلال الحركة، فإن هذه الأرقام هي نفسها، متساوية.

خصائص الحركة:كل حركة تحافظ على اتجاه المستوى هي إما ترجمة متوازية أو دوران؛ كل حركة تغيير اتجاه المستوى هي إما تناظر محوري أو تناظر منزلق. عند التحرك، تتحول النقاط الواقعة على خط مستقيم إلى نقاط تقع على خط مستقيم، ويتم الحفاظ على ترتيبها الموقف النسبي. عند التحرك، يتم الحفاظ على الزوايا بين نصف الخطوط.

نوعان من الحركات: حركة النوع الأول، وحركة النوع الثاني:الحركات من النوع الأول هي تلك الحركات التي تحافظ على اتجاه قواعد شكل معين. يمكن تحقيقها من خلال الحركات المستمرة.

والحركات من النوع الثاني هي تلك الحركات التي تغير اتجاه القواعد إلى العكس. لا يمكن تحقيقها بالحركات المستمرة.

ومن أمثلة الحركات من النوع الأول الانتقال والدوران حول خط مستقيم، والحركات من النوع الثاني هي التماثلات المركزية والمرآة.

إن تكوين أي عدد من الحركات من النوع الأول هو حركة من النوع الأول.

إن تركيب عدد زوجي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الأول، وتركيب عدد فردي من حركات النوع الثاني هو حركة من النوع الثاني.

أمثلة على الحركات:النقل الموازي. دع a يكون المتجه المعطى. النقل الموازي إلى المتجه a هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث يكون المتجه MM 1 مساويًا للمتجه a.

الترجمة الموازية هي حركة لأنها رسم خريطة للمستوى على نفسه، مع الحفاظ على المسافات. يمكن تمثيل هذه الحركة بصريًا كإزاحة للمستوى بأكمله في اتجاه متجه معين a بطوله.

تناوب.دعونا نشير إلى النقطة O على المستوى ( مركز تحول) وضبط الزاوية α ( زاوية الدوران). دوران المستوى حول النقطة O بزاوية α هو تعيين المستوى على نفسه، حيث يتم تعيين كل نقطة M إلى النقطة M 1، بحيث تكون OM = OM 1 والزاوية MOM 1 تساوي α. في هذه الحالة، تظل النقطة O في مكانها، أي يتم تعيينها على نفسها، وتدور جميع النقاط الأخرى حول النقطة O في نفس الاتجاه - في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة (يوضح الشكل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة).

الدوران هو حركة لأنه يمثل رسمًا للمستوى على نفسه، حيث يتم الحفاظ على المسافات.

التعبير التحليلي للحركة:العلاقة التحليلية بين إحداثيات الصورة الأولية وصورة النقطة لها الشكل (1).

تصنيف الحركات المستوية (اعتماداً على وجود نقاط ثابتة وخطوط ثابتة): التعريف:

تكون النقطة على المستوى ثابتة (ثابتة) إذا تحولت إلى نفسها في ظل تحويل معين.

مثال: في التماثل المركزي، تكون نقطة مركز التماثل ثابتة. عند الدوران، تكون نقطة مركز الدوران ثابتة. في التماثل المحوري، الخط الثابت هو الخط المستقيم - محور التماثل هو الخط المستقيم من النقاط الثابتة.

النظرية: إذا لم يكن للحركة نقطة ثابتة واحدة، فإن لها على الأقل اتجاهًا ثابتًا واحدًا.

مثال: النقل الموازي. وفي الواقع، فإن الخطوط المستقيمة الموازية لهذا الاتجاه ثابتة كشكل ككل، على الرغم من أنها لا تتكون من نقاط ثابتة.

النظرية: إذا تحرك شعاع فإن الشعاع يترجم إلى نفسه، وهذه الحركة إما أن تكون تحولاً متطابقاً أو تناظراً بالنسبة إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على الشعاع المعطى.

لذلك، بناءً على وجود نقاط أو أرقام ثابتة، من الممكن تصنيف الحركات.

اسم الحركة	نقاط ثابتة	خطوط ثابتة
حركة من النوع الأول.
1. - بدوره	(الوسط) - 0	لا
2. تحويل الهوية	جميع نقاط الطائرة	كل شيء على التوالي
3. التماثل المركزي	النقطة 0 - المركز	جميع الخطوط التي تمر عبر النقطة 0
4. النقل الموازي	لا	كل شيء على التوالي
حركة من النوع الثاني.
5. التماثل المحوري.	مجموعة من النقاط	محور التماثل (الخط المستقيم) جميع الخطوط المستقيمة

مجموعة الحركة الطائرة:في الهندسة دور مهمتلعب مجموعات من الشخصيات المدمجة ذاتيًا. إذا كان هناك شكل معين على مستوى (أو في الفضاء)، فيمكننا النظر في مجموعة كل حركات المستوى (أو الفضاء) التي يتحول خلالها الشكل إلى نفسه.

هذه المجموعة هي مجموعة. على سبيل المثال، بالنسبة للمثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموعة الحركات المستوية التي تحول المثلث إلى نفسه تتكون من 6 عناصر: الدوران عبر الزوايا حول نقطة والتماثلات حول ثلاثة خطوط مستقيمة.

تظهر في الشكل. 1 خطوط حمراء. يمكن تحديد عناصر مجموعة المحاذاة الذاتية للمثلث العادي بشكل مختلف. لشرح ذلك، دعونا نرقم رؤوس مثلث منتظم بالأرقام 1، 2، 3. أي محاذاة ذاتية للمثلث تأخذ النقاط 1، 2، 3 إلى نفس النقاط، ولكن بترتيب مختلف، أي. يمكن كتابتها بشكل مشروط على شكل أحد هذه الأقواس:

إلخ.

حيث تشير الأرقام 1، 2، 3 إلى أرقام تلك القمم التي تذهب إليها القمم 1، 2، 3 نتيجة للحركة قيد النظر.

الفضاءات الإسقاطية ونماذجها.

مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي. الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية. مجموعة الخطوط المتمركزة عند النقطة O هي نموذج للمستوى الإسقاطي. النقاط الإسقاطية. المستوى الممتد هو نموذج للمستوى الإسقاطي. يعد الفضاء المتقارب ثلاثي الأبعاد أو الفضاء الإقليدي نموذجًا للفضاء الإسقاطي. صور الأشكال المسطحة والمكانية في التصميم المتوازي.

مفهوم الفضاء الإسقاطي ونموذج الفضاء الإسقاطي:

المساحة الإسقاطية فوق الحقل عبارة عن مساحة تتكون من خطوط (مسافات فرعية أحادية البعد) لبعض المساحة الخطية فوق حقل معين. يتم استدعاء المساحات المباشرة النقاطالفضاء الإسقاطي. ويمكن تعميم هذا التعريف على هيئة تعسفية

إذا كان له بعد، فإن بُعد الفضاء الإسقاطي يسمى رقمًا، ويُشار إلى الفضاء الإسقاطي نفسه ويُسمى مرتبطًا به (للإشارة إلى ذلك، تم اعتماد الترميز).

يسمى الانتقال من الفضاء المتجه ذي البعد إلى الفضاء الإسقاطي المقابل الإسقاطفضاء.

يمكن وصف النقاط باستخدام الإحداثيات المتجانسة.

الحقائق الأساسية للهندسة الإسقاطية:الهندسة الإسقاطية هي فرع من فروع الهندسة يدرس المستويات والمساحات الإسقاطية. الميزة الرئيسيةتعتمد الهندسة الإسقاطية على مبدأ الازدواجية، مما يضفي تناسقًا رائعًا على العديد من التصاميم. يمكن دراسة الهندسة الإسقاطية من وجهة نظر هندسية بحتة، ومن وجهة نظر تحليلية (باستخدام إحداثيات متجانسة) ووجهة نظر جبرية، مع الأخذ في الاعتبار المستوى الإسقاطي كهيكل فوق الحقل. في كثير من الأحيان، وتاريخيًا، يعتبر المستوى الإسقاطي الحقيقي هو المستوى الإقليدي مع إضافة "الخط عند اللانهاية".

أما خصائص الأشكال التي تتعامل بها الهندسة الإقليدية فهي متري(قيم محددة للزوايا والقطاعات والمساحات)، وتكافؤ الأشكال يعادلها التطابق(أي عندما يمكن ترجمة الأرقام إلى بعضها البعض من خلال الحركة مع الحفاظ على الخصائص المترية)، هناك المزيد من الخصائص "العميقة" الأشكال الهندسية، والتي يتم الحفاظ عليها خلال التحولات لأكثر من النوع العاممن الحركة. تتعامل الهندسة الإسقاطية مع دراسة خصائص الأشكال التي لا تتغير ضمن هذا الفصل التحولات الإسقاطيةوكذلك هذه التحولات نفسها.

الهندسة الإسقاطية تكمل الهندسة الإقليدية، مما يوفر جمالاً وجمالاً حلول بسيطةللعديد من المشاكل المعقدة بسبب وجود الخطوط المتوازية. النظرية الإسقاطية للمقاطع المخروطية بسيطة وأنيقة بشكل خاص.

هناك ثلاث طرق رئيسية للهندسة الإسقاطية: البديهية المستقلة، وتكامل الهندسة الإقليدية، والبنية على المجال.

بديهية

يمكن تعريف الفضاء الإسقاطي باستخدام مجموعة مختلفة من البديهيات.

توفر كوكستر ما يلي:

1. يوجد خط مستقيم ونقطة ليست عليه.

2. يحتوي كل سطر على ثلاث نقاط على الأقل.

3. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.

4. إذا أ, ب, ج، و د- نقاط مختلفة و أ.بو قرص مضغوطتقاطع إذن مكيف الهواءو دينار بحرينيتتقاطع.

5. إذا اي بي سيإذا كان مستوى، فهناك نقطة واحدة على الأقل ليست في المستوى اي بي سي.

6. يتقاطع مستويان مختلفان في نقطتين على الأقل.

7. النقاط القطرية الثلاث للشكل الرباعي الكامل ليست على خط واحد.

8. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط X X

يتم تعريف المستوى الإسقاطي (بدون البعد الثالث) من خلال بديهيات مختلفة قليلاً:

1. من خلال نقطتين يمكنك رسم خط مستقيم واحد بالضبط.

2. أي خطين متقاطعين.

3. هناك أربع نقاط، ثلاث منها ليست على خط مستقيم.

4. النقاط القطرية الثلاثة للأشكال الرباعية الكاملة ليست على خط واحد.

5. إذا كانت ثلاث نقاط على الخط Xثابتة فيما يتعلق بإسقاطية φ، ثم كل النقاط Xثابت بالنسبة لـ φ.

6. نظرية ديسارج: إذا كان مثلثان منظورين من خلال نقطة ما، فإنهما منظوران من خلال خط.

في وجود بعد ثالث، يمكن إثبات نظرية ديسارج دون تقديم نقطة وخط مثاليين.

المستوى الممتد - نموذج المستوى الإسقاطي:في الفضاء التقاربي A3 نأخذ حزمة من الخطوط S(O) مركزها عند النقطة O ومستوى Π لا يمر عبر مركز الحزمة: O 6∈ Π. مجموعة الخطوط في الفضاء المتقارب هي نموذج للمستوى الإسقاطي. دعونا نحدد تعيينًا لمجموعة نقاط المستوى Π على مجموعة الخطوط المستقيمة للوصلة S (اللعنة، صلوا إذا كان لديك هذا السؤال، سامحني)

الفضاء المتقارب أو الإقليدي الممتد ثلاثي الأبعاد – نموذج للفضاء الإسقاطي:

من أجل جعل التعيين شاملاً، نكرر عملية تمديد المستوى التقاربي Π رسميًا إلى المستوى الإسقاطي Π، مع استكمال المستوى Π بمجموعة من النقاط غير المناسبة (M∞) مثل: ((M∞)) = ف0(س). نظرًا لأن الصورة المعكوسة لكل مستوى من حزمة المستويات S(O) في الخريطة هي خط على المستوى d، فمن الواضح أن مجموعة جميع النقاط غير الصحيحة للمستوى الممتد: Π = Π ∩ (M∞) ، (M∞)، يمثل خطًا غير مناسب d∞ للمستوى الممتد، وهو الصورة العكسية للمستوى المفرد Π0: (d∞) = P0(O) (= Π0). (I.23) دعونا نتفق على أننا هنا ومن الآن فصاعدا سوف نفهم المساواة الأخيرة P0(O) = Π0 بمعنى تساوي مجموعات من النقاط، ولكنها تتمتع ببنية مختلفة. من خلال استكمال المستوى التقاربي بخط غير مناسب، تأكدنا من أن التعيين (I.21) أصبح موضوعيًا على مجموعة جميع نقاط المستوى الممتد:

صور الأشكال المسطحة والمكانية أثناء التصميم المتوازي:

في القياس المجسم، تتم دراسة الأشكال المكانية، ولكن في الرسم يتم تصويرها كأشكال مسطحة. كيف ينبغي تصوير الشكل المكاني على المستوى؟ عادة في الهندسة، يتم استخدام التصميم المتوازي لهذا الغرض. دع p يكون بعض الطائرة ، ل- خط مستقيم يتقاطع معها (الشكل 1). من خلال نقطة تعسفية أ، لا ينتمي إلى الخط ل، ارسم خطًا موازيًا للخط ل. تسمى نقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى p بالإسقاط الموازي للنقطة أإلى المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل. دعونا نشير إلى ذلك أ". إذا كانت النقطة أينتمي إلى الخط ل، ثم عن طريق الإسقاط الموازي أتعتبر نقطة تقاطع الخط على المستوى p لمع الطائرة ص.

وهكذا كل نقطة أالفضاء تتم مقارنة إسقاطه أ" على المستوى p. تسمى هذه المراسلات الإسقاط المتوازي على المستوى p في اتجاه الخط المستقيم ل.

مجموعة من التحولات الإسقاطية. تطبيق لحل المشكلات.

مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة. أمثلة على التحولات الإسقاطية للطائرة. خصائص التحولات الإسقاطية. التماثل، خصائص التماثل. مجموعة من التحولات الإسقاطية.

مفهوم التحول الإسقاطي للطائرة:مفهوم التحول الإسقاطي يعمم مفهوم الإسقاط المركزي. إذا قمنا بإسقاط مركزي للمستوى α على مستوى ما α 1، فإن إسقاط α 1 على α 2، و α 2 على α 3، ... وأخيرًا، بعض المستوى α نمرة أخرى على α 1، فإن تكوين كل هذه الإسقاطات هو التحول الإسقاطي للمستوى α؛ ويمكن أيضًا تضمين التوقعات المتوازية في مثل هذه السلسلة.

أمثلة على تحويلات المستوى الإسقاطي:التحويل الإسقاطي للمستوى المكتمل هو رسم خرائط واحد لواحد على نفسه، حيث يتم الحفاظ على العلاقة الخطية المتداخلة للنقاط، أو بعبارة أخرى، صورة أي خط هي خط مستقيم. أي تحول إسقاطي هو عبارة عن تركيبة من سلسلة من الإسقاطات المركزية والمتوازية. التحويل التقاربي هو حالة خاصة من التحويل الإسقاطي، حيث يتحول الخط عند اللانهاية إلى نفسه.

خصائص التحولات الإسقاطية:

أثناء التحويل الإسقاطي، يتم تحويل ثلاث نقاط لا تقع على خط إلى ثلاث نقاط لا تقع على خط.

أثناء التحويل الإسقاطي، يصبح الإطار إطارًا.

أثناء التحويل الإسقاطي، يتحول الخط إلى خط مستقيم، ويتحول قلم الرصاص إلى قلم رصاص.

التماثل، خصائص التماثل:

يسمى التحويل الإسقاطي للمستوى الذي يحتوي على خط من النقاط الثابتة، وبالتالي قلم رصاص من الخطوط الثابتة، بالتماثل.

1. الخط الذي يمر عبر نقاط التماثل المقابلة غير المتطابقة هو خط ثابت؛

2. الخطوط التي تمر عبر نقاط التماثل المتناظرة غير المتطابقة تنتمي إلى نفس قلم الرصاص الذي يكون مركزه نقطة ثابتة.

3. النقطة وصورتها ومركز التماثل تقع على نفس الخط المستقيم.

مجموعة التحولات الإسقاطية:ضع في اعتبارك التعيين الإسقاطي للمستوى الإسقاطي P 2 على نفسه، أي التحويل الإسقاطي لهذا المستوى (P 2 ’ = P 2).

كما كان من قبل، تكوين f للتحولات الإسقاطية f 1 و f 2 للمستوى الإسقاطي P 2 هو نتيجة التنفيذ المتسلسل للتحولات f 1 و f 2: f = f 2 °f 1 .

النظرية 1: المجموعة H لجميع التحولات الإسقاطية للمستوى الإسقاطي P 2 هي مجموعة فيما يتعلق بتكوين التحولات الإسقاطية.

الشكل التربيعي f(x 1, x 2,...,x n) من المتغيرات n هو مجموع، كل حد منها هو إما مربع أحد المتغيرات، أو منتج اثنين من المتغيرات المختلفة، مأخوذة بمعامل معين: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij =a ji).

تسمى المصفوفة (أ) المكونة من هذه المعاملات بمصفوفة ذات الصورة التربيعية. إنه دائمًا متماثلالمصفوفة (أي مصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة، الصيغة التربيعية هي f(X) = X T AX، حيث

بالفعل

على سبيل المثال، لنكتب الصورة التربيعية على صورة المصفوفة.

للقيام بذلك، نجد مصفوفة على الصورة التربيعية. عناصرها القطرية تساوي معاملات المتغيرات التربيعية، والعناصر المتبقية تساوي أنصاف المعاملات المقابلة لها في الصورة التربيعية. لهذا السبب

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه عن طريق تحويل خطي غير منحط لعمود المصفوفة Y، أي. X = CY، حيث C هي مصفوفة غير مفردة من الرتبة n. ثم الصيغة التربيعية f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (CT AC)Y.

وهكذا، مع التحول الخطي غير المنحل C، تأخذ مصفوفة الشكل التربيعي الشكل: A * =C T AC.

على سبيل المثال، لنوجد الصورة التربيعية f(y 1, y 2) الناتجة من الصورة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بالتحويل الخطي.

يسمى الشكل التربيعي الكنسي(لديه عرض الكنسي) ، إذا كانت جميع معاملاتها أ ij = 0 لـ i≠j، أي f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

مصفوفتها قطرية.

نظرية(لم يتم تقديم الدليل هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل خطي غير منحط.

على سبيل المثال، لنضع الصيغة الأساسية في الصيغة التربيعية f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

للقيام بذلك، حدد أولاً مربعًا كاملاً يحتوي على المتغير x 1:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5×22 –×2×3 .

الآن نختار مربعًا كاملاً بالمتغير x 2:

و(x 1، x 2، x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)× 3 2 = = 2(× 1 + × 2) 2 - 5(× 2 - (1/10) × 3) 2 - (1/20) × 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المنحل y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 و y 3 = x 3 يجلب هذا الشكل التربيعي إلى الصيغة الأساسية f(y 1,y 2, ص 3) = 2ص 1 2 - 5ص 2 2 - (1/20)ص 3 2 .

لاحظ أن الشكل القانوني للشكل التربيعي يتم تحديده بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بطرق مختلفة 1). ومع ذلك، تلقى بطرق مختلفةالأشكال الأساسية لها عدد من الخصائص العامة. على وجه الخصوص، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال، في المثال الذي تم النظر فيه سيكون هناك دائمًا معاملان سلبيان ومعامل إيجابي واحد). هذه الخاصية تسمى قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك من خلال جلب نفس الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) × 1) 2) – 3((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 = = -3(x 2 – (1/6) × 3 - (2) /3) × 1) 2 - 3((1/6) × 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1 ,y 2 ,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2 ، حيث y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3 ,y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و ص 3 = س 1 . يوجد هنا معامل موجب 2 لـ y 3 ومعاملان سالبان (-3) لـ y 1 وy 2 (وباستخدام طريقة أخرى، حصلنا على معامل موجب 2 لـ y 1 ومعاملين سالبين - (-5) لـ y 2 و (-1/20) لـ y 3 ).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة المصفوفة ذات الشكل التربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للشكل القانوني ولا يتغير في ظل التحولات الخطية.

تسمى الصيغة التربيعية f(X). بشكل إيجابي(سلبي)تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي ليست صفرًا في وقت واحد، فهي موجبة، أي f(X) > 0 (سلبية، أي f(X)< 0).

على سبيل المثال، الصيغة التربيعية f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 هي موجبة ومحددة، لأن هو مجموع المربعات، والصيغة التربيعية f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سالبة بالتأكيد، لأن يمثل أنه يمكن تمثيله كـ f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية، يكون تحديد العلامة المحددة للشكل التربيعي أكثر صعوبة إلى حد ما، لذلك نستخدم إحدى النظريات التالية (سنقوم بصياغتها بدون دليل).

نظرية. الشكل التربيعي يكون موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كان الكل القيم الذاتيةمصفوفاتها إيجابية (سلبية).

نظرية (معيار سيلفستر). تكون الصورة التربيعية موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة من هذه الصورة موجبة.

الرئيسية (الزاوية) الثانويةتسمى مصفوفات الترتيب k من الترتيب An-th محدد المصفوفة، وتتكون من الصفوف والأعمدة الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للأشكال التربيعية المحددة السالبة، فإن علامات الفروع الرئيسية تتناوب، ويجب أن تكون العلامات الثانوية من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال، دعونا نتفحص الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 لمعرفة دقة الإشارة.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;د= 25 – 8 = 17; . ولذلك، فإن الصورة التربيعية إيجابية محددة.

الطريقة الثانية. الثانوية الرئيسية من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = 2 > 0. الثانوية الرئيسية من الدرجة الثانية  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، فإن المعادلة التربيعية النموذج إيجابي محدد.

دعونا نتفحص صيغة تربيعية أخرى لتحديد الإشارة، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;د= 25 – 8 = 17 ; . ولذلك، فإن الصورة التربيعية هي سلبية محددة.

الطريقة الثانية. القاصر الرئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. وبالتالي، وفقًا لمعيار سيلفستر، تكون الصورة التربيعية سالبة محددة (تتناوب علامات الفروع الرئيسية بدءًا من الناقص).

وكمثال آخر، سنفحص الصيغة التربيعية المحددة بالإشارة f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;د= 1 + 40 = 41; . أحد هذه الأرقام سلبي والآخر إيجابي. علامات القيم الذاتية مختلفة. وبالتالي، فإن الصورة التربيعية لا يمكن أن تكون سالبة ولا موجبة محددة، أي. هذا الشكل التربيعي ليس محدد الإشارة (يمكن أن يأخذ قيم أي علامة).

الطريقة الثانية. القاصر الرئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A  1 =a 11 = 2 > 0. القاصر الرئيسي من الدرجة الثانية  2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 تعتبر الطريقة المدروسة لتقليل الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني ملائمة للاستخدام عند مواجهة معاملات غير الصفر مع مربعات المتغيرات. إذا لم تكن هناك، فلا يزال من الممكن إجراء التحويل، ولكن عليك استخدام بعض التقنيات الأخرى. على سبيل المثال، افترض أن f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1) + س 2) 2 - - (س 1 - س 2) 2 - 2س 1 × 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2) ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1 ,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, حيث y 1 = x 1 + س 2، أي 2 = س 1 - س 2.

الأشكال التربيعية

الشكل التربيعي f(x 1, x 2,...,x n) من المتغيرات n هو مجموع، كل حد منها هو إما مربع أحد المتغيرات، أو منتج اثنين من المتغيرات المختلفة، مأخوذة بمعامل معين: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

تسمى المصفوفة (أ) المكونة من هذه المعاملات بمصفوفة ذات الصورة التربيعية. إنه دائمًا متماثلالمصفوفة (أي مصفوفة متناظرة حول القطر الرئيسي، a ij = a ji).

في تدوين المصفوفة، الصيغة التربيعية هي f(X) = X T AX، حيث

بالفعل

على سبيل المثال، لنكتب الصورة التربيعية على صورة المصفوفة.

للقيام بذلك، نجد مصفوفة على الصورة التربيعية. عناصرها القطرية تساوي معاملات المتغيرات التربيعية، والعناصر المتبقية تساوي أنصاف المعاملات المقابلة لها في الصورة التربيعية. لهذا السبب

دع عمود المصفوفة للمتغيرات X يتم الحصول عليه عن طريق تحويل خطي غير منحط لعمود المصفوفة Y، أي. X = CY، حيث C هي مصفوفة غير مفردة من الرتبة n. ثم الشكل التربيعي
و(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (CT AC)Y.

وهكذا، مع التحول الخطي غير المنحل C، تأخذ مصفوفة الشكل التربيعي الشكل: A * = C T AC.

على سبيل المثال، لنوجد الصورة التربيعية f(y 1, y 2) الناتجة من الصورة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 بالتحويل الخطي.

يسمى الشكل التربيعي الكنسي(لديه عرض الكنسي) ، إذا كانت جميع معاملاتها a j = 0 لـ i ≠ j، أي.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

مصفوفتها قطرية.

نظرية(لم يتم تقديم الدليل هنا). يمكن اختزال أي شكل تربيعي إلى الشكل القانوني باستخدام تحويل خطي غير منحط.

على سبيل المثال، دعونا نختصر الصيغة التربيعية إلى الصيغة القانونية
و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

للقيام بذلك، حدد أولاً مربعًا كاملاً يحتوي على المتغير x 1:

و(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5×22 –×2×3 .

الآن نختار مربعًا كاملاً بالمتغير x 2:

و(x 1، x 2، x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)× 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

ثم التحويل الخطي غير المنحط y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10)x 3 و y 3 = x 3 يجلب هذا الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني f(y 1, y 2) , ص 3) = 2ص 1 2 - 5ص 2 2 - (1/20)ص 3 2 .

لاحظ أن الشكل القانوني للشكل التربيعي يتم تحديده بشكل غامض (يمكن اختزال نفس الشكل التربيعي إلى الشكل القانوني بطرق مختلفة). ومع ذلك، فإن الأشكال القانونية التي تم الحصول عليها بطرق مختلفة لها عدد من الخصائص العامة. على وجه الخصوص، لا يعتمد عدد المصطلحات ذات المعاملات الإيجابية (السلبية) للشكل التربيعي على طريقة اختزال النموذج إلى هذا النموذج (على سبيل المثال، في المثال الذي تم النظر فيه سيكون هناك دائمًا معاملان سلبيان ومعامل إيجابي واحد). هذه الخاصية تسمى قانون القصور الذاتي للأشكال التربيعية.

دعونا نتحقق من ذلك من خلال جلب نفس الصورة التربيعية إلى الصورة القانونية بطريقة مختلفة. لنبدأ التحويل بالمتغير x 2:
و(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(× 2 2 –
- 2* × 2 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) + ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2) - 3 ((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(س 2 - (1/6) × 3 - (2/3) × 1) 2 - 3((1/6) × 3 + (2/3) × 1) 2 + 2x 1 2 = و (ص 1 , ص 2 , ص 3) = -3ص 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2، حيث y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3، y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 و ص 3 = س 1 . يوجد هنا معامل موجب 2 عند y 3 ومعاملين سالبين (-3) عند y 1 وy 2 (وباستخدام طريقة أخرى حصلنا على معامل موجب 2 عند y 1 ومعاملين سالبين - (-5) عند ص 2 و (-1/20) عند ص 3).

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن رتبة المصفوفة ذات الشكل التربيعي تسمى رتبة الشكل التربيعي، يساوي عدد المعاملات غير الصفرية للشكل القانوني ولا يتغير في ظل التحولات الخطية.

تسمى الصيغة التربيعية f(X). بشكل إيجابي (سلبي) تأكيد، إذا كانت جميع قيم المتغيرات التي لا تساوي الصفر في وقت واحد، فهي موجبة، أي. f(X) > 0 (سلبي، أي
و(س)< 0).

على سبيل المثال، الصيغة التربيعية f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 هي موجبة ومحددة، لأن هو مجموع المربعات، والصيغة التربيعية f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 سالبة بالتأكيد، لأن يمثل أنه يمكن تمثيله كـ f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

في معظم المواقف العملية، يكون تحديد العلامة المحددة للشكل التربيعي أكثر صعوبة إلى حد ما، لذلك نستخدم إحدى النظريات التالية (سنقوم بصياغتها بدون دليل).

نظرية. يكون الشكل التربيعي موجبًا (سلبيًا) محددًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم الذاتية لمصفوفته موجبة (سلبية).

نظرية (معيار سيلفستر). تكون الصورة التربيعية موجبة محددة إذا وفقط إذا كانت جميع العناصر الثانوية الرئيسية للمصفوفة من هذه الصورة موجبة.

الرئيسية (الزاوية) الثانويةتسمى مصفوفة الرتبة k A من الرتبة n محدد المصفوفة، وتتكون من الصفوف والأعمدة الأولى من المصفوفة A ().

لاحظ أنه بالنسبة للأشكال التربيعية المحددة السالبة، فإن علامات الفروع الرئيسية تتناوب، ويجب أن تكون العلامات الثانوية من الدرجة الأولى سالبة.

على سبيل المثال، دعونا نتفحص الصيغة التربيعية f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 لمعرفة دقة الإشارة.

= (2 - ل)*
*(3 - ل) – 4 = (6 - 2ل - 3ل + ل 2) – 4 = ل 2 - 5ل + 2 = 0; د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية إيجابية محددة.

الطريقة الثانية. فرعي رئيسي من الدرجة الأولى للمصفوفة A D 1 = a 11 = 2 > 0. فرعي رئيسي من الدرجة الثانية D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. لذلك، وفقًا لمعيار سيلفستر، فإن الصيغة التربيعية هي إيجابية محددة.

دعونا نتفحص صيغة تربيعية أخرى لتحديد الإشارة، f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

الطريقة الأولى: لنقم ببناء مصفوفة ذات صيغة تربيعية A = . المعادلة المميزة سيكون لها الشكل = (-2 - ل)*
*(-3 - ل) – 4 = (6 + 2ل + 3ل + ل 2) – 4 = ل 2 + 5ل + 2 = 0; د = 25 - 8 = 17؛
. ولذلك، فإن الصورة التربيعية هي سلبية محددة.