تعريف.

دعونا نسمي النظام نظامًا ذو هيمنة صف قطري إذا كانت عناصر المصفوفةتلبية عدم المساواة:

عدم المساواة تعني أنه في كل صف من المصفوفة يتم تسليط الضوء على العنصر القطري: معامله أكبر من مجموع معاملات جميع العناصر الأخرى في نفس الصف.

نظرية

إن النظام ذو الهيمنة القطرية يكون دائمًا قابلاً للحل، علاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.

النظر في النظام المتجانس المقابل:

لنفترض أن لديها حل غير بديهي دع أكبر مكون modulo لهذا الحل يتوافق مع الفهرس
، أي.

,
,
.

دعونا نكتبها المعادلة ال النظام في النموذج

واتخاذ معامل كلا الجانبين من هذه المساواة. ونتيجة لذلك نحصل على:

الحد من عدم المساواة بعامل
، والذي بحسب يساوي الصفر، نصل إلى تناقض مع عدم المساواة الذي يعبر عن الهيمنة القطرية. يسمح لنا التناقض الناتج بالإدلاء بثلاثة عبارات باستمرار:

ويعني الأخير أن إثبات النظرية قد اكتمل.

أنظمة ذات مصفوفة ثلاثية الأقطار. طريقة التشغيل.

عند حل العديد من المشاكل، يتعين على المرء أن يتعامل مع أنظمة المعادلات الخطية من النموذج:

,
,

أين هي المعاملات
، الجانبين الأيمن
المعروفة جنبا إلى جنب مع الأرقام و . غالبًا ما تسمى العلاقات الإضافية بالشروط الحدودية للنظام. وفي كثير من الحالات قد يكون لديهم المزيد نظرة معقدة. على سبيل المثال:

;
,

أين
- أرقام معينة. ومع ذلك، من أجل عدم تعقيد العرض التقديمي، سنقتصر على أبسط شكل من أشكال الشروط الإضافية.

الاستفادة من حقيقة القيم و نظرا، نعيد كتابة النظام في النموذج:

مصفوفة هذا النظام لها هيكل ثلاثي الأقطار:

وهذا يبسط حل النظام بشكل كبير بفضل طريقة خاصة تسمى طريقة الاجتياح.

وتعتمد الطريقة على افتراض المجهول المجهول و
مرتبطة بعلاقة التكرار

,
.

هنا الكميات
,
، والتي تسمى معاملات التشغيل، تخضع للتحديد بناءً على ظروف المشكلة. في الواقع، مثل هذا الإجراء يعني استبدال التعريف المباشر للمجهول مهمة تحديد المعاملات الجارية ومن ثم حساب القيم بناء عليها .

ولتنفيذ البرنامج الموصوف نعبر عنه باستخدام العلاقة
خلال
:

واستبدال
و ، أعرب من خلال
، في المعادلات الأصلية. ونتيجة لذلك نحصل على:

من المؤكد أن العلاقات الأخيرة ستكون راضية، علاوة على ذلك، بغض النظر عن الحل، إذا طلبنا ذلك ومتى
كانت هناك مساواة:

من هنا اتبع علاقات التكرار لمعاملات المسح:

,
,
.

حالة الحدود اليسرى
والنسبة
متسقة إذا وضعنا

القيم الأخرى لمعاملات الاجتياح
و
نجد من الذي يكمل مرحلة حساب معاملات التشغيل.

من هنا يمكنك العثور على المجهول المتبقي
في عملية المسح العكسي باستخدام صيغة التكرار.

عدد العمليات المطلوبة لحل النظام منظر عامطريقة غاوس، يزيد مع الزيادة بشكل متناسب . يتم تقليل طريقة المسح إلى دورتين: أولاً، يتم حساب معاملات المسح باستخدام الصيغ، ثم باستخدامها يتم العثور على مكونات حل النظام باستخدام الصيغ المتكررة . وهذا يعني أنه مع زيادة حجم النظام، فإن عدد العمليات الحسابية سيزيد بشكل متناسب ، لا . وبالتالي، فإن طريقة الاجتياح، ضمن نطاق تطبيقها المحتمل، تكون أكثر اقتصادا بشكل ملحوظ. وينبغي أن يضاف إلى ذلك البساطة الخاصة في تنفيذ البرنامج على جهاز الكمبيوتر.

في العديد من المسائل التطبيقية التي تؤدي إلى SLAEs بمصفوفة ثلاثية الأقطار، تلبي معاملاتها المتباينات:

والتي تعبر عن خاصية الهيمنة القطرية. وسنلتقي على وجه الخصوص بمثل هذه الأنظمة في الفصلين الثالث والخامس.

وفقا لنظرية القسم السابق، فإن الحل لمثل هذه الأنظمة موجود دائما وهو فريد من نوعه. البيان صحيح أيضًا بالنسبة لهم، وهو أمر مهم للحساب الفعلي للحل باستخدام طريقة الاجتياح.

ليما

إذا كان نظام ذو مصفوفة ثلاثية الأقطار مستوفيًا لشرط الهيمنة القطرية، فإن معاملات الاكتساح تلبي عدم المساواة:

سنقوم بتنفيذ الإثبات عن طريق الاستقراء. وفق
، أي متى
بيان ليما صحيح. لنفترض الآن أن هذا صحيح بالنسبة ل والنظر
:

لذلك، التحريض من ل
له ما يبرره، وهو ما يكمل إثبات ليما.

عدم المساواة لمعاملات الاجتياح يجعل التشغيل مستقرا. في الواقع، لنفترض أن مكون الحل ونتيجة لإجراء التقريب، تم حسابه مع وجود بعض الأخطاء. ثم عند حساب المكون التالي
ووفقا للصيغة المتكررة، فإن هذا الخطأ، بفضل عدم المساواة، لن يزيد.

عدم احترام المصفوفات وخاصية الهيمنة القطرية 1

ليليانا تسفيتكوفيتش - أستاذة بقسم الرياضيات وعلوم الكمبيوتر، كلية العلوم، جامعة نوفي ساد، صربيا، أوبرادوفيتشا 4، نوفي ساد، صربيا، 21000، البريد الإلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي].

فلاديمير كوستيتش - أستاذ مساعد، دكتور، قسم الرياضيات والمعلوماتية، كلية العلوم، جامعة نوفي ساد، صربيا، أوبرادوفيتشا 4، 21000، نوفي ساد، صربيا، البريد الإلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي].

كروكير ليف أبراموفيتش - دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ، رئيس قسم الحوسبة عالية الأداء وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات، مدير المركز الإقليمي لجنوب روسيا للمعلوماتية بالجامعة الفيدرالية الجنوبية، شارع ستاتشكي 200/1، مبنى. 2، روستوف على نهر الدون، 344090، البريد الإلكتروني: krukier@sfedu. رو.

تسفيتكوفيتش ليليانا - أستاذ قسم الرياضيات والمعلوماتية، كلية العلوم، جامعة نوفي ساد، صربيا، د. أوبرادوفيتشا 4، نوفي ساد، صربيا، 21000، البريد الإلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي].

كوستيك فلاديمير - أستاذ مساعد، قسم الرياضيات والمعلوماتية، كلية العلوم، جامعة نوفي ساد، صربيا، د. أوبرادوفيتشا 4، نوفي ساد، صربيا، 21000، البريد الإلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي].

كروكير ليف أبراموفيتش - دكتوراه في العلوم الفيزيائية والرياضية، أستاذ، رئيس قسم الحوسبة عالية الأداء وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات، مدير مركز الكمبيوتر في الجامعة الفيدرالية الجنوبية، Stachki Ave، 200/1، bild. 2، روستوف على نهر الدون، روسيا، 344090، البريد الإلكتروني: krukier@sfedu. رو.

الهيمنة القطرية في المصفوفة هي حالة بسيطة، وضمان عدم انحطاطها. إن خصائص المصفوفات التي تعمم مفهوم الهيمنة القطرية هي دائمًا مطلوبة بشدة. تعتبر شروطًا لنوع الهيمنة القطرية وتساعد في تحديد الفئات الفرعية للمصفوفات (مثل مصفوفات H) التي تظل غير متدهورة في ظل هذه الظروف. في هذا العمل، تم إنشاء فئات جديدة من المصفوفات غير المفردة التي تحتفظ بمزايا الهيمنة القطرية، ولكنها تظل خارج فئة المصفوفات H. هذه الخصائص مفيدة بشكل خاص لأن العديد من التطبيقات تؤدي إلى مصفوفات من هذه الفئة، ويمكن الآن توسيع نظرية عدم انحطاط المصفوفات التي ليست مصفوفات H.

الكلمات الرئيسية: الهيمنة القطرية، وعدم الانحطاط، والتحجيم.

في حين أن الشروط البسيطة التي تضمن عدم تفرد المصفوفات تكون دائمًا موضع ترحيب كبير، يمكن اعتبار الكثير منها نوعًا من الهيمنة القطرية التي تميل إلى إنتاج فئات فرعية من مصفوفات H المعروفة. في هذا البحث قمنا ببناء فئات جديدة من المصفوفات غير المفردة التي تحافظ على فائدة الهيمنة القطرية، ولكنها تقف في علاقة عامة مع فئة المصفوفات H. هذه الخاصية مفضلة بشكل خاص، حيث يمكن الآن توسيع العديد من التطبيقات التي تنشأ من نظرية المصفوفة H.

الكلمات المفتاحية: الهيمنة القطرية، عدم التفرد، تقنية القياس.

الحل العددي لمشاكل القيمة الحدية في الفيزياء الرياضية، كقاعدة عامة، يقلل من المشكلة الأصلية إلى حل نظام المعادلات الجبرية الخطية. عند اختيار خوارزمية الحل، نحتاج إلى معرفة ما إذا كانت المصفوفة الأصلية غير مفردة؟ بالإضافة إلى ذلك، فإن مسألة عدم انحطاط المصفوفة ذات صلة، على سبيل المثال، في نظرية تقارب الطرق التكرارية، والتوطين القيم الذاتية، عند تقدير المحددات، جذور بيرون، نصف القطر الطيفي، قيم المصفوفة المفردة، إلخ.

لاحظ أن واحدة من أبسط، ولكن للغاية ظروف مفيدة، ضمان عدم انحطاط المصفوفة، هو خاصية معروفة للهيمنة القطرية الصارمة (والمراجع فيها).

النظرية 1. دع المصفوفة A = e Cnxn تعطى على هذا النحو

ق > ز (أ):= س ك ل، (1)

للجميع أنا ه ن:= (1،2،...ن).

إذن المصفوفة A غير متدهورة.

تسمى المصفوفات ذات الخاصية (1) بالمصفوفات ذات السيادة القطرية الصارمة

(مصفوفات 8BB). تعميمها الطبيعي هو فئة مصفوفات الهيمنة القطرية المعممة (vBD)، المحددة على النحو التالي:

التعريف 1. تسمى المصفوفة A = [a^] e Cxn بمصفوفة BB إذا كانت هناك مصفوفة قطرية غير مفردة W بحيث تكون AW عبارة عن مصفوفة 8BB.

دعونا نقدم عدة تعريفات للمصفوفة

أ = [أو] ه Sphp.

التعريف 2. المصفوفة (أ) = [توك]، محددة

(أ) = ه CN

تسمى مصفوفة المقارنة للمصفوفة A.

التعريف 3. المصفوفة A = e C

\üj > 0، i = j

هي مصفوفة M إذا

اج< 0, i * j,

حصيرة عكسية-

ritsa A" >0 أي أن جميع عناصرها موجبة.

من الواضح أن المصفوفات من فئة vBB هي أيضًا مصفوفات غير مفردة ويمكن أن تكون كذلك

1 تم دعم هذا العمل جزئيًا من قبل وزارة التعليم والعلوم في صربيا، المنحة رقم 174019، ووزارة العلوم والتكنولوجيا التطور التكنولوجيفويفودينا، منح 2675 و01850.

وجدت في الأدبيات تحت اسم مصفوفات H غير المتدهورة. ويمكن تحديدها باستخدام الشرط الضروري والكافي التالي:

النظرية 2. المصفوفة A = [ау]е сич هي H-

المصفوفة إذا وفقط إذا كانت مصفوفة المقارنة الخاصة بها عبارة عن مصفوفة M غير مفردة.

حتى الآن، تمت بالفعل دراسة العديد من الفئات الفرعية لمصفوفات H غير المفردة، ولكن تم النظر فيها جميعًا من وجهة نظر تعميمات خاصية الهيمنة القطرية الصارمة (انظر أيضًا المراجع الواردة فيها).

يتناول هذا البحث إمكانية تجاوز فئة المصفوفات H من خلال تعميم فئة 8BB بطريقة مختلفة. الفكرة الأساسية هي الاستمرار في استخدام نهج القياس، ولكن مع مصفوفات ليست قطرية.

خذ بعين الاعتبار المصفوفة A = [ау] e спон والفهرس

دعونا نقدم المصفوفة

ص (أ):= جنيه استرليني. ر (أ):= جنيه استرليني

ßk (A) := £ و yk (A) := aü - ^

من السهل التحقق من أن عناصر المصفوفة bk abk لها الشكل التالي:

ßk (A)، У k (A)، Akj،

ط = ي = ك، أنا = ي * ك،

ط = ك، ي * ك، ط * ك، ي = ك،

A inöaeüiüö neö^äyö.

إذا طبقنا النظرية 1 على المصفوفة bk ABk1 الموصوفة أعلاه ومنقولاتها، فسنحصل على نظريتين رئيسيتين.

النظرية 3. دع أي مصفوفة تعطى

A = [ау] e сkhп بعناصر قطرية غير صفرية. إذا كان هناك k e N بحيث > Tk(A)، ولكل g e N\(k)،

إذن المصفوفة A غير مفردة.

النظرية 4. دع أي مصفوفة تعطى

A = [ау] e сkhп مع عناصر قطرية غير صفرية. إذا كان هناك k e N بحيث > Jak(A)، ولكل r e N\(k)،

إذن المصفوفة A غير متدهورة. يطرح سؤال طبيعي حول العلاقة بين

مصفوفات من النظريتين السابقتين: b^ - BOO -المصفوفات (المحددة بالصيغة (5)) و

Lk - BOO -المصفوفات (المحددة بالصيغة (6)) وفئة المصفوفات H. والمثال البسيط التالي يوضح ذلك.

مثال. خذ بعين الاعتبار المصفوفات الأربع التالية:

وفكر في المصفوفة bk Abk, k e N، المشابهة للمصفوفة الأصلية A. دعونا نجد الشروط التي ستمتلك فيها هذه المصفوفة خاصية مصفوفة SDD (في الصفوف أو الأعمدة).

خلال المقالة سوف نستخدم الترميز r,k eN:= (1,2,.../?)

2 2 1 1 3 -1 1 1 1

" 2 11 -1 2 1 1 2 3

2 1 1 1 2 -1 1 1 5

نظريات عدم الانحطاط

كلهم غير منحطين:

A1 هو b - BOO، على الرغم من أنه ليس bk - BOO لأي k = (1,2,3). كما أنها ليست مصفوفة H، نظرًا لأن (A^1 ليست غير سالبة؛

A2، بسبب التماثل، هو في نفس الوقت bA - BOO وb<2 - БОО, так же как ЬЯ - БОО и

ب<3 - БОО, но не является Н-матрицей, так как (А2) вырожденная;

A3 هو b9 - BOO، لكنه ليس كذلك

Lr - SDD (لـ k = (1,2,3)) ولا مصفوفة H، نظرًا لأن (A3 ^ هو أيضًا مفرد؛

A4 هي مصفوفة H لأن (A^ غير مفرد، و^A4) 1 > 0، على الرغم من أنها ليست LR - SDD ولا Lk - SDD لأي k = (1,2,3).

ويوضح الشكل العلاقة العامة بين

Lr - SDD، Lk - SDD وH- المصفوفات مع المصفوفات من المثال السابق.

العلاقة بين lR - SDD، LC - SDD و

إعلان دقيقة(|au - r (A)|) "

بدءا من عدم المساواة

وبتطبيق هذه النتيجة على المصفوفة bk AB^ نحصل على

النظرية 5. دع المصفوفة التعسفية A = [a-- ] e Cxn تُعطى بعناصر قطرية غير صفرية

رجال شرطة. إذا كان A ينتمي إلى الفئة - BOO، إذن

1 + الحد الأقصى ^ i*k \acc\

مصفوفات H

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه على الرغم من أننا تلقينا

فئة مصفوفات LKk BOO من خلال تطبيق النظرية 1 على المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق تبديل المصفوفة Lk AB^1، لا تتطابق هذه الفئة مع الفئة التي تم الحصول عليها من خلال تطبيق النظرية 2 على المصفوفة At.

دعونا نقدم بعض التعاريف.

التعريف 4. تسمى المصفوفة A (Lk -BOO حسب الصفوف) إذا كانت AT (Lk - BOO).

التعريف 5. تسمى المصفوفة A ( bSk -BOO حسب الصفوف) إذا كانت AT ( bSk - BOO ).

توضح الأمثلة أن الفئات Shch - BOO،

BC-BOO، (bk - BOO بالخطوط) و (b^-BOO بالخطوط) متصلة ببعضها البعض. وهكذا، قمنا بتوسيع فئة المصفوفات H بأربع طرق مختلفة.

تطبيق النظريات الجديدة

دعونا نوضح مدى فائدة النتائج الجديدة في تقدير المعيار C للمصفوفة العكسية.

بالنسبة لمصفوفة اعتباطية A ذات هيمنة قطرية صارمة، فإن نظرية فاراش المعروفة (VaraI) تعطي التقدير

دقيقة[|pf (أ)| - tk (A), min(|yk (A)| - qk(A) - |af (A)|)]" i i (фf ii ii)

وبالمثل، نحصل على النتيجة التالية لمصفوفات Lk - SDD حسب الأعمدة.

النظرية 6. دع المصفوفة التعسفية A = e cihi مع عناصر قطرية غير صفرية تعطى. إذا كان A ينتمي إلى الفئة bk -SDD حسب الأعمدة، إذن

إيك-LLL<_ie#|akk|_

" " مليون[|pf (A)| - Rf (AT)، mln(|уk (A)|- qk (AT)- |aft |)]"

تكمن أهمية هذه النتيجة في أنه بالنسبة للعديد من الفئات الفرعية من مصفوفات H غير المفردة هناك قيود من هذا النوع، ولكن بالنسبة لتلك المصفوفات غير المفردة التي ليست مصفوفات H، فهذه مشكلة غير تافهة. وبالتالي، فإن القيود من هذا النوع، كما هو الحال في النظرية السابقة، تحظى بشعبية كبيرة.

الأدب

Levy L. Sur le possibilité du l "equlibre electric CR. Acad. Paris, 1881. Vol. 93. P. 706-708.

هورن ر.أ.، جونسون سي.ر. تحليل المصفوفة. كامبريدج، 1994. فارجا ر.س. غيرسجورين ودوائره // سلسلة سبرينغر في الرياضيات الحاسوبية. 2004. المجلد. 36.226 فرك. بيرمان أ.، بليمونز آر.جي. المصفوفات غير السالبة في العلوم الرياضية. كلاسيكيات سلسلة SIAM في الرياضيات التطبيقية. 1994. المجلد. 9.340 فرك.

تسفيتكوفيتش إل جي. نظرية المصفوفة H مقابل. توطين القيمة الذاتية // Numer. ألجور. 2006. المجلد. 42. ص229-245. Cvetkovic Lj.، Kostic V.، Kovacevic M.، Szulc T. نتائج إضافية حول مصفوفات H ومكملات Schur الخاصة بها // Appl. الرياضيات. حساب. 1982. ص 506-510.

فارا ج.م. الحد الأدنى لأصغر قيمة للمصفوفة // الجبر الخطي Appl. 1975. المجلد. 11. ص3-5.

تلقاها المحرر

$أ_(ن ن)$ لديه العقار هيمنة قطرية، لو

$|a_(ii)| \geqslant \sum_(j \neq i) |a_(ij)|,\qquad i = 1, \dots, n,$

وهناك متباينة واحدة على الأقل صارمة. إذا كانت جميع المتباينات صارمة، يقال أن المصفوفة كذلك $أ_(ن ن)$ لديه حازمهيمنة قطرية.

تنشأ المصفوفات المهيمنة قطريًا في كثير من الأحيان في التطبيقات. ميزتها الرئيسية هي أن الطرق التكرارية لحل SLAEs باستخدام مثل هذه المصفوفة (طريقة التكرار البسيطة، طريقة Seidel) تتقارب مع حل دقيق موجود بشكل فريد لأي جانب يمين.

ملكيات

المصفوفة ذات الهيمنة القطرية الصارمة ليست مفردة.

انظر أيضا

اكتب مراجعة عن مقالة "الهيمنة القطرية"

مقتطفات تميز الغلبة القطرية

تمركز فوج بافلوغراد هوسار على بعد ميلين من براوناو. كان السرب، الذي عمل فيه نيكولاي روستوف كطالب، يقع في قرية سالزينيك الألمانية. تم تخصيص أفضل شقة في القرية لقائد السرب، الكابتن دينيسوف، المعروف في جميع أنحاء فرقة الفرسان تحت اسم فاسكا دينيسوف. يونكر روستوف، منذ اللحاق بالفوج في بولندا، عاش مع قائد السرب.
في 11 أكتوبر، في نفس اليوم الذي تم فيه رفع كل شيء في الشقة الرئيسية إلى قدميه بسبب أخبار هزيمة ماك، في مقر السرب، استمرت حياة المعسكر بهدوء كما كان من قبل. لم يكن دينيسوف، الذي خسر طوال الليل في البطاقات، قد عاد إلى المنزل بعد عندما عاد روستوف من البحث عن الطعام في الصباح الباكر على ظهور الخيل. صعد روستوف، وهو يرتدي زي المتدرب، إلى الشرفة، ودفع حصانه، وألقى ساقه بإيماءة شبابية مرنة، ووقف على الرِّكاب، كما لو أنه لا يريد الانفصال عن الحصان، وقفز أخيرًا وصرخ إلى رسول.

جامعة سانت بطرسبرغ الحكومية

كلية الرياضيات التطبيقية – عمليات التحكم

أ.ب.إيفانوف

ورشة عمل حول الطرق العددية

حل أنظمة المعادلات الجبرية الخطية

المبادئ التوجيهية

سانت بطرسبرغ

الفصل 1. المعلومات الداعمة

يوفر الدليل المنهجي تصنيفًا لطرق حل SLAEs والخوارزميات لتطبيقها. يتم عرض الطرق في شكل يسمح باستخدامها دون اللجوء إلى مصادر أخرى. من المفترض أن مصفوفة النظام غير مفردة، أي. ديت أ 6= 0.

§1. قواعد المتجهات والمصفوفات

تذكر أن الفضاء الخطي Ω للعناصر x يسمى مطبيعًا إذا تم إدخال دالة k · kΩ فيه، محددة لجميع عناصر الفضاء Ω وتلبية الشروط:

1. kxk Ω ≥ 0، و kxkΩ = 0 x = 0Ω ؛

2. k²xk Ω = |π| · ككسكΩ.

3. kx + yk Ω ≥ kxkΩ + kykΩ .

سوف نتفق في المستقبل على الإشارة إلى المتجهات بأحرف لاتينية صغيرة، وسنعتبرها متجهات أعمدة، وبالأحرف اللاتينية الكبيرة سنشير إلى المصفوفات، وبالأحرف اليونانية سنشير إلى الكميات العددية (مع الاحتفاظ بالأحرف i، j، k، l، m، n للأعداد الصحيحة).

تشمل معايير المتجهات الأكثر استخدامًا ما يلي:


	\|الحادي عشر \|؛
1.kxk1 =	\|الحادي عشر \|؛

2.kxk2 = u x2 ; ر

3. kxk∞ = ماكسي |xi |.

لاحظ أن جميع المعايير في الفضاء Rn متكافئة، أي. أي معيارين kxki و kxkj مرتبطان بالعلاقات:

αij kxkj ≥ kxki ≥ βij kxkj ,

ك ك ≥ ك ك ≥˜ ك ك

α˜ إي س ط س ي β ي س ط،

و αij , βij , α˜ij , βij لا تعتمد على x . علاوة على ذلك، في الفضاء محدود الأبعاد، أي معيارين متكافئين.

يشكل فضاء المصفوفات مع عمليات الجمع والضرب التي يتم إدخالها بشكل طبيعي مساحة خطية يمكن فيها إدخال مفهوم القاعدة بعدة طرق. ومع ذلك، في أغلب الأحيان يتم النظر في ما يسمى بالمعايير الثانوية، أي. القواعد المرتبطة بقواعد المتجهات بالعلاقات:

من خلال وضع علامة على القواعد الثانوية للمصفوفات بنفس المؤشرات مثل المعايير المقابلة للمتجهات، يمكننا إثبات ذلك

ك ك1

|aij|; كاك2

ك∞

(في أ)؛

هنا، i (AT A) تشير إلى القيمة الذاتية للمصفوفة AT A، حيث AT هي المصفوفة المنقولة إلى A. بالإضافة إلى الخصائص الرئيسية الثلاثة للمعيار المذكور أعلاه، نلاحظ اثنين آخرين هنا:

كابك ≥ كاك كبك،

كاكسك ≥ كاك ككسك،

علاوة على ذلك، في المتباينة الأخيرة، تكون قاعدة المصفوفة تابعة لمعيار المتجه المقابل. سوف نتفق على استخدام معايير المصفوفات التي تخضع لقواعد المتجهات في المستقبل فقط. لاحظ أن المساواة التالية تنطبق على مثل هذه المعايير: إذا كانت E هي مصفوفة الهوية، فإن kEk = 1, .

§2. المصفوفات المهيمنة قطريا

التعريف 2.1. تسمى المصفوفة A ذات العناصر (aij )n i,j=1 بمصفوفة ذات هيمنة قطرية (القيم δ) إذا كانت المتباينات قائمة

|aii | − |aij | ≥ δ > 0، ط = 1، ن.

§3. مصفوفات محددة إيجابية

التعريف 3.1. سوف نسمي المصفوفة المتماثلة A بواسطة

كاذبة محددة إذا شكل تربيعييأخذ xT Ax مع هذه المصفوفة قيمًا موجبة فقط لأي متجه x 6= 0.

يمكن أن يكون معيار التحديد الإيجابي للمصفوفة هو إيجابية قيمها الذاتية أو إيجابية قيمها الثانوية الرئيسية.

§4. رقم شرط SLAE

عند حل أي مشكلة، كما هو معروف، هناك ثلاثة أنواع من الأخطاء: الخطأ الفادح، الخطأ المنهجي، وخطأ التقريب. دعونا ننظر في تأثير الخطأ الذي لا مفر منه في البيانات الأولية على حل SLAE، مع إهمال خطأ التقريب ومراعاة عدم وجود خطأ منهجي.

المصفوفة A معروفة تمامًا، ويحتوي الجانب الأيمن b على خطأ غير قابل للإزالة δb.

ثم للخطأ النسبي للحل kδxk/kxk

	ليس من الصعب الحصول على تقدير:

حيث ν(A) = kAkkA−1 k.

الرقم ν(A) يسمى رقم شرط النظام (4.1) (أو المصفوفة A). اتضح أن ν(A) ≥ 1 لأي مصفوفة A. نظرًا لأن قيمة رقم الشرط تعتمد على اختيار معيار المصفوفة، عند اختيار معيار معين سنقوم بفهرسة ν(A) وفقًا لذلك: ν1 (A)، ν2 (أ) أو ν ∞(أ).

في حالة ν(A) 1، يسمى النظام (4.1) أو المصفوفة A بحالة سيئة. في هذه الحالة، على النحو التالي من التقدير

(4.2)، قد يتبين أن الخطأ في حل النظام (4.1) كبير بشكل غير مقبول. يتم تحديد مفهوم مقبولية أو عدم قبول الخطأ من خلال صياغة المشكلة.

بالنسبة للمصفوفة ذات الهيمنة القطرية، من السهل الحصول على حد أعلى لرقم حالتها. يحدث

نظرية 4.1. دع A تكون مصفوفة ذات هيمنة قطرية بقيمة δ > 0. فهي غير مفردة و ν∞ (A) ≥ kAk∞ /δ.

§5. مثال على نظام غير مشروط.

النظر في SLAE (4.1) الذي

−1

− 1 . . .

−1

.. .

−1

هذا النظام له حل فريد x = (0, 0, . . , 0, 1)T. دع الجانب الأيمن من النظام يحتوي على الخطأ δb = (0, 0, . . , 0, ε), ε > 0. ثم

δxn = ε، δxn−1 = ε، δxn−2 = 2 ε، δxn−k = 2 k−1 ε، . . . , δx1 = 2 n−2 ε.

ك∞ =

2 ن−2 ε،

ك∞

ك ك∞

لذلك،

ν∞ (A) ≥ kδxk ∞ : kδbk ∞ = 2n−2 . ك س ك ∞ ك ب ك ∞

بما أن kAk∞ = n، ثم kA−1 k∞ ≥ n−1 2 n−2 ، على الرغم من أن det(A−1 ) = (det A)−1 = 1. لنفترض، على سبيل المثال، n = 102. ثم ν( أ ) ≥ 2100 > 1030 . علاوة على ذلك، حتى لو كانت ε = 10−15 نحصل على kδxk∞ > 1015. وحتى الآن

تعريف.

دعونا نسمي النظام نظامًا ذو هيمنة صف قطري إذا كانت عناصر المصفوفةتلبية عدم المساواة:

نظرية

إن النظام ذو الهيمنة القطرية يكون دائمًا قابلاً للحل، علاوة على ذلك، بطريقة فريدة من نوعها.

النظر في النظام المتجانس المقابل:

لنفترض أن لديها حل غير بديهي دع أكبر مكون modulo لهذا الحل يتوافق مع الفهرس
، أي.

,
,
.

دعونا نكتبها المعادلة ال النظام في النموذج

واتخاذ معامل كلا الجانبين من هذه المساواة. ونتيجة لذلك نحصل على:

الحد من عدم المساواة بعامل
، والتي، في نظرنا، لا تساوي الصفر، نصل إلى تناقض مع عدم المساواة التي تعبر عن الهيمنة القطرية. يسمح لنا التناقض الناتج بالإدلاء بثلاثة عبارات باستمرار:

ويعني الأخير أن إثبات النظرية قد اكتمل.

أنظمة ذات مصفوفة ثلاثية الأقطار. طريقة التشغيل.

عند حل العديد من المشاكل، يتعين على المرء أن يتعامل مع أنظمة المعادلات الخطية من النموذج:

,
,

أين هي المعاملات
، الجانبين الأيمن
المعروفة جنبا إلى جنب مع الأرقام و . غالبًا ما تسمى العلاقات الإضافية بالشروط الحدودية للنظام. في كثير من الحالات يمكن أن تكون أكثر تعقيدا. على سبيل المثال:

;
,

أين
- أرقام معينة. ومع ذلك، من أجل عدم تعقيد العرض التقديمي، سنقتصر على أبسط شكل من أشكال الشروط الإضافية.

الاستفادة من حقيقة القيم و نظرا، نعيد كتابة النظام في النموذج:

مصفوفة هذا النظام لها هيكل ثلاثي الأقطار:

وهذا يبسط حل النظام بشكل كبير بفضل طريقة خاصة تسمى طريقة الاجتياح.

وتعتمد الطريقة على افتراض المجهول المجهول و
مرتبطة بعلاقة التكرار

,
.

ولتنفيذ البرنامج الموصوف نعبر عنه باستخدام العلاقة
خلال
:

واستبدال
و ، أعرب من خلال
، في المعادلات الأصلية. ونتيجة لذلك نحصل على:

من هنا اتبع علاقات التكرار لمعاملات المسح:

,
,
.

حالة الحدود اليسرى
والنسبة
متسقة إذا وضعنا

القيم الأخرى لمعاملات الاجتياح
و
نجد من الذي يكمل مرحلة حساب معاملات التشغيل.

من هنا يمكنك العثور على المجهول المتبقي
في عملية المسح العكسي باستخدام صيغة التكرار.

يزداد عدد العمليات المطلوبة لحل نظام عام بالطريقة الغوسية مع الزيادة بشكل متناسب . يتم تقليل طريقة المسح إلى دورتين: أولاً، يتم حساب معاملات المسح باستخدام الصيغ، ثم باستخدامها يتم العثور على مكونات حل النظام باستخدام الصيغ المتكررة . وهذا يعني أنه مع زيادة حجم النظام، فإن عدد العمليات الحسابية سيزيد بشكل متناسب ، لا . وبالتالي، فإن طريقة الاجتياح، ضمن نطاق تطبيقها المحتمل، تكون أكثر اقتصادا بشكل ملحوظ. وينبغي أن يضاف إلى ذلك البساطة الخاصة في تنفيذ البرنامج على جهاز الكمبيوتر.