نظرية الاحتمال الرياضي. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

غسلت أمي الإطار

في نهاية طويلة الإجازة الصيفيةحان الوقت للعودة ببطء إلى الرياضيات العليا وفتح ملف Verdov الفارغ رسميًا لبدء إنشاء قسم جديد - . أعترف أن الأسطر الأولى ليست سهلة، لكن الخطوة الأولى هي نصف الطريق، لذلك أقترح على الجميع دراسة المقالة التمهيدية بعناية، وبعد ذلك سيكون إتقان الموضوع أسهل مرتين! أنا لا أبالغ على الإطلاق. …عشية الأول من سبتمبر القادم، أتذكر الصف الأول والتمهيدي…. تشكل الحروف مقاطع لفظية، والمقاطع تشكل كلمات، والكلمات تشكل جملًا قصيرة - غسلت أمي الإطار. يعد إتقان إحصائيات التداول والرياضيات أمرًا سهلاً مثل تعلم القراءة! ومع ذلك، لهذا تحتاج إلى معرفة المصطلحات والمفاهيم والتسميات الأساسية، بالإضافة إلى بعض القواعد المحددة التي هي موضوع هذا الدرس.

لكن أولاً، أرجو أن تتقبلوا تهنئتي ببداية (استمرار، إكمال، وضع علامة مناسبة) للعام الدراسي وقبول الهدية. أفضل هدية- هذا كتاب ومن أجله عمل مستقلأوصي بالأدبيات التالية:

1) جمورمان ف. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي

كتاب مدرسي أسطوري تمت إعادة طبعه بأكثر من عشر نسخ. إنه يتميز بالوضوح والعرض البسيط للغاية للمادة، والفصول الأولى متاحة بالكامل، على ما أعتقد، بالفعل للطلاب في الصفوف 6-7.

2) جمورمان ف. دليل لحل المشاكل في نظرية الاحتمالات و الإحصائيات الرياضية

كتاب حلول لنفس فلاديمير افيموفيتش مع أمثلة ومسائل مفصلة.

بالضرورةقم بتنزيل كلا الكتابين من الإنترنت أو احصل على نسخهما الورقية الأصلية! الإصدار من الستينيات والسبعينيات سيعمل أيضًا، وهو أفضل بالنسبة للدمى. على الرغم من أن عبارة "نظرية الاحتمالية للدمى" تبدو سخيفة إلى حد ما، لأن كل شيء تقريبًا يقتصر على العمليات الحسابية الأولية. لكنهم يتخطون في بعض الأماكن المشتقاتو التكاملات، ولكن هذا في الأماكن فقط.

سأحاول تحقيق نفس الوضوح في العرض، لكن يجب أن أحذر من أن الدورة التدريبية الخاصة بي تهدف إلى ذلك حل المشكلةويتم الاحتفاظ بالحسابات النظرية إلى الحد الأدنى. وبالتالي، إذا كنت بحاجة إلى نظرية مفصلة، ​​​​وإثباتات النظريات (نظريات-نظريات!)، يرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي. حسنا، من يريد تعلم كيفية حل المشاكلفي نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي على الأكثر شروط قصيرة اتبعني!

هذا يكفي للبدء =)

أثناء قراءتك للمقالات، من المستحسن أن تتعرف (على الأقل لفترة وجيزة) على المهام الإضافية للأنواع التي تم النظر فيها. على الصفحة حلول جاهزة للرياضيات العلياسيتم نشر ملفات PDF المقابلة مع أمثلة للحلول. كما سيتم تقديم مساعدة كبيرة IDZ 18.1 ريابوشكو(أبسط) و تم حل IDZ وفقًا لمجموعة Chudesenko(أكثر صعوبة).

1) كميةحدثين ويسمى الحدث وهو أنه سيحدث أوحدث أوحدث أوكلا الحدثين في نفس الوقت. وفي حال الأحداث غير متوافق، يختفي الخيار الأخير، أي أنه قد يحدث أوحدث أوحدث .

تنطبق القاعدة أيضًا على عدد أكبر من المصطلحات، على سبيل المثال، الحدث هو ما سيحدث واحد على الأقلمن الأحداث ، أ إذا كانت الأحداث غير متوافقة – ثم شيء واحد وشيء واحد فقطحدث من هذا المبلغ: أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث ، أوحدث .

هناك الكثير من الأمثلة:

الأحداث (عند رمي النرد لن تظهر 5 نقاط) هي ما ستظهر أو 1, أو 2, أو 3, أو 4, أو 6 نقاط.

الحدث (سوف يسقط لا أكثرنقطتين) هو أن 1 سوف تظهر أو 2نقاط.

حدث (سيكون هناك عدد زوجي من النقاط) هو ما يظهر أو 2 أو 4 أو 6 نقاط.

الحدث هو أنه سيتم سحب بطاقة حمراء (قلب) من على سطح السفينة أوالدف) والحدث - أنه سيتم استخراج "الصورة" (جاك أوسيدة أوملِك أوبارِع).

الأمر الأكثر إثارة للاهتمام هو الحال مع الأحداث المشتركة:

الحدث هو أنه سيتم سحب النادي من على سطح السفينة أوسبعة أوسبعة من الأندية ووفقا للتعريف المذكور أعلاه، على الأقل شيئا- أو أي نادي أو أي سبعة أو "تقاطعهم" - سبعة أندية. من السهل حساب أن هذا الحدث يتوافق مع 12 نتيجة أولية (9 بطاقات نادي + 3 سبعات متبقية).

الحدث هو أن غدا في الساعة 12.00 سيأتي واحد على الأقل من الأحداث المشتركة القابلة للتلخيصوهي:

- أو سيكون هناك مطر فقط / عاصفة رعدية فقط / شمس فقط؛
- أو سيحدث فقط بعض الأحداث (مطر + عاصفة رعدية / مطر + شمس / عاصفة رعدية + شمس)؛
- أو ستظهر الأحداث الثلاثة في وقت واحد.

أي أن الحدث يتضمن 7 نتائج محتملة.

الركن الثاني من جبر الأحداث:

2) العملحدثين ونسمي حدثًا يتكون من حدوث هذه الأحداث معًا، وبعبارة أخرى، الضرب يعني أنه في بعض الظروف سيكون هناك وحدث ، وحدث . ينطبق بيان مماثل على عدد أكبر من الأحداث، على سبيل المثال، يشير العمل إلى أنه سيحدث في ظل ظروف معينة وحدث ، وحدث ، وحدث ، …، وحدث .

فكر في اختبار يتم فيه رمي قطعتين من العملات المعدنية والأحداث التالية:

- سوف تظهر الرؤوس على العملة الأولى؛
- العملة الأولى ستهبط على الرؤوس؛
- سوف تظهر الرؤوس على العملة الثانية؛
- العملة الثانية ستهبط على الرؤوس.

ثم:
وفي اليوم الثاني) سوف تظهر الرؤوس؛
– الحدث هو أنه على كلا العملاتتين (في الأول ووفي الثاني) سيكون رؤوسا؛
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس والعملة الثانية هي ذيول.
- الحدث هو أن العملة الأولى ستهبط على شكل رؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر.

ومن السهل أن نرى تلك الأحداث غير متوافق (لأنه، على سبيل المثال، لا يمكن أن يسقط رأسين وذيلين في نفس الوقت)والشكل مجموعة كاملة ( منذ أخذها بعين الاعتبار الجميعالنتائج المحتملة لرمي قطعتين من النقود). دعونا نلخص هذه الأحداث : . كيفية تفسير هذا الإدخال؟ بسيط جدًا - الضرب يعني رابطًا منطقيًا و، والإضافة – أو. وهكذا يسهل قراءة المبلغ بلغة بشرية مفهومة: "سيظهر رأسان أورأسين أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى الذيول الثانية أوالعملة الأولى سوف تهبط على الرؤوس وعلى العملة الثانية يوجد نسر"

وكان هذا مثالا عندما في اختبار واحدهناك عدة أشياء متضمنة، في هذه الحالة عملتان معدنيتان. مخطط شائع آخر في المشاكل العملية هو إعادة الاختبار ، على سبيل المثال، عندما يتم رمي نفس حجر النرد ثلاث مرات متتالية. وللتوضيح، خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

- في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط؛
- في الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط؛
– في الرمية الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط.

ثم الحدث هو أنه في الرمية الأولى سوف تحصل على 4 نقاط وفي الرمية الثانية سوف تحصل على 5 نقاط وفي اللفة الثالثة سوف تحصل على 6 نقاط. من الواضح أنه في حالة المكعب سيكون هناك مجموعات (نتائج) أكثر بكثير مما لو كنا نرمي عملة معدنية.

...أفهم أنه ربما لا تكون الأمثلة التي يتم تحليلها مثيرة للاهتمام للغاية، ولكن هذه هي الأشياء التي غالبًا ما تتم مواجهتها في المشكلات ولا يوجد مفر منها. بالإضافة إلى عملة معدنية ومكعب ومجموعة من أوراق اللعب، وجرار بها كرات متعددة الألوان، والعديد من الأشخاص المجهولين الذين يطلقون النار على هدف، وعامل لا يكل يعمل باستمرار على طحن بعض التفاصيل في انتظارك =)

احتمالية وقوع الحدث

احتمالية وقوع الحدث هو المفهوم المركزي لنظرية الاحتمالات. ...شيء منطقي للغاية، ولكن كان علينا أن نبدأ من مكان ما =) هناك عدة طرق لتعريفه:

;
التعريف الهندسي للاحتمال ;
التعريف الإحصائي للاحتمال .

سأركز في هذه المقالة على التعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي يستخدم على نطاق واسع في المهام التعليمية.

التسميات. يُشار إلى احتمالية وقوع حدث معين بحرف لاتيني كبير، ويتم وضع الحدث نفسه بين قوسين، ليكون بمثابة نوع من الحجة. على سبيل المثال:

كما يتم استخدام الحرف الصغير على نطاق واسع للدلالة على الاحتمال. على وجه الخصوص، يمكنك التخلي عن التسميات المرهقة للأحداث واحتمالاتها لصالح النمط التالي::

- احتمال أن تؤدي رمية العملة إلى ظهور الصورة؛
- احتمال أن تؤدي رمية النرد إلى 5 نقاط؛
– احتمال سحب بطاقة بدلة النادي من على سطح السفينة.

يعد هذا الخيار شائعًا عند حل المشكلات العملية، لأنه يسمح لك بتقليل تسجيل الحل بشكل كبير. كما في الحالة الأولى، من الملائم استخدام الحروف المنخفضة/الحروف المرتفعة "الناطقة" هنا.

لقد خمن الجميع منذ فترة طويلة الأرقام التي كتبتها للتو أعلاه، والآن سنكتشف كيف تحولت:

التعريف الكلاسيكي للاحتمال:

يسمى احتمال وقوع حدث ما في اختبار معين النسبة حيث:

- العدد الإجمالي للجميع ممكن على قدم المساواة, ابتدائينتائج هذا الاختبار، والتي تشكل مجموعة كاملة من الأحداث;

- كمية ابتدائيالنتائج, مواتية حدث.

عند رمي عملة معدنية، يمكن أن تسقط الصورة أو الكتابة - وتتشكل هذه الأحداث مجموعة كاملةوبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج؛ وفي نفس الوقت كل واحد منهم ابتدائيو ممكن على قدم المساواة. يتم تفضيل الحدث بالنتيجة (الرؤوس). وفقًا للتعريف الكلاسيكي للاحتمال: .

وبالمثل، نتيجة لرمي حجر النرد، قد تظهر نتائج أولية متساوية الإمكانية، وتشكل مجموعة كاملة، ويتم تفضيل الحدث بنتيجة واحدة (رمي الرقم خمسة). لهذا السبب: هذا غير مقبول (على الرغم من أنه لا يُمنع تقدير النسب المئوية في رأسك).

ومن المعتاد استخدام كسور الوحدةومن الواضح أن الاحتمال يمكن أن يختلف داخل . علاوة على ذلك، إذا كان الحدث مستحيل، لو - موثوق، وإذا، فنحن نتحدث عنه عشوائيحدث.

! إذا حصلت، أثناء حل أي مشكلة، على قيمة احتمالية أخرى، فابحث عن الخطأ!

في النهج الكلاسيكي لتحديد الاحتمالية، يتم الحصول على القيم المتطرفة (صفر وواحد) من خلال نفس المنطق تمامًا. اسمح بسحب كرة واحدة عشوائيًا من جرة معينة تحتوي على 10 كرات حمراء. خذ بعين الاعتبار الأحداث التالية:

في تجربة واحدة، لن يحدث حدث منخفض الاحتمال.

ولهذا السبب لن تفوز بالجائزة الكبرى في اليانصيب إذا كان احتمال هذا الحدث، على سبيل المثال، 0.00000001. نعم، نعم، إنه أنت – مع التذكرة الوحيدة في تداول معين. ومع ذلك، فإن عددًا أكبر من التذاكر وعددًا أكبر من الرسومات لن يساعدك كثيرًا. ...عندما أخبر الآخرين عن هذا، أسمع دائمًا ردًا: "لكن هناك من يفوز". حسنًا، فلنقم بالتجربة التالية: يرجى شراء تذكرة لأي يانصيب اليوم أو غدًا (لا تتأخر!). وإذا فزت... حسنًا، على الأقل أكثر من 10 كيلوروبل، تأكد من التسجيل - سأشرح لك سبب حدوث ذلك. بالنسبة للنسبة طبعا =)=)

لكن لا داعي للحزن، لأن هناك مبدأ معاكسًا: إذا كان احتمال وقوع حدث ما قريبًا جدًا من الواحد، فإنه في تجربة واحدة سوف يحدث. شبه مؤكدسيحدث. لذلك، قبل القفز بالمظلة، لا داعي للخوف، بل على العكس، ابتسم! بعد كل شيء، يجب أن تنشأ ظروف رائعة لا يمكن تصورها تمامًا حتى تفشل المظلتان.

على الرغم من أن كل هذا هو غنائي، لأنه اعتمادا على محتوى الحدث، قد يكون المبدأ الأول مبهجا، والثاني - حزين؛ أو حتى كلاهما متوازيان.

ربما هذا يكفي الآن، في الصف مسائل الاحتمالية الكلاسيكيةسوف نحصل على أقصى استفادة من الصيغة. وفي الجزء الأخير من هذه المقالة، سنتناول نظرية مهمة:

مجموع احتمالات الأحداث التي تكون المجموعة الكاملة يساوي واحدًا. بشكل تقريبي، إذا كانت الأحداث تشكل مجموعة كاملة، فمع احتمال 100%، سيحدث أحدها. في أبسط الحالات، يتم تشكيل مجموعة كاملة من الأحداث المعاكسة، على سبيل المثال:

- نتيجة لرمي العملة المعدنية، سوف تظهر الرؤوس؛
- ستكون نتيجة رمي العملة المعدنية عبارة عن ذيول.

وفقا للنظرية:

ومن الواضح تمامًا أن هذه الأحداث ممكنة بنفس القدر واحتمالاتها واحدة .

نظرًا لتساوي الاحتمالات، غالبًا ما يتم استدعاء الأحداث الممكنة بشكل متساوٍ محتمل بنفس القدر . وهنا اعصار اللسان لتحديد درجة التسمم =)

مثال على المكعب: الأحداث متضادة إذن .

تعتبر النظرية قيد النظر ملائمة لأنها تتيح لك العثور بسرعة على احتمالية الحدث المعاكس. لذلك، إذا كان احتمال ظهور الرقم خمسة معروفًا، فمن السهل حساب احتمال عدم ظهوره:

وهذا أبسط بكثير من تلخيص احتمالات خمس نتائج أولية. بالمناسبة، بالنسبة للنتائج الأولية، هذه النظرية صحيحة أيضًا:
. على سبيل المثال، إذا كان احتمال أن يصيب مطلق النار الهدف، إذن هو احتمال أن يخطئ.

! في نظرية الاحتمالات، من غير المرغوب فيه استخدام الحروف لأي أغراض أخرى.

تكريما ليوم المعرفة، لن أسأل العمل في المنزل=) ولكن من المهم جدًا أن تتمكن من الإجابة على الأسئلة التالية:

- ما هي أنواع الأحداث الموجودة؟
– ما هي الصدفة والاحتمال المتساوي لحدث ما؟
– كيف تفهم مصطلحات توافق/عدم توافق الأحداث؟
– ما هي مجموعة كاملة من الأحداث، والأحداث المعاكسة؟
- ماذا يعني جمع وضرب الأحداث؟
– ما هو جوهر التعريف الكلاسيكي للاحتمال؟
- لماذا تعتبر نظرية جمع احتمالات الأحداث التي تشكل مجموعة كاملة مفيدة؟

لا، لا تحتاج إلى حشر أي شيء، فهذه مجرد أساسيات نظرية الاحتمالات - وهو نوع من التمهيدي الذي سوف يتناسب بسرعة مع رأسك. ولكي يحدث هذا في أقرب وقت ممكن، أقترح عليك أن تتعرف على الدروس

كثيرون، عندما يواجهون مفهوم "نظرية الاحتمالية"، يشعرون بالخوف، معتقدين أنها شيء ساحق ومعقد للغاية. لكن كل شيء في الواقع ليس مأساويًا جدًا. سننظر اليوم إلى المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات ونتعلم كيفية حل المشكلات باستخدام أمثلة محددة.

علوم

ماذا يدرس فرع الرياضيات مثل "نظرية الاحتمالية"؟ وتلاحظ الأنماط والكميات. أصبح العلماء مهتمين بهذه القضية لأول مرة في القرن الثامن عشر، عندما درسوا المقامرة. المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو الحدث. إنها أي حقيقة يتم إثباتها بالتجربة أو الملاحظة. ولكن ما هي الخبرة؟ مفهوم أساسي آخر لنظرية الاحتمالات. وهذا يعني أن هذه المجموعة من الظروف لم يتم إنشاؤها عن طريق الصدفة، ولكن لغرض محدد. أما بالنسبة للملاحظة، فهنا لا يشارك الباحث نفسه في التجربة، بل هو مجرد شاهد على هذه الأحداث، ولا يؤثر على ما يحدث بأي شكل من الأشكال.

الأحداث

لقد تعلمنا أن المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات هو الحدث، لكننا لم نأخذ التصنيف بعين الاعتبار. كلهم مقسمون إلى الفئات التالية:

• موثوق.
• مستحيل.
• عشوائي.

وبغض النظر عن نوع الأحداث التي تمت ملاحظتها أو خلقها أثناء التجربة، فهي جميعها تخضع لهذا التصنيف. وندعوك للتعرف على كل نوع على حدة.

حدث موثوق

وهذا هو الظرف الذي تم من أجله اتخاذ مجموعة التدابير اللازمة. من أجل فهم الجوهر بشكل أفضل، فمن الأفضل أن نعطي بعض الأمثلة. وتخضع لهذا القانون الفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا. تتضمن نظرية الاحتمالية مفهومًا مهمًا كحدث موثوق. فيما يلي بعض الأمثلة:

• نحن نعمل ونحصل على تعويض على شكل أجور.
• لقد اجتزنا الامتحانات جيدًا واجتزنا المنافسة ولهذا حصلنا على مكافأة في شكل قبول في مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرنا الأموال في البنك، وإذا لزم الأمر، سنستردها.

مثل هذه الأحداث موثوقة. إذا استوفينا جميع الشروط اللازمة، فسنحصل بالتأكيد على النتيجة المتوقعة.

أحداث مستحيلة

الآن نحن ندرس عناصر نظرية الاحتمالات. نقترح الانتقال إلى شرح النوع التالي من الحدث، وهو المستحيل. أولاً، دعونا نحدد القاعدة الأكثر أهمية - احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر.

لا يمكن للمرء أن ينحرف عن هذه الصيغة عند حل المشكلات. وللتوضيح، إليك أمثلة على مثل هذه الأحداث:

• تجمد الماء عند درجة حرارة زائد عشرة (وهذا مستحيل).
• لا يؤثر نقص الكهرباء على الإنتاج بأي شكل من الأشكال (تمامًا كما هو الحال في المثال السابق).

لا يستحق إعطاء المزيد من الأمثلة، لأن تلك الموصوفة أعلاه تعكس بوضوح جوهر هذه الفئة. لن يحدث حدث مستحيل أبدًا أثناء التجربة تحت أي ظرف من الظروف.

أحداث عشوائية

دراسة العناصر اهتمام خاصيجدر الانتباه إلى هذا النوع من الأحداث. وهذا ما يدرسه العلم. ونتيجة للتجربة، قد يحدث شيء ما وقد لا يحدث. وبالإضافة إلى ذلك، يمكن إجراء الاختبار لعدد غير محدود من المرات. تشمل الأمثلة الحية ما يلي:

• إن رمي العملة تجربة أو اختبار، وهبوط الرؤوس هو حدث.
• إن سحب الكرة من الحقيبة بشكل أعمى هو اختبار؛ والحصول على كرة حمراء هو حدث، وهكذا.

قد يكون هناك عدد غير محدود من هذه الأمثلة، ولكن بشكل عام، يجب أن يكون الجوهر واضحا. لتلخيص وتنظيم المعرفة المكتسبة حول الأحداث، يتم توفير جدول. تدرس نظرية الاحتمالية فقط النوع الأخير من كل ما تم تقديمه.

اسم	تعريف
موثوق	الأحداث التي تحدث مع ضمان 100% إذا تم استيفاء شروط معينة.	القبول في مؤسسة تعليمية بعد اجتياز امتحان القبول بشكل جيد.
مستحيل	أحداث لن تحدث أبدًا تحت أي ظرف من الظروف.	تتساقط الثلوج عند درجة حرارة هواء تزيد عن ثلاثين درجة مئوية.
عشوائي	حدث قد يحدث أو لا يحدث أثناء التجربة/الاختبار.	ضربة أو خطأ عند رمي كرة السلة في الطوق.

القوانين

نظرية الاحتمالية هي العلم الذي يدرس إمكانية وقوع حدث ما. مثل الآخرين، لديها بعض القواعد. توجد قوانين نظرية الاحتمالات التالية:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأعداد الكبيرة.

عند حساب احتمال حدوث شيء معقد، يمكنك استخدام مجموعة من الأحداث البسيطة لتحقيق نتيجة بطريقة أسهل وأسرع. لاحظ أنه يمكن إثبات قوانين نظرية الاحتمالات بسهولة باستخدام نظريات معينة. نقترح عليك التعرف أولاً على القانون الأول.

تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

لاحظ أن هناك عدة أنواع من التقارب:

• تسلسل المتغيرات العشوائية يتقارب في الاحتمال.
• يكاد يكون مستحيلا.
• متوسط ​​التقارب المربع.
• تقارب التوزيع.

لذلك، من الصعب جدًا فهم الجوهر على الفور. فيما يلي تعريفات ستساعدك على فهم هذا الموضوع. لنبدأ بالعرض الأول. يسمى التسلسل متقاربة في الاحتمال، إذا تحقق الشرط التالي: n يميل إلى ما لا نهاية، فإن العدد الذي يميل إليه التسلسل أكبر من الصفر وقريب من الواحد.

دعنا ننتقل إلى العرض التالي، يكاد يكون من المؤكد. ويقال أن التسلسل يتقارب يكاد يكون من المؤكدإلى متغير عشوائي حيث n تميل إلى اللانهاية و P تميل إلى قيمة قريبة من الوحدة.

النوع التالي هو متوسط ​​التقارب المربع. عند استخدام تقارب SC، يتم تقليل دراسة العمليات العشوائية المتجهة إلى دراسة عملياتها العشوائية الإحداثية.

بقي نوع أخير، دعونا نلقي نظرة عليه باختصار حتى نتمكن من الانتقال مباشرة إلى حل المشاكل. التقارب في التوزيع له اسم آخر - "ضعيف" وسنشرح السبب أيضًا. التقارب ضعيفهو تقارب دوال التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع المحددة.

وسنوفي بوعدنا بالتأكيد: التقارب الضعيف يختلف عن كل ما سبق في ذلك متغير عشوائيلم يتم تعريفه في مساحة الاحتمال. وهذا ممكن لأن الشرط يتم تشكيله حصريًا باستخدام وظائف التوزيع.

قانون الأعداد الكبيرة

نظريات نظرية الاحتمالات، مثل:

• عدم المساواة في تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف المعممة.
• نظرية ماركوف.

إذا نظرنا في كل هذه النظريات، فيمكن تأجيل هذا السؤال لعدة عشرات من الأوراق. مهمتنا الرئيسية هي تطبيق نظرية الاحتمالات في الممارسة العملية. نقترح عليك القيام بذلك الآن. لكن قبل ذلك، دعونا نلقي نظرة على بديهيات نظرية الاحتمالات؛ فهي ستكون المساعدين الرئيسيين في حل المشكلات.

البديهيات

لقد التقينا بالفعل بالأول عندما تحدثنا عن حدث مستحيل. لنتذكر: احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر. لقد قدمنا ​​​​مثالًا حيًا لا يُنسى: تساقط الثلج عند درجة حرارة هواء تبلغ ثلاثين درجة مئوية.

والثاني هو كما يلي: حدث موثوق به مع احتمال يساوي واحد. سنبين الآن كيفية كتابة ذلك باستخدام اللغة الرياضية: P(B)=1.

ثالثاً: حدث عشوائي قد يحدث أو لا يحدث، ولكن الاحتمال دائماً يتراوح من صفر إلى واحد. كلما اقتربت القيمة من الواحد، زادت الفرص؛ وإذا اقتربت القيمة من الصفر، يكون الاحتمال منخفضًا جدًا. لنكتب هذا باللغة الرياضية: 0<Р(С)<1.

لنفكر في البديهية الرابعة والأخيرة، والتي تبدو كالتالي: احتمال مجموع حدثين يساوي مجموع احتمالاتهما. نكتبها باللغة الرياضية: P(A+B)=P(A)+P(B).

إن بديهيات نظرية الاحتمالات هي أبسط القواعد التي ليس من الصعب تذكرها. دعونا نحاول حل بعض المشكلات بناءً على المعرفة التي اكتسبناها بالفعل.

تذكرة اليانصيب

أولا، دعونا نلقي نظرة على أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة يانصيب واحدة من أجل الحظ السعيد. ما هو احتمال أن تربح ما لا يقل عن عشرين روبل؟ في المجموع، يتم تداول ألف تذكرة، واحدة منها لها جائزة خمسمائة روبل، وعشرة منها - مائة روبل، وخمسون - جائزة عشرين روبل، ومائة - جائزة خمسة. تعتمد مسائل الاحتمالية على إيجاد إمكانية الحظ. الآن سنقوم معًا بتحليل حل المهمة المذكورة أعلاه.

إذا استخدمنا الحرف A للإشارة إلى الفوز بخمسمائة روبل، فإن احتمال الحصول على A سيكون 0.001. كيف حصلنا على هذا؟ كل ما عليك فعله هو تقسيم عدد التذاكر "المحظوظة" على العدد الإجمالي لها (في هذه الحالة: 1/1000).

B هو الفوز بمائة روبل، والاحتمال سيكون 0.01. والآن نعمل على نفس المبدأ كما في الإجراء السابق (10/1000)

ج - المكاسب عشرين روبلاً. نجد الاحتمال، وهو يساوي 0.05.

نحن لسنا مهتمين بالتذاكر المتبقية، لأن قيمة جوائزها أقل من المبلغ المحدد في الشرط. دعونا نطبق البديهية الرابعة: احتمال الفوز بعشرين روبل على الأقل هو P(A)+P(B)+P(C). يشير الحرف P إلى احتمالية وقوع حدث معين، وقد وجدناه بالفعل في الإجراءات السابقة. كل ما تبقى هو إضافة البيانات الضرورية، والإجابة التي نحصل عليها هي 0.061. سيكون هذا الرقم هو الجواب على سؤال المهمة.

سطح البطاقة

يمكن أن تكون المشكلات في نظرية الاحتمالات أكثر تعقيدًا، على سبيل المثال، لنأخذ المهمة التالية. أمامك مجموعة من ستة وثلاثين بطاقة. مهمتك هي سحب ورقتين متتاليتين دون خلط المكدس، ويجب أن تكون البطاقة الأولى والثانية آصًا، ولا يهم النوع.

أولاً، دعونا نوجد احتمال أن تكون البطاقة الأولى عبارة عن آس، ولهذا نقسم أربعة على ستة وثلاثين. وضعوه جانبا. نحن نخرج البطاقة الثانية، وسوف يكون الآس مع احتمال ثلاثة وثلاثين خمسة. يعتمد احتمال الحدث الثاني على البطاقة التي سحبناها أولاً، ونتساءل عما إذا كانت آسًا أم لا. ويترتب على ذلك أن الحدث B يعتمد على الحدث A.

الخطوة التالية هي إيجاد احتمالية حدوث متزامن، أي أننا نضرب A وB. ويتم العثور على حاصل ضربهما على النحو التالي: نضرب احتمالية حدث ما في الاحتمالية الشرطية لحدث آخر، ونحسبه، على افتراض أن الأول حدث ما، أي أننا قمنا برسم الآس بالبطاقة الأولى.

لتوضيح كل شيء، دعونا نعطي تسمية لعنصر مثل الأحداث. ويتم حسابه على افتراض وقوع الحدث A. ويتم حسابه على النحو التالي: P(B/A).

لنواصل حل مسألتنا: P(A * B) = P(A) * P(B/A) أو P(A * B) = P(B) * P(A/B). الاحتمال يساوي (4/36) * ((3/35)/(4/36). نحسب بالتقريب لأقرب جزء من مائة. لدينا: 0.11 * (0.09/0.11) = 0.11 * 0, 82 = 0.09 احتمال أن نرسم آصين متتاليين هو تسعمائة، القيمة صغيرة جدًا، مما يعني أن احتمال وقوع الحدث صغير للغاية.

الرقم المنسي

نقترح تحليل العديد من المتغيرات الأخرى للمهام التي تمت دراستها بواسطة نظرية الاحتمالات. لقد رأيت بالفعل أمثلة على حل بعضها في هذه المقالة، فلنحاول حل المشكلة التالية: نسي الصبي الرقم الأخير من رقم هاتف صديقه، ولكن بما أن المكالمة كانت مهمة جدًا، فقد بدأ في الاتصال بكل شيء واحدًا تلو الآخر. . نحن بحاجة إلى حساب احتمال أنه لن يتصل أكثر من ثلاث مرات. يكون حل المشكلة أبسط إذا كانت قواعد وقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات معروفة.

قبل أن تنظر إلى الحل، حاول حله بنفسك. نحن نعلم أن الرقم الأخير يمكن أن يكون من صفر إلى تسعة، أي عشر قيم إجمالاً. احتمال الحصول على الصحيح هو 1/10.

بعد ذلك، نحتاج إلى النظر في الخيارات المتعلقة بأصل الحدث، لنفترض أن الصبي خمن بشكل صحيح وقام على الفور بكتابة الحدث الصحيح، فإن احتمال مثل هذا الحدث هو 1/10. الخيار الثاني: النداء الأول أخطأ، والثاني على الهدف. دعونا نحسب احتمالية حدوث مثل هذا الحدث: اضرب 9/10 في 1/9، ونتيجة لذلك نحصل أيضًا على 1/10. الخيار الثالث: كانت المكالمات الأولى والثانية على العنوان الخطأ، فقط مع الثالث وصل الصبي إلى المكان الذي يريده. نحسب احتمالية وقوع مثل هذا الحدث: 9/10 مضروبًا في 8/9 و1/8، مما يؤدي إلى 1/10. نحن لسنا مهتمين بخيارات أخرى وفقا لظروف المشكلة، لذلك علينا فقط جمع النتائج التي تم الحصول عليها، في النهاية لدينا 3/10. الجواب: احتمال أن لا يتصل الصبي أكثر من ثلاث مرات هو 0.3.

بطاقات بالأرقام

أمامك تسع بطاقات، مكتوب على كل منها رقم من واحد إلى تسعة، الأرقام غير متكررة. تم وضعها في صندوق وخلطها جيدًا. تحتاج إلى حساب احتمال ذلك

• سيظهر رقم زوجي.
• رقمين.

قبل الانتقال إلى الحل، لنشترط أن m هو عدد الحالات الناجحة، وn هو العدد الإجمالي للخيارات. دعونا نجد احتمال أن يكون الرقم زوجيًا. لن يكون من الصعب حساب أن هناك أربعة أرقام زوجية، سيكون هذا هو m، وهناك تسعة خيارات محتملة في المجمل، أي m=9. ثم الاحتمال هو 0.44 أو 4/9.

لنفكر في الحالة الثانية: عدد الخيارات هو تسعة، ولا يمكن أن تكون هناك نتائج ناجحة على الإطلاق، أي أن m يساوي صفرًا. واحتمال أن تحتوي البطاقة المسحوبة على عدد مكون من رقمين هو أيضًا صفر.

مقدمة

أشياء كثيرة غير مفهومة بالنسبة لنا ليس لأن مفاهيمنا ضعيفة؛
ولكن لأن هذه الأشياء ليست مدرجة في نطاق مفاهيمنا.
كوزما بروتكوف

الهدف الأساسي من دراسة الرياضيات في المؤسسات التعليمية الثانوية المتخصصة هو إكساب الطلاب مجموعة من المعارف والمهارات الرياضية اللازمة لدراسة التخصصات البرنامجية الأخرى التي تستخدم الرياضيات بدرجة أو بأخرى، للقدرة على إجراء العمليات الحسابية العملية، للتكوين والتطوير من التفكير المنطقي.

يحتوي هذا العمل على جميع المفاهيم الأساسية لقسم الرياضيات "أساسيات نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي" المنصوص عليها في البرنامج والمعايير التعليمية الحكومية للتعليم المهني الثانوي (وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي. م. ، 2002). )، يتم تقديمها باستمرار، ويتم صياغة النظريات الرئيسية، ومعظمها لم يتم إثباته. يتم النظر في المشكلات الرئيسية وطرق حلها وتقنيات تطبيق هذه الأساليب لحل المشكلات العملية. ويرافق العرض تعليقات مفصلة وأمثلة عديدة.

يمكن استخدام التعليمات المنهجية للتعرف الأولي على المواد التي تتم دراستها، عند تدوين الملاحظات في المحاضرات، للتحضير للفصول العملية، لتعزيز المعرفة والمهارات والقدرات المكتسبة. بالإضافة إلى ذلك، سيكون الدليل مفيدًا أيضًا للطلاب الجامعيين كأداة مرجعية، مما يسمح لهم باستدعاء ما تمت دراسته مسبقًا بسرعة.

توجد في نهاية العمل أمثلة ومهام يمكن للطلاب القيام بها في وضع ضبط النفس.

المبادئ التوجيهية مخصصة للطلاب بدوام جزئي وبدوام كامل.

المفاهيم الأساسية

تدرس نظرية الاحتمالية الأنماط الموضوعية للأحداث العشوائية الجماعية. وهو الأساس النظري للإحصاء الرياضي، الذي يتناول تطوير أساليب جمع ووصف ومعالجة نتائج الرصد. من خلال الملاحظات (الاختبارات والتجارب)، أي. الخبرة بالمعنى الواسع للكلمة، تحدث معرفة ظواهر العالم الحقيقي.

كثيرا ما نواجه في أنشطتنا العملية ظواهر لا يمكن التنبؤ بنتائجها، وتعتمد نتائجها على الصدفة.

يمكن وصف الظاهرة العشوائية بنسبة عدد مرات حدوثها إلى عدد المحاولات التي يمكن أن تحدث أو لا تحدث في كل منها، وفي نفس ظروف جميع التجارب.

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يتم فيه دراسة الظواهر العشوائية (الأحداث) وتحديد الأنماط عند تكرارها بشكل جماعي.

الإحصاء الرياضي هو فرع من الرياضيات يتعامل مع دراسة طرق جمع وتنظيم ومعالجة واستخدام البيانات الإحصائية للحصول على استنتاجات علمية واتخاذ القرارات.

في هذه الحالة، تُفهم البيانات الإحصائية على أنها مجموعة من الأرقام التي تمثل الخصائص الكمية لخصائص الكائنات قيد الدراسة التي تهمنا. يتم الحصول على البيانات الإحصائية نتيجة للتجارب والملاحظات المصممة خصيصًا.

تعتمد البيانات الإحصائية في جوهرها على العديد من العوامل العشوائية، وبالتالي فإن الإحصائيات الرياضية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاحتمالات، وهي أساسها النظري.

أولا: الاحتمالية. نظريات الجمع وضرب الاحتمالات

1.1. المفاهيم الأساسية للتوافقيات

في فرع الرياضيات، والذي يسمى التوافقيات، يتم حل بعض المشكلات المتعلقة بنظر المجموعات وتركيب مجموعات مختلفة من عناصر هذه المجموعات. على سبيل المثال، إذا أخذنا 10 أرقام مختلفة 0، 1، 2، 3،:، 9 وقمنا بتركيبها، فسنحصل على أرقام مختلفة، على سبيل المثال 143، 431، 5671، 1207، 43، إلخ.

نرى أن بعض هذه المجموعات تختلف فقط في ترتيب الأرقام (على سبيل المثال، 143 و 431)، والبعض الآخر - في الأرقام المضمنة فيها (على سبيل المثال، 5671 و 1207)، والبعض الآخر يختلف أيضًا في عدد الأرقام (على سبيل المثال، 143 و 43).

وبالتالي، فإن المجموعات الناتجة تلبي الشروط المختلفة.

اعتمادا على قواعد التكوين، يمكن التمييز بين ثلاثة أنواع من المجموعات: التباديل، المواضع، التركيبات.

دعونا أولا نتعرف على هذا المفهوم مضروب.

يسمى حاصل ضرب جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلى n n-مُعامل والكتابة.

احسب: أ) ؛ ب) ؛ الخامس) .

حل. أ) .

ب) منذ ، ثم يمكننا أن نخرجه من الأقواس

ثم نحصل

الخامس) .

إعادة الترتيب.

مجموعة من العناصر n التي تختلف عن بعضها البعض فقط في ترتيب العناصر تسمى التقليب.

يشار إلى التباديل بالرمز ص ن ، حيث n هو عدد العناصر المضمنة في كل التقليب. ( ر- الحرف الأول من الكلمة الفرنسية التقليب- إعادة الترتيب).

يمكن حساب عدد التباديل باستخدام الصيغة

أو باستخدام مضروب:

دعونا نتذكر ذلك 0!=1 و 1!=1.

مثال 2. بكم طريقة يمكن ترتيب ستة كتب مختلفة على رف واحد؟

حل. العدد المطلوب من الطرق يساوي عدد التباديل لـ 6 عناصر، أي.

المواضع.

مشاركات من مالعناصر في نفي كل منها تسمى هذه المركبات التي تختلف عن بعضها البعض إما حسب العناصر نفسها (واحدة على الأقل)، أو حسب ترتيب موقعها.

يتم الإشارة إلى المواضع بالرمز، حيث م- عدد جميع العناصر المتاحة، ن- عدد العناصر في كل مجموعة . ( أ-الحرف الأول من الكلمة الفرنسية ترتيب، والتي تعني "التنسيب والترتيب").

وفي الوقت نفسه، يعتقد ذلك نانومتر.

يمكن حساب عدد المواضع باستخدام الصيغة

,

أولئك. عدد جميع المواضع الممكنة من مالعناصر بواسطة نيساوي المنتج نأعداد صحيحة متتالية، أكبرها م.

لنكتب هذه الصيغة في شكل مضروب:

مثال 3. ما هو عدد الخيارات لتوزيع ثلاث قسائم على المصحات ذات الملفات الشخصية المختلفة التي يمكن تجميعها لخمسة متقدمين؟

حل. العدد المطلوب من الخيارات يساوي عدد مواضع 5 عناصر من 3 عناصر، أي.

.

مجموعات.

المجموعات هي جميع المجموعات الممكنة من مالعناصر بواسطة نوالتي تختلف عن بعضها البعض بعنصر واحد على الأقل (هنا مو ن-الأعداد الطبيعية و ن م).

عدد مجموعات مالعناصر بواسطة نيُشار إليها بـ ( مع-الحرف الأول من الكلمة الفرنسية مزيج- مزيج).

وبشكل عام فإن عدد مالعناصر بواسطة نيساوي عدد المواضع من مالعناصر بواسطة ن، مقسوما على عدد التباديل من نعناصر:

باستخدام الصيغ العاملية لأعداد المواضع والتباديل نحصل على:

مثال 4. في فريق مكون من 25 شخصا، تحتاج إلى تخصيص أربعة للعمل في منطقة معينة. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل. وبما أن ترتيب الأشخاص الأربعة المختارين لا يهم، فهناك طرق للقيام بذلك.

نجد باستخدام الصيغة الأولى

.

بالإضافة إلى ذلك، عند حل المشكلات، يتم استخدام الصيغ التالية للتعبير عن الخصائص الأساسية للمجموعات:

(بحكم التعريف يفترضون و)؛

.

1.2. حل المشاكل التوافقية

المهمة 1. هناك 16 مادة تدرس في الكلية. تحتاج إلى وضع 3 مواضيع في جدولك ليوم الاثنين. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

حل. هناك العديد من الطرق لجدولة ثلاثة عناصر من أصل 16 كما يمكنك ترتيب مواضع 16 عنصرًا في 3.

المهمة 2. من بين 15 كائنًا، تحتاج إلى تحديد 10 كائنات. بكم الطرق يمكن القيام بذلك؟

المهمة 3. شاركت أربعة فرق في المسابقة. ما عدد الخيارات الممكنة لتوزيع المقاعد بينهم؟

.

المشكلة 4. بكم طريقة يمكن تشكيل دورية من ثلاثة جنود وضابط واحد إذا كان هناك 80 جنديًا و 3 ضباط؟

حل. يمكنك اختيار جندي في دورية

الطرق، والضباط في الطرق. وبما أن أي ضابط يمكنه الذهاب مع كل فريق من الجنود، فلا يوجد سوى عدد قليل من الطرق.

المهمة 5. ابحث عن إذا كان معروفًا ذلك.

منذ , نحصل على

,

,

من خلال تعريف الجمع يترتب على ذلك أن . الذي - التي. .

1.3. مفهوم الحدث العشوائي. أنواع الأحداث. احتمالية وقوع الحدث

سيتم استدعاء أي إجراء، أو ظاهرة، أو ملاحظة ذات نتائج مختلفة، يتم تحقيقها في ظل مجموعة معينة من الظروف امتحان.

يتم استدعاء نتيجة هذا الإجراء أو الملاحظة حدث .

إذا كان الحدث في ظل ظروف معينة يمكن أن يحدث أو لا يحدث، فإنه يسمى عشوائي . عندما يكون هناك حدث مؤكد الحدوث، يتم استدعاؤه موثوق ، وفي الحالة التي من الواضح أنه لا يمكن أن يحدث، - مستحيل.

تسمى الأحداث غير متوافق ، إذا كان من الممكن ظهور واحد منهم فقط في كل مرة.

تسمى الأحداث مشترك ، إذا كان وقوع أحد هذه الأحداث، في ظل ظروف معينة، لا يمنع وقوع حدث آخر أثناء نفس الاختبار.

تسمى الأحداث عكس ، إذا كانت في ظل ظروف الاختبار، فهي نتائجها الوحيدة، غير متوافقة.

يُشار إلى الأحداث عادةً بالأحرف الكبيرة من الأبجدية اللاتينية: أ، ب، ج، د، : .

نظام كامل للأحداث A 1 , A 2 , A 3 , : , A n عبارة عن مجموعة من الأحداث غير المتوافقة، والتي يكون وقوع واحد منها على الأقل إلزاميًا أثناء اختبار معين.

إذا كان النظام الكامل يتكون من حدثين غير متوافقين، فإن هذه الأحداث تسمى عكسية ويتم تحديدها بـ A و .

مثال. يحتوي الصندوق على 30 كرة مرقمة. حدد أي الأحداث التالية مستحيلة أو موثوقة أو مخالفة:

أخرج كرة مرقمة (أ)؛

حصلت على الكرة مع عدد زوجي (في)؛

حصلت على الكرة مع عدد فردي (مع)؛

حصلت على الكرة بدون رقم (د).

ومن منهم يشكل مجموعة كاملة؟

حل . أ- حدث موثوق؛ د- حدث مستحيل؛

في و مع- الأحداث المعاكسة.

تتكون المجموعة الكاملة من الأحداث من أو د، فو مع.

يعتبر احتمال وقوع حدث ما بمثابة مقياس للاحتمال الموضوعي لحدوث حدث عشوائي.

1.4. التعريف الكلاسيكي للاحتمال

يُطلق على الرقم الذي يعبر عن مقياس الاحتمال الموضوعي لحدوث حدث ما احتمال هذا الحدث ويشار إليه بالرمز ص (أ).

تعريف. احتمالية وقوع الحدث أهي نسبة عدد النتائج m المؤاتية لحدوث حدث معين أ، إلى الرقم نجميع النتائج (غير متناسقة، ممكنة فقط وممكنة بنفس القدر)، أي. .

لذلك، للعثور على احتمال وقوع حدث ما، من الضروري، بعد النظر في النتائج المختلفة للاختبار، حساب جميع النتائج غير المتسقة المحتملة ن،اختر عدد النتائج m التي نهتم بها واحسب النسبة مل ن.

الخصائص التالية تتبع هذا التعريف:

احتمال أي اختبار هو رقم غير سالب لا يزيد عن واحد.

وبالفعل، فإن عدد الأحداث المطلوبة يقع ضمن . تقسيم كلا الجزأين إلى ن، نحصل على

2. احتمال وقوع حدث موثوق يساوي واحدًا، لأن .

3. احتمال وقوع حدث مستحيل هو صفر، حيث أن .

المشكلة 1. في يانصيب يتكون من 1000 تذكرة، هناك 200 تذكرة فائزة. يتم سحب تذكرة واحدة بشكل عشوائي. ما هو احتمال أن تكون هذه التذكرة فائزة؟

حل. العدد الإجمالي للنتائج المختلفة هو ن=1000. عدد النتائج المؤاتية للفوز هو م = 200. وفقا للصيغة نحصل عليها

.

المشكلة 2. في مجموعة مكونة من 18 جزءًا يوجد 4 أجزاء معيبة. يتم اختيار 5 أجزاء عشوائيا. أوجد احتمال أن يكون اثنان من هذه الأجزاء الخمسة معيبين.

حل. عدد جميع النتائج المستقلة الممكنة بالتساوي نيساوي عدد المجموعات 18 في 5 أي.

دعونا نحسب الرقم m الذي يفضل الحدث A. من بين 5 أجزاء مأخوذة بشكل عشوائي، يجب أن يكون هناك 3 أجزاء جيدة و2 معيبة. عدد الطرق لاختيار جزأين معيبين من 4 أجزاء معيبة موجودة يساوي عدد مجموعات 4 × 2:

عدد الطرق لاختيار ثلاثة أجزاء عالية الجودة من 14 جزءًا عالي الجودة متاحًا يساوي

.

يمكن دمج أي مجموعة من الأجزاء الجيدة مع أي مجموعة من الأجزاء المعيبة، وبالتالي يكون العدد الإجمالي للمجموعات ميصل إلى

الاحتمال المطلوب للحدث A يساوي نسبة عدد النتائج m المواتية لهذا الحدث إلى عدد n لجميع النتائج المستقلة المحتملة على قدم المساواة:

.

مجموع عدد محدود من الأحداث هو حدث يتكون من وقوع حدث واحد منها على الأقل.

يُشار إلى مجموع حدثين بالرمز A+B، والمجموع نالأحداث بالرمز A 1 +A 2 + : +A n.

نظرية إضافة الاحتمال.

احتمال مجموع حدثين غير متوافقين يساوي مجموع احتمالات هذين الحدثين.

النتيجة الطبيعية 1. إذا كان الحدث A 1, A 2, :,A n يشكل نظاماً كاملاً، فإن مجموع احتمالات هذه الأحداث يساوي واحداً.

النتيجة الطبيعية 2. مجموع احتمالات الأحداث المعاكسة ويساوي واحد.

.

المشكلة 1. هناك 100 تذكرة يانصيب. من المعروف أن 5 تذاكر تربح 20000 روبل، 10 تذاكر تربح 15000 روبل، 15 تذكرة تربح 10000 روبل، 25 تذكرة تربح 2000 روبل. ولا شيء للباقي. ابحث عن احتمال أن تحصل التذكرة المشتراة على ربح لا يقل عن 10000 روبل.

حل. لنفترض أن A وB وC هي أحداث تتكون من حقيقة أن التذكرة المشتراة تحصل على ربح يساوي 20000 و15000 و10000 روبل على التوالي. بما أن الأحداث A وB وC غير متوافقة، إذن

المهمة 2. يتلقى قسم المراسلات بالمدرسة الفنية اختبارات في الرياضيات من المدن أ، بو مع. احتمالية الحصول على اختبار من المدينة أيساوي 0.6 من المدينة في- 0.1. أوجد احتمال أن يأتي الاختبار التالي من المدينة مع.

تشمل الرياضيات مجموعة كاملة من المجالات، واحدة منها، إلى جانب الجبر والهندسة، هي نظرية الاحتمالات. هناك مصطلحات مشتركة بين كل هذه المجالات، ولكن بالإضافة إليها، هناك أيضًا كلمات وصيغ ونظريات محددة لا تميز سوى "مكانة" واحدة محددة.

عبارة "نظرية الاحتمالية" تسبب الذعر لدى الطالب غير المستعد. في الواقع، يرسم الخيال صورًا تظهر فيها صيغ ضخمة مخيفة، ويستغرق حل مشكلة واحدة دفترًا كاملاً. ومع ذلك، في الممارسة العملية، كل شيء ليس فظيعا للغاية: يكفي أن نفهم مرة واحدة معنى بعض المصطلحات والتعمق في جوهر المنطق الغريب إلى حد ما للتوقف عن الخوف من المهام مرة واحدة وإلى الأبد. في هذا الصدد، سننظر في المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصائيات الرياضية - وهو مجال معرفي شاب ولكنه مثير للاهتمام للغاية.

لماذا تعلم المفاهيم؟

وظيفة اللغة هي نقل المعلومات من شخص إلى آخر حتى يفهمها ويفهمها ويستطيع استخدامها. يمكن تفسير كل مفهوم رياضي بكلمات بسيطة، ولكن في هذه الحالة فإن عملية تبادل البيانات ستستغرق وقتًا أطول بكثير. تخيل أنه بدلاً من كلمة "الوتر" سيتعين عليك دائمًا أن تقول "الضلع الأطول للمثلث القائم الزاوية" - وهذا غير مريح للغاية ويستغرق وقتًا طويلاً.

ولهذا السبب يتوصل الناس إلى مصطلحات جديدة لظواهر وعمليات معينة. ظهرت المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات - الحدث، واحتمالية الحدث، وما إلى ذلك - بنفس الطريقة. هذا يعني أنه من أجل استخدام الصيغ وحل المشكلات وتطبيق المهارات في الحياة، لا تحتاج إلى تذكر الكلمات الجديدة فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى فهم ما يعنيه كل منها. كلما فهمتها بشكل أعمق، وتعمقت في معناها، كلما اتسع نطاق قدراتك، وكلما أدركت العالم من حولك بشكل أكمل.

ما هو معنى الكائن

دعونا نتعرف على المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. التعريف الكلاسيكي للاحتمال هو كما يلي: هذه هي نسبة النتائج التي تناسب الباحث إلى إجمالي عدد النتائج المحتملة. لنأخذ مثالاً بسيطًا: عندما يقوم شخص ما برمي حجر النرد، فإنه يمكن أن يهبط على أي من الجوانب الستة متجهًا للأعلى. وبالتالي، فإن العدد الإجمالي للنتائج هو ستة. احتمال ظهور الجانب الذي تم اختياره عشوائيًا هو 1/6.

تعد القدرة على التنبؤ بحدوث نتيجة معينة أمرًا في غاية الأهمية لمجموعة متنوعة من المتخصصين. كم عدد الأجزاء المعيبة المتوقعة في الدفعة؟ وهذا يحدد مقدار ما تحتاج إلى إنتاجه. ما هو احتمال أن يساعد الدواء في التغلب على المرض؟ هذه المعلومات حيوية للغاية. لكن دعونا لا نضيع الوقت في أمثلة إضافية ونبدأ في دراسة مجال جديد لنا.

التعارف الأول

دعونا ننظر في المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات واستخدامها. في القانون والعلوم الطبيعية والاقتصاد، تُستخدم الصيغ والمصطلحات الواردة أدناه في كل مكان، نظرًا لارتباطها المباشر بالإحصاءات وأخطاء القياس. ستكشف لك دراسة أكثر تفصيلاً لهذه المشكلة صيغًا جديدة مفيدة لإجراء حسابات أكثر دقة وتعقيدًا، ولكن لنبدأ بصيغة بسيطة.

أحد المفاهيم الأساسية والأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي هو الحدث العشوائي. دعونا نشرح بكلمات واضحة: من بين جميع النتائج المحتملة للتجربة، لوحظ نتيجة واحدة فقط. وحتى لو كان احتمال وقوع هذا الحدث أعلى بكثير من احتمال وقوع حدث آخر، فإنه سيكون عشوائيًا، حيث من الممكن أن تكون النتيجة مختلفة من الناحية النظرية.

إذا أجرينا سلسلة من التجارب وحصلنا على عدد معين من النتائج، فسيتم حساب احتمالية كل منها باستخدام الصيغة: P(A) = m/n. هنا م هو عدد المرات التي لاحظنا فيها ظهور النتيجة التي تهمنا في سلسلة من الاختبارات. وفي المقابل، n هو العدد الإجمالي للتجارب التي تم إجراؤها. إذا ألقينا قطعة نقود 10 مرات وحصلنا على الصورة 5 مرات، فإن m=5 وn=10.

أنواع الأحداث

يحدث أن يتم ضمان ملاحظة بعض النتائج في كل تجربة - سيتم تسمية مثل هذا الحدث بأنه موثوق. إذا لم يحدث ذلك أبدا، فسيتم تسميته مستحيلا. ومع ذلك، لا يتم استخدام مثل هذه الأحداث في مشاكل في نظرية الاحتمالات. المفاهيم الأساسية التي من المهم معرفتها هي الأحداث المشتركة وغير المشتركة.

يحدث أنه عند إجراء تجربة، يحدث حدثان في وقت واحد. على سبيل المثال، نرمي حجري نرد - في هذه الحالة، حقيقة أن أحدهما يرمي الرقم "ستة" لا تضمن أن الثاني لن يرمي رقمًا مختلفًا. سيتم استدعاء مثل هذه الأحداث المشتركة.

إذا ألقينا حجر نرد واحد، فلا يمكن أن يظهر رقمان في نفس الوقت. في هذه الحالة، سيتم اعتبار النتائج في شكل إسقاط "واحد"، "اثنين"، وما إلى ذلك، أحداثًا غير متوافقة. من المهم جدًا التمييز بين النتائج التي تحدث في كل حالة محددة - وهذا يحدد الصيغ التي يجب استخدامها في مشكلة إيجاد الاحتمالات. سنواصل دراسة المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات بعد بضع فقرات، عندما ننظر في ميزات الجمع والضرب. بعد كل شيء، بدونهم، لا يمكن حل أي مشكلة.

المجموع والمنتج

لنفترض أنك وصديقك تقومان برمي النرد وحصلا على الرقم أربعة. للفوز، عليك أن تحصل على "خمسة" أو "ستة". في هذه الحالة، ستتضاعف الاحتمالات: بما أن احتمالات الحصول على كلا الرقمين هي 1/6، فإن الإجابة ستبدو كما يلي: 1/6 + 1/6 = 1/3.

تخيل الآن أنك رميت النرد مرتين وحصل صديقك على 11 نقطة. الآن أنت بحاجة للحصول على "ستة" مرتين على التوالي. الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، لذلك يجب ضرب الاحتمالات: 1/6 * 1/6 = 1/36.

ومن بين المفاهيم والنظريات الأساسية لنظرية الاحتمالات، ينبغي الاهتمام بمجموع احتمالات الأحداث المشتركة، أي تلك التي يمكن أن تحدث في وقت واحد. صيغة الجمع في هذه الحالة ستبدو كما يلي: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

التوافقيات

في كثير من الأحيان نحتاج إلى العثور على جميع المجموعات الممكنة لبعض معلمات الكائن أو حساب عدد أي مجموعات (على سبيل المثال، عند اختيار التشفير). التوافقيات، التي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الاحتمال، ستساعدنا في ذلك. تتضمن المفاهيم الأساسية هنا بعض الكلمات الجديدة، ومن المرجح أن يكون عدد من الصيغ من هذا الموضوع مفيدًا.

لنفترض أن لديك ثلاثة أرقام: 1، 2، 3. تحتاج إلى استخدامها لكتابة جميع الأرقام الممكنة المكونة من ثلاثة أرقام. كم سيكون هناك؟ الجواب: ن! (علامة التعجب تعني مضروب). تسمى مجموعات عدد معين من العناصر المختلفة (الأرقام والحروف وما إلى ذلك)، والتي تختلف فقط في ترتيب ترتيبها، بالتباديل.

ومع ذلك، في كثير من الأحيان نواجه هذا الموقف: هناك 10 أرقام (من صفر إلى تسعة) يتم إنشاء كلمة المرور أو الرمز منها. لنفترض أن طوله هو 4 أحرف. كيفية حساب العدد الإجمالي للرموز الممكنة؟ هناك صيغة خاصة لذلك: (ن!)/(ن - م)!

بالنظر إلى حالة المشكلة المقترحة أعلاه، n=10، m=4. وعلاوة على ذلك، لا يلزم سوى الحسابات الرياضية البسيطة. بالمناسبة، سيتم استدعاء هذه المجموعات التنسيب.

وأخيرا، هناك مفهوم المجموعات - وهي تسلسلات تختلف عن بعضها البعض بعنصر واحد على الأقل. يتم حساب عددهم باستخدام الصيغة: (ن!) / (م!(ن-م)!).

توقع

أحد المفاهيم المهمة التي يواجهها الطالب بالفعل في الدروس الأولى للموضوع هو التوقع الرياضي. وهو مجموع كل القيم الناتجة الممكنة مضروبة في احتمالاتها. في الأساس، هو متوسط ​​العدد الذي يمكننا التنبؤ به كنتيجة اختبار. على سبيل المثال، هناك ثلاث قيم يشار إلى احتمالاتها بين قوسين: 0 (0.2)؛ 1 (0.5)؛ 2 (0.3). دعونا نحسب التوقع الرياضي: M(X) = 0*0.2 + 1*0.5 + 2*0.3 = 1.1. وهكذا، من التعبير المقترح يمكن ملاحظة أن هذه القيمة ثابتة ولا تعتمد على نتيجة الاختبار.

يتم استخدام هذا المفهوم في العديد من الصيغ، وسوف تواجهه عدة مرات في المستقبل. ليس من الصعب العمل معه: التوقع الرياضي للمجموع يساوي مجموع الحصيرة. التوقعات - M(X+Y) = M(X) + M(Y). الأمر نفسه ينطبق على المنتج: M(XY) = M(X) * M(Y).

تشتت

ربما تتذكر من مقرر الفيزياء في مدرستك أن التشتت هو التشتت. وما مكانها بين المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات؟

انظر إلى مثالين. في حالة واحدة حصلنا على: 10(0.2); 20(0.6); 30(0.2). وفي مكان آخر - 0(0.2); 20(0.6); 40(0.2). فالتوقع الرياضي في الحالتين سيكون هو نفسه، فكيف يمكن المقارنة بين هذه المواقف؟ ففي نهاية المطاف، نرى بالعين المجردة أن انتشار القيم في الحالة الثانية أكبر بكثير.

ولهذا السبب تم تقديم مفهوم التشتت. وللحصول عليه لا بد من حساب التوقع الرياضي من مجموع فروق كل متغير عشوائي والتوقع الرياضي. لنأخذ الأرقام من المثال الأول المكتوب في الفقرة السابقة.

أولاً، لنحسب التوقع الرياضي: M(X) = 10*0.2 + 20*0.6 + 30*0.2 = 20. ثم قيمة التباين: D(X) = 40.

المفهوم الأساسي الآخر للإحصاء ونظرية الاحتمالات هو الانحراف المعياري. عملية الحساب بسيطة للغاية: ما عليك سوى أخذ الجذر التربيعي للتباين.

هنا يمكننا أيضًا ملاحظة مصطلح بسيط مثل النطاق. هذه قيمة تمثل الفرق بين الحد الأقصى والحد الأدنى للقيم في العينة.

إحصائيات

يتم استخدام بعض المفاهيم المدرسية الأساسية في كثير من الأحيان في العلوم. اثنان منهم هما الوسط الحسابي والوسيط. بالتأكيد تتذكر كيفية العثور على معانيها. ولكن فقط في حالة، نذكرك: الوسط الحسابي هو مجموع كل القيم مقسوما على عددها. إذا كان هناك 10 قيم، فإننا نجمعها ونقسمها على 10.

الوسيط هو القيمة المركزية بين جميع القيم الممكنة. إذا كان لدينا عدد فردي من الكميات، فإننا نكتبها بترتيب تصاعدي ونختار الكمية الموجودة في المنتصف. إذا كان لدينا عدد زوجي من القيم، فإننا نأخذ القيمتين المركزيتين ونقسمهما على اثنين.

تسمى القيمتان الأخريان الموجودتان بين الوسيط والقيمتين المتطرفتين - الحد الأقصى والحد الأدنى - للمجموعة بالربيعات. يتم حسابها بنفس الطريقة - إذا كان عدد العناصر فرديًا، يتم أخذ الرقم الموجود في منتصف الصف، وإذا كان عدد العناصر زوجيًا، يتم أخذ نصف مجموع العنصرين المركزيين.

يوجد أيضًا رسم بياني خاص يمكنك من خلاله رؤية جميع قيم العينة ومداها ووسيطها وفاصلها الربيعي بالإضافة إلى القيم المتطرفة - القيم التي لا تتناسب مع الخطأ الإحصائي. تحتوي الصورة الناتجة على اسم محدد للغاية (وحتى غير رياضي) - "مربع ذو شارب".

توزيع

ويتعلق التوزيع أيضًا بالمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. باختصار، فهو يمثل معلومات عامة عن جميع المتغيرات العشوائية التي يمكن أن نراها نتيجة الاختبار. ستكون المعلمة الرئيسية هنا هي احتمال حدوث كل قيمة محددة.

التوزيع الطبيعي هو التوزيع الذي يحتوي على قمة مركزية واحدة تحتوي على القيمة التي تحدث بشكل متكرر. النتائج الأقل احتمالا تتباعد عنه في الأقواس. بشكل عام، يبدو الرسم البياني وكأنه "شريحة" من الخارج. ستتعلم لاحقًا أن هذا النوع من التوزيع يرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحد المركزي، وهي نظرية أساسية في نظرية الاحتمالات. فهو يصف أنماطًا مهمة لفرع الرياضيات الذي ندرسه، والتي تعتبر مفيدة جدًا في العمليات الحسابية المختلفة.

ولكن دعونا نعود إلى الموضوع. هناك نوعان آخران من التوزيعات: غير المتماثلة ومتعددة الوسائط. الأول يشبه نصف الرسم البياني "العادي"، أي أن القوس ينحدر إلى جانب واحد فقط من قيمة الذروة. وأخيرًا، التوزيع متعدد الوسائط هو التوزيع الذي توجد فيه عدة قيم "عليا". وبالتالي، فإن الرسم البياني إما ينخفض ​​أو يرتفع. القيمة الأكثر شيوعًا في أي توزيع تسمى الوضع. وهو أيضًا أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي.

توزيع غاوسي

التوزيع الغاوسي أو الطبيعي هو التوزيع الذي يخضع فيه انحراف الملاحظات عن المتوسط ​​لقانون معين.

باختصار، يميل الانتشار الرئيسي لقيم العينة بشكل كبير نحو الوضع - وهو الأكثر شيوعًا. بتعبير أدق، 99.6٪ من جميع القيم تقع ضمن ثلاثة انحرافات معيارية (تذكر أننا ناقشنا هذا المفهوم أعلاه؟).

التوزيع الغوسي هو أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. باستخدامه، يمكنك فهم ما إذا كان العنصر، وفقًا لمعايير معينة، مدرجًا في فئة "نموذجي" - هكذا يتم تقييم طول الشخص ووزنه وفقًا للعمر ومستوى النمو الفكري والحالة النفسية وغير ذلك الكثير. .

كيفية التقديم

ومن المثير للاهتمام أن البيانات الرياضية "المملة" يمكن استخدامها لصالحك. على سبيل المثال، استخدم أحد الشباب نظرية الاحتمالات والإحصاء للفوز بعدة ملايين من الدولارات في لعبة الروليت. صحيح، قبل ذلك كان علي أن أستعد - لتسجيل نتائج الألعاب في مختلف الكازينوهات لعدة أشهر.

وبعد إجراء التحليل، اكتشف أن أحد الجداول كان مائلاً قليلاً، مما يعني ظهور عدد من القيم إحصائياً بشكل ملحوظ أكثر من غيرها. القليل من الحساب والصبر - وأصحاب المؤسسة في حيرة من أمرهم ويتساءلون كيف يمكن أن يكون الشخص محظوظًا جدًا.

هناك مجموعة كاملة من المشاكل اليومية اليومية التي لا يمكن حلها دون اللجوء إلى الإحصائيات. على سبيل المثال، كيفية تحديد كمية الملابس التي يجب على المتجر طلبها بأحجام مختلفة: S، M، L، XL؟ للقيام بذلك، من الضروري تحليل من يشتري الملابس في أغلب الأحيان في المدينة، في المنطقة، في المتاجر القريبة. إذا لم يتم الحصول على هذه المعلومات، فإن المالك يخاطر بخسارة الكثير من المال.

خاتمة

لقد نظرنا إلى مجموعة كاملة من المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات: الاختبار، والحدث، والتباديل والمواضع، والقيمة المتوقعة والتشتت، والوضع والتوزيع الطبيعي... بالإضافة إلى ذلك، نظرنا إلى عدد من الصيغ التي تستغرق أكثر من شهر من فصول للدراسة في مؤسسة التعليم العالي.

لا تنس: الرياضيات ضرورية عند دراسة الاقتصاد والعلوم الطبيعية وتكنولوجيا المعلومات والهندسة. ولا يمكن هنا أيضًا تجاهل الإحصائيات باعتبارها أحد مجالاتها.

الآن أصبح الأمر يتعلق بأشياء صغيرة: الممارسة وحل المشكلات والأمثلة. حتى المفاهيم والتعريفات الأساسية لنظرية الاحتمالات سوف تُنسى إذا لم تأخذ وقتًا للمراجعة. بالإضافة إلى ذلك، ستعتمد الصيغ اللاحقة إلى حد كبير على تلك التي نظرنا فيها. لذلك حاول أن تتذكرها، خاصة أنها ليست كثيرة.